Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Transkrypt

1 Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW

2 Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA Uogólnena błędów I rodzaju: FWER, k-fwer, FDP, FDR Klasyczne procedury testowana welu hpotez: cut-off, step-down, step-up Pewne wynk dla zależnych testowań Symulacje

3 Wynk eksperymentu mkromacerzowego Gen 1 Gen 2 Mkromacerz 1 Mkromacerz 2 Mkromacerz n Gen m

4 Testowane w analze mkromacerzy DNA Typowe zadane: porównujemy pozomy ekspresj genów z eksperymentu mkromacerzowego wykonanego w dwóch badanych grupach. Istotne problemy wnoskowana: mała lczebność grup (np. n 1 = n 2 = 8) duża lczba genów (porównań) np. m=3

5 Po wstępnej analze danych ch normalzacj stosujemy do porównań np. test t-studenta w przypadku nezależnych prób z dwóch populacj

6 Model statystyczny tego genu w II grupe - pozom ekspresj grupe tego genu w I - pozom ekspresj Y X : wobec : hpotez Testujemy ), ( ~ oraz ), ( ~ Nech,, 1,,,, 2, 1, = c k c k c k m m H m m H m m N Y m N X σ σ

7 Test t-studenta Statystyka testowa ma postać: t = S X 2 X, n 1 + Y S 2 Y, n 2

8 Inne używane testy Możemy równeż używać testów neparametrycznych dotyczących testowana różncy rozkładów zmennych losowych X oraz Y np. test Wlcoxona lub U-Manna-Wtneya (w przypadku wykryca nejednorodnośc warancj).

9 Istotne problemy testowana: Jeśl każdy test wykonamy przy ustalonym pozome stotnośc.5 to przecętne otrzymamy m 3 *.5 = genów o stotne różnych poz. ekspresj, nawet jeśl rzeczywśce żaden gen stotne ne różncuje badane grupy. = 15

10 Uogólnena błędu I rodzaju Dlatego rozpatrujemy take procedury testowana dla których umemy kontrolować mary błędu MB take jak: FWER, k-fwer, FDR, tzn. MB

11 Słaba mocna kontrola Słaba kontrola MB: gdy wszystke rozważane hpotezy zerowe są prawdzwe. Mocna kontrola MB: gdy rozważamy dowolną konfgurację prawdzwych hpotez zerowych wśród m testowanych hpotez zerowych, dokładnej rozważmy H, : θ Θ dla = 1,..., m MB θ dla każdego θ M = M { Θ :, H gdze, jest prawdzwa}

12 FWER FWER (Famly Wse Error Rate) to prawdopodobeństwo, że popełnmy przynajmnej jeden błąd I rodzaju testując m hpotez Nech V = # false dscoveres Wtedy FWER = P ( V θ 1)

13 Procedura Bonferronego Każdą hpotezę testujemy na pozome stotnośc / m aby otrzymać FWER Nestety taka procedura jest bardzo restrykcyjna (będze mała bardzo małą zdolność do wykryca genów stotne różncujących), bowem każdą hpotezę (tzw. proc. cut -off) testujemy na na pozome.5/3 = 1.67*1-5

14 Procedury step-down Nech 1... m Rozważmy uporządkowany cąg pozomów krytycznych (p-wartośc): p( 1) p(2)... p( m) Jeśl p ( 1) > 1, to ne odrzucamy żadnej hpotezy zerowej H, w przecwnym przyp., gdy (*) p( 1) 1,..., p( r to odrzucamy hpotezy H,(1),, H,(r) gdze r najwększa lczba spełnająca (*) ) r

15 Procedura Holma To procedura step-down z = /( m + Przy testowanu welu hpotez procedura Holma zapewna kontrolę FWER na pozome Dodatkowo procedura Holma ma wększą moc od procedury Bonferronego. 1)

16 k-fwer Lehmann Romano (25) zaproponowal uogólnoną procedurę Holma, tzn. procedurę step-down z k / m, k = k /( m + k ), > k. która kontroluję (mocno) k-fwer, tzn. k - FWER : = P ( V k). θ

17 Zwykle procedury kontrolujące k-fwer mają wększą moc nż procedury kontrolujące FWER.

18 False Dscovery Rate (FDR) Benjamn Hochberg (1995) wprowadzl oraz FDP FDR = V / R, =, E θ (FDP) R R > = gdze R = lczba odrzuconych hpotez zerowych

19 Procedura BH kontrol FDR { } p m Nech k = max : / ( ) Jeśl stneje take k, to odrzucć hpotezy H,(1),, H,(k). W przecwnym przypadku nc ne odrzucamy. Procedura BH jest przykładem tzw. procedur step-up z = / m

20 Procedury step-up Jeśl p ( m) m, to ne przyjmujemy żadnej hpotezy zerowej H, w przecwnym przyp., gdy (**) p( m) > m,..., p( r + 1) > r + 1 to przyjmujemy hpotezy H,(r+1),, H,(m) gdze r najmnejsza lczba spełnająca (**)

21 Twerdzene (Benjamn Hochberg (1995)) Dla nezależnych statystyk testowych procedura BH zapewna kontrolę FDR, tzn. FDR m / m gdze m oznacza lczbę prawdzwych hpotez zerowych wśród m testowanych.

