Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI

Transkrypt

1 Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle ukcję (). Pojęce proksmcj m ses tlko w przpdku ked zdeowe jest krterum chrkterzujące błąd pomędz ukcją () welomem P(). 3.. Krterum Czebszew Współczk welomu proksmującego leż tk dobrć b mksml różc mędz wrtoścą ukcj () welomem P() osągęł mmum. Jeśl m ε (m) w przedzle b Gdze ε P( ) to wmg sę tutj b: m P( ) m (3.) Te rodzj proksmcj zw sę proksmcją jedostją lub proksmcją Czebszew 3.. Krterum jmejszego błędu kwdrtowego Współczk welomu proksmującego leż tk dobrć b cłk z kwdrtu ukcj błędu P( ) b osągęł mmum: ε w przedzle [ ] b ε d m (3.) 3. Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów Pożej przedstwm procedurę określ współczków ukcj proksmującej prz wkorzstu krterum jmejszego błędu kwdrtowego Złóżm że welkośc zwąze są ezą zleżoścą () są określoe płszczźe - w sposób dskret z pomocą -puktów o współrzędch (... ).

2 W tm celu leż wbrć tp ukcj )... ( któr zleż w sposób jw od prmetrów... stępe określć te prmetr tk b zmmlzowć ukcję krterlą )... ( [ ] (3.3) Fukcj t osąg mmum w puktch okresloch wrukm: (3.4) Różczkując ukcję względem poszczególch prmetrów uzskuje sę stępując ukłd rówń : [ ] 0... [ ] [ ] 0... )... ( X

3 Dostjem węc k rówń k ewdomm co pozwl wzczee k espólczków welomu proksmujcego. Wele zgdeń moż rozwązć przjmując z pukt wjśc proksmcję prz wkorzstu ukcj lowej. W przpdku zleżośc elowch często moż sprowdzć rówe do lowego co przedstwoo pożej w tbel 3. TABLA 3. () Nowe zmee z + b z l l lb b b z l l b l + b z b + b q z lg q b + z + b z b b b 3.. Regresj low jko przkłd proksmcj. Przjmjm ukcję proksmujcą w postc ukcj lowej wrżoej wzorem : Fukcj krterl m w tm przpdku postć : + b (3.5) (3.6) + b Wruk mmum ukcj krterlej wrzoe przez pochode cząstkowe wzgledem prmetrów proksmcj b mją postć : ( + b) ( ) 0 3

4 ( + b) ( ) 0 b co prowdz do ukłdu rówń : + b + b (3.7) Rozwązem powższego ukłdu rówń są wrtośc wspólczków b : (3.8) b (3.9) 3.3 Współczk regresj odchlee stdrdowe Wprowdźm pojęc z rchuku sttstczego : wrtość średej odeso do zmeej { L } zmeość welkośc chrkterzow jest wzorem : (3.0) (3.) gdze określ odchlee stdrdowe rówe co do wrtośc : (3.) Wprowdźm dl ukłdu puktów ( ) zjduje sę w pukce o współrzędch rówch ( ) w którm owe współrzęde wrżją sę wzorm : Łtwo wkzć że : ow ukłd współrzędch którego początek u ; v (3.3) 4

5 u 0 v 0 (3.4) Z decj odchle stdrdowego może psć że : orz u (3.5) v (3.6) W owm ukłdze współrzędch rówe regresj lowej m postć : v αu + β (3.7) Moż pokzć że wrtośc prmetrów α β wrżją sę wzorm : Możem ozczć α jko Możem węc psć : α β 0 u v α gdż poszukw relcj jest relcją. (3.8) v α u (3.9) Korzstjąc z zleżośc (4.3) moz zpsć : α co pozwl zpsć rówe regresj w perwotm ukłdze odese : węc α b α. ( α ) Rozwzm stępe zleżość odwrotą w owm ukłdze odese : α + (3.0) - wówczs rówe regresj m postć : + b (3.) 5

6 u αv + β (3.) Moż pokzć że wrtośc prmetrów regresj w owm ukłdze są rówe : α α β 0 u v (3.3) rówe w ukłdze : węc α (3.4) ( α ) α + Prmetr odwrotej regresj w ukłdze woszą : α α b. Wspólczk lowej korelcj jest perwstkem kwdrtowm z tgesów kątów chle dwóch prostch regresj : r α α u v u v u v węc wspólczk korelcj wrż sę wzorem : uv r (3.5) Powższą ormułę dl ukłdu os możem zpsć w postc : r (3.6) Wspólczk kąt chle prostch moz przedstwć prz pomoc wspólczk korelcj r w postc : orz uv r (4.7) α 6

7 u v α r (4.8) Możem węc proksmcję lową zpsć : :. w ukłdze czl w ukłdze :. w ukłdze : czl w ukłdze : (4.9) v r u ( ) (4.30) r u r v (4.3) ( ) (4.3) r N postwe powższch wzorów mozem zpsć : r. (4.33) 3.3. Włsośc współczk korelcj «r» Ozczm sumę kwdrtów odległosc puktów od prostej : d v α u v α uv + α u (4.34) Poewż węc uv α d v α + α u Wem podto że : u v 7

8 Węc d α + α α (4.35) Poewż : α r możem zpsć ( ) ( ) d r r (4.36) Dzeląc przez obe stro rów (4.36) dostjem : ( r ) d (4.37) Welkość gdze : d okresl zmeość błędu estmcj S w keruku os S d (4.38) Przedzł uosc w którm zjdują se pukt ze zboru okresl mpltud + S S z pozomem uośc 68%. Alogcze możem okreslć błąd estmcj w keruku os : S ( r ) (4.39) δ Błęd estmcj w kerukch wrżją sę wzorm : ( ); ( ) S r S r Wk stąd wruek współczk korelcj r : węc : ( r ) 0 (4.40) < r < 8

9 czl mm : r ± sl korelcj r 0 brk korelcj. Współczk korelcj moż wrzć czej korzstjc ze wzoru (4.6) : r (4.4)... 9