METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Całkowanie numeryczne. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH

Transkrypt

1 METODY NUMERYCZNE Wykłd. Cłkowie umeryze dr h. iż. Ktrzy Zkrzewsk, pro. AGH

2 Pl Wzór trpezów Złożoy wzór trpezów Metod ekstrpolji Rihrdso Metod Romerg Metod Simpso wzór prol Metod Guss

3 Cłkowie umeryze - ide d Y Cłkę moż przyliżyć sumą d S i i i X i i i

4 Kwdrtury Newto-Cotes Kwdrtur Newto Cotes leży do metod z ustloymi węzłmi, poleg tym, że ukj jest iterpolow wielomiem p. Lgrge gdzie: 0... Wówzs łk z ukji może yć przyliż łką z ukji iterpolująej -tego stopi

5 5 Wzór trpezów Zkłdmy = zyli 0 d 0 Szukmy współzyików 0 i 0 Zkłdmy, że prost, któr przyliż ukję przehodzi przez pukty, i,. Czyli: 0 0 0

6 6 Wzór trpezów d d pole trpezu Y X

7 7 Wzór trpezów Przykłd : Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t t Przy pomoy metody trpezów zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej g. true reltive error

8 8 Wzór trpezów 0000 t 000 l 9. 8t t l 000 l s 0 s m/ m/ s s m

9 9 Wzór trpezów Wrtość dokłd l 9.8t dt t 06 m Błąd względy: t % 06

10 0 Złożoy wzór trpezów Błąd, jk pokzuje poprzedi przykłd, jest zyt duży. Moż zpropoowć podził przedziłu łkowi segmetów, kżdy o długośi h. Y h dl = X d h d h h h d h d h h d

11 d ih i h h h h h h d d... d d d... h h h h h ] [... h h Złożoy wzór trpezów

12 Przykłd : Złożoy wzór trpezów Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t t Przy pomoy metody trpezów zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t przyjmują = Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error

13 Złożoy wzór trpezów i ih 0 = = 8 s = 0 s h s i ih m

14 Złożoy wzór trpezów wrtość dokłd wyosi: l 9. 8t t dt 06 m Błąd względy to: t % 06

15 5 Złożoy wzór trpezów Δ E t t % %

16 6 Aliz łędu dl wzoru trpezów Błąd ezwzględy metody z pojedyzym segmetem E t ", gdzie jest puktem w, Błąd w metodzie złożoej wielosegmetowej jest sumą łędów dl kżdego segmetu. Błąd pojedyzego segmetu wyosi: h E ", h " h

17 7 Aliz łędu dl wzoru trpezów Podoie: E i ih i h " i, i h i ih h " i dl : h E ", h h "

18 8 Aliz łędu dl wzoru trpezów Cłkowity łąd w metodzie złożoej jest sumą łędów pojedyzyh segmetów: i E t E i " h i " i i Wyrżeie i " jest przyliżoą średią wrtośią drugiej pohodej w przedzile E t i i

19 9 Aliz łędu dl wzoru trpezów Poiższ tli dl łki l 9. 8t t dt w ukji lizy segmetów. Widć, że gdy liz segmetów jest podwj, łąd E t zmiejsz się w przyliżeiu zterokrotie. Vlue E t t % %

20 0 Cłkowie metodą Romerg Metod Romerg jest rozszerzeiem metody trpezów i dje lepsze przyliżeie łki poprzez zsdizą redukję łędu true error

21 Ekstrpolj Rihrdso Błąd E t true error w -segmetowym wzorze trpezów wyosi E t C gdzie C jest współzyikiem proporjolośi Stąd: Et TV wrtość dokłd true vlue wrtość przyliżo p. wylizo ze wzoru trpezów pproimte vlue

22 Ekstrpolj Rihrdso Moż pokzć, że C TV gdy segmet zostje zmiejszoy o połowę Ze wzorów: C TV C TV otrzymujemy: TV

23 Ekstrpolj Rihrdso Przykłd : Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t t Przy pomoy ekstrpolji Rihrdso zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Przyjąć =

24 Tel wyików ze złożoego wzoru trpezów do =8 segmetów Δ E t t % %

25 5 Ekstrpolj Rihrdso 66m m TV dl = TV 66 06m

26 6 Ekstrpolj Rihrdso Wrtość dokłd to: l 9. 8t t dt 06 m Stąd Et m

27 7 Ekstrpolj Rihrdso Błąd względy t % 06 Porówie wyików z metodą złożoą trpezów. 8 Δ m wzór trpezów % Δ m t t % wzór trpezów ekstrpolj Rihrdso ekstrpolj Rihrdso

28 8 Metod Romerg Cłkowie metodą Romerg stosuje te sm wzór o ekstrpolj Rihrdso. Jedkże, metod Romerg jest to lgorytm rekureyjy. Przypomijmy: TV Moż zpisć R Wrtość dokłd TV jest zstąpio przez wyik łkowi metodą Rihrdso Zk jest zstąpioy przez zk rówośi. R

