ESTYMACJA MIARY MARTYNGAŁOWEJ NA PODSTAWIE CEN OPCJI Z GIEŁDY PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH W WARSZAWIE

Transkrypt

1 METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XV/4, 04, str ESTYMACJA MIARY MARTYNGAŁOWEJ NA PODSTAWIE CEN OPCJI Z GIEŁDY PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH W WARSZAWIE Paweł Klber Katedra Ekonom Matematycznej, Unwersytet Ekonomczny w Poznanu e-mal: p.klber@ue.poznan.pl Streszczene: W artykule prezentujemy zastosowane szacowana mary martyngałowej dla ndeksu WIG0 z Gełdy Paperów Wartoścowych w Warszawe. Marę martyngałową szacujemy na podstawe cen opcj na ten ndeks. Przyjmujemy, że mara martyngałowa jest meszanną rozkładów logarytmczno-normalnych, a parametry rozkładu szacujemy mnmalzując sumę kwadratów błędów wyceny. Otrzymane wynk porównujemy z modelem zakładającym rozkład logarytmczno-normalny. Jak przykład rozważamy zmany mary martyngałowej na początku marca 04 r., po rozpoczęcu kryzysu na Kryme. Słowa kluczowe: wycena martyngałowa, rozkład prawdopodobeństwa mplkowany przez ceny opcj, awersja do ryzyka, realna mara probablstyczna, wykrywane wydarzeń WPROWADZENIE Jedną z podstawowych reguł nowoczesnej teor fnansów jest zasada wyceny martyngałowej. Zgodne z tą zasadą cena dowolnego nstrumentu fnansowego jest równa wartośc oczekwanej zdyskontowanych przepływów zwązanych z tym nstrumentem, przy czym wartość oczekwana jest wyznaczana ne na podstawe rzeczywstych prawdopodobeństw, ale przy przyjęcu pewnej sztuczne wprowadzonej mary probablstycznej, nazywanej marą martyngałową. Mara ta to rozkład prawdopodobeństwa, który przyjmowałby hpotetyczny Patrz np. Musela, M., Rutkowsk, M. (008) Martngale Methods n Fnancal Modellng, Sprnger lub Plska, S.R. (005) Wprowadzene do matematyk fnansowej. Modele z czasem dyskretnym, WNT, Warszawa.

2 38 Paweł Klber nwestor pozbawony awersj do ryzyka, przy założenu, że jego wycena nstrumentów fnansowych byłaby zgodna z obserwowaną wyceną rynkową dlatego określa sę ją także jako marę neutralną względem ryzyka (ang. rskneutral measure). Na rynku mamy zatem do czynena z dwoma różnym maram probablstycznym: marą rzeczywstą P, opsującą rzeczywste prawdopodobeństwa różnych pozomów cen oraz marą martyngałową Q, zawerającą nformacje na temat wyceny rynkowej. Ta druga mara zawera nformacje o oczekwanach rynków, co do przyszłego rozwoju sytuacj, oraz o awersj nwestorów wobec ryzyka. Gęstość mary martyngałowej względem mary rzeczywstej nazywana jest rynkową ceną ryzyka określa nechęć nwestorów do ryzyka w możlwych przyszłych stanach śwata. W pracy [Breeden, Ltzenberg 978] zauważono, że marę martyngałową dla dowolnego, przyszłego momentu T można wyznaczyć na podstawe opcj europejskch, których termnem wykonana jest T, jeżel stneje odpowedno dużo opcj o różnej cene wykonana. W teoretycznym przypadku, jeżel stneje neskończene wele opcj (kupna lub sprzedaży) z dowolną ceną wykonana, gęstość mary martyngałowej można otrzymać jako drugą pochodną funkcj ceny opcj w zależnośc od ceny wykonana. W praktyce opcj jest jednak skończene wele, skąd pojawła sę koneczność opracowana nnych metod wyznaczana mary martyngałowej, których przegląd można znaleźć w opracowanu [Bahra 997]. Oszacowana mary martyngałowej mają dwa podstawowe zastosowana. Perwszym jest wykrywane możlwośc arbtrażu, na co zwrócono uwagę już w [Breeden, Ltzenberg 978]. Jeśl przy aktualnych cenach rynkowych ne można znaleźć gęstośc mary martyngałowej prawdopodobeństwa pewnych stanów śwata są ujemne oznacza to, że opcje o różnych cenach wykonana są nepoprawne wycenone. Możlwe jest wówczas stworzene strateg opcyjnej (portfela złożonego z trzech opcj kupna, taka stratega nazywana jest spreadem motyla 3 ) pozwalającej na wykorzystane możlwośc arbtrażu. Oprócz tego oszacowana take stosowane są w analze zdarzeń rynkowych wykrywanu oczekwań rynków. W [Bahra 997] przedstawono klka propozycj wykorzystana tego podejśca przez władze monetarne (m.n. do oceny oczekwań skutecznośc poltyk penężnej oczekwań nflacyjnych). W artykule [Jackwerth, Rubnsten 996] przedstawono pewną metodę szacowana mary martyngałowej na podstawe cen opcj na ndeks S&P 500. Jak stwerdzono, po kryzyse gełdowym z paźdzernka 987 roku martyngałowe prawdopodobeństwa dużych spadków wartośc ndeksu są welokrotne wększe nż odpowedne prawdopodobeństwa w merze rzeczywstej, wyznaczone przy założenu normalnośc stóp zwrotu, co dowodz zmany oczekwań. Kryzys ten badano także Patrz np. Bjork, T. (009) Arbtrage Theory n Contnuous Tme, Oxford Unversty Press. 3 Patrz np. Hull, J. (009) Optons, Futures and Other Dervatves, Prentce Hall, s. 5.

