Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody numeryczne. Wykład nr 7. dr hab. Piotr Fronczak"

Jakub Sobolewski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Metody numeryzne Wyłd nr 7 dr. Potr Fronz

2 Cłowne numeryzne Cłowne numeryzne to przylżone olzne łe oznzony. Metody łown numeryznego polegją n przylżenu ł z pomoą odpowednej sumy wżonej wrtoś łownej unj w lu punt. Ay uzysć dołdnejsze przylżene dzel sę przedzł łown n newele rgmenty. Osttezny wyn jest sumą oszowń łe w poszzególny podprzedzł.. Metod prostoątów d d d d

3 Podzelmy przedzł [,] n N podprzedzłów.... N N N d N Gdy podprzedzły są równe N

4 Pewnym udosonlenem metody wdrtów jest wyór wrtoś unj w środu przedzłu. d N W przypdu welu podprzedzłów:

5 . Metod trpezów Przylżmy unję podłową prostą. L L L d d let let,,,,, d, d ; ; L L

6 d L d L d d d W przypdu welu podprzedzłów: N

7 . Metod Smpson / L Przylżmy unję podłową prolą. d d,,,, let L d d,,,, let L d d,,,, let L d d,,,, let L L

8 ξ ξ ξ ξ ξ ξ dξ ξξ dξ ξ dξ ξξ dξ L d L d

9 W przypdu N podprzedzłów o szerooś = / N: UWAGA: Ponewż welomn wdrtowy jest oreślony poprzez trzy punty ztem dw przedzły, to lz przedzłów mus yć przyst.,,,6 N gdze

10 ,5,7,,6 N j j N Jest to wżon sum wrtoś unj w punt denująy podprzedzły.

11 . Metod Smpson /8 L Przylżmy unję podłową welomnem trzeego stopn. L 8 - ; Ld d

12 W przypdu N podprzedzłów o szerooś = / N: UWAGA: Ponewż welomn uzny jest oreślony poprzez ztery punty ztem trzy przedzły, to lz podprzedzłów mus yć podzeln przez. 8,7,,5,8 N j j N

13 Przyłd: e d = 56.9 metod prostoątów metod trpezów metod Smpson / metod Smpson /8 N = % 57.9%.79%.7% N = % 8.6%.%.% N = %.8%.7%.6% N = %.%.%.8%

14 Oszowne łędów Metod prostoątów Błąd wynos d d Rozwjją w szereg Tylor lso puntu otrzymujemy ' gdze jest puntem mędzy. Cłują oe strony tego równn otrzymujemy E d d ' d ' Ztem łąd wynese E ' Zleży on od szerooś przedzłu łown wrtoś perwszy poodny w tym przedzle.

15 Błąd możn znząo zreduowć dzelą przedzł n mnejsze podprzedzły. ' E Ponewż ' E to N E E ' Cłowty łąd N N ' ' Przyjmują, że średno ' E N orz O

16 d 6 d Metod trpezów Rozwjją w szereg Tylor d d 6 Cłują d d Pmętją, że

17 d Przyjmują, że średno N '' '' N orz Otrzymujemy N E O Metod prostoątów udosonlon E O Metod Smpson / E V 8 O Metod Smpson /8 E V 8 O

18 Estrpolj Rrdson de: zreduowć łąd metody numeryznej z O do O + Rozwńmy łę jo unję w szereg woół puntu =. K K ' K ''... rzezywst wrtość ł numeryzn wrtość ł K,K,K newdome reprezentują wrtoś łędów K O Reduują otrzymujemy nne równne n : / K / O Pmętjmy, że O + w ou równn jest nne.

19 orz / / / O K O K O K / / O O K O K - Ztem mmy dw równn n Wyelmnujmy wodąy łąd K: / O Czyl wyelmnowlśmy łąd K zreduowlśmy rząd łędu z do +.

20 Przyłd: metod trpezów K K K jest te sme średn wrtość drugej poodnej po ne zleży od. Elmnują K otrzymujemy: Dl = => Błąd O... 6 K K K Możn pozć, że

21 K K Elmnują K otrzymujemy: Dl = 5 6 Błąd O 6 Gdy mmy łę olzoną numeryzne z dołdnośą O postępujemy nlogzne:

22 Uogólnene: Jeśl n jest przylżenem wrtoś ł przy użyu n podprzedzłów ro, n jest przylżenem wrtoś ł przy użyu n podprzedzłów ro / Jeśl o przylżen mją ten sm łąd rzędu p, to nowe przylżene ł p n p n ędze mło łąd rzędu p+.

23 Metod Romerg Metod t zwęsz dołdność oszown ł poprzez suesywne zstosowne estrpolj Rrdson. j, j, ; j,,,, / / / 8 /6 O,,,,, O j,,,,, j, 6 O,,, j, 5 6 j, 6 O,, j, 6 8 j, 56 O, j, 55 j,

24 d e.5%.68%.5%.57%.66% O O O O O trpezów Met Przyłd:

25 Błąd przy łownu podstwową metodą trpezów. By uzysć łąd rzędu -8 nleży przyjąć ro -8 zyl 8 podprzedzłów Kolejne przylżen metodą Romerg O, O O 6. Ten sm łąd możn uzysć przy znzne mnejszej lze podprzedzłów.

26 Kwdrtur Guss n przedzle [-, ] Dotyzs wszyste metody wyorzystywły do olzen ł wżone wrtoś równo rozmeszzony puntów. Położen puntów yły stłe dl dnej metody. W metodze zwnej wdrturą Guss ne są rozłożone równomerne pondto punty rńowe równeż ne są rne pod uwgę. Położene puntów orz odpowdjąe m wg są doerne t, y zmnmlzowć łąd.

27 Wyermy,,, t, y metod zwrół dołdną wrtość ł, gdy unj m postć =,,, n n n d d : n - Ogóln postć wdrtury Guss

28 Dołdn ł dl =,,, Cztery równn z zterem newdomym d : n d d d d d

29 ..5 = Kwdrtur Guss dje dołdną wrtość, gdy unj =,,,, lu lnow omnj powyższy os d.689 os os.676 Błąd.% -

30 Ay zwęszyć dołdność olzeń nleży wząć węej wyrzów w wdrturze: n : d - Wyermy,,,,, t, y metod zwrół dołdną wrtość ł, gdy unj m postć =,,,,, 5

31 d d d d d d 5 / 5 / 9 5/ 9 8/ 9 5/ Sześć równń z sześom newdomym

32 d.689 os d.676 os os Błąd.% os 9 5 os os 9 5 Błąd.5%

34 Wg położen puntów Guss są słuszne tylo w przypdu łown w grn [-, ]. dt t dt d t d W ogólnoś onezn trnsormj zmenny:

35 Przyłd: d e ; dt t dt e t d e dt d t t t.7% dt t Przylżene zterem puntm Guss:

36 Cł welorotne, y da G d A G p g, y dy N 6 8] [ ] [ ] [ ] 688 [

Podobne dokumenty

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji