METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Plan Rozwiązywanie układów równań liniowych
|
|
|
- Renata Jasińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 -4-4 METODY NUMERYCZNE Wykłd 6. Rozwązywe ukłdów rówń lowych dr h. ż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH Met.Numer. wykłd 6 Pl Metody dokłde Metod elmcj Guss Metod Guss-Sedl Rozkłd LU Metod Kryłow Metod LR QR Zdefowe prolemu włsego Met.Numer. wykłd 6
2 -4-4 Ukłd rówń lowych gdze: Ukłd rówń lowych: A A mcerz o m werszch kolumch wektor o ewdomych wektor m dych lcz możlwe rozwąz: Neskończee wele rozwązń Dokłde jedo rozwąze Brk rozwąz (ukłd sprzeczy) Met.Numer. wykłd 6 Twerdzee Kroecker-Cpellego Rozptrujemy ukłd m rówń lowych z ewdomym w postc m m o współczykch k orz leżących do cł lczowego K ( K = R lu K = C) m m Met.Numer. wykłd 6 4
3 -4-4 Twerdzee Kroecker-Cpellego Mcerzą ukłdu rówń zywmy mcerz A jego współczyków przy zmeych A m m C m m m Mcerzą rozszerzoą zywmy mcerz C, ozczą tkże jko A/B, powstłą z mcerzy A przez dołączee do ej kolumy wyrzów wolych Met.Numer. wykłd 6 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego Ukłd m rówń lowych z ewdomym m rozwąz, jeśl rząd r mcerzy główej jest rówy rzędow mcerzy rozszerzoej: rz A = rz C = r Dl dowolej mcerzy jej rząd jest rówy r wtedy tylko wtedy, gdy steje ezerowy mor rządu k tej mcerzy kżdy mor rzędu wększego od k jest zerowy. Met.Numer. wykłd 6 6
4 -4-4 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego jeżel te wspóly rząd r ou mcerzy rów sę lcze ewdomych, to steje jedo rozwąze, czyl jede zór lcz spełjący rów; jest to ukłd ozczoy rz A = rz C = Met.Numer. wykłd 6 7 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego jeżel wspóly rząd r ou mcerzy jest mejszy od lczy ewdomych, to ( r) ewdomych moż przyjąć dowole, pozostłe r ewdomych wyzcz sę z rówń; jest to ukłd eozczoy, o jego rozwąz zleżą od ( r) prmetrów rz A =rz C < Met.Numer. wykłd 6 8 4
5 -4-4 Twerdzee Kroecker-Cpellego Twerdzee Kroecker Cpellego jeżel rząd r mcerzy główej jest mejszy od rzędu mcerzy rozszerzoej, to ukłd rówń lowych e m rozwązń; jest to ukłd sprzeczy rz A rzc Met.Numer. wykłd 6 9 Pojęce ormy W przestrze R, której elemetm są wektory:...,,, T m,,..., / Dl dowolego wektor є R, oowązują erówośc: Met.Numer. wykłd 6
6 -4-4 Metody rozwązyw ukłdów lgerczych rówń lowych Metody dokłde - defcj Jeśl rozwąze ukłdu rówń A= poleg tkm przeksztłceu dych A, że przy złożeu dokłde wykoywych dzłń rytmetyczych po skończoej lcze dzłń otrzymujemy rozwąze, to tką metodę rozwąz zywmy metodą dokłdą. Met.Numer. wykłd 6 Metody dokłde Metody dokłde - cechy Mł lcz olczeń potrzeych do wyzcze rozwąz Jeśl zde jest źle uwrukowe umerycze, to wyzczoe rozwąze może yć orczoe dużym łędem. Mogą yć estle ze względu łędy zokrągleń Przeksztłcee mcerzy A ocąż w dużym stopu pmęć mszyy, zwłszcz jeśl początkowe de A leży przechowć celem ostteczego sprwdze Met.Numer. wykłd 6 6
7 -4-4 Metody dokłde - przykłd Przykłd wzory Crmer Sposó : Zkłdmy dokłdość do cyfr dzesętych, kżdy wyk przed dlszym olczem jest zokrągly,99,7,99,7,7,,,7,,4,8,49,49,49,,49, Met.Numer. wykłd 6 Metody dokłde - przykłd,,7,99,4,76,8,,,7,66,7,78,8,7,4,7,8,8 Dokłde rozwąze tego ukłdu rówń dje wyk:,8, 6 Met.Numer. wykłd 6 4 7
8 -4-4 Metody dokłde przykłd cd. Sposó : metod elmcj Guss,99,7,7,,4,8 Elmujemy ewdomą z drugego rów ukłdu rówń. W tym celu możymy perwsze rówe przez:,7,77,7,99 Otrzymujemy:.7,7,4949,,8,88 Odejmując rów strom po wcześejszym zokrągleu do cyfr:,, czyl ukłd eozczoy, posdjący eskończee wele rozwązń. Met.Numer. wykłd 6 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Mcerz trójkąt defcj Mcerz trójkątą zywmy mcerzą trójkątą dolą (górą), jeżel wszystke elemety d (pod) dgolą są rówe zeru. Mcerz trójkąt dol Mcerz trójkąt gór Met.Numer. wykłd 6 6 8
9 -4-4 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Olczee wyzczk mcerzy trójkątej sprowdz sę do wymoże elemetów leżących główej przekątej: det( L ) l, l, l,... l, det( U ) u, u, u,... u, Met.Numer. wykłd 6 7 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Jeżel mcerz A ukłdu rówń z ewdomym A= jest mcerzą trójkątą (dolą lu górą), to rozwąze tkego ukłdu rówń moż uzyskć wykoując młą lczę dzłń rytmetyczych przy młych łędch zokrągleń Ogóle,,,, Met.Numer. wykłd ,,..., 9
10 -4-4 Ukłdy rówń z mcerzą trójkątą Koszt olczeowy: Dl wyzcze wektor leży wykoć M możeń dzeleń orz D dodwń: M D Met.Numer. wykłd 6 9 Metod elmcj Guss Etp perwszy (zwy etpem elmcj do przodu zmeych) Wymgych jest - kroków elmcj Met.Numer. wykłd 6
11 -4-4 Metod elmcj Guss Krok. Od drugego wersz odejmujemy perwszy podzeloy przez pomożoy przez Met.Numer. wykłd 6 Otrzymujemy: Metod elmcj Guss Podoe postępujemy z pozostłym werszm:... gdze: Met.Numer. wykłd 6
12 -4-4 Metod elmcj Guss Krok. Powtrzmy procedurę kroku dl trzecego wersz Otrzymujemy:... Met.Numer. wykłd 6 Po kroku otrzymujemy Metod elmcj Guss... " " " " " "... Met.Numer. wykłd 6 4
13 -4-4 Metod elmcj Guss Pod koec kroku - ukłd rówń przyer postć: " " " Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss Po przeprowdzeu - kroków elmcj zmeych otrzyme rów możemy zpsć w postc mcerzy: " " ( ) " (- ) Otrzym mcerz jest mcerzą trójkątą! Met.Numer. wykłd 6 6
14 -4-4 Metod elmcj Guss Etp drug zwy postępowem odwrotym (podstweem wsteczym) Poewż otrzym mcerz jest mcerzą trójkątą korzystmy ze wzorów: ( ) ( ),, j... j j, dl dl,...,,..., Met.Numer. wykłd 6 7 Metod elmcj Guss Metod elmcj Guss koszt olczeowy Łącz lość możeń dzeleń: M Łącz lość dodwń: D 6 Met.Numer. wykłd 6 8 4
15 -4-4 Metod elmcj Guss - przykłd Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) Prędkość rkety zostł przylżo welomem: v t t t, t. Zleźć współczyk,, metodą elmcj Guss prędkość w chwl t = 6 s Met.Numer. wykłd 6 9 Metod elmcj Guss - przykłd v t t t t t t t t t t s, v() 6,8 m / s t 8s, v() 77, m / s t s, v() 79, m/ s, t. v v v Met.Numer. wykłd 6
16 -4-4 Metod elmcj Guss - przykłd Podzelć rówe przez pomożyć przez Odjąć wyk od rów r Otrzymujemy Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss - przykłd Podzelć rówe przez pomożyć przez Odjąć wyk od rów r Po perwszym kroku elmcj Met.Numer. wykłd 6 6
17 -4-4 Metod elmcj Guss - przykłd Podzelć rówe przez -4.8 pomożyć przez Odjąć wyk od rów r Po drugm kroku elmcj Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss - przykłd Elmcj wstecz Olcze Met.Numer. wykłd 6 4 7
18 -4-4 Metod elmcj Guss - przykłd Olcze Met.Numer. wykłd 6 Metod elmcj Guss - przykłd Olcze Met.Numer. wykłd 6 6 8
19 -4-4 Metod elmcj Guss - przykłd Rozwąze: v t t t.947 t 9.69t.87, t v m/s. Met.Numer. wykłd 6 7 Metod elmcj Guss Wdy metody: Może stąpć ztrzyme procesu olczeń w powodu dzele przez zero. Jest szczególe podt rste łędu zokrągle. Zlety metody: Lcz wykoywych dzłń w metodze elmcj Guss jest ez porów mejsz ż przy pomocy wzorów Crmer W przypdku rówń: M=4 możeń w metodze elmcj Guss M= dl wzorów Crmer Mszy cyfrow wykoując 6 możeń sekudę:, s w metodze elmcj Guss pod rok dl wzorów Crmer Met.Numer. wykłd 6 8 9
20 -4-4 Metod elmcj Guss Dzelee przez zero może wystąpć podczs kżdego kroku elmcj zmeych w stępym kroku, dzelee przez zero Met.Numer. wykłd 6 9 Metod elmcj Guss Ukłd rówń: Rozwąze dokłde Rozwąze z dokłdoścą 6 cyfr dzesętych w kżdym kroku Rozwąze z dokłdoścą cyfr dzesętych w kżdym kroku Met.Numer. wykłd 6 4