3 Estymacja mary martyngałowej na podstawe cen opcj 39 w [Bates 99]. W artykule [Melck, Thomas 997] zastosowano analzowano zmany oczekwana na rynku ropy naftowej po wojne w Zatoce Perskej w roku 990. Autorzy wykazal, że po wojne rozkład martyngałowy zmenł kształt pojawł sę w nm gruby prawy ogon. Problem analzy rynku ropy naftowej był następne podejmowany w pracach [Sadorsky 00] [Gagnon, Power 03] W pracy [Mandler 00] porównano kształt rozkładu w tygodnach, w których odbywały sę zebrana Rady Prezesów Europejskego Banku Centralnego z rozkładem martyngałowym w tygodnach bez zebrań wykazano stotne różnce mędzy tym rozkładam. Zmany mary martyngałowej, wyznaczonej na podstawe opcj na kontrakty futures LIFFE-Eurbor charakteryzowały sę dużą różnorodnoścą ne zdołano uzyskać jednoznacznych rezultatów. Natomast w pracy [Brru, Fglewsk 0] oszacowana rozkładów prawdopodobeństwa wykorzystano do analzy kryzysu fnansowego 008 roku. W pracy [Wang 009] zastosowano oszacowana mary martyngałowej dla ndeksu FTSE 00 przy założenu, że proces stochastyczny opsujący wartość ndeksu posada skok pokazano, że zdolność predykcyjna modelu takego modelu jest lepsza W artykule [Aït-Sahala, Jacod 009] zaproponowano metodę wykrywana skoków w procese cen akcj opartą na szacowanu mary martyngałowej na podstawe cen opcj. W pracy [Chab-Yo, Garca, Renault 008] wykorzystal przekształcena mar martyngałowych do próby wyjaśnena zagadk nadmernej prem za ryzyko 4 W artykule [Zegler 007] podjęto próbę wyjaśnena tzw. uśmechu zmennośc (ang. volatlty smle), przyjmując, że może on być wywołany przez agregację mar martyngałowych nwestorów o różnych oczekwanach. W pracach [Lu et al. 007], [de Vncent-Humphereys, Noss 0] oraz [de Vncent-Humphereys, Pugvert 0] podjęto próbę powązana mary martyngałowej z marą rzeczywstą. Zwrócono uwagę, że mara martyngałowa, oszacowana na podstawe cen opcj, może stanowć uzupełnene prognoz tworzonych na podstawe danych hstorycznych, jeśl uda sę znaleźć odpowedną transformację od prawdopodobeństw martyngałowych do prawdopodobeństw rzeczywstych. Jako taką transformację proponowano m.n. funkcję rozkładu beta, uogólnone rozkłady beta oraz przekształcena oparte na funkcj użytecznośc ze stałą awersją do ryzyka. W artykule podejmujemy próbę oszacowana mar martyngałowych dla zdarzeń na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe na podstawe opcj na ndeks WIG0. Zastosowane standardowych metod na rynku polskm zwązane jest z poważnym problemam, poneważ opcje znajdujące sę w obroce na GPW są mało płynne. W zwązku z tym do szacowana rozkładu martyngałowego należy stosować podejśce parametryczne z małą lczbą parametrów. Oszacowane 4 Patrz Mehra, R., Prescott, E.C. (985) The Equty Premum: A Puzzle, Journal of Monetary Economcs, vol. 5, ss

4 40 Paweł Klber rozkłady można następne porównywać z rozkładem martyngałowym otrzymanym z modelu Blacka-Scholesa, podobne jak robono to w [Melck, Thomas 997] [Mandler 00], wnoskować stąd o zmanach oczekwań nwestorów ch skłonnośc do akceptacj ryzyka w odpowedz na pewne wydarzena rynkowe. ESTYMACJA MIARY MARTYNGAŁOWEJ NA PODSTAWIE CEN OPCJI EUROPEJSKICH Rozważmy europejską opcję kupna z termnem wykonana T ceną wykonana K. Zgodne z zasadą wyceny martyngałowej cena tej opcj w chwl 0 wynos rt Q c( K, T ) = e E [( S K ) ] + T, () gdze S T to cena nstrumentu, na który opcja jest wystawona, Q to mara martyngałowa, a r jest stopą zwrotu wolną od ryzyka. Należy podkreślć, że Q zwązana jest z konkretnym momentem wykonana T - określa rozkład cen nstrumentu S w tym właśne momence. Zakładając, że rozkład ten jest cągły, oznaczmy jego gęstość przez (x). Wzór () można zatem zapsać w postac q T + rt ( x K ) c ( K, T) = e q ( x) dx. () K Podobne, cenę opcj sprzedaży z ceną wykonana K możemy wyrazć następującym wzorem: ( K x) T rt p( K, T ) e qt ( x) dx. (3) = K 0 Różnczkując dwukrotne obe strony równana () względem K otrzymujemy rt c( K, T) qt ( x) = e (4) K Podobne, z równana (3) można otrzymać następującą zależność rt p( K, T) qt ( x) = e. (5) K Zatem jeśl posada sę obserwacje cen opcj (kupna lub sprzedaży) przy wszystkch możlwych cenach wykonana, można wyznaczyć rozkład martyngałowy. W praktyce jest to oczywśce nemożlwe notowanych jest jedyne klka opcj na dany nstrument z różnym cenam wykonana. Gęstość mary martyngałowej można jednak oszacować na podstawe obserwowanych cen opcj, przyjmując odpowedne założena, co do postac tej gęstośc. Przegląd stosowanych metod można znaleźć w [Aparco, Hodges 998] oraz [Fusa, Roncoron 008]. Ponżej przedstawamy krótką charakterystykę różnych podejść.

5 Estymacja mary martyngałowej na podstawe cen opcj 4. Podejśce neparametryczne, oparte na regresj kernelowej, zostało zaproponowane w [Aït-Sahala, Lo 998]. Wymaga ono jednak odpowedno dużej lczby obserwacj. W warunkach polskch, gdze rynek opcyjny jest mało płynny, tej metody ne można zastosować.. Podejśce oparte na dopasowywanu zmennośc w modelu. W pracach [Rubnsten 994], [Jackwerth, Rubnsten 996], [Jackwerth 999] zastosowano w tym celu mplkowane drzewa dwumanowe. Natomast w artykułach [Durpe 994] [Derma, Kan 994] wykorzystano uśmech zmennośc W obu tych podejścach przyjmuje sę pewne założena co do przyszłych zmennośc nstrumentu podstawowego, aby otrzymać w modelu obserwowane na rynku ceny opcj. 3. Podejśce oparte na przyjęcu modelu dyfuzj ze skokam do opsu zman cen nstrumentu podstawowego zostało przedstawone w artykułach [Hull, Whte 987], [Heston 993], [Bates 99], [Wang 009]. Głównym problemem w tym podejścu jest brak wzorów analtycznych na cenę opcj w modelu dyfuzj ze skokam. Opcje są wycenane numeryczne, co znaczne wydłuża czas oblczeń. 4. W pracach [Shmko 993], [Dumas, et al. 998] przyjęto pewną sparametryzowaną postać powerzchn zmennośc (wyrażającej zmenność mplkowaną w zależnośc od ceny wykonana termnu wykonana). Na podstawe oszacowanej powerzchn zmennośc wyznaczono marę martyngałową, korzystając z wzorów (4) (5). 5. W artykułach [Melck, Thomas 997] [Söderlnd, Svensson 997] zastosowano parametryczną postać funkcj gęstośc mary martyngałowej, a następne szacowano parametry mnmalzując różnce mędzy teoretycznym obserwowanym cenam opcj. W oblczenach w tym artykule przyjmemy to ostatne podejśce. Podobne, jak w [Melck, Thomas 997] przyjmujemy, że martyngałowy rozkład prawdopodobeństwa cen nstrumentu bazowego w chwl wykonana jest meszanną rozkładów logarytmczno-normalnych. Gęstość rozkładu ma zatem postać: T k q ( x) = w f ( x, µ, σ ), (6) = gdze wag w > 0 sumują sę do jednośc ( w = ), zaś f ( x, µ, σ ) to k = gęstość rozkładu logarytmczno-normalnego z parametram µ σ : f ( x, µ, σ ) = exp ln x ln S0 µ T + σ T (7) xσ πt σ T Ceny opcj w takm modelu są średnm ważonym cen wyznaczonych na podstawe wzoru Blacka-Scholesa. Ceny opcj kupna wynoszą

6 4 Paweł Klber k µ + σ T rt c( K, T ) = e w S 0e N( d ) KN( d ), (8) = gdze S 0 jest obecną ceną nstrumentu podstawowego, N ( ) to funkcja dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego, a współczynnk d oraz d są równe 5 σ S K µ ln 0 ln + + T d =, (9) σ T σ S K µ ln 0 ln + T d =. (0) σ T Natomast cena opcj sprzedaży jest równa k ( ) µ + σ T rt p( K, T ) = e w KN d S0e N( d ). () = Ze wzoru (8), podstawając K = 0, można też otrzymać cenę termnową (futures) nstrumentu podstawowego która wynos U T = e rt k = w S e µ + σ T 0 Oszacowane mary martyngałowej polega na wyznaczenu odpowednch wartośc parametrów µ, σ, w, =..., k. Dla meszanny k rozkładów logarytmcznych należy oszacować 3k parametrów. Współczynnk modelu można kalbrować mnmalzując sumy kwadratów odchyleń mędzy teoretycznym obserwowanym cenam opcj. Załóżmy, że dysponujmy obserwacjam n cen opcj kupna c, c,, c n o cenach wykonana K, K,, K n m cen opcj sprzedaży p, p,, p m o cenach wykonana H, H,, H m, a wszystke opcje mają ten sam termn wykonana T. Wektor () 5 Jak można zauważyć, wzory te różną sę od standardowej wersj w lcznku brak jest parametru r (stopy wolnej od ryzyka). Jest to spowodowane tym, że we wzorze Blacka- Scholesa parametry dryfu ( µ ) dyfuzj (σ ) są wyznaczone w merze rzeczywstej, natomast tutaj są to parametry mary martyngałowej.

7 Estymacja mary martyngałowej na podstawe cen opcj 43 parametrów θ = ( µ,..., µ k, σ,..., σ k, w,..., wk ) doberamy rozwązując następujące zadane optymalzacj nelnowej n mn θ = pod warunkem, że m rt ( c c( K, T )) + ( p p( H, T )) + ( UT e S ) 0 =, (3) σ, σ,..., 0 oraz w, w,..., 0, w =. (4) σ k > w k DANE I PROCEDURA OBLICZENIOWA Do estymacj rozkładu prawdopodobeństwa mary martyngałowej na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe posłużylśmy sę danym dotyczącym cen opcj na ndeks WIG0. Notowana cen opcj oraz wartośc ndeksu zaczerpnęlśmy z bazy danych EIKON Thomson Reuters. Oszacowana przeprowadzalśmy dla czterech momentów, odpowadających termnom zapadalnośc czterech ser opcj: marca 04, 0 czerwca 04, 9 wrześna 04 9 grudna 04 r. Dla każdej ser notowano opcje o różnych cenach wykonana, przy czym ceny wykonana dla opcj kupna sprzedaży były zawsze take same. Dla ser o termne wykonana marca 04 oraz 0 czerwca 04 r. notowano opcje o cenach wykonana: 800, 900, 000, 00, 00, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, Dla ser o termne wykonana 9 wrześne 04 r. ceny wykonana były następujące: 000, 00, 00, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, Dla ser o termne wykonana 9 grudna 04 r. ceny wykonana to: 000, 00, 00, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900. Rynek opcj w badanym okrese ne był bardzo płynny. W przypadku każdej ser stnały dn sesyjne, w których ne odbywały sę żadne transakcje na opcje z tej ser. Na ogół bardzej płynne były tańsze opcje ne w cene (out-of-themoney), przy czym opcje najtańsze charakteryzowały sę najwększą płynnoścą. W przypadku opcj kupna były to zatem opcje z wyższą ceną wykonana, a w przypadku opcj sprzedaży z nższą ceną wykonana. Na ogół bardzej płynne były opcje o krótszym termne wykonana (a węc z wcześnejszych ser).w przypadku braku transakcj GPW jako cenę zamknęca podaje cenę wyznaczoną na podstawe wzoru Blacka-Scholesa. Uwzględnając te notowana przy szacowanu mary martyngałowej, otrzymalbyśmy oszacowana obcążone w kerunku rozkładu logarytmczno-normalnego, co obnżyłoby moc testów stosowanych do sprawdzana, czy rozkłady martyngałowe stóp zwrotu różną sę stotne od rozkładu normalnego. Dlatego do oszacowana mary martyngałowej w każdym dnu uwzględnalśmy jedyne notowana opcj, którym w danym dnu handlowano. k =

8 44 Paweł Klber Z uwag na nską płynność małą lczbę opcj podlegających obrotow, muselśmy przyjąć rozkład o małej lczbe parametrów. Przyjęlśmy podejśce opsane w [Melck, Thomas 997], zgodne z którym mara martyngałowa jest meszanną rozkładów logarytmczno-normalnych. W [Melck, Thomas 997] analzowano ceny ropy naftowej w okrese perwszej wojny w Zatoce Perskej przyjęto wobec tego, że rozkład martynagłowy jest meszanną trzech rozkładów logarytmczno-normalnych, które były zwązane z trzema oczekwanym przez rynek rozwązanam kryzysu poltycznego: ) powrotem do sytuacj sprzed kryzysu, ) poważnym uszkodzenem nfrastruktury wydobywczej w krajach Zatok Perskej, 3) kontynuacją sytuacj kryzysowej. W przypadku meszanny trzech rozkładów logarytmczno-normalnych lczba parametrów do oszacowana wynos 0. Z powodu nskej płynnośc opcj notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe zdecydowalśmy sę na przyjęce, że mara martyngałowa stanow meszannę jedyne dwóch rozkładów logarytmczno-normalnych. Lczba parametrów do oszacowana wynos wówczas jedyne 7. Przyjęce meszanny dwóch rozkładów ma oprócz tego naturalną nterpretację ekonomczną: nwestorzy mogą oczekwać kontynuacj obecnego trendu lub mogą sę spodzewać zakłóceń na gełdze warszawske lub w całym regone Europy Wschodnej. Dla każdego dna z okresu od lpca 03 r. do 9 marca 04 r. wykonywalśmy oblczena dla każdej ser opcj, która była notowana w tym dnu. Marę martyngałową szacowalśmy na podstawe cen opcj, dla których wykonywano transakcje (dzenny wolumen obrotu był wększy od zera). W przypadku, gdy lczba takch opcj była mnejsza nż 8, dla danego dna ne wykonywalśmy oblczeń. Tabela przedstawa podstawowe nformacje dotyczące. próby. Jak można zauważyć, dla opcj z ser czerwcowej, wrześnowej grudnowej ne można było przeprowadzć oblczeń w wększość dn sesyjnych z powodu zbyt małej lczby opcj, na które odbywały sę transakcje. Znaczne bardzej płynne były opcje z ser marcowej. Możlwe było dokonane oszacowań dla 36 dn sesyjnych (z łącznej próby 79 dn). Tabela. Informacje dotyczące uwzględnonych w badanu ser opcj Sera opcj Okres (data wykonana) obserwacj marcowa (.3.04) czerwcowa (0..04) wrześnowa (9.9.04) grudnowa (9..04) Źródło: opracowane własne Lczba dn w próbe Lczba dn w badanu Lczba aktywnych opcj (średna) Aktywnych opcj sprzedaży (średna) ,3 6, , 3, 9,0, 58 5,9,8

9 Estymacja mary martyngałowej na podstawe cen opcj 45 Uwag: Do badana brano tylko aktywne opcje, tj. take, dla których odbywały sę transakcje w danym dnu sesyjnym. Ostatne dwe kolumny podają, le takch opcj (kupna sprzedaży) przypadało średno na dzeń sesyjny w okrese obserwacj. W próbe, na podstawe której dokonywano oszacowań, uwzględnono jedyne dn sesyjne, w których lczba aktywnych opcj przekraczała 8. WYNIKI Prawdopodobeństwa martyngałowe wyznaczalśmy mnmalzując sumę kwadratów odchyleń cen teoretycznych od cen rynkowych, czyl rozwązując zadane (3)-(4). Oblczena przeprowadzono numeryczne za pomocą funkcj przygotowanych w pakece R 6. Dla porównana, oprócz szacowana mary martyngałowej w modelu z meszanną dwóch rozkładów logarytmcznonormalnych (model ten oznaczamy lterą M), wyznaczylśmy też tę marę przyjmując, że jej rozkład jest logarytmczno-normalny (model ten oznaczamy lterą L), czyl że spełnone są założena modelu Blacka-Scholesa. Tabela zawera nformacje na temat dopasowana obu model. Kolumy druga trzeca zawerają dane dotyczące średnej wartośc mnmalzowanej funkcj celu (3) oraz odchylena standardowego tej welkośc, oblczone na podstawe wszystkch dn, dla których dokonywano oblczeń. Tabela zawera też nformacje o błędze średnokwadratowym (MSE) oraz średnm błędze względnym (MAPE). Tabela. Jakość dopasowana modelu logarytmczno-normalnego modelu z meszanną rokładów. Suma kwadratów odchyleń MSE MAPE Sera Model L Model M Model L Model M Model L Model M marcowa 700, 86,6 (93,9) (95,) 9,98 7,07 0,3 0,40 czerwcowa 8448, 454,4 (399,6) (9,) 4,5 8,48 0,49 0,3 wrześnowa 360,0 09,9 (65,4) (9,9),44 3,80 0,9 0,09 grudnowa 88,3 03, (733,6) (8,8) 5,46,66 0,09 0,04 Źródło: oblczena własne Tabela 3 zawera statystyk oszacowanych parametrów dla modelu mary martyngałowej opartym na meszanne rozkładów logarytmczno-normalnych. Przedstawone wartośc maksymalne, mnmalne, średne odchylena standardowe zostały oblczone na podstawe wynków ze wszystkch dn, w który możlwe było 6 R Core Team (03) R: A language and envronment for statstcal computng. R Foundaton for Statstcal Computng, Venna, Austra.

10 46 Paweł Klber wykonane oszacowań. Jak można zauważyć rozkład perwszy w meszanne rozkładów charakteryzuje sę mnejszą wartoścą oczekwaną ( µ < µ ) wększym odchylenem standardowym ( σ > σ ). Można go zatem znterpretować jako oczekwany przez nwestorów gorszy stan śwata w przyszłośc, w którym realzują sę nższe stopy zwrotu przy wększej zmennośc. Parametr w, określający udzał perwszego rozkładu w meszanne rozkładów można zatem znterpretować jako współczynnk nepokoju, oznaczający oczekwane przez nwestorów prawdopodobeństwo realzacj tego gorszego stanu. Tabela 3. Statystyk oszacowanych parametrów modelu M Sera µ µ σ σ w marzec Max -0,09 5,467 0,58 0,7 0,805 Średna -,6 0,68 0,48 0, 0,338 Mn -4,083-0,0 0,000 0,000 0,09 Odch. std. 3,59 0,484 0,095 0,037 0,70 czerwec Max -0,09 0, 5,45,43,000 Średna -,07 0,878 0,56 0,367 0,504 Mn -0,879 -,4 0,000 0,000 0,000 Odch. std. 3,755,306 0,70 0,450 0,09 wrzeseń Max -0,08 4,67 3,668 7,05,000 Średna -,74 0,309 3,70 0,753 0,8 Mn -68,533 -,097 0,354 0,09 0,06 Odch. std. 8,3,0 4,0,550 0,99 grudzeń Max -0,,08 9,733 7,876,000 Średna -5,64 0,75,63,365 0,368 Mn -35,93-0,653 0,0 0,86 0,000 Odch. std. 9,686 0,689 3,09,339 0,375 Źródło: oblczena własne W Tabel 4 znajdują sę charakterystyk otrzymanych rozkładów. Tabela zawera nformacje na temat wartośc oczekwanej, odchylena standardowego, współczynnka skośnośc kurtozy nadwyżkowej zarówno oszacowanych rozkładów logarytmczno-normalnych, jak meszanny takch rozkładów (model M). Tabela zawera średne wartośc charakterystyk, a w nawasach podano odchylena standardowe. Jak łatwo zauważyć, stosując meszannę rozkładów logarytmczno-normalnych otrzymuje sę na ogół wyższe oszacowana odchylena standardowego kurtozy.

11 Estymacja mary martyngałowej na podstawe cen opcj 47 Tabela 4. Charakterystyk otrzymanych rozkładów Wartość oczekwana Odchylene std. Wsp. Skośnośc Kurtoza (nadw.) Wartość oczekwana Odchylene std. Wsp. Skośnośc Kurtoza (nadw.) Źródło: oblczena własne marcowa czerwcowa wrześnowa grudnowa 430,49 (84,9) 45,43 (8,) 83,5 (48,) 0,9 (0,) 433,94 (85,63) 50,40 (8,07) -58,67 (5,40) 0,50 (3,3) 356,8 (9,) 505,78 (74,4) 498,58 (049,85),70 (6,8) 38,45 (,95) 55,5 (48,0) 940,9 (64,09),8 (99,53) Model L 376,70 (70,38) 403,4 (3,58) 08,89 (35,3) 0,48 (0,09) Model M 406,07 (85,64) 433,74 (43,37) 58,33 (93,46) 5,6 (,79) 343,88 (6,74) 470,84 (8,9) 88,37 (5,85) 0,67 (0,07) 355,33 (49,54) 53,58 (46,6) 89,3 (4,78) 6,37 (8,77) Rysunek przedstawa wartośc parametru w dla opcj ser marcowej czerwcowej. Najwększe wartośc parametr ten osąga na początku marca po rozpoczęcu sę nepokojów na Kryme ( marca Rada Federacj Rosj wyrazła zgodę na użyce wojsk rosyjskch na Kryme, a marca parlament Krymu ogłosł nepodległość). Podobne, najwększe różnce mędzy wartoścam oczekwanym oraz mędzy odchylenam standardowym rozkładów stanowących meszannę, równeż występują na początku marca. Ne dotyczy to opcj z ser wrześnowej grudnowej; być może z uwag na ch małą płynność. Reakcję na wydarzena można także wykryć w momentach szacowanych rozkładów. Ponedzałek to dzeń gwałtowanego skoku zarówno skośnośc, jak kurtozy dla marcowej ser opcj. Współczynnk skośnośc spadł do -55,7, a nadwyżkowa kuroza wzrosła do 8,, podczas gdy poprzednego dna sesyjnego, r. welkośc te wynosły odpowedno -75, 8 0,8, a we wcześnejszych dnach utrzymywały sę na zblżonym pozome. Rysunk 3 4 przedstawają wykresy funkcj gęstośc oszacowanych rozkładów, zarówno dla modelu M, jak dla modelu L, odpowedno w dnach r.

12 48 Paweł Klber Rysunek. Wartość parametru w dla opcj z ser marcowej (lna cągła) czerwcowej (lna przerywana) Źródło. opracowane własne Rysunek 3. Meszanna rozkładów logarytmczno-normalnych (lna cągła) pojedynczy (lna przerywana) rozkład logarytmczno-normalny dla cen opcj z dna Źródło: opracowane własne

13 Estymacja mary martyngałowej na podstawe cen opcj 49 Rysunek 4. Meszanna rozkładów logarytmczno-normalnych (lna cągła) pojedynczy rozkład logarytmczno-normalny (lna przerywana) dla cen opcj z dna Źródło: opracowane własne WNIOSKI W artykule oszacowalśmy mary martyngałowe, reprezentujące rynkowe oczekwana odnośne przyszłych cen, na podstawe cen opcj na ndeks WIG0. Rozważylśmy dwa modele: w perwszym z nch przyjęto rozkład logarytmcznonormalny, a w drugm - meszannę dwóch takch rozkładów. Drug z tych model ma oczywstą nterpretację: rozkłady w meszanne reprezentują dwa możlwe stany śwata w przyszłośc, których oczekuje rynek. Parametr przedstawający procentowy udzał rozkładów w meszanne można wówczas nterpretować jako współczynnk nepokoju co do przyszłego rozwoju sytuacj rynkowej. Mmo nskej płynnośc opcj notowanych na Gełdze Paperów Wartoścowych w Warszawe, próba oszacowana parametrów mary martyngałowej zakończyła sę powodzenem dla welu dn sesyjnych. Należy jednak zwrócć uwagę, że dotyczy to opcj o krótkm okrese do wykonana. Opcje o dłuższym okrese są zbyt mało płynne. Próbując wykorzystać szacunk mary martyngałowej do prognozowana ekonomcznego, jak to zaproponowano to np. w. [de Vncent-Humphereys, Noss 0], należy ogranczyć sę jedyne do prognoz krótkotermnowych. Wynk badań pokazały, że zastosowane meszanny rozkładów daje zazwyczaj wyższe charakterystyk rozproszena rozkładu (warancję kurtozę). Na ogół model z meszanną rozkładów był lepej dopasowany do danych nż model oparty na pojedynczym rozkładze logarytmczno-normalnym.

