VIII. RÓŻNICZKOWANIE NUMERYCZNE

Transkrypt

1 VIII. RÓŻICZKOWAIE UMERYCZE Z defcj pocodej wey, że f ( x+ ) f ( x) f ( x) = ( ), >. (8.) Fucję f(x + ) ożey rozwąć przez zstosowe wzoru ylor: + f x f x f x f x + ( + ) = ( ) + ( ) + ( ) + K + f ( x) + f ( + )! ( + )! gdze (x, x + ). Podstwjąc to rozwęce do wzoru (8.) y + ( ) + ( + ) ( ϑ ), ( ) = τ + τ + τ + K + τ + α ( ), (8.) + gdze τ = f ( x), τ = ( + ) f ( x) = ( + )!,,, K,. Podoe, f ( x+ ) f ( x ) f ( x) = ( ) jeśl zstosujey rozwęce ylor do fucj f(x + ) f(x!), to otrzyy + ( ) = τ + τ + K + τ + α ( ), (8.) + gdze τ = f ( x), τ = ( + ) f ( x) = ( + )!,,, K,. Jeśl we wzorc (8.) (8.) zedy resztę, to fucję () ożey trtowć jo welo zeej (we wzorze (8.)) lu zeej (we wzorze (8.)). W ou przypdc y τ = f ( x) w celu wyzcze tej welośc stosuje sę etodę Roerg. ec ozcz pewe dy ro ec =, =, K, =, p p p

2 VIII. Różczowe uerycze 97 gdze p ( =,,..., ) ozczją róże lczy cłowte tworzące cąg rosący. rtując długośc roów jo węzły terpolcj, wrtośc df = ( ), =,, K,, jo wrtośc w węzłc, ożey zudowć welo terpolcyjy zeej (dl wzoru (8.)) lu zeej (dl wzoru (8.)). W drug przypdu welo postć speł wrue ( )= τ + τ + K + τ df ( ) = ( ), =K,,,. Wrtość ( ) jest dory przylżee pocodej. Może yć o olczo z poocą lgorytu evlle :,, =, +,. (8.4) Zwyle przyjujey = wówczs wzór (8.4) postć = +,,, 4.

3 IX. CAŁKOWAIE UMERYCZE 9.. Wprowdzee Często olczee cł, czyl wyzczee fucj perwotej, jest etod ltyczy rdzo trude lu eożlwe. Podto, jeśl fucj podcłow jest oreślo z poocą tlcy, to pojęce fucj perwotej trc ses wówczs ożey olczyć jedye przylżoą wrtość cł. Gdy przedzł cłow jest sończoy, to wele sposoów przylżoego olcz cłe poleg ty, że fucję podcłową F(x) zstępujey fucją terpolcyją (x), tórą oż łtwo cłowć. Jeśl, przyłd, (x) ozcz welo terpolcyjy Lgrge dl fucj F(x) z węzł terpolcj x, x,..., x, tz. x xj ϕ( x) = L( x) = F( x), x x = j = j j to ozczjąc Φ ( x)= j = j x x x j x j podstwjąc w ejsce fucj podcłowej F(x) welo (x) otrzyy Jeśl = F( x) dx ϕ( x) dx = A F( x ), gdze A = Φ ( x) dx. F( x) ϕ( x) < ε x [, ], to = F( x) dx A F( x ) = ( F( x) ϕ( x)) dx F( x) ϕ( x) dx ε( ). Zte ożey olczyć cłę z dowolą dołdoścą, jeśl tylo fucję F(x) oż przylżyć weloe z dowolą dołdoścą. Oprócz weloów oż stosowć e fucje terpolcyje, przyłd fucje wyere trygooetrycze. Podoy wzór przylżoego cłow otrzyy, gdy przedzł cłow podzely podprzedzły w żdy podprzedzle zstosujey ww. sposó cłow. Gdy fucj F(x) osolwośc utrudjące dore przylżee ( przyłd, gdy jest eogrczo lu w przedzle cłow e steją jej pocode sego rzędu), to opsy

