Nr: 1. Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 4. Metody obliczeniowe. wykład nr 4. róŝniczkowanie przybliŝone całkowanie numeryczne

Transkrypt

1 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Metody olczeowe wykłd r 4 róŝczkowe przylŝoe cłkowe umerycze

2 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Perwsz pochod ukc Ozcze: - ukc określo stce puktów {,..., } k : k k,..., k : k k,..., h - odległość medzy puktm węzłowym węzły rówoodległe Perwsz pochod ukc dec: ' k lm k k

3 Nr: 3 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Perwsz pochod ukc prostsze przylŝe wzory dwupuktowe wzór dwupuktowy w przód k k ', k h wzór dwupuktowy w tył k k k ', < k h źródł edokłdośc: łędy ocęc zmesząc h moŝ zwększyć dokłdość, łędy zokrągle k < wol zeŝość, koszt olczeń zcząco wzrst przy mleącym h

4 Nr: 4 Perwsz pochod ukc wzory welopuktowe Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 wzór trópuktowy k k k ', < k < h przylŝee est dore eśl zme sę wolo odcku o długośc h

5 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Pochode ukc wzory welopuktowe wzór pęcopuktowy 8 8 k k k, < k < h k k ' m węce puktów tym trude wyzczyć pochode w puktch rzegowych, wzór trópuktowy dl druge pochode k k k k '', < k < h wzór de dore przylŝee dl ukc wolozmee Zde: zpsz ukcę Scl olczącą przylŝoe wrtośc perwsze druge pochode de ukc w określoym pukce

6 Nr: 6 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Zde cłkow umeryczego Prolem, krńce przedzłu cłkow: d?

7 Nr: 7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Zde cłkow umeryczego Prolem, krńce przedzłu cłkow: d? MoŜlwe rozwąze: przylŝee ukc podcłkowe przez ukcę terpoluącą g przylŝmy wówczs: d g d

8 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Zde cłkow umeryczego Prolem, krńce przedzłu cłkow: d? MoŜlwe rozwąze: przylŝee ukc podcłkowe przez ukcę terpoluącą g przylŝmy wówczs: d g d dostemy oszcowe cłkę moŝemy olczyć z dowolą dokłdoścą, eŝel tylko de sę przylŝyć dowole dokłde: g < ε, [, ] [ g ] d ε

9 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: 9 Zde cłkow umeryczego przylŝee ukc podcłkowe welomem Lgrge o węzłch rówoodległych L d I dt t h I gdze [ ] [ ] dt t h dt h h h th h I h hdt d t th h d d L L I I ; ;,, ;

10 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Zde cłkow umeryczego poęce kwdrtury Wzory postc d k k k przylŝące wrtość cłk zywć ędzemy kwdrturm współczyk k zywć ędzemy współczykm kwdrtury, pukty k zywć ędzemy węzłm kwdrtury, Jeśl I d, Q k k k to wyrŝee R I Q zywć ędzemy resztą kwdrtury

11 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Kwdrtur koł Kwdrtur koł Prolemy stroŝyte skostruowu przy uŝycu cyrkl lk ez podzłk, kwdrtu, którego pole rówe est polu dego koł de gury geometrycze

12 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: Kwdrtury Newto-Cotes Kwdrtur powstł poprzez przylŝee ukc podcłkowe welomem Lgrge o węzłch rówoodległych os zwę kwdrtury Newto-Cotes dt t h I gdze L

13 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: 3 Kwdrtury Newto-Cotes ogóly wzór kwdrtury wzór trpezów ] [ ] [, h t h tdt h h t t h dt t h h Q dt t h I gdze Q

14 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: 4 Kwdrtury Newto-Cotes ogóly wzór kwdrtury wzór prol dt t h I gdze 3 ] 3 [ 3 4 ] 3 [ 3 ] 3 3 [ h t t h dt t t h h t t h dt t t h h t t t h dt t t h 4 6 Q

15 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Kwdrtury złoŝoe Newto-Cotes Błąd kwdrtur Newto-Cotes est proporcoly do pewe potęg długośc przedzłu cłkow eŝel przedzł cłkow est duŝy, kwdrtur wet skego stop moŝe e zpewć Ŝde dokłdośc Wyśce: podzel przedzł cłkow [,] pewą lczę podprzedzłów [ -, ],...,N; < <...< N- < N w kŝdym podprzedzle [ -, ] zstosu kwdrturę skego stop zsumu wyk. Kwdrturę ędącą sumą kwdrtur prostych zywmy kwdrturą złoŝoą. łąd kwdrtury złoŝoe est duŝo meszy Ŝ odpowede kwdrtury proste zwększąc lczę podzłów moŝemy dowole zmeszć łąd

16 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: 6 Kwdrtury złoŝoe Newto-Cotes złoŝoy wzór trpezów stosuąc wzór trpezów dl kŝdego z przedzłów [ -, ],...,N otrzymuemy po zsumowu, N k N k N Q 4 6, N Q N k k N k k N Q złoŝoy wzór prol - Smpso przymuąc N przyste, stosuąc wzór prol dl kŝdego z przedzłów [, ],...,N- dostemy:

17 Nr: 7 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Kwdrtury złoŝoe Newto-Cotes przykłd zstosow wzoru trpezów prol I d π 4 wzór trpezów 4 8 I p I eps wzór prol N 4 8 I p I eps I p I I % eps

18 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Zde cłkow umeryczego poęce rzędu kwdrtury Mówmy Ŝ kwdrtur Q est rzędu r eŝel: IWQW dl wszystkch welomów W stop meszego od r I ozcz wrtość dokłdą cłk stee welom W stop r r tk, Ŝe IW QW Kwdrtury Newto-Cotes oprte węzłch są rzędu dl przystych dl eprzystych

19 Nr: 9 Kwdrtury Guss Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Prolem dl ustloego poszukuemy kwdrtury o mksymlym rzędze Q przylŝące wrtość dokłdą cłk d prolem sprowdz sę do odpowedego wyoru węzłów k k k Kwdrturą o mksymlym rzędze rówym est kwdrtur zyw kwdrturą Guss. Wzory kwdrtury Guss podwe są dl postc zormlzowe F u du

20 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: Kwdrtury Guss -Legedre D ukc cągł przedzle [,] sprowdzmy cłkę do postc zormlzowe d du u F, u u u F du u F du u d u u du d,

21 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: Kwdrtury Guss -Legedre olczmy wrtość przylŝoą cłk u,...,n węzły kwdrtury - tzw. pukty Guss współczyk kwdrtury N - lość puktów Guss N u F du u F d u u F

22 Nr: Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Kwdrtury Guss-Legedre węzły współczyk

23 Nr: 3 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Kwdrtury Guss-Legedre przykłd sprowdzee cłk do postc zormlzowe: u, d du 5 d 5 d {[3 u ] } du 8u 4u du olczee wrtośc kwdrtury wrtość dokłd , F u 8u u 8u 4u

24 Nr: 4 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Olcze cłek welokrotych Ω...,..., d... d kutury - welowymrowe odpowedk kwdrtur złoŝoych dl ukc - zmeych podzł -wymrowe oszry regulre w których ze są wzory kwdrtur prostych? Z dl ukc -zmeych dokouąc podzłu odck [, ],..., m częśc otrzymuemy m -wymrowych kostek -5 - Y X Ω...,..., d... d Ω X śr?

25 Nr: 5 Olcze cłek welokrotych uogóloy wzór prol Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4, [, ] [ c, d ] y ddy? [,] [c,d] wyzcz prostokąty oszr cłkow przedzł [,] dzelmy częśc, przedzł [c,d] dzelmy m częśc. przymuemy ozcze, h,,...,,, h-/ y c, y ck,,...,m,, y m d, kd-c/m oszr cłkow zoste podzeloy m prostokątów [, ] [y,y ],,...,-;,,...,m-, w kŝdym z m prostokątów stosuemy kuturę prostą uogóloy wzór prol:

26 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: 6 Olcze cłek welokrotych uogóloy wzór prol dl prostokąt ozczoego R, otrzymuemy ormułę:, 6 ],,,, 4[,,,, 9,, y y y y y y y y y hk ddy y R

27 Nr: 7 Olcze cłek welokrotych uogóloy wzór prol Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 po zsumowu dostemy:, y ddy hk 9 [, ] [ c, d ] m, y Zde: zpsz ukcę ScL olczącą cłkę z ukc dwóch zmeych, wykorzystuącą uogóloy wzór trpezów. De weścowe:,,c,d,,,m. Przetestu dl ukc,yy oszrze [,][,4] przymuąc 5,m Zde: zpsz ukcę ScL olczącą cłkę z ukc dwóch zmeych, wykorzystuącą uogóloy wzór prol. De weścowe:,,c,d,,,m. Przetestu dl ukc,yy oszrze [,][,4] przymuąc 5,m

28 Nr: 8 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Olcze cłek welokrotych w przypdku gdy oszr cłkow e est prostokątem, kostruuemy prostokąt zwerący oszr cłkow, uduemy ukcę pomocczą, którą cłkuemy przy uŝycu wzoru kutur, y, y dl dl,, y Ω y R Ω

29 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: 9 Cłk podwó po trókące przykłd zstosow kutury Guss D est ukc dwóch zmeych,y cągł ogrczo w oszrze trókątym D. Werzchołk trókąt wyzczą pukty,y,,y, 3,y 3 e leŝące ede proste. Wprowdz sę podstwee ormlzuące wyścowy trókąt do trókąt prostokątego, rówormeego o werzchołkch,,,,,: η ξ η ξ 3 3 y y y y y y

30 Nr: 3 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Cłk podwó po trókące przykłd zstosow kutury Guss Zm ukłdu współrzędych wymg pomoŝe ukc podcłkowe przez tzw. co przeksztłce: D - pole wyścowego trókąt D

31 Nr: 3 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Cłk podwó po trókące przykłd zstosow kutury Guss Fukc podcłkow dl trókąt zormlzowego przymue postć: Końcowy wzór do olcz cłk podwóe po trókące: ξ,η - współrzęde puktów Guss w - współczyk kwdrtury - lcz puktów Guss ξ η w 3 / / /3 / /3 / /3

32 Nr: 3 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Cłk podwó po trókące przykłd zstosow kutury Guss Olczyć cłkę z ukc,y3y- po oszrze trókątym zudowym werzchołkch,,3,,,

33 Nr: 33 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Cłk podwó po trókące przykłd zstosow kutury Guss Zde: zpsz ukcę ScL olczącą cłkę z ukc dwóch zmeych, po trókące, wzorem 3-puktowym Guss. De weścowe: współrzęde werzchołków trókąt, ukc,y. Przetestu dl podego wyŝe przykłdu.

34 Nr: 34 Wzory kutur Guss Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 gotowe wzory dl prostych gur geometryczych trsormc cłk zm zmeych, przeksztłcee ukc podcłkowe Ω, y ddy S F ξ, η dξdη

35 Nr: 35 Metody olczeowe Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 metody Mote Crlo

36 Nr: 36 Olczee cłk welokrote metodą Mote Crlo D ukc y,..., m cłkowl po oszrze domkętym ogrczoym S. Olczmy cłkę geometrycze lcz I przedstw m-wymrową oętość wlcodu prostego w przestrze R m, zudowego d podstwą S, ogrczoego z góry dą powerzchą Czy S I...,..., d... m d m...,..., m d... d S Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 X m śr S?

37 Nr: 37 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Olczee cłk welokrote metodą Mote Crlo Cłkę I...,..., m d... d m przeksztłcmy w te S sposó, y oszr cłkow zwrty ył w cłośc wewątrz - wymrowego prostopdłoścu o oku edostkowym oszr S ogrczmy m-wymrowym rówoległookem,,..., m dokouemy zmy zmeych: ξ,,..., m

38 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Nr: 38 Olczee cłk welokrote metodą Mote Crlo olczmy Jco przeksztłce otrzymuemy cłkę m m m m,...,...,...,...,...,... m m m m m m m m m F d d F I ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ σ

39 Nr: 39 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Olczee cłk welokrote metodą Mote Crlo wyermy m cągów losowych o rozkłdze rówoprwdopodoym w przedzle [,] { ξ, ξ,..., ξ,...} { ξ... { ξ m, ξ, ξ m,..., ξ,..., ξ m,...},...} pukty moŝemy rozptrywć ko pukty losowe m M ξ, ξ,..., ξ,,... erzemy N puktów dosttecze duŝą lczę: M,M,...,M N sprwdzmy które z ch leŝą do oszru σ ech dl wygody zmemy wskźk: M M σ σ dl dl,,..., N N, N,..., N

40 Nr: 4 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Olczee cłk welokrote metodą Mote Crlo orąc dosttecze duŝą lczę puktów M,M,...,M N leŝących do oszru σ olczmy średą rytmetyczą N F śr N M szuk cłk wyrŝ sę wzorem σ ozcz m-wymrową oętość oszru cłkow σ N σ I σy F śr N M eśl oętość σ trudo olczyć, moŝemy przyąć y σ N N I F M N N

41 Nr: 4 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Olczee cłk welokrote metodą Mote Crlo przykłd olczeowy olczmy cłkę oszr cłkow określoy est erówoścm, y geeruemy N puktów losowych, leŝących w [,] [,] I y ddy S

42 Nr: 4 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Olczee cłk welokrote metodą Mote Crlo przykłd olczeowy N lcz wygeerowych puktów losowych N lcz puktów leŝących do oszru cłkow y śred wrtość N F śr N M N /N przylŝoe pole oszru cłkow I przylŝo wrtość cłk łąd procetowy wrtość dokłd cłk.875

43 Nr: 43 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Relzc metody komputerowe Oekt rzeczywsty proektowy proekt owego oektu udowlego zproektowe elemetów kostrukcyych oektu udowlego w oprcu o pewe ustloe reguły oddzływe oektu udowlego otoczee, wpływ otocze owy oekt udowly

44 Nr: 44 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Relzc metody komputerowe Oekt rzeczywsty proektowy wr udowl sposoy przecwdzł wpływ środowsk oekt udowly wpływ ruchu pozdów, wpływ wód grutowych powerzchowych, etc.

45 Nr: 45 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Relzc metody komputerowe Oekt rzeczywsty proektowy Model zyczy Model dego oektu przedstwee myślowe zycze ędące pewego rodzu podozą uproszczoy orz rzeczywstośc elmue sę lu uprszcz pewe cechy oektu lu e elemety estote dl dego celu, pom me wŝe czyk, lu te które dl Ŝyer są e stote de modelu pozwl otrzymywć ormce o oryglym oekce model moŝe opsywć wele róŝych oektów odwzorowe rzeczywstego prolemu, tz. uwzględee czyków spektów prolemu, stotych dl Ŝyer uprszczć rzeczywsty prolem delzc geometr oektu, mterł z którego est wykoy, ocąŝe, przyszłe wruk uŝytkow, operc strhow wyszuke cech stotych

46 Nr: 46 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Relzc metody komputerowe Oekt rzeczywsty proektowy Model zyczy Model mtemtyczy Model mtemtyczy opse modelu zyczego z pomocą prtu mtemtyczego określee zmeych prmetrów, zleŝośc mędzy zmeym wyodręee zmeych weścowych wyścowych wyków określee kokretych postc rówń Model strkcyy podoe sormułowe moŝe opsywć zwsk zchodzące w róŝych dzedzch, Powe zpewć: stee edozczych rozwązń stlość rozwązń względem wruków początkowych ych dych występuących w modelu

47 Nr: 47 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Relzc metody komputerowe Oekt rzeczywsty proektowy Model zyczy Model mtemtyczy Model umeryczy Przeksztłcee modelu mtemtyczego tk, y zde mogło yć rozwąze przez komputer wyór lgorytmu sposou rozwąz zd umeryczego Model słuŝy udowe progrmu komputerowego, lu wyru tkego steącego oprogrmow, które pozwol rozwązć dy prolem Model umeryczy progrm komputerowy metody umerycze

48 Nr: 48 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Relzc metody komputerowe Oekt rzeczywsty proektowy Model zyczy Model mtemtyczy Model umeryczy Czyk decyduące o wyorze modelu umeryczego: dokłdość precyz uzyskych wyków z reguły duŝy kłd olczeń często chrkter edorzowy opsuą rdzo wąsk rgmet rzeczywstośc uwerslość ogólość modelu szeroke zstosowe otrzymywe wyk e zwsze są pozytywe zwerykowe koszt lcz wykoych operc, dzłń rytmetyczych logczych, etc. koszt oprogrmow progrm komputerowy metody umerycze

49 Nr: 49 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Relzc metody komputerowe Oekt rzeczywsty proektowy Model zyczy wykoe olczeń, otrzyme wyków werykc wyków modelu z rzeczywstym oektem, lz łędów chrkterystyk wyków otrzyme w rezultce olczeń komputerowych pokrywą sę z dym eksperymetlym z zdym stopem dokłdośc Model mtemtyczy werykc Model umeryczy progrm komputerowy wyk olczeń metody umerycze

50 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Zwsowe metody rozwązyw zdń Ŝyerskch metod elemetów skończoych MES lzowy oszr dzel sę myślowo pewą skończoą lczę geometrycze prostych elemetów, tzw. elemetów skończoych, zkłd sę, Ŝe elemety połączoe są ze soą w skończoe lcze puktów zwych węzłm. Rów róŝczkowe opsuące de zwsko przeksztłc sę, do rówń metody elemetów skończoych. Są to rów lgercze. Rozwązue sę ukłd rówń otrzymuąc wrtośc poszukwych welkośc zyczych w węzłch, stępe w dowolych puktch lzowego oszru

51 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Podsumowe RóŜczkowe cłkowe umerycze Olcze perwsze druge pochode ukc wzory dwupuktowe, wzór trópuktowy, pęcopuktowy Cłkowe umerycze sormułowe prolemu, określee sposou rozwąz Poęce kwdrtury węzły kwdrtury, współczyk kwdrtury, reszt kwdrtury Kwdrtury Newto-Cotes wyprowdzee wzoru kwdrtury proste : wzór trpezów lcz węzłów wzór prol lcz węzłów 3

52 Nr: 5 Metody olczeowe - Budowctwo semestr - wykłd r 4 Podsumowe - cd. RóŜczkowe cłkowe umerycze ZłoŜoe kwdrtury Newto-Cotes Poęce rzędu kwdrtury rząd kwdrtur Newto-Cotes Istot lgorytm metody Romerg Prolem kwdrtur o mksymlym rzędze welomy ortogole, kwdrtur Guss-Legedre cłkowe ukc kwdrturm Guss postć zormlzow cłk, pukty Guss