14 50 Paweł Klber BIBLIOGRAFIA Aït-Sahala, Y., Lo, A.W. (000) Nonparametrc rsk management and mpled rsk averson, Journal of Econometrcs, vol. 94, ss Aït-Sahala, Y., Jacod, J. (009) Testng for jumps n a dscretely observed process. The Annals of Statstcs, vol. 37, ss Aparco, S., Hodges, S. (998) Impled rsk-neutral dstrbuton: a comparson of estmaton methods, workng paper, Warwck Unversty. Bahra B. (997) Impled rsk-neutral probablty densty functons from opton prces: theory and applcaton, Bank of England Workng Paper No. 66. Bates D.S. (99) The crash of 87: was t expected? The evdence from opton markets, Journal of Fnance, vol. 46, ss Bjork, T. (009) Arbtrage Theory n Contnuous Tme, Oxford Unversty Press. Brru, J., Fglewsk, S. (0) An anatomy of a meltdown: the rsk neutral densty from the S&P 500 n the fall of 008, Journal of Fnancal Markets, vol. 5, ss Breeden, D.T., Ltzenberg, L.H. (978) Prces of state-contngent clam mplct n opton prces, Journal of Busness, vol. 5, ss Chab-Yo, F., Garca, R., Renault, E. (008) State dependence can explan the rsk averson puzzle, Revew of Fnancal Studes, vol., ss Derman E., Kan I. (994) Rdng on a smle, Rsk, vol. 7, ss Dumas, B., Flemng, J., Whaley, R. (998) Impled volatlty functons: emprcal test, Journal of Fnance, vol. 53, ss Durpe, B. (994) Prcng wth a smle, Rsk, vol. 7, ss Fusa G., Roncoron, A. (008) Implementng Models n Quanttatve Fnance: Methods and Cases, Sprnger. Gagnon, M.-H., Power, G.J. (03) Investor rsk averson and market shocks: event studed usng optons on crude ol, workng paper, SSRN, (dostęp:.3.04). Heston, S. (993) A closed-form soluton for optons wth stochastc volatlty applcaton to bond and currency optons, Revew of Fnancal Studes, vol. 6, ss Hull, J. (009) Optons, Futures and Other Dervatves, Prentce Hall. Hull, J., Whte, A. (987) The prcng of optons on assets wth stochastc volatltes, Journal of Fnance, vol. 4, ss Jackwerth, J. (999) Opton mpled rsk-neutral dstrbutons and mpled bnomal trees: a lterature revew, Journal of Dervatves, vol. 7, ss Jackwerth, J., Rubnsten M. (996) Recoverng probablty dstrbutons from opton prces, Journal of Fnance, vol. 5, ss Lu, X., Shackleton, M.B., Taylor, S.J., Xu, X. (007) Closed-form transformatons from rsk-neutral to real-world dstrbutons, Journal of Bankng and Fnance, vol. 3, ss Mandler, M. (00) Comparng rsk-neutral probablty densty functons mpled by opton prces market uncertanty and ECB-councl meetngs, referat prezentowany na 9 th Annual Meetng of the European Fnance Assocaton, Berln. Mehra, R., Prescott, E.C. (985) The Equty Premum: A Puzzle, Journal of Monetary Economcs, vol. 5, ss

15 Estymacja mary martyngałowej na podstawe cen opcj 5 Melck, W.R., Thomas C.P. (997) Recoverng an asset s mpled PDF from opton prces: an applcaton to crude ol durng Gulf crss, Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, vol. 3, ss Musela, M., Rutkowsk, M. (008) Martngale Methods n Fnancal Modellng, Sprnger. Plska, S.R. (005) Wprowadzene do matematyk fnansowej. Modele z czasem dyskretnym, WNT, Warszawa. R Core Team (03) R: A language and envronment for statstcal computng. R Foundaton for Statstcal Computng, Venna, Austra. Rubnsten, M. (994) Impled bnomal trees, Journal of Fnance, vol. 49, ss Sadorsky, P. (00) Rsk factor n stock returns of Canadan ol and gas companes, Energy Economcs, vol. 3, ss Shmko, D. (993) Bounds of probablty, Rsk, vol. 6, ss Söderlnd, P, Svensson, L. (997) New technques to extract market expectatons from fnancal nstruments, Journal of Monetary Economcs, vol. 40, ss de Vncent-Humphereys, R., Pugvert, J. (0) A quanttatve mrror on the Eurbor market usng mpled probablty densty functons, Eurasan Economc Revew, vol., ss. -3. de Vncent-Humphereys, R., Noss, R. (0) Estmatng probablty dstrbutons of future asset prces: emprcal transformatons from opton-mples rsk-neutral to real-world densty functon, Bank of England Workng Paper No Wang, Y.-H. (009). The mpact of jump dynamcs on the predctve power of optonmpled denstes. Journal of Dervatves, vol. 6, ss. 9-. Zegler, A. (007). Why does mpled rsk averson smle? Revew of Fnancal Studes, vol. 0, ss ESTIMATION OF RISK NEUTRAL MEASURE FOR POLISH STOCK MARKET Abstract: In the paper we present the usage of rsk neutral measure estmaton to the analyss of the ndex WIG0 from Polsh stock market. The rsk neutral measure s calculated from the prces of the optons on that ndex. We assume that rsk neutral measure s the mxture of lognormal dstrbutons. The parameters of the dstrbutons are estmated by mnmzng the sum of squares of prcng errors. Obtaned results are then compared wth the model based on a sngle lognormal dstrbuton. As an example we consder changes n rsk neutral dstrbuton at the begnnng of March 04, after the outbreak of poltcal crss n the Crmea. Keywords: rsk-neutral prcng, opton-mpled densty, rsk averson, realworld measure, event study