4 9.. Ogóly wzór cłow ueryczego 99 sposó cłow oż zodyfowć. W tc przypdc fucję F(x) przedstwy w postc loczyu F(x) = p(x)f(x), gdze f(x) ozcz fucję, tórą oż dorze przylżyć, fucj p(x) wszele osolwośc fucj podcłowej utrudjące to przylżee. Wówczs fucj (x) ozcz welo terpolcyjy dl fucj f(x), tj. = F( x) dx = p( x) f ( x) dx p( x) ϕ( x) dx = A f ( x ), gdze A = p( x) Φ ( x) dx. Sposó te stosuje sę też do olcz cłe o esończoy przedzle cłow. Fucj p(x) oreśl wówczs szyość le fucj F(x), gdy x ±. 9.. Ogóly wzór cłow ueryczego Do przylżoego olcz cłe ędzey stosowć wzory postc I( f ) = p( x) f ( x) dx (9.) S( f ) = A f ( x ), x [, ], = (9.) gdze współczy A e zleżą od fucj f(x). Wzór (9.) zywy wdrturą, puty x węzł wdrtury. Fucję p(x) zywy fucją wgową lu róto wgą. Przy wyprowdzu wzorów postc (9.) fucję wgową ędzey uwżć z ustloą. Błąd wdrtury ozczy przez E(f), tj. E( f ) = I( f ) S( f ). Z ryteru dołdośc wdrtury przyjuje sę zgodość fucj S(W) I(W), gdze W ozcz welo. Defcj 9.. Mówy, że wdrtur (9.) jest rzędu r, gdy: ) I(W) = S(W) dl wszystc weloów W(x) stop ejszego od r, ) steje welo W(x) stop r, że I(W) S(W) (r $). werdzee 9.. Kwdrtur (9.) jest zeż dl żdej fucj f C[, ] wtedy tylo wtedy, gdy ) jest zeż dl żdego welou, tj. E(W) 6, gdy 6 4, ) steje stł M ezleż od, t że A ( ) M; = K,,. = Dowód tego twerdze pojy. #

5 IX. Cłowe uerycze 9.. Kwdrtury ewto-cotes ec x xj S( f ) = A f ( x), gdze A = p( x) Φ( x) dx Φ ( x) =. x x (9.) = j = j Błąd przylże fucj f(x) weloe terpolcyjy Lgrge L (x) jest postc R ( x) = f ( x) L ( x) = p ( + )! + + gdze > ozcz pewe put pośred przedzłu (, ) orz p+ ( x) = ( x x)( x x) K( x x). ( + ) ( x) f ( ξ), Kwdrtury (9.) z węzł rówoodległy zywy wdrtur ewto-cotes. jwęsze zczee prtycze ją tzw. wzory zęte, w tóryc ońce przedzłu cłow są węzł wg p(x) =. Mją oe postć S( f ) = A f, = gdze (9.4) tt t A = x dx = ( ) ( ) K( ) Φ ( ) dt!( )!, ( t ) przy czy = (!)/ orz f = f( + ). Pożej podjey dwe podstwowe włsośc wdrtur (9.4).. Jeżel lcz jest eprzyst, to wdrtur (9.4) e jest dołd dl wszystc weloów stop + lcz + jest jej rzęde dołdośc. Gdy lcz jest przyst, to wdrtur (9.4) jest dołd dl weloów stop + jej rząd wyos +. Ogóle rząd wdrtury ewto-cotes jest zte dy wzore [/] +, gdze [ ] ozcz część cłowtą.. Jeżel fucj f C r [, ], gdze r = [/]+, to łąd wdrtury oż przedstwć w postc ( r) E( f ) = M f ( ξ), gdze > (, ), współczy M r e zleży od fucj f. Dl = y A = ( t ) dt =, A = tdt =. r j

