O JEDNOZNACZNOŚCI ROZWIĄZAŃ RÓWNAŃ POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO W OBSZARZE ANIZOTROPOWYM I NIESTACJONARNYM
|
|
- Krzysztof Piotrowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ELEKTRYK 4 Zeszy 4 3 Rok LX Drsz PŁEK Polechk Śląsk w Glwcch O JEDNOZNCZNOŚCI ROZWIĄZŃ RÓWNŃ POL ELEKTROMGNETYCZNEGO W OBZRZE NIZOTROPOWYM I NIETCJONRNYM reszczee. rykł prezeje rozwż eoreycze, doyczące jedozczośc rozwązń rówń różczkowych cząskowych drgego rzęd orz rówń Mxwell w środowskch zoropowych escjorych. łow klczowe: rozwązywlość rówń różczkowych cząskowych orz rówń Mxwell w środowskch zoropowych escjorych ON UNIQUENE OF OLUTION OF ELECTROMGNETIC FIELD EQUTION IN NIOTROPIC ND NONTTIONRY REGION mmry. The pper preses heorecl lyss of qeess for solo of secod order prl dfferel eqos d of Mxwell eqos soropc d osory rego. Keywords: qe solo of some prl dfferel eqos d of Mxwell eqos of elecromgec feld soropc d osory rego. WPROWDZENIE Wele zgdeń echczych w ym elekroechk jes opsych rówm różczkowym cząskowym drgego rzęd, km jk rówe: dyfzj, flowe, flowe z dyfzją, Helmholz podpk. Zgde eor pol elekromgeyczego opsją rów Mxwell prowdzą róweż do rówń różczkowych cząskowych drgego rzęd podpk 3. Zpewee jedozczośc rozwązń rówń wymg zd odpowedch wrków brzegowych począkowych [, 5, 9,, ]. Defow różych posc wrków brzegowych orz określ przypdków, w kórych e moż zpewć jedozczośc dl rozwązń, pośwęcoe są lzy eoreycze przedswoe w ejszym rykle. W przypdk rówń Mxwell podpk 3 dokoo róweż ogóle rozwżń obszry zoropowe escjore, w kórych prmery środowskowe zleżą od czs, p. ε = ε, d.
2 8 D. płek. TWIERDZENIE O JEDNOZNCZNEJ ROZWIĄZYWLNOŚCI RÓWNŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄTKOWYCH RZĘDU Nech de jes rówe w obszrze spójym, gdze jes fkcją w ogólośc zespoloą klsy C, = dl rów flowego ze skłdkem dyfzyjym, współczyk są ejeme słe w rozwżym obszrze. Rys.. Obszr pol opsego rówem zdy wrek brzegowy Fg.. Feld descrbed by eqo d bodry codo gve Nech seją dw rozwąz p. merycze orz, kóre e są ożsmoścowo rówe. Różc ob rozwązń Δ = speł rówe:, gdze jes fkcją zespoloą sklrą klsy C. Z werdze o jedokroym cłkow przez częśc 3 d d grd d grd grd, 3 po względe prowdz do ożsmośc 4 d d grd grd. 4 Jedozczość rozwąz rozwżo zose dl dwóch posc rów cząskowego: Dl rów flowo-dyfzyjego ze skłdkem lowym = w dzedze czs opsjącego fkcję sklrą rzeczywsą, słych współczykch przy podswe = / zchodz 5 d d grd.5
3 O jedozczośc rozwązń 9 Jeżel speło jes w kżdej chwl czs > kżdym pkce brzegowym erówość 6 d, 6 o scłkowe po czse ϵ [, ] rów 5 przy względe spełe wrk począkowego przez ob rozwąz czyl Δ = prowdz do erówośc 7 grd d d, 7 w kórej Δ = Δ,. Pod cłką po lewej sroe 7 wszyske skłdk są ejeme, zem wyrżee podcłkowe ms zkć 8 grd d, 8 jedocześe zgode z rówoścą 5 erówość 6 przechodz ylko w rówość erówość osr e zchodz. Jeżel jedocześe wszyske współczyk zkją, z., rówe jes rówem Lplce, o zgode z 8 obydw rozwąz różą sę o słą Δ = = cos. W ym przypdk jedozczość rozwąz jes zpewo, gdy frgmece brzeg zdy jes wrek Drchle lb/ Hkel, co prowdz do wyzcze słej cos. Jeżel jed sł w jes ezerow, z. o zgode z 8 zchodz 9, 9, grd co ozcz w kżdym przypdk, że Δ =, czyl rozwąze jes jedozcze. Złożoy wrek w posc erówośc 6 przy wrk 8 jes w szczególośc spełoy, gdy zdo go w kżdym pkce brzegowym, jes spełoy jede z poższych wrków f pew fkcj: I Drchle f D D, II Nem N f N,
4 D. płek III Hkel formle zwer wrk I orz II 3 fh, 3 przy jedkowych zkch współczyków słych w czse, j. αα >; wedy wrek 6 jes spełoy, gdyż podswee 3 do 6 prowdz do prwdzwej erówośc H 4 d I elowy formle zwer wrk I, II orz III. 4 5 k f y x m H N 5 lb 6 k f y x m H N, 6 osowy, poewż spełoy jes wrek 6. Mowce, zchodz erówość Δx Δy, kór jes speło p. dl fkcj y = yx = kx m + h przy k orz m eprzysym [] lb, ogóle, dl fkcj y = yx mooocze mlejących []. Przykłd. Rówe dyfzj dl pol emperry T w środowsk zoropowym m posć [4, 8] cp T 7 T, 7 gdze cp cepło włścwe przy słym cśe, ρ gęsość ośrodk, λ przewodość cepl, zem zchodz cp 8, 8 co ozcz, że rówe pol emperry m jedozcze rozwąze. Przykłd. Rówe flowo-dyfzyje pol elekromgeyczego m posć dodek D3 zem, 9 v 9, v co ozcz, że rówe flowo-dyfzyje m jedozcze rozwąze. B Dl rów Helmholz = w posc,
5 O jedozczośc rozwązń podswe 4 dl = Δ * zchodz * * grd grd d * d, gdze jes fkcją zespoloą klsy C p. zespolo skłdow wekorowego poecjł mgeyczego. Współczyk λ jes sły w rozwżym obszrze. Jeżel zde zosą wrk brzegowe I, II lb III, o rówe przyjmje posć 3 grd d d, 3 gdze H jes frgmeem brzeg, kórym zdo III wrek brzegowy Hkel = D N H w posc 3 z ogóle zespoloym współczykm α orz α. Wydzeljąc część rzeczywsą rojoą 3, orzymje sę rów: 4 grd Re{ } d 5 Im{ } d H H Re{ } d, 4 H Im{ } d, 5 kóre pozwlją woskowć w poższych przypdkch o jedozczośc rozwąz. - Jeżel λ = rówe Lplce, o podswe częśc rzeczywsych sro rów 3 zchodzć ms 6 grd d H d, 6 co ozcz, że grdδ = w cłym obszrze, czyl ob rozwąz mogą różć sę o słą. Gdy dodkowo frgme brzeg z I lb III wrkem brzegowym e zk czyl D H, o sł okzje sę być rów zero. Noms gdy = N, o obydw rozwąz rówe Lplce różą sę o słą. - Jeżel λ, orz zchodz, 7 7 Re{ } Re{ } o podswe rów 4 zchodz Δ = rozwąze jes jedozcze. - Jeżel λ, orz zchodz 8 Im{ } Im{ }, 8 o podswe rów 5 zchodz Δ = rozwąze jes jedozcze. - W ych przypdkch podswe powyższego rozmow e moż woskowć o jedozczośc rozwąz. Przykłd. Rówe Helmholz w ośrodk jedorodym m posć rozdzł 3 gdze jγωμ ω μ, zem 9 3 Re{ }, 9 ω μ, Im{ } γωμ. 3
6 D. płek Jeżel Im{λ } < orz Im{ }>, o rówe Helmholz m jedozcze rozwąze. zgode z erówoścą 8. Jeżel Im{λ } =, o podswe 7 e moż woskowć o jedozczośc rozwąz rów Helmholz. Wpros przecwe, dl fl elekromgeyczej emowej z brzeg zchodz / j e są spełoe wrk 7. Rówe flowo-dyfzyje, kóre jes w ym przypdk rówem ylko flowym, może meć cąg różych rozwązń o chrkerze rezosowym dl ω > [, 3, 4, 5, 6,, 3]. 3. TWIERDZENIE O JEDNOZNCZNYM ROZWIĄZNIU RÓWNŃ MXWELL W OBZRCH NIZOTROPOWYCH I NIETCJONRNYCH Nech dy jes ośrodek: lowy ze względ prmery środowskowe orz w ogólośc zoropowy rys. : 3 D ˆ E, 3 3 B ˆ H, 3 33 j j ˆ o E, 33 b przy czym mcerze współczyków środowskowych ˆ, ˆ, ˆ są symerycze dodo określoe, c mcerz ˆ jes soe dodo określo orz co jmej jed z mcerzyˆ lb ˆ jes soe dodo określo, d mcerze pochodych po czse ˆ, ˆ ˆ 34 ˆ ˆ, ˆ, 34 są określoe jeme, e rozkłdy przesrzee pól E H są zde w chwl =, wedy, o le seje rozwąze rówń Mxwell, o yle przy powyższych złożech rozwąze o jes jedozcze. Rys.. Obszr pol elekromgeyczego lowe zleżośc kosyywe Fg.. Elecromgec feld rego d ler bodry codo
