Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

Transkrypt

1 utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem lnowym neednorodnym w przypdku gdy w równne T(v) nzywmy równnem lnowym ednorodnym Równne lnowe ednorodne m zwsze rozwązne Kżdy wektor v Ker Ker T est oczywśce rozwąznem równn ednorodnego (czyl T(v Ker )) Jądro est (nepustą) podprzestrzeną przestrzen V zwerącą przynmne wektor zerowy przestrzen V czywste est że równne neednorodne T(v)w m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy w Im T Pondto eżel v s est szczególnym rozwąznem równn neednorodnego czyl T(v s )w to równeż v s v Ker est rozwąznem równn neednorodnego czyl T(v s v Ker ) T(v s ) T(v Ker )w Z druge strony dw różne rozwązn v v równn ednorodnego różną sę od sebe o element z ądr Ker T Rzeczywśce gdy T(v )w T(v )w to T(v )-T(v )w-w stąd T(v -v ) węc v - v Ker T Wobec tego v v v Ker Powyższe rozwżn podsumuemy w forme twerdzen Tw Równne lnowe T(v)w m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy w Im T Kżde rozwązne est postc vv s v Ker gdze v Ker Ker T Jeżel ądro est podprzestrzeną o skończonym wymrze z bzą e e k to rozwązne równn T(v)w możn przedstwć w postc v v s α e α k e k gdze v s est dowolnym rozwąznem szczególnym równn neednorodnego stłe α α k są dowolne W przypdku gdy przestrzene V W są skończene wymrowe przeksztłcene lnowe T m przy zdnych bzch reprezentcę mcerzową Korzystąc z zomorfzmu przestrzen V wymru n przestrzen współrzędnych K n (które elementm są cąg n elementowe zpsywne ko mcerze kolumnowe) orz przestrzen W wymru m przestrzen współrzędnych K m możemy problem rozwązn równn lnowego T(v)w sprowdzć do problemu rozwązn ukłdu równń b gdze n m mn n b b b m

2 utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl dm Vn V dm Wm W v T Im T Ker T w (e e n ) bz V (f f n ) bz W K n K m Ker Im b Ukłd równń lnowych b możn zpsć w postc rozwnęte n n b m mn n b m cerz nzywmy mcerzą współczynnków mcerz kolumnową nzywmy wektorem newdomych mcerz kolumnową b kolumną wyrzów wolnych ntomst mcerz u m n b mn b m nzywmy mcerzą uzupełnoną ożemy węc eszcze rz wypowedzeć podstwowe twerdzene dotyczące ukłdów równń Tw Równne lnowe b m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy b Im Kżde rozwązne est postc s Ker gdze Ker Ker Jeżel ądro est podprzestrzeną o skończonym wymrze z bzą k to rozwązne ukłdu b możn przedstwć w postc s α α k k gdze s est dowolnym rozwąznem szczególnym równn neednorodnego stłe α α k są dowolne

3 utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl zncząc przez -tą kolumnę mcerzy ; n m ukłd równń b możn zpsć w postc nn b Ponewż Im spn{ n } węc b Im spn { n} spn{ n b} Ponewż spn } spn{ } węc wrunek spn } spn{ } est { n n b { n n b równowżny wrunkow dm spn { n} dm spn{ n b} który ozncz że lczb lnowo nezleżnych kolumn mcerzy est równ lczbe lnowo nezleżnych kolumn mcerzy uzupełnone u Kluczowym est podne sposobu sprwdzn powyższego wrunku ef Rzędem mcerzy nzywmy lczbę lnowo nezleżnych kolumn mcerzy czyl rz dm spn{ n} ef Wyzncznkem stopn l mcerzy prostokątne nzywmy wyzncznk mcerzy kwdrtowe stopn l powstłe z mcerzy przez skreślene odpowedne lczby kolumn werszy ef norem bzowym mcerzy nzywmy nezerowy wyzncznk nwyższego stopn który możn uzyskć z mcerzy emt o mnorze bzowym Rząd mcerzy est równy stopnow e mnor bzowego Nech r będze stopnem mnor bzowego mcerzy Bez strty ogólnośc złóżmy że mnor bzowy zmue lewy górny róg mcerzy r m r mr k rk mk n r n mn Pokżemy że wszystke kolumny mcerzy możn wyrzć ko lnowe kombnce perwszych r kolumn mcerzy odpowdących kolumnom mnor bzowego

4 utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl r m r r mr k rk k mk Ustlmy dowolne k > r rozwżmy dowolny wersz powedzmy -ty (>r) Ponewż kżdy mnor stopn r (o le stnee) est równy to rozwąc wyzncznk r r r k rk k względem osttnego wersz mmy r r k k zncząc dopełnen lgebrczne osttnego wersz przez r które ne zleżą od wyboru numeru (osttnego dodtkowego) wersz orz zuwżąc że r r r r my k r gdze k est ustlone przebeg wszystke wrtośc od r do m Zuwżmy że powyższ równość est też prwdzw dl r Wówczs osttn r -wszy wersz est dentyczny z - tym werszem k r stteczne węc r mk m mr czyl k-t kolumn est kombncą lnową r perwszych kolumn mcerzy Wszystke operce ne zmenące wyzncznk ne zmeną tkże rzędu mcerzy w szczególnośc rząd mcerzy ne zmen sę eśl do dnego wersz dodmy lnową kombncę pozostłych werszy Rząd ne zmen sę gdy wykreślmy zerowy wersz lub zerową kolumnę tkże gdy przestwmy dw wersze lub dwe kolumny rz rz T Korzystąc z udowodnonego wcześne twerdzen dm V dm Ker T dm Im T które w tym przypdku możn zpsć równowżne dm Ker n r gdze r rz dostemy

5 utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Twerdzene Kronecker-Cpellego Ukłd równń lnowych b m rozwązne wtedy tylko wtedy gdy rzrz u Jeżel rzrz u n (n-lość newdomych) to ukłd m dokłdne edno rozwązne Jeżel rzrz u k<n (n-lość newdomych) to ukłd m neskończene wele rozwązń zleżnych od n-k prmetrów Jeżel mn to ukłd b nzywmy ukłdem Crmer Wówczs - b Pondto prwdzwe są wzory Crmer gdze est mcerzą w które -tą kolumnę zstąpono kolumną wyrzów wolnych (wektorem) b Rzeczywśce zpsuąc ukłd Crmer w postc b n n oblcząc mmy ] [ n mesce te n Wnosek Ukłd ednorodny m zwsze rozwązne Jeżel rzn to edynym rozwąznem est Przykłd etod elmnc Guss 9 9 rzrz u < Przymuąc t otrzymuemy rozwązne postc t t R czyl ukłd m neskończene wele rozwązń zleżnych od prmetru Uwg o odwrcnu mcerzy metodą elmnc ednoczesne rozwązywne welu ukłdów równń z tą smą mcerzą współczynnków [ ] [ ] E E operce elementrne n werszch (uzsdnene lgorytmu)