6 9.. Kwdrtury ewto-cotes Stąd Jest to wzór trpezów. Stosując twerdzee o wrtośc średej dl cłe ożey wyzczyć jego łąd: przy czy f C [, ], > [, ] =!. Dl = otrzyujey sąd S( f ) = ( f + f). ( ) ( ) ( ) E( f ) = ( x )( x ) f ( ξ) dx = f ( ξ ) ( x )( x ) dx = f ( ξ), 4 A =, A =, A =, S( f ) = ( f + 4 f + f). Jest to wzór prol, zwy też wzore Spso, tórego łąd wyos ( ) E( f ) = 5 4 f ( ξ ), (, ), = ξ. 9 W podoy sposó ożey wyprowdzć oleje wzory ewto-cotes (dl olejyc wrtośc ) oreślć c łędy. Jeśl wdrturę zpszey w postc S( f ) = f, s α = to wrtośc współczyów s orz " ędą te, j w poższej tlcy. " s łąd zw wzoru f () (>)/ wzór trpezów f (4) (>)/9 wzór Spso 8 5 f (4) (>)/8 wzór trzec ósyc f (6) (>)/945 wzór Mle f (6) (>)/ f (8) (>)/4 wzór Weddle Dl węszyc wrtośc etóre wrtośc " stją sę ujee wzory są uerycze eużytecze (przy olczu su w pody wyżej wzorze występuje reducj cyfr).

7 IX. Cłowe uerycze 9.4. Kwdrtury złożoe ewto-cotes Defcj 9.. Kwdrturą złożoą zywy wdrturę, tór jest suą wdrtur podprzedzłc. Ay otrzyć wdrturę złożoą leży:! przedzł cłow [, ] podzelć pewą lczę podprzedzłów,! w żdy podprzedzle zstosowć wdrturę sego rzędu wy zsuowć. Podzely przedzł [, ] częśc o długośc = (!)/. Stosując w żdy podprzedzle wzór trpezów y S( f ) = ( f + f+ ) = f + f + K + f + f, = gdze f = f( + ). Jest to tzw. wzór złożoy trpezów. Jeżel f C [, }, to łąd tego wzoru jest rówy ( ) ( ) ( ) E( f ) = f ( ξ ) = f ( ξ ), = gdze > ( +, + ( + )). Poewż śred rytetycz zjduje sę poędzy jejszą jwęszą wrtoścą fucj f () (x) w przedzle [, ] fucj t jest cągł, węc steje put > [, ], t że ( ) ( ) f ξ = f = ( ) ( ξ). Zte E ( f ) ( ) f ( ) = ( ξ). Jeżel przedzł cłow podzely częśc o długośc = (!)/, gdze ozcz lczę przystą w żdy z podprzedzłów [, + ],..., [ + (!), ] o długośc zstosujey wzór prol, po czy wy zsuujey, to otrzyy wzór złożoy prol: / = S( f ) = ( f + 4 f + f) = = [ f + f + ( f + f 4 + K+ f ) + 4( f + f + K+ f )]. Błąd tego wzoru jest rówy E ( f ) ( ) = f ( 4) ( ξ).

8 9.5. Metod Roerg 9.5. Metod Roerg J wey, w celu przylżoego olcze cł oż zstosowć wzór złożoy trpezów gdze = (!)/. Przepszy te wzór w postc ( ) = f( ) + f( + ) + + f( ) + f( ). K (9.5) Dl wzoru (9.5) jest prwdzwe poższe twerdzee. werdzee 9.. Jeżel fucj f C + [, ], to wzór (9.5) posd rozwęce gdze f ( x) dx S( f ) = f + f + K + f + f, 4 + ( ) = τ + τ + τ + K + τ + α+ ( ), (9.6) τ = f ( x ) dx, J ozczją stłe ezleże od orz steje stł M >, t że α + ( ) M dl żdego = (!)/. Dowód pojy. # Jeżel we wzorze (9.6) zedy resztę, to fucję () ożey trtowć jo welo zeej, tóry dl = szuą wrtość J. W celu olcze J oż zstosowć etodę Roerg. ec cąg =, =, K, =, p p gdze {p } ozcz rosący cąg lcz turlyc, ędze cąge długośc roów, dl tóryc olczy df = ( ), =,, K,. (9.7) rtując długośc roów jo węzły terpolcj, welośc jo wrtośc w węzłc, ożey zudowć welo terpolcyjy zeej :