7 O jedozczośc rozwązń 3 Dowód Złóżmy przecwe, że seją dw rozwąz ozczoe deksm orz spełjące rów Mxwell: B 35 roe 35 orz D 36 roh j. 36 Odejmjąc srom powyższe rów dl rozwązń orz defjąc pol różcowe: 37 E E E, H H H, 38 orzymje sę: B 39 ro E, 39 D 4 ro H j. 4 Nsępe, dl pól różcowych, moż zpsć 4 dv E H H roe E roh, 4 zem 4 H E dv E H Hˆ E ˆ E Eˆ, 4 sąd ˆ ˆ 43 dv E H H ˆ H E ˆ E H H E E E ˆ E. 43 Twerdzee Gss, zsosowe dl obszr pol elekromgeyczego o brzeg, prowdz do relcj 44 E H d e e d E ˆEd H ˆ H E ˆ μ ε E d, 44 gdze wprowdzoo ozcze 34 orz: 45 H ˆ H eμ, E ˆ E eε. 45 Rozkłdjąc wekory różcowe po prwej sroe 44 sycze ormle do powerzch brzegowej : 46 H H H, H H, 46
8 4 D. płek orz podobe dl pol elekryczego, orzymjemy 47 E H d E H d, 47 gdyż ylko loczy skłdowych syczych e jes prosopdły do kerk ormlej. Rówość 44 przyjmje zem posć 48 E d d ˆ d ˆ ˆ H eμ eε E E HH E Ed. 48 Zdjąc wrek brzegowy skłdową syczą ęże pol elekryczego lb mgeyczego dl kżdego, czyl orz rozkłd począkowy w chwl ob pól, zchodz 49 E lb H, 49 5 e Cłkowe 48 względem czs od do prowdz do relcj gdze cłk I e. 5, 5 5 e d ˆ μ eε E Edd I d o ˆ ˆ. 5 5 I H H E Ed Cłk po prwej sroe 5 jes edod, gdyż mocy złoże d mcerze ˆ, ˆ są jeme określoe, zem I jes edode. Wobec złoże b mcerz ˆ jes dodo określo, zem zchodz relcj 53 e d εd ˆ μ e E Edd o 53 dl kżdego. Poewż mcerze ˆ, ˆ są dodo określoe, węc podo złożee c, gdy: - mcerze ˆ, ˆ są soe dodo określoe, o z 53 wyk, że dl pól klsy C : 54 H, E, 55 lb - mcerze ˆ, ˆ są soe dodo określoe, o z 53 wyk, że 56 H, 56 gdyż ˆ jes soe dodo określo, wobec ego, że ˆ jes soe dodo określo, o
9 O jedozczośc rozwązń 5 co jes możlwe wedy ylko wedy, gdy 57 e d E ˆEdd, 57 wobec złożoej soej dodośc mcerzy kodkywośc ˆ. o 58 E 58 Uwg. W przypdk b, gdy mcerz ˆ jes ylko dodo określo, o moż woskowć podswe prwej sroy 53 jedye, że e ˆ ε EE. Powyższe werdzee orzek o jedozczośc rozwąz rówń Mxwell w sch esloych, zkłdjąc, że przyjmej jedo ke rozwąze seje. Jeżel jes o dokłde jedo rozwąze, o jes o rozwąze jedozcze werdzee jes prwdzwe. Jeżel seje przypszczee, że rozwązń jes węcej ż jedo, o mocy werdze mszą oe być wzjeme ożsme. Twerdzee doyczy w ogólośc sów esloych. W przypdk sów sloych w obszrch eprzewodzących γ =, werdzee może e meć zsosow espełoe jes złożee b. N przykłd, w flowodch bądź rezoorch o dele przewodzących śckch pojwć sę może cąg dozwoloych rozwązń pól elekromgeyczych o różych dłgoścch fl różych częsolwoścch. Tk cąg rozwązń speł e sme wrk brzegowe, le zmeość w obszrze delekryczym, eprzewodzącym kżdego z rozwązń jes. 4. PODUMOWNIE Defowe różych posc wrków brzegowych orz wyróżee przypdków, w kórych e moż zpewć jedozczośc dl rozwązń rówń, pośwęcoe są lzy eoreycze przedswoe w ejszym rykle. rykł prezeje rozwż, doyczące jedozczośc rozwąz rówń różczkowych cząskowych drgego rzęd, p. rów: dyfzj, flowego, flowego z dyfzją, Helmholz podpk. W podpkce 3 przedswoo rozwż doyczące jedozczośc rozwąz zgdeń eor pol elekromgeyczego kłd rówń Mxwell w odese do obszrów zoropowych escjorych. BIBLIOGRFI. Bs K.J, Lwreso P.J., Trowbrdge C.W.: The lycl d mercl solo of elecrc d mgec felds. Joh Wley & os, 99.. Ld L.D., Lfszyc E.M.: Teor pol. PWN, Wrszw 98.