29 9 Metod Romerg Estymow wrtość dokłd wyosi: TV Ch gdzie Ch jest wrtośią łędu przyliżei Nstęp wrtość łki podwjją lizę segmetów wyosi: R Estymow wrtość dokłd wyosi terz: TV R R 5 R R R R R

30 0 Metod Romerg Ogóle wyrżeie w metodzie Romerg k, j k k, j k, j, j, k k Wskźik k reprezetuje rząd ekstrpolji k= odpowid wrtośiom uzyskym ze wzoru trpezów k= odpowid wrtośiom uzyskym z łędem Oh Wskźik j reprezetuje dokłdość; j+ dje łkę wyzzoą dokłdiej iż j

31 Metod Romerg Przykłd : Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t t Przy pomoy wzoru Romerg zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t -t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error Przyjąć =,,, 8

32 Tel wyików ze złożoego wzoru trpezów do =8 segmetów Δ E t t % %

33 Metod Romerg N podstwie teli odzytujemy: ,,, 07, W pierwszym przyliżeiu:,,,,

34 Metod Romerg Podoie,,,, 06, 66, 07,, 07 06,

35 5 Metod Romerg W drugim przyliżeiu, Podoie,,,, ,, 5, , 5,

36 6 Metod Romerg Dl trzeiego rzędu,,,, 6, m

37 7 Metod Romerg Rząd Rząd Rząd -segmet -segmet -segmet 8-segmet Poprwioe wrtośi łki metodą Romerg

38 8 Metod Simpso Metod trpezów ył oprt przyliżeiu ukji podłkowej wielomiem stopi pierwszego. W metodzie Simpso wykorzystuje się wielomiy stopi drugiego, jest to tzw. metod prol. d d gdzie: 0

39 9 Metod Simpso Rówie proli dl puktów:,,,,, Y 0 0 X 0

40 0 Metod Simpso Wyzzoe współzyiki ukji to: 0

41 Metod Simpso d d Wówzs:

42 Metod Simpso d 6 h Co dje: h d wzór prol

43 Metod Simpso w wersji złożoej... d d d d 0 d d h i i...,,, i

44 Metod Simpso... h d h 6... h 6 6 h

45 5 Metod Simpso d h 0 }] eve i i i odd i i i h 0 eve i i i odd i i i

46 6 Metod Simpso liz łędu Wrtośi przyliżoe przykłdu stosują regułę / Simpso z wielom segmetmi Wrtość przyliżo E t Є t % 0.007% % 0.000% %

47 7 Metod Simpso liz łędu Błąd dl jedego segmetu 5 E t, 880 Błąd w metodzie wielosegmetowej E h 90, 0 E h 90, E i i i i 5 h 90 i, i i i

48 8 Metod Simpso liz łędu Cłkowity łąd i i E t E i i 5 h 5 i 90 i 5 i E t 90 5 i i i średi wrtość pohodej

49 9 Metod Guss Cłkę metodą kwdrtury Guss przedstwi wzór: d stłe współzyiki Pukty i, w któryh określmy wrtość ukji podłkowej ie są ustloe jk poprzedio grih przedziłu zyli i, le są priori dowolie rozmieszzoe w przedzile <,>.

50 50 Metod Guss. 0 d d Niewidome,,, zjduje się zkłdją, że ukj podłkow spełi wruek:

51 5 Metod Guss 0 0 d 0 d d d 0 0 z jedej stroy z drugiej stroy

52 5 Metod Guss 0 0

53 5 Metod Guss Rozwiązują ukłd rówń: otrzymujemy dl metody dwupuktowej:

54 5 Metod Guss d W dwu-puktowej metodzie Guss, łk ukji wyrż się wzorem: d Uogóliją dl puktów:

55 55 Metod Guss W -puktowej metodzie Guss, współzyiki i orz rgumety i są stelryzowe dl łek w grih od - do g d i i g i współzyiki rgumety ukji = = = = = = = = = = = = = = = = = = 0.866

56 56 Metod Guss współzyiki rgumety ukji 5 = = = = = = 0.79 = = = = = 0.79 = = = = = = = = = = =

57 57 Metod Guss Jeżeli de są w tlih dl Grie łkowi g d d? to jk olizmy, leży zmieić, Nieh mt Dl, t Dl t, Wyik stąd, że: m

58 58 Metod Guss Stąd: t d dt Osttezie: d t dt

59 59 Metod Guss Przykłd 5: Prędkość rkiety w przedzile zsu od t =8 s do t =0 s jest opis wzorem: 0000 v t 000 l 9. 8t t Przy pomoy dwu-puktowej metody Guss zjdź przemieszzeie rkiety w tym przedzile zsu zyli Δ=t - t Wyzz łąd względy odiesioy do wrtośi dokłdej true reltive error

60 60 Metod Guss Njpierw zmieimy grie łkowi z [8,0] [-,] 0 t dt d 9 d Nstępie odzytujemy z tli dl =

61 6 Metod Guss Korzystmy ze wzoru kwdrtury Guss 9 d m

62 6 Metod Guss Skorzystliśmy z tego, że: l l

63 6 Metod Guss Błąd ezwzględy true error E t E t m Błąd względy, t t 00% %