9 4 IX. Cłowe uerycze ( ) = + + K +, df t że ( ) = ( ), =K,,,. Estrpolow wrtość () dorze przylż szuą wrtość cł. Wrtość t oże yć olczo z poocą lgorytu evlle. ec ozcz dl orz ( $ $ $) welo stop zeej ( ), dl tórego ( ) = j, j =, +, K,. Z lgorytu evlle dl estrpolowej wrtośc,, =, + Z poocą tego wzoru ożey utworzyć tlcę postc df = ( ),. otrzyujey wzór (9.8) ( ' ( ' ( ( ' ' 4 ( " ( ' '! þ þ þ w tórej eleet jest szuy przylżee cł. Dl roów o długoścc =! = / eleet przedstw wzór Spso. Z zleżośc (9.7) (9.8) y owe = ( ) = ( ) f + f ( ) ( ), = = + ( ) f + f f ( ) + ( ),

10 9.6. Kwdrtury Guss 5 = + Jeśl =! = /, to eleet przedstw wzór trzec ósyc. W etodze Roerg wyorzystuje sę zwyle stępujące cąg:! cąg Roerg, w tóry! cąg Bulrsc, w tóry ( ) ( ) 4 = ( ) + = ( ) ( ) 4 + = f f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + f + 4 f + f 6 ( ) ( ). =, =, =, =, K, =, =, =, =, 4 =, 5 =, K Ozuje sę, że w przypdu cągu Bulrsc y ejszy łd olczeń dl olcze owej wrtośc ( ) Kwdrtury Guss J wdoo (zo. p. 9.), dl wdrtur ewto-cotes postc S( f ) = A f ( x), A = p( x) Φ ( x) dx, = rząd wyos co jej +. Rozptrzy terz przy ustloej wdze p(x) lcze prole wyoru węzłów współczyów t, y rząd wdrtury ył j jwyższy. Kwdrturę tą zywy wdrturą Guss. Poewż y do wyzcze ( + ) stłyc ( + współczyów + węzłów), leży przypuszczć, że oż je dorć t, y wdrtur ył dołd dl weloów stop ejszego ż ( + ). Dl wdrtur ewto-cotes pozlśy, że współczy żdej wdrtury rzędu co jej + są oreśloe wzore A = p ( x ) Φ ( x ) dx. Wystrczy zte odpowedo wyrć węzły x. W ty celu oecz jest zjoość weloów ortogolyc. (9.9)

11 6 IX. Cłowe uerycze Defcj 9.. Cąg weloów { P ( )} = { P( x), P( x), K, P ( x), K } (9.) zywy cąge weloów ortogolyc w przedzle [, ] z wgą p(x), gdy pxp ( ) ( xp ) ( xdx ) = dl. Dl weloów ortogolyc są prwdzwe poższe twerdze. werdzee 6.. W przedzle (, ) weloy ortogole posdją tylo jedorote perwst rzeczywste. werdzee 6.4. e steje wdrtur (6.9) rzędu wyższego ż ( + ). Kwdrtur t jest rzędu (+) wtedy tylo wtedy, gdy węzły x są perwst welou P + (x) z cągu (6.). werdzee 6.5. Wszyste współczy w wdrturc Guss są dodte. Dowody tyc twerdzeń oż zleźć.. w []. # Kwdrtury Guss zleżą od wg p(x) przedzłu [, ]. Pożej wyeoo róże przypd.! [, ] = [!, ], p(x) = Welo ortogoly (dl podego przedzłu wg) są weloy Legedre oreśloe wzore d P ( x) = ( x ),! dx wdrtury zyw sę w ty przypdu wdrtur Guss-Legedre. Współczy tyc wdrtur łąd de są wzor A + = E f = ( + ) P ( x) P ( x), ( ) [( )!] ( + )[( + )!] f ( + ) ( ξ), gdze x ozczją zer welou P + (x), > (!, ). Gdy przedzł cłow [, ] jest y ż [!, ], to leży zeć zeą cłow stosując podstwee Wówczs + t = + x. f () t dt = f + + x dx = gxdx ( )