10 6 D. płek 3. Ld L.D., Lfszyc E.M.: Elekrodymk ośrodków cągłych. PWN, Wrszw McLchl N.W.: Rów różczkowe zwyczje w fzyce kch echczych. PWN, Wrszw Rw H.: Elekryczość mgeyzm w echce. PWN, Wrszw kor R.: Teor pol elekromgeyczego. Wydwcw Nkowo-Techcze, Wrszw płek D.: Mxwell eqos for geerlzed lgrg fcol. IEE Proceedgs cece, Mesreme d Techology 996, ol. 43, No., p płek D.: The emperre dsrbo d he rsfer soropc elecromechcl coverer. He & Mss Trsfer 999, ol. 4, p płek D.: Thrd bodry codo formlo for elecromgec feld problems. Jorl of Techcl Physcs 999, ol. XL, No., p płek D.: Forh bodry codo for elecromgec feld problems. Jorl of Techcl Physcs, ol. XLI, No., p ow M., płek D.: Noler bodry codo elecromgec heory lycl scheme of formlo. rchves of Elecrcl Egeerg 3, ol. 6, Isse, p płek D.: Meody merycze w zgdech elekroechk lze pol elekromgeyczego. Wydwcwo Prcow Komperowej Jck klmerskego, Glwce Tmm I.E.: Podswy eor elekryczośc. WNT, Wrszw 965. Prof. dr hb. ż. Drsz PŁEK Polechk Śląsk Wydzł Elekryczy, Isy Elekroechk Iformyk l. kdemck 44- Glwce e-ml: Drsz.plek@polsl.pl
Wykład 6 Całka oznaczona: obliczanie pól obszarów płaskich. Całki niewłaściwe.
Wykłd 6 Cłk ozczo: olcze pól oszrów płskch. Cłk ewłścwe. Wprowdźmy jperw ocję sumow: Dl dego zoru lcz {,,..., } symol ozcz ch sumę, z.... Cłk ozczo zosł wprowdzo w celu wyzcz pól rpezów krzywolowych (rys.
Bardziej szczegółowoMACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.
CIERZE I ZIŁNI N CIERZCH Nech usloe będze cło dwe lczby urle, cerzą o wyrzch z cł wymrch zywmy kżdą fukcję cerz ką zpsujemy w posc belk ) cerz zpsujemy róweż wele ych sposobów, w zleżośc od ego jką jej
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7
RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE WYKŁAD 7 Deiicj Ukłdem rówń różiczkowch rzędu pierwszego w posci ormlej zwm ukłd rówń o iewidomch > zmie iezleż. Uwg Jeżeli = o zzwczj piszem x zmis orz g zmis jeżeli = o piszem x z
Bardziej szczegółowoStruna nieograniczona
Rówie sry Rówie okreś rch sry sprężysej kórą ie dziłją siły zewęrze Sł okreśo jes przez włsości izycze sry Zkłdmy że w położei rówowgi sr pokryw się z pewym przedziłem osi OX Fkcj okreś wychyeie z położei
Bardziej szczegółowoR, R, R n itd. przestrzenie wektorowe, których elementami są wektory określone przez długość, kierunek i zwrot.
WYKŁAD. PRZESTRZENIE AFINICZNE, PROSTA. PŁASZCZYZNA. E PRZESTRZENIE AFINICZNE y P(,, c) x z E, E, E d. - rzesrzee ukoe, kórych elemem są uky ose rzy omocy sółrzędych, j. ukłdó lcz rzeczysych osc (, ),
Bardziej szczegółowoSpójne przestrzenie metryczne
Spóe pzeszee ecze De. Pzeszeń eczą zw spóą eżel e d sę e pzedswć w posc s dwóc zoów epsc owc ozłączc. - pzeszeń spó ~ owe Icze es zoe spó eżel dl dowolc pów czl see cągł c : : = = see dog łącząc Tw. ągł
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa 1
Rozkłdy rwdoodoeństw Rozkłdy rwdoodoeństw. Rozkłdy dyskrete cągłe. W rzydku rozkłdu dyskretego określmy wrtośc rwdoodoeństw dl rzelczlej skończoej lu eskończoej lczy wrtośc zmeej losowej. N.... wszystke
Bardziej szczegółowo6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""
Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki oznaczone i zastosowania
Zdi z lizy mtemtyczej - sem. II Cłki ozczoe i zstosowi Defiicj. Niech P = x x.. x będzie podziłem odcik [ b] części ( N przy czym x k = x k x k gdzie k δ(p = mx{ x k : k } = x < x
Bardziej szczegółowoSposoby wyznaczenia błędu bezwzględnego. Pomiar bezpośredni. Pomiar pośredni. f x. f x. f x. f x. x n = =
Pomr jego dokłdość. Kżdy pomr dje m wyk z pewą ylko dokłdoścą, węc obcążoy je epewoścą pomrową (błędem pomrowym). Pomry fzycze dzelmy : bezpośrede pośrede. Pomrm bezpośredm zywmy ke, kórych wrość lczbową
Bardziej szczegółowo7. Szeregi funkcyjne
7 Szeregi ukcyje Podstwowe deiicje i twierdzei Niech u,,,, X o wrtościch w przestrzei Y będą ukcjmi określoymi zbiorze X Mówimy, że szereg ukcyjy u jest zbieży puktowo do sumy, jeżeli ciąg sum częściowych
Bardziej szczegółowodr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Bardziej szczegółowoDowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01
WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE LINIOWE.
Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe
Bardziej szczegółowoProjekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI
Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle
Bardziej szczegółowo[ ] Pochodne cząstkowe funkcji złożonych.
EI-Iork-Wkł - r Ćel cel@.g.e.pl De. Mów że kc es kls D eżel pos w kż pkce zbor D wszske pocoe cząskowe cągłe czl es F- różczkowl w kż pkce zbor E. Pocoe cząskowe wższc rzęów. Rozwż kcę rzeczwsą zec : R
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 25.01.2003 r.
Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),
Bardziej szczegółowoAnaliza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski
Aliz obwodów elekryczych z przebiegmi sochsyczymi Driusz Grbowski Pl wysąpiei Sochsycze modele sygłów Procesy sochsycze Przekszłcei procesów sochsyczych przez ukłdy liiowe Ciągłość i różiczkowlość sochsycz
Bardziej szczegółowo1.4. STAN ODKSZTAŁCENIA STRONA GEOMETRYCZNA
.4. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA.4.. Wetor przemeszcze Rozwżmy bryłę (cło mterle) o dowolym sztłce meszczoą w prostoątym łdze odese O (rys. ) Rys. gdze ozcz położee (mesce) pt mterlego w tym łdze,,,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoWOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI. SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ nr.........
WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA ĆWICZENIA LABORATORYJNE Z FIZYKI prowdząc(y)... grup... podgrup... zespół... seestr... roku kdeckego... studet(k)... SPRAWOZDANIE Z PRACY LABORATORYJNEJ r......... pory wykoo
Bardziej szczegółowoRozwiązanie. Metoda I Stosujemy twierdzenie, mówiące że rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na prostą łączącą te punkty są sobie równe.
Wyzczie prędkości i przyspieszeń cił w ruchu posępowym, obroowym i płskim orz chwilowych środków obrou w ruchu płskim. Ruch korbowodu część II Zdie.. Prę o długości L ślizg się jedym końcem (puk po podłodze,
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji
Aprosymcj fcj. Ogóle sformłowe zgde prosymcj jedowymrowej Sformłowe zgde prosymcj D - prosymcj cągł: zleźć fcję p( x ) prosymjącą (zstępjącą, przylżjącą) dą fcję cągłą ( ) f x w przedzle [ ] p( x ) powy
Bardziej szczegółowoRozwiązanie niektórych zadań treningowych do I kolokwium sem. zimowy, 2018/19
Rozwąze ektóryh zdń tregowyh do I kolokwum sem. zmowy, 8/9 Zd.. V = ost, = 98 K W wrukh dtyzyh Q = ΔU =. Końową temperturę zjdzemy rozwązują rówe ΔU =. Zm eerg wewętrzej zhodz wskutek rekj hemzej jlepej
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne Zadanie: obliczyć przybliżenie całki (1) używając wartości funkcji f(x) w punktach równoodległych. Przyjmujemy (2) (3) (4) x n
lkowe_um- łkowe umercze Zde: olczć przlżee cłk ( ) d () użwjąc wrtośc ukcj () w puktc rówoodległc. Przjmujem (), gdze,,, () () tąd / (5) Metod prostokątów d / (6) gdze / / (7) -- :9: /6 lkowe_um- td. td.
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,
utomtyk Robotyk lgebr -Wykłd - dr dm Ćmel cmel@ghedupl Równn lnowe Nech V W będą przestrzenm lnowym nd tym smym cłem K T: V W przeksztłcenem lnowym Rozwżmy równne lnowe T(v)w Powyższe równne nzywmy równnem
Bardziej szczegółowoOcena wpływu niepewności estymacji parametrów modeli czujników pomiarowych na wartości maksymalnych błędów dynamicznych
Polech rows Wydzł Iżyer Elerycze operowe edr oy ech Iforcyych Oce wpływ epewośc esyc prerów odel czów porowych wrośc sylych łędów dyczych Dr ż. rzyszof oczy rów 5.3.5 Pl wysąpe. Błędy w porch welośc słych
Bardziej szczegółowocz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykłd 11: Elektrosttyk cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://lyer.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Pole elektryczne przewodnik N powierzchni metlicznej (przewodzącej) cły łdunek gromdzi się n
Bardziej szczegółowoZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM
ZADANIA Z GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ NA PIERWSZE KOLOKWIUM. Koło o promieniu n płszczyźnie Oxy oczy się bez poślizgu wzdłuż osi Ox. Miejsce geomeryczne opisne przez punk M leżący n obwodzie ego koł jes cykloidą.
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoSpójne przestrzenie metryczne
lz Włd 5 d d Ćel cel@gedpl Spóe pzeszee ecze De Pzeszeń eczą ρ zw spóą eżel e d sę e pzedswć w psc s dwóc zów epsc wc złączc ρ - pzeszeń spó ~ we Icze es ze spó eżel dl dwlc pów czl see cągł c γ : : γ
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Bardziej szczegółowoINSTYTUT ENERGOELEKTRYKI POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Raport serii SPRAWOZDANIA Nr LABORATORIUM TEORII I TEHCNIKI STEROWANIA INSTRUKCJA LABORATORYJNA
prwch rękops do żytk słżboweo ISTYTUT RGOLKTRYKI POLITCHIKI WROCŁAWSKIJ Rport ser SPRAWODAIA r LABORATORIUM TORII I THCIKI STROWAIA ISTRUKCJA LABORATORYJA ĆWICI r 9 Sterowe optymle dyskretym obektem dymcym
Bardziej szczegółowoI. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.
I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 1. Zbieżość puktow i jedostj ciągów fukcyjych Niech X będzie iepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych R (lub zbioru liczb zespoloych C). Defiicj 1.1. Ciąg (f ) N odwzorowń
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń
Bardziej szczegółowoMECHANIKA. Podstawy kinematyki Zasady dynamiki. Zasada zachowania pędu Zasada zachowania energii Ruch harmoniczny i falowy
MECHANIKA Podswy kineyki Zsdy dyniki Siły Równnie ruchu Ukłdy inercjlne i nieinercjlne Zsd zchowni pędu Zsd zchowni energii Ruch hroniczny i flowy ruch rejesrowne w czsie w sposób ciągły ziny położeni
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoWykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.
Wykłd Pojęcie fukcji, ieskończoe ciągi liczbowe, dziedzi fukcji, wykres fukcji, fukcje elemetre, fukcje złożoe, fukcje odwrote.. Fukcje Defiicj.. Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określo pew fukcj f,
Bardziej szczegółowoMatematyka II. x 3 jest funkcja
Maemayka II WYKLD. Całka eozaczoa. Rachuek całkowy. Twerdzea o całkach eozaczoych. Całkowae wybraych klas fukcj. Całkowae fukcj wymerych. Całkowae fukcj rygoomeryczych.. Defcja fukcj perwoej. Fukcję F
Bardziej szczegółowoa a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test,
Bardziej szczegółowoAutomatyka i Robotyka Analiza Wykład 27 dr Adam Ćmiel
Automty Rooty Az Wyłd 7 dr Adm Ćme cme@gh.edu.p Szereg Fourer Przypomee. Rozwżmy przestrzeń eudesową VR, tórej eemetm (putm, wetorm )są eemetowe cąg cz rzeczywstych p.,..., ) y y,..., y ). W przestrze
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 11
METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Mchł PŁOTKOWIAK Adm ŁOYGOWSKI Konsultcje nukowe dr nż. Wtold Kąkol Poznń / METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Metod wżonych rezduów jest slnym nrzędzem znjdown
Bardziej szczegółowokwartalna sprzeda elazek
Modele elowe MODELE NIELINIOWE Prłd. model low elow - orówe). Kwrl sred ele w lch 996-999 wosł: 4 5 6 7 8 9 4 45 5 57 6 64 68 65 68 67 69 7 7 7 75 Wc rogo rec wrł ro 999. Z wres wd, e red jes rosc lec
Bardziej szczegółowof f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu
METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoRELACJE WARTOŚCI DŁUGOŚCI DROGI HAMOWANIA I DROGI ZATRZYMANIA DLA RÓŻNYCH WARUNKÓW RUCHU SAMOCHODU
Zbigiew LOZIA, Pio WOLIŃSI RELACJE WARTOŚCI DŁUGOŚCI DROGI HAMOWANIA I DROGI ZATRZYMANIA DLA RÓŻNYCH WARUNÓW RUCHU SAMOCHODU Seszczeie Pc pzedswi oceę długości dogi mowi i dogi zzymi smocodu (zwej kże
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowo5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.
5 CIĄGI 5 Defiicj ciągu Ciągiem liczbowym zywmy fukcję przyporządkowującą kżdej liczbie turlej liczbę rzeczywistej Ciąg zpisujemy często wyliczjąc wyrzy,, lub używmy zpisu { } lbo ( ) Ciągi liczbowe moż
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1
mechnk nlyczn neelywsyczn.d.nu, E.M.fszyc Kók kus fzyk eoeycznej ve-8.06.07 współzęne uogólnone punk melny... weko wozący: pękość: ę pzyspeszene: lczb sopn swoboy: v v v f v v współzęne uogólnone: (,,...
Bardziej szczegółowoCałki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas
Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoMetoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać
met_szer_potegowyh-.doowyh Metod szeregów potęgowyh dl rówń różizkowyh zwyzjyh liiowyh Rówie różizkowe zwyzje liiowe drugiego rzędu m postć d u d f du d gu h ( Złóżmy, że rozwiązie rówi ( może yć przedstwioe
Bardziej szczegółowoGdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą
W Z Ó R U M O W Y n r 1 4 k J Bk 2 0 Z a ł» c z n i k n r 5 z a w a r t a w G d y n i w d n i u 1 4 ro ku p o m i 2 0d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j ei d n o s t k» b
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoRys. 1. Interpolacja funkcji (a) liniowa, (b) kwadratowa, (c) kubiczna.
terpolcj.doc Iterpolcj fukcj. Sformułowe problemu: Rs.. Iterpolcj fukcj low, b kwdrtow, c kubcz. De są rgumet,,,. orz odpowdjące m wrtośc fukcj = f, = f,, = f. Postć fukcj = f jest e z lub z. Poszukw jest
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa i inne takie (krótka i prowizoryczna powtórka
lgebr mcerzow e te (rót prowzorycz powtór (uwg: tutj jest ezupełe osewet otcj tj. mcerze czsem są pogruboe czsem ursywe (tlcs) proszę sę e przejmowć t po prostu wyszło) PEWNE WZNE OPERCJE MCIERZOWE ozcz
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Fuzja danych nawigacyjnych w przestrzeni filtru Kalmana
ISSN 733-867 ZESZ NAUKOWE NR (83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-ECHNICZNA E X L O - S H I 6 Andrzej Stteczny, Andrzej Lsj, Chfn Mohmmd Fzj dnych nwgcyjnych w przestrzen
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowoPodstawy praktycznych decyzji ekonomiczno- finansowych w przedsiębiorstwie
odswy pryczych decyzji eooiczo- fisowych w przedsiębiorswie l wyłdu - Wrość pieiądz w czsie 4 h - Efeywość projeów w iwesycyjych 3-4 h -Wżoy osz piłu u WACC h odswy pryczych decyzji eooiczo- fisowych w
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Plan Rozwiązywanie układów równań liniowych
-4-4 METODY NUMERYCZNE Wykłd 6. Rozwązywe ukłdów rówń lowych dr h. ż. Ktrzy Zkrzewsk, prof. AGH Met.Numer. wykłd 6 Pl Metody dokłde Metod elmcj Guss Metod Guss-Sedl Rozkłd LU Metod Kryłow Metod LR QR Zdefowe
Bardziej szczegółowoSzeregi trygonometryczne Fouriera. sin(
Szrg rygoomryz Fourr / Szrg rygoomryz Fourr D js ukj: s os Pożj pod są włsoś ukj kór wykorzysmy w późjszym zs Ozzmy przz zę zspooą pos: Wówzs s os orz os s Fukję zpsujmy w pos: s s os os os u os W szzgóoś
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wykład nr 5: Aproksymacja i interpolacja. dr Piotr Fronczak
Metod umerze Wkłd r 5: Aproksmj terpolj dr Potr Frozk Aproksmj terpolj Aproksmj rówem lowm Błąd dopsow E - Fukj dwóh zmeh Fukj E m mmum dl tkh wrtoś, dl którh pohode ząstkowe względem zerują sę: E E Jest
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoMAXFLOW 1 k64 spec TURBO KOLEKTOR MANIFOLD M50 M52 M54 T3 T4 M50B25 M50B28 M52B28 M54B30
Uwozoo : 24 czewec 2019 > MAXFLOW 1 k64 sec TURBO KOLEKTOR MANIFOLD M50 MAXFLOW 1 k64 sec TURBO KOLEKTOR MANIFOLD M50 Model : 1 MAXFLOW 1 k64 sec TURBO KOLEKTOR MANIFOLD M50 M52 M54 T3 T4 M50B25 M50B28
Bardziej szczegółowoWykład 3: Transformata Fouriera
Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i
Bardziej szczegółowoZapis wskaźnikowy i umowa sumacyjna
Zpis wskźnikow i mow smcjn Pokzć, że e ikm e ikm Pokzć, że e e δ ikm jkm Dn jest mcierzow reprezentcj tensor 7 7 7 ), ), c) 7 7 Podć dziewięć skłdowch d zdefiniownch związkiem: Wrnki nierozdzielności możn
Bardziej szczegółowoLISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&
LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ dla I roku kierunku informatyka WSZiB
pro. dr hb. Stisłw Biłs ZADANIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I roku kieruku iormtyk WSZiB I. ELEMENTARNE WŁASNOŚCI FUNKCJI. Wyzczyć dziedzię ukcji: 5 7 log[ log 5 6. b c ] d. Wyzczyć przeciwdziedzię ukcji:
Bardziej szczegółowoMetoda prądów obwodowych
Metod prądów owodowyh Zmenmy wszystke rzezywste źródł prądowe n npęowe, Tworzymy kłd równń lnowyh opsjąyh poszzególne owody. Dowolną seć lnową skłdjąą sę z elementów skponyh możn opsć z pomoą kłd równń
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoWyznaczyć prędkości punktów A i B
Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w ruchu płaskim (a) Wyzaczyć prędkości puków i Dae: rad/s; ε 0; 5 cm; 5 cm 48 mechaika echicza kiemayka 3 Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowo21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,
CAŁA RZYWOLINIOWA NIESIEROWANA rzywą o rówaiach parameryczych: = (), y = y(), a < < b, azywamy łukiem regularym (gładkim), gdy spełioe są asępujące waruki: a) fukcje () i y() mają ciągłe pochode, kóre
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne procedury
Metod umercze procedur podstwe [Mrc et. l. 997] orz [Broszte et. l. 004] dr ż. Pweł Zlews Adem Mors w Szczece Iterpolc welomow: Zde terpolc poleg zlezeu pewe uc tór przlż dą ucę. Dl uc ze są prz tm wrtośc
Bardziej szczegółowoXI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:
XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn. 1.1. Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoEgzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Matematyka Finansowa
Egzm dl Akturuszy z 5 mrc 0 r. Mtmtyk Fsow Zd Krok : Ay koc roku yło co jmj ml K mus spłć rówość: 000000 50 000 K 50 000 000000 K Krok : Lczymy st kot koc roku zkłdjąc, Ŝ koc roku mmy ml 000000 50 5000
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE
Ekoeergetk Mtemtk 1. Wkłd 8. CIĄGI LICZBOWE Defiicj (ciąg liczbow) Ciągiem liczbowm zwm fukcję odwzorowującą zbiór liczb turlch w zbiór liczb rzeczwistch. Wrtość tej fukcji dl liczb turlej zwm -tm wrzem
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki
INSTYTUT MATEMATYKI POLITECHNIKA KRAKOWSKA Dr Mrgret Wicik e-mi: mwicik@pk.edu.p Równni różniczkowe cząstkowe - metod Fourier. Przykłdowe rozwiązni i wskzówki zd.1. Wyznczyć funkcję opisującą drgni podłużne
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)
Bardziej szczegółowoI. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,
I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego
Bardziej szczegółowoCAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Bardziej szczegółowoWykªad 8. Pochodna kierunkowa.
Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x
Bardziej szczegółowoMh n. 2 ε. h h/ n n. Ekstrapolacja Richardsona (szacowanie błędu) błąd. ekstrapolowana wartość całki I. kwadratury z adaptowanym krokiem
Ekstrapolacja Rchardsoa (szacowae błędu) dla daej, ustaloej metody błąd Mh zakładając, że M jest w przyblżeu ezależe od h I I + Mh h h/ / I I + Mh ekstrapolowaa wartość całk I I e I h / + Ih / ( I h )
Bardziej szczegółowoPOMIAR SIŁY ELEKTROMOTORYCZNEJ OGNIWA I CHARAKTERYSTYKI JEGO PRACY
ĆWICZENIE 5 POMIA SIŁY ELEKTOMOTOYCZNEJ OGNIWA I CHAAKTEYSTYKI JEGO PACY Elektrczość Mgetzm. Ops teoretcz do ćcze zmeszczo jest stroe.tc.t.ed.pl dzle DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABOATOYJNE.. Ops kłd pomroego
Bardziej szczegółowoTURBO KIT STAGE 2 - BMW 2.0 M50b20 M52b Full set k64 performance
Uwozoo : 12 kweceń 2019 BMW TURBO k64 sec > Tbo K BMW Tbo - zeswy > TURBO KIT STAGE 2 - BMW 2.0 M50b20 M52b20 300+ F TURBO KIT STAGE 2 - BMW 2.0 M50b20 M52b20 300+ Fll se k64 efomce Model : TURBO KIT STAGE
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna. Całka Riemanna
Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoProgramowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP
Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne 2017/2018
Mod urcz 7/8 Ior Sosow III ro Iżr Oczow II ro Włd 5 Rodzj roscj 8 8 8 - - - - 3 8 8 6 8 roscj rocj roscj jdosj [ ] roscj śrdowdrow d Twrdz Wrsrss ów ż d dowoj ucj oż zźć wo o dowo ł odchu s od j ucj Br
Bardziej szczegółowo