21 -4-4 Metod elmcj Guss Metod elmcj Guss-Crout (g. prtl pvotg) - z częścowym wyorem elemetu podstwowego Zpoeg dzeleu przez zero. Zmejsz łąd umeryczy. Elemetem podstwowym zywmy te elemet mcerzy A, z pomocą którego elmujemy zmeą z dlszych rówń. Dotychczs jko elemety podstwowe wyerlśmy elemet leżący dgol kk Stosując częścowy wyór elemetu podstwowego wyermy te z elemetów k-tej kolumy w k-tej mcerzy, który m jwększy moduł. Przez zmę kolejośc werszy w mcerzy moż uzyskć elemet podstwowy leżący dgol Met.Numer. wykłd 6 4 Metod elmcj Guss Przykłd : Wrtośc w perwszej kolume to:, 64, Zm wersz trzecego z perwszym Met.Numer. wykłd 6 4
22 -4-4 Metod elmcj Guss Przykłd : Wrtośc w perwszej kolume to:, 64, Zm wersz trzecego z perwszym Met.Numer. wykłd 6 4 Metod Guss Crout w olczu wyzczków Olczyć wyzczk mcerzy [A] A Po elmcj Guss B Użytecze twerdzee: Jeżel mcerz B powstje z mcerzy A przez dode lu odjęce od jedego wersz ego wersz pomożoego przez lczę to e zme to wyzczk det(a)=det(b)= (-4,8) (.7)=-84, Met.Numer. wykłd 6 44
23 -4-4 Metod Guss Crout w olczu wyzczków Po zstosowu metody częścowego wyoru elemetu podstwowego otrzymlśmy mcerz[c] C Użytecze twerdzee: Jeżel mcerz B powstje z mcerzy A przez przestwee jedego wersz z drugm to zme sę tylko zk wyzczk det(c)=(-)(-)det(b)=44 (.97) (-.)=-84, tu wystąpło dwukrote przestwee werszy Met.Numer. wykłd 6 4 Metod Guss Sedl Ukłd rówń z ewdomym: Met.Numer. wykłd 6
24 -4-4 Metod Guss Sedl Przeksztłcee rówń do postc:,,,,, z rów z rów z -, z rów Met.Numer. wykłd 6 4 Metod Guss Sedl Postć ogól dl - tego rów j j j j,,,,. Jest to metod tercyj Met.Numer. wykłd 6 4
25 -4-4 Metod Guss Sedl Zkłdmy początkowe wrtośc od do podstwmy je do wcześej przeksztłcoych rówń Olczmy łąd względy uzyskych owych wrtośc: ew old ew - Procedurę powtrzmy tercyje ż do uzysk odpowedego wrtośc o zdwljącym łędze. Met.Numer. wykłd 6 6 Metod Guss - Sedl Przykłd: Czs t (s) Prędkość (m/s) Prędkość rkety zostł przylżo welomem: v t t t Zleźć współczyk,, metodą Guss-Sedl prędkość w chwl t = 6 s, t. Met.Numer. wykłd 6 7
26 -4-4 Metod Guss Sedl Postć rów: t t t t t t v v v Po wstweu dych: Wrtośc przyjęte do perwszej tercj: Met.Numer. wykłd 6 8 Metod Guss Sedl Przeksztłcee rówń: Met.Numer. wykłd 6 9 6
27 -4-4 Metod Guss Sedl Perwsz tercj: () () Met.Numer. wykłd 6 6 Metod Guss Sedl Zjdowe łędu względego perwszej tercj: ew old ew % Wyk perwszej tercj: %.% Mksymly łąd względy to.47% Met.Numer. wykłd 6 6 7
28 -4-4 Metod Guss Sedl Drug tercj: Wyk perwszej tercj: Met.Numer. wykłd 6 6 Metod Guss Sedl Zjdowe łędu względego drugej tercj: % 8.69% 8.4% Mksymly łąd względy to 8.7% Met.Numer. wykłd 6 6 8
29 -4-4 Metod Guss Sedl Itercj % % % Wyk kolejych tercj różą sę zcze od prwdłowych: Kedy ztem t metod jest zeż? Met.Numer. wykłd 6 64 Metod Guss Sedl Jeżel mcerz jest sle dgole domując to metod Guss-Sedl jest zeż j j, j dl wszystkch j j, j przyjmej dl jedego Met.Numer. wykłd 6 6 9
30 -4-4 Metod Guss Sedl Przykłd mcerzy dgole domującej Met.Numer. wykłd 6 66 Rozkłd LU Rozkłd LU to kolejy sposó rozwąze ukłdu rówń z ewdomym A Mcerz A moż przedstwć jko: A LU gdze: L dol mcerz trójkąt U gór mcerz trójkąt Met.Numer. wykłd 6 67
31 -4-4 Rozkłd LU Zpsując ukłd rówń: Zkłdjąc że: A A X L U C L U X C Możąc przez: L L L U X L C L C Z le: L L I I U X L C L Z C mcerz jedostkow le: ztem: I U U X U L C U X Z Met.Numer. wykłd 6 68 Rozkłd LU U X L C Moż zpsć U X Z L C Z L Z C Met.Numer. wykłd 6 69
32 -4-4 Rozkłd LU Jeśl dy jest ukłd rówń: A Nleży dokoć dekompozycj mcerzy A mcerze L orz U Rozwązć ukłd rówń w poszukwu mcerzy Z: L Rozwązć ukłd rówń w poszukwu mcerzy X: X Z C C U X Z Met.Numer. wykłd 6 7 Rozkłd LU Dekompozycj mcerzy A L orz U: A L U u u u u u u U jest mcerzą wyzczą podczs perwszego etpu elmcj Guss L jest mcerzą współczyków użytych podczs perwszego etpu elmcj Guss Met.Numer. wykłd 6 7
33 -4-4 Rozkłd LU - przykłd Ay odleźć ksztłt oektu z orzów powerzch w trzech kerukch, trze rozwązć p. stępujący ukłd rówń:,4,7,4,7,97,97, Po prwej stroe zjdują sę tęże śwtł od środk orzu. Mcerz współczyków zleży od keruku źródł śwtł w stosuku do prtu. Newdomym są tesywośc orzu, które ędą określć ksztłt oektu. Odjdzemy wrtośc,, z pomocą dekompozycj LU Met.Numer. wykłd 6 7 Rozwąze: Rozkłd LU przykłd cd. A L U u u u u u u Poszukujemy mcerzy [L] [U]. Mcerz [U] wyzczymy metodą elmcj Guss. Met.Numer. wykłd 6 7
34 -4-4 Rozkłd LU - przykłd Krok perwszy: wersz wersz,4 (),4,7,4,7,97,97,948 wersz wersz,4 (,7),4,4,7,97,97,887 Met.Numer. wykłd 6 74 Rozkłd LU - przykłd Krok drug: wersz wersz,4 (,7),4,4,97,97,886 Mcerz współczyków [U] wyos: U,4,4,97,97,886 Wyzczmy mcerz [L]: [ L] Met.Numer. wykłd 6 7 4
35 -4-4 Rozkłd LU - przykłd Zjdowe mcerzy L: z perwszego,4 kroku zjdow mcerzy U,7,4,9796 z drugego kroku zjdow mcerzy U,7,4,9796 Met.Numer. wykłd 6 76 Rozkłd LU - przykłd Kedy mcerze [L] [U] są ze, spróujemy rozwązć ukłd [L][Z]=[C]:,9796,9796 z z z z z z z ( 7,,9796) z (,9796) z Met.Numer. wykłd 6 77
36 -4-4 Rozkłd LU - przykłd [ Z] z z z , Zjąc już [Z] rozwązujemy ukłd [U][X]=[Z],4,4,97,97, , Met.Numer. wykłd 6 78 Rozkłd LU - przykłd Rozwązując ukłd rówń:,4,4,886 ( (,97),97) 7, otrzymmy szuky wektor :,9 4,8 4,9 Met.Numer. wykłd
37 -4-4 Rozkłd LU - przykłd Zde domowe: Rozwązć ukłd opsujący -fzowy owód AC: Met.Numer. wykłd 6 8 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Jeśl mcerz A ukłdu rówń jest mcerzą symetryczą dodto określoą to jej dekompozycj LU m prostszą postć zywą dekompozycją Choleskego Met.Numer. wykłd 6 8 7
38 -4-4 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Mcerz trójkąt gór U m tką smą zwrtość elemetową jk mcerz trójkąt dol L. Wyzczyć trze dwukrote mej elemetów mcerzy. Met.Numer. wykłd 6 8 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Poszczególe elemety mcerzy L są wyzczoe wg zleżośc: l,, j, j l, kl j, k k l, j l, j,,..., j, j l,, l, k,,,..., N k Met.Numer. wykłd 6 8 8
39 -4-4 Szczególy przypdek dekompozycj LU - dekompozycj Choleskego Ay przeprowdzć rozkłd LL T leży wykoć: M D 6 6 Opercj może dzele Opercj dodw odejmow olczeń perwstk kwdrtowego Met.Numer. wykłd 6 84 Prolem włsy pojęc podstwowe Często przy tworzeu model mtemtyczych wykorzystywych do symulcj zjwsk fzyczych czy zchow sę ukłdu, zchodz potrze rozwąz tzw. prolemu włsego: A k k k A -A jest mcerzą kwdrtow o wymrch - k jest wektorem włsym mcerzy odpowdjącej wrtośc włsej λ k Met.Numer. wykłd 6 8 9
40 -4-4 Prolem włsy pojęc podstwowe Cąg wszystkch wrtośc włsych zywmy wdmem mcerzy A ozczmy Sp(A). Z defcj wrtośc wektor włsego wyk: ( A I) Mcerz (A-λI) jest osolw, węc: det( A I) Wyzczk te jest welomem stop zmeej λ: w( ) det( A I) ( ) (... ) Met.Numer. wykłd 6 86 Prolem włsy pojęc podstwowe Dl dowolej mcerzy A steje mcerz eosolw P (któr może meć elemety zespoloe) zchodz pomędzy m zwązek: P AP J... J J k J k Powyższ mcerz defuje postć koczą Jord: k,,...k - jest wrtoścą włsą mcerzy A może wystąpć w welu mcerzch J k Met.Numer. wykłd
41 -4-4 Twerdzee Cyley-Hmlto Jeśl: w( ) det( A I) jest rówem chrkterystyczym mcerzy A to: w(a) Met.Numer. wykłd 6 88 Metod Kryłow poszukw zer rów chrkterystyczego w( ) Korzystjąc z poprzedego twerdze: w( A) A A Co dl dowolego wektor y dje: A y A Ukłd rówń ewdomych:,,,..., y Do jego utworze potrze jedk olczeń orz /* y go rozwązć Met.Numer. wykłd
42 -4-4 Wyzcze wrtośc włsych metodą LR W metodze tej tercyje przeksztłcmy mcerz A uzyskując cąg: A A A... A m w którym ostt elemet stow mcerz trójkątą górą. Elemety dgole mcerzy A m stową tomst cąg wrtośc włsych mcerzy A czyl lm ( ) jj j Met.Numer. wykłd 6 9 Wyzcze wrtośc włsych metodą LR W kżdej tercj wyzczmy rozkłd A loczy mcerzy trójkątej dolej L z jedykm dgol orz mcerzy trójkątej górej R: A L R Przeksztłcmy mcerz w stępujący sposó: Mcerze A orz A + są podoe A L R R L Rozkłd LR może e steć /lu jego zlezee jest źle uwrukowe A A L R, L R L A L AL R, A R R AR L Met.Numer. wykłd 6 9 4
43 -4-4 Wyzcze wrtośc włsych metodą QR Metod wywodz sę z metody LR, przy czym mcerz L zstąpoo mcerzą ortogolą Q przez co metod jest stl umerycze. A A A A Q R R Q Q H Q I gdze: R jest mcerzą trójkątą górą, Q jest mcerzą ortogolą. Met.Numer. wykłd 6 9 Wyzcze wrtośc włsych metodą QR W metodze QR otrzymujemy cąg mcerzy: A A A... A m Mcerze te są do see podoe węc mją te sme wrtośc włse. Jeśl m jest duże wówczs spodzewmy sę że dgol A m ędą zjdowć sę wrtośc włse A. Wdą metody QR jest wol zeżość dl mcerzy pełych. Metod jest szykozeż dl mcerzy rzdkch (mcerzy trójdgolych mcerzy Hesseerg) Met.Numer. wykłd 6 9 4
44 -4-4 Mcerze rzdke Mcerzą rzdką zywmy mcerz, w której wększość elemetów m tką smą wrtość, jczęścej zerową. Rzdke mcerze występują w procese rozwązyw welu rówń z dzedzy teor sec elektryczych systemów eergetyczych, geetyk, socjolog, teor grfów td. Met.Numer. wykłd 6 94 Mcerze rzdke Rzdke mcerze przechowuje sę w pmęc w postc upkowej (tz. e przechowuje sę w pmęc elemetów zerowych). Tk form pozwl przetwrze wększych mcerzy, ż yły to możlwe w trdycyjy sposó. W ektórych przypdkch czs przetwrz mcerzy zmejsz sę dodtkowo z tego powodu, że pkowe elmuje olcze trywle, przykłd możee przez zero. Met.Numer. wykłd
45 -4-4 Redukcj mcerzy Jeśl λ jest wrtoścą włsą mcerzy A odpowdjącym jej wektorem włsym orz dl dowolego wektor v o włsośc: v T Mcerz zredukow: W A v T M te sme wrtośc co mcerz A oprócz λ, któr jest zerem. Met.Numer. wykłd 6 96 Redukcj mcerzy metod Hotellg Metod jest skutecz tylko w przypdku mcerzy symetryczych: v Mcerz zredukow: T W A Met.Numer. wykłd
46 -4-4 Redukcj mcerzy metod Weldt Wektor v defujemy stępująco: Mcerz zredukow: W v T A j ( j) A T j A v A ( j) j-ty wersz mcerzy W jest rówy zero Aj ( W ) j Aj ( j) Met.Numer. wykłd 6 98 Uogóloy prolem włsy Uogóloy prolem włsy defujemy stępująco: A B A B są mcerzm kwdrtowym SPROWADZAMY RÓWNANIE DO ZWYKŁEGO PROBLEMU WŁASNEGO B A C JAK ZNALEŹĆ B -? Met.Numer. wykłd
47 -4-4 Uogóloy prolem włsy W przypdku, gdy B orz A są mcerzm symetryczym możemy posłużyć sę rozkłdem Choleskyego B BB B LL T I ( L T ) T T LL ( L ) L Wykorzystując rozkłd LL T moż zleźć mcerz podoą do B - A L L T ( B A)( L T ) L T ( L T ) L A( L ) T L G A( L ) T Met.Numer. wykłd 6 Uogóloy prolem włsy Dzęk temu przeksztłceu, mcerz G jest symetrycz jk A posd detycze wdmo wrtośc włsych. Jk zleźć G? Njperw leży zleźć mcerz F: Rozwązując ukłd rówń: A stępe wyzczmy G: Rozwązując ukłd rówń: F A( L ) FL T A G L F LG F T Rozkłd LL T wymg wyko /6* możeń wyzczee mcerzy G /* możeń. Mcerz G jest symetrycz węc w celu wyzcze jej wrtośc wektorów włsych korzystmy z metod przezczoych dl tej klsy mcerzy. Met.Numer. wykłd 6 47
METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.
ETODY NUERYCZNE Wykłd 6. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych dr hb. iż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH et.numer. wykłd 6 Pl etody dokłde etod elimicji Guss etod Guss-Seidl Rozkłd LU et.numer. wykłd 6 Ukłd rówń
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.
CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
Rozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,
utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem
Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 1. Metody obliczeniowe
Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch t, y zde mogło yć rozwąze przez omputer. Rozwązywe ułdów rówń lowych.
Metody obliczeniowe. Semestr II
Metody olczeowe Semestr II Metody umerycze - sposoy rozwąz zd mtemtyczego z pomocą operc lczch. Rozwązywe ułdów rówń lowych. Metody ezpośrede tercye.. Sposoy rozwązyw rówń elowych, zgdee optymlzc.. Aprosymc
Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle
data utworzenia: styczeń 2006, data modyfikacji: styczeń 2011 WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH
Słwomr Mlewsk Metody umerycze kospekt dt utworze: styczeń 6, dt modyfkcj: styczeń WSTĘP DO METOD NUMERYCZNYCH Metodą umeryczą zyw sę kżdą metodę oblczeową sprowdzlą do opercj rytmetyczych dodw, odejmow,
Rys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
Całkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
Macierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Rozkłady prawdopodobieństwa 1
Rozkłdy rwdoodoeństw Rozkłdy rwdoodoeństw. Rozkłdy dyskrete cągłe. W rzydku rozkłdu dyskretego określmy wrtośc rwdoodoeństw dl rzelczlej skończoej lu eskończoej lczy wrtośc zmeej losowej. N.... wszystke
Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa
/ WYKŁD. Wyzzik mierzy: defiij idukyj i permutyj. Włsośi wyzzików, rozwiięie Lple', wzór Srrus. Mierz odwrot i sposoy jej wyzzi. GENEZ WYZNCZNIK Ukłd rówń liiowyh z dwiem iewidomymi, y x y x Rozwiązi ukłdu
ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.
AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy
Metody numeryczne procedury
Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -
Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Poltechnk Gdńsk Wydzł Elektrotechnk Automtyk Ktedr Inżyner Systemów Sterown Teor sterown Podstwy lgebry mcerzy Mterły pomocncze do ćwczeń lbortoryjnych 1 Część 3 Oprcowne: Kzmerz Duznkewcz, dr hb. nż.
Algebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka
lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz
11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów
. Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc
Metody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak
Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest
dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ
![[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ](/thumbs/96/127543761.jpg "[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ")
I UKŁAD RÓNAŃ Defiicj Ukłd rówń liiowych z iewidoyi,,., : Defiicj Postć cierzow ukłdu rówń: A, lu krócej A, gdzie: A,,. Mcierz A zywy cierzą ukłdu rówń, wektor zywy wektore wyrzów wolych (koluą wyrzów
METODY KOMPUTEROWE 11
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Mchł PŁOTKOWIAK Adm ŁOYGOWSKI Konsultcje nukowe dr nż. Wtold Kąkol Poznń / METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Metod wżonych rezduów jest slnym nrzędzem znjdown
Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. róŝniczkowanie przybliŝone całkowanie numeryczne
Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Metody olczeowe wykłd r 4 róŝczkowe przylŝoe cłkowe umerycze Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Perwsz pochod ukc Ozcze: - ukc określo
MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Regresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
![MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic](/thumbs/26/7422983.jpg "MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic")
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Podstawy informatyki 2. Podstawy informatyki 2. Wykład nr 6 ( ) Plan wykładu nr 6. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny
Podstwy formty Wyłd r / Podstwy formty Pl wyłdu r etody tercyje rozwązyw ułdów rówń lowych: metod tercj prostej (Jcobego) metod Guss-Sedel Poltech Błostoc - Wydzł Eletryczy Eletrotech, semestr II, stud
Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Metody numeryczne w przykładach
Metody umerycze w przyłdch Podręcz Poltech Lubels Poltech Lubels Wydzł Eletrotech Iformty ul. Ndbystrzyc 38A -68 Lubl Bet Pńczy Edyt Łus J Sor Teres Guz Metody umerycze w przyłdch Poltech Lubels Lubl Recezet:
Metoda prądów obwodowych
Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr.........
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI prowdząc(y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ r......... pory wykoo
Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Nr: 1. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. różniczkowanie przybliżone całkowanie numeryczne
r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Metody olczeowe wyłd r różczowe przylżoe cłowe umerycze r: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wyłd r Perwsz pocod uc Perwsz pocod uc dec: ' lm Ozcze:
Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO
Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi
Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak
Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
a a = 2 S n = 2 = r - constans > 0 - ciąg jest malejący q = b1, dla q 1 S n 1 CIĄGI jest rosnący (niemalejący), jeżeli dla każdego n a n
CIĄGI ciąg jest rosący (iemlejący), jeżeli dl kżdego < ( ) ciąg jest mlejący (ierosący), jeżeli dl kżdego > ( ) ciąg zywmy rytmetyczym, jeżeli dl kżdego r - costs - r > 0 - ciąg rosący - r 0 - ciąg stły
Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Matematyka Finansowa
Egzm dl Akturuszy z 5 mrc 0 r. Mtmtyk Fsow Zd Krok : Ay koc roku yło co jmj ml K mus spłć rówość: 000000 50 000 K 50 000 000000 K Krok : Lczymy st kot koc roku zkłdjąc, Ŝ koc roku mmy ml 000000 50 5000
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)
etody Numerycze i Progrmowie Stro z Wykłd. Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych () etody dokłde rozwiązywi ukłdów rówń liiowych etody dokłde pozwlą uzyskie rozwiązi w skończoe liczbie kroków obliczeiowych.
Lista 6. Kamil Matuszewski X X X X X X X X X X X X
Lsta 6 Kaml Matuszewsk 9..205 2 3 4 5 6 7 9 0 2 3 4 5 6 7 X X X X X X X X X X X X Zadae Lewa stroa: W delegacj możemy meć od do osób. Wyberamy ( k) osób a k sposobów wyberamy przewodczącego. k =.. węc
I. APROKSYMACJA I INTERPOLACJA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Oprcowł: mgr Słwomr Mlewsk Smodzely Zkłd Metod Komputerowych w Mechce L6, WL, PK APROKSYMACJA NTERPOLACJA FUNKCJ JEDNEJ ZMENNEJ Ogóle zgdee proksymcj moż opsć stępująco: De są pukty leżące ądź to do wykresu
CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.
CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.
METODY NUMERYCZNE. Wykład 5. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer. wykład 5 1
METODY NUMERYCZNE Wykłd 5. Cłkowie umeryze dr. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Met.Numer. wykłd 5 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rirdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss
Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń
1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA
.4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,,
R, R, R n itd. przestrzenie wektorowe, których elementami są wektory określone przez długość, kierunek i zwrot.
WYKŁAD. PRZESTRZENIE AFINICZNE, PROSTA. PŁASZCZYZNA. E PRZESTRZENIE AFINICZNE y P(,, c) x z E, E, E d. - rzesrzee ukoe, kórych elemem są uky ose rzy omocy sółrzędych, j. ukłdó lcz rzeczysych osc (, ),
Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej
Isttt Atomt Iformt Stosowe Poltech Wrszwse Algortm predce w wers ltcze z efetwm mechzmem względ ogrczeń wść Potr Mrs Pl prezetc. Wstęp. Algortm reglc predce 3. Uwzględe ogrczeń łoŝoch sgł sterąc 4. Uwzględe
Sposoby wyznaczenia błędu bezwzględnego. Pomiar bezpośredni. Pomiar pośredni. f x. f x. f x. f x. x n = =
Pomr jego dokłdość. Kżdy pomr dje m wyk z pewą ylko dokłdoścą, węc obcążoy je epewoścą pomrową (błędem pomrowym). Pomry fzycze dzelmy : bezpośrede pośrede. Pomrm bezpośredm zywmy ke, kórych wrość lczbową
STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
MACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Automatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze
Algorytmy metod numerycznych. Monika Chruścicka
Algoryty etod ueryczych Mok Chruścck Ktolck Uwersytet Luelsk J Pwł II Wydzł Nuk Społeczych, Istytut Ekoo Streszczee Artykuł zwer chrkterystykę etod ueryczych orz podstwowych lgorytów etod ueryczych. Przedstwoe
VIII. RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE
VIII. RÓŻICZKOWAIE UMERYCZE Z defcj pocodej wey, że f ( x+ ) f ( x) f ( x) = ( ), >. (8.) Fucję f(x + ) ożey rozwąć przez zstosowe wzoru ylor: + f x f x f x f x + ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + K + f ( x) +
POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
( ) Elementy rachunku prawdopodobieństwa. f( x) 1 F (x) f(x) - gęstość rozkładu prawdopodobieństwa X f( x) - dystrybuanta rozkładu.
Elementy rchunku prwdopodoeństw f 0 f() - gęstość rozkłdu prwdopodoeństw X f d P< < = f( d ) F = f( tdt ) - dystryunt rozkłdu E( X) = tf( t) dt - wrtość średn D ( X) = E( X ) E( X) - wrncj = f () F ()
DOBÓR LINIOWO-ŁAMANEGO ROZDZIAŁU SIŁ HAMUJĄCYCH W SAMOCHODACH DOSTAWCZYCH
Zgnew Kmńsk DOBÓ INIOWO-ŁMNEO OZDZIŁU SIŁ HMUJĄCYCH W SMOCHODCH DOSTWCZYCH Streszczene. W rtykule opsno sposoy dooru lnowo-łmnego rozdzłu sł mującyc w smocodc dostwczyc według wymgń egulmnu 3 ECE. Przedstwono
ELEMENTÓW PRĘTOWYCH. Rys.D3.1
DODATEK N. SZTYWNOŚĆ PZY SKĘANIU ELEMENTÓW PĘTOWYH Zgdieie skręci prętów m duże zczeie prktycze. Wyzczeie sztywości pręt przy skręciu jest iezęde do określei skłdowych mcierzy sztywości prętów rmy przestrzeej
PROGRAMOWANIE LINIOWE.
Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH
BADANIE DRGAŃ RELAKSACYJNYCH Ops ukłdu pomrowego Ukłd pomrow skłd sę z podstwowch częśc: dego geertor drgń relkscjch, zslcz geertor, geertor odese (drgń hrmoczch), oscloskopu. Pokz rsuku schemt deow geertor
Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Równania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3)
ownn oznczkowe Równn óżnczkowe. Wstę Równne óżnczkow nzw ównne zwejące funkcje newdoe zenne nezleżne oz ocodne funkcj newdoc lu c óżnczk. Pzkłd d 5 d d sn d. d d e d d d. z z z z. ównne óżnczkowe zwczjne
Indukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana
ISSN 733-867 ZESZ NAUKOWE NR (83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-ECHNICZNA E X L O - S H I 6 Andrzej Stteczny, Andrzej Lsj, Chfn Mohmmd Fzj dnych nwgcyjnych w przestrzen
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH
METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss Cłkowie umeryze -
O JEDNOZNACZNOŚCI ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO W OBSZARZE ANIZOTROPOWYM I NIESTACJONARNYM
ELEKTRYK 4 Zeszy 4 3 Rok LX Drsz PŁEK Polechk Śląsk w Glwcch O JEDNOZNCZNOŚCI ROZWIĄZŃ RÓWNŃ POL ELEKTROMGNETYCZNEGO W OBZRZE NIZOTROPOWYM I NIETCJONRNYM reszczee. rykł prezeje rozwż eoreycze, doyczące
ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW
1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Woskowe sttstcze - egesj koelcj teść Wpowdzee Regesj koelcj low dwóch zmech Regesj koelcj elow - tsfomcj zmech Regesj koelcj welokot Wpowdzee Jedostk zoowośc sttstczej mogą ć chktezowe
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
instrukcja do ćwiczenia 5.1 Badanie wyboczenia pręta ściskanego
5.Bde wocze pręt śckego UT-H Rdom Ittut Mechk Stoowej Eergetk Lortorum Wtrzmłośc Mterłów trukcj do ćwcze 5. Bde wocze pręt śckego I ) C E L Ć W I C Z E N I A Celem ćwcze jet dośwdczle wzczee metodą Southwell
5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,
Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.
METODY NUMERYCZNE Wykłd 4. Numeryczne rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą dr hb.nż. Ktrzyn Zkrzewsk, pro.agh Met.Numer. Wykłd 4 Rozwązywne równń nelnowych z jedną newdomą Nleży znleźć perwstek równn
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Metody numeryczne. Wykład nr 3. dr hab. Piotr Fronczak
Metody erycze Wykłd r dr h. Piotr Froczk Pojęci podstwowe Rozwiązywie kłdów gericzych rówń iiowych. Ukłd gericzych rówń iiowych Ukłd iiowy rówń z iewidoyi postci + + = + + = + + = Postć cierzow A = . Mcierz
PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Podprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
EKONOMIA MENEDŻERSKA. Wykład 2 Analiza popytu. Optymalna polityka cenowa. 1 ANALIZA POPYTU. OPTYMALNA POLITYKA CENOWA.
Wykłd Anlz popytu. Optymln poltyk cenow. 1 ANALIZA OYTU. OTYMALNA OLITYKA CENOWA. rzedmotem wykłdu jest prolem zrządzn zyskem poprzez oprcowne wdrożene odpowednej strteg różncown cen, wykorzystując do
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
PRZEPŁYWY MIĘDZYGAŁĘZIOWE. tablica przepływów międzygałęziowych
PRZEPŁYWY IĘDZYGŁĘZIOWE. [] Jeą z meto lzy zleŝośc wystęuących w rocesch tworze ozłu roukc mterle są metoy rzeływów męzygłezowych (lzy kłów wyków, lzy utoutut). zł Elemetrym osem ukłu est tut tzw. tlc