12 9.6. Kwdrtury Guss 7 y gdze f () t dt S( f ) = A f ( t), = t przy czy x ozczją zer welou P + (x), łąd jest dy wzore + = + x, E( f ) = + 4 ( ) [( + )!] ( + )[( + )!] f ( + ) ( ξ), ξ (, ).! [, ] = [!, ], p(x) = (! x) " ( + x) $, ", $ >! Welo ortogoly są w ty przypdu weloy Jcoego oreśloe wzore d J( x, α, β ( ) α β α β ) = ( x) ( + x) [( x) + ( + x) + ],! dx wdrtury zyw sę wdrtur Guss-Jcoego. Ic współczy łąd są de wzor ( + α + β + 4) Γ( + α + ) Γ( + β + ) A = ( + α + β + ) Γ( + α + β + ) J+ ( x,, ) J + ( x,, )( + )!, α β α β + α+ β+ Γ( + α + ) Γ( + β + ) Γ( + α + β + )( + )! ( + ) E( f ) = f ( ξ), ( + α + β + )[ Γ ( + α + β + )] ( + )! gdze x ozczją zer welou J + (x, ", $), > (!, ), ' ozcz fucję g Euler: Γ( x) = t e dt, x>. Wówczs wdrtury zyw sę wdrtur Guss-Czeyszew, welo ortogoly są weloy Czeyszew perwszego rodzju oreśloe wzore W wdrturc Guss-Czeyszew wszyste współczy są rówe: x t W szczególy przypdu, gdy " = $ = otrzyujey wdrtury Guss-Legedre. Iy przypde szczególy jest " = $ =!/, tj. gdy wg d jest wzore px ( ) =. x ( x) = cos( rccos x). A = π +. α+ β

13 8 IX. Cłowe uerycze Węzły oreśl wzór! [, ) = [, 4), p(x) = e!x Welo ortogoly są weloy Lguerre oreśloe wzore Wg p(x) = e!x zpew zeżość cł x = cos ( + ) π +. L x e d ( ) = ( ) ( xe ). dx x gdze W(x) ozcz dowoly welo. Kwdrtury te zyw sę wdrtur Guss- Lguerre. Ic współczy łąd oreślją stępujące wzory: pxwxdx ( ) ( ), x A = [( + )!] + E f = L ( x ) L ( x ), ( ) [( )!] ( + )! + + f ( + ) ( ξ), gdze x ozczją perwst welou L + (x), > (, 4).! (, ) = (!4, 4), p(x) = exp(!x ) W ty przypdu y wdrtury Guss-Herte z welo ortogoly Herte, tóre są oreśloe wzore d H x e dx e x x ( ) = ( ). Wzory współczy łąd są stępujące: A = + ( + )! π + E f = f + H ( x ) H ( x ), ( ) ( ) π ( + )! + + ( + ) ( ξ), gdze x ozczją perwst welou H + (x), > (!4, 4). W prtyce e stosujey wdrtur Guss wysoego rzędu ogół e olczy żdorzowo węzłów współczyów, lecz posługujey sę odpowed tlc Kwdrtury złożoe Guss Rozptrzy wdrturę Guss-Legedre. Podzely przedzł cłow [, ] rówyc częśc. Stosując do olcze cł wdrturę złożoą ze wzor rzędu + żdy podprzedzle, otrzyy łąd E f ( ) = + 4 [( + )!] ( + )[( + )!] f ( + ) ( ξ), ξ (, ).

14 9.7. Kwdrtury złożoe Guss 9 Z wzoru tego wy, że zwęszjąc lczę podprzedzłów (tj. wrtość ) ożey dowole zejszyć łąd. Dl = = /, gdze ozcz lczę przystą, y orz (w ty przypdu x =, x =, A = A =) Błąd jest oreśloy wzore + ( j+ ) f ( x) = f ( x) dx j = + j S( f ) = f + + j f j,. j = = 5 E ( f ) ( ) f ( 4) = ( ξ), ξ (, ). 4 7