22 Kontrola FDR dla zależnych testów Benjamn Yekutel (21) pokazal, że dla dodatno zależnych (regresyjne dod. zal.) statystyk testowych odpowadającym prawdzwym hpotezom zerowym procedura BH zapewna FDR m / m

23 Przykłady dod. zależnośc Wektor T m statystyk testowych ma rozkład N( µ, Σ ) rozważamy H, : µ = wobec H 1, : µ > dla M M j Σ = { : H,, j, gdze prawdzwe}

24 Przykłady dodatnej zależnośc c.d. wektor m wym. Y ma rozkład testujemy, µ wobec H welowymarowy t-studenta N( µ, Σ H : = 1, : µ T = Y / S )

25 Pewne wynk dla kontrol dla zależnych testów uzyskal Dudzńsk Furmańczyk (27) np. P ( R 1) > θ P θ ( q u T = t) u dla u (,1), = t =,1,..., m m, T = V R lub V V R są ujem. zal. 1,..., m, to procedura Holma kontroluje (mocno) FDR.

26 Kontrola FDR bez zał. o zależnośc Benjamn Yekutel (21) pokazal, że jeśl wstawmy w procedurze BH zamast wartość * = / = m 1 1, to równeż otrzymamy kontrolę FDR na pozome, ale o znaczne nższej mocy.

27 Ulepszena procedury BH kontrol FDR Estymacja wartośc m znaczne by poprawła kontrolę FDR wstawając zamast wartość * = m m

28 Dwustopnowa procedura BH Benjamn nn (21) zaproponowal dwustopnową procedurę BH, która kontroluje FDR dla nezależnych statystyk testowych: w perwszym kroku stosujemy zwykłą procedurę BH w wynku czego odrzucamy r 1 hpotez zerowych, w drugm kroku stosujemy zwykła procedurę BH z * m =. ( m r1)(1 + )

29 q-value (Storey (23)) Nech pfdr ( V / R > ) = E R θ Rozważmy rodznę zborów odrzuceń dla hpotez zerowych taką, że { Γ } < β Γ Γ β Załóżmy, że π = P H, = ), π 1 = P( H, = 1) = 1 ( π

30 Nech cągem (T,H, ) będze..d. Rozkład statystyk testowej T pod warunkem H, ma postać: T H, = ( 1 H, ) F + H, F1, gdze F jest rozkładem stat. test. pod warunkem prawdzwośc H, F 1 jest rozkładem stat. test. pod warunkem prawdzwośc hpotezy alternatywnej

31 Wtedy ) ( ) ( ) (,, π Γ = Γ = Γ = = T P H T P T H P pfdr ) ( nf ) ( nf ) ( - ) ( nf ) ( -, } : { } : {, } : { Γ = = Γ = = Γ = Γ Γ Γ Γ Γ Γ T H P pfdp t value q H T P t value p o t t o t

32 q-value służy do oceny stotnośc genów W naszym przypadku q - value( t) = Pθ ( H, = T t ) Reguła wyboru stotnych genów: wyberz te geny (jako stotne) dla których q-value <.5

33 Pakety w R do jednoczesnego testowana: multtest nfdr qvalue FDR-AME multcomp

34 Symulacje m=1, m =9 Hstogram of p Hstogram of p[null] Frequency Frequency p p[null] Hstogram of p[alt] Frequency p[alt]

35 m=1, m =9

36 Stat. rozk. norm, n 1 =n 2 =3, m=3, m =12

37 Stat. rozk. t-stud, n 1 =n 2 =3, m=3, m =12

38 Dane z mkromacerzy Golub (1999) Badano 351 genów w dwóch grupach pacjentów chorych na 2 typy bałaczk, n 1 =27, n 2 =11.

39 Lteratura Benjamn Y., Hochberg Y Controlng the false dscovery rate: a practcal and powerful approach to multple testng. J. Roy. Statst. Soc. Ser.B 57: Benjamn Y., Yekutel D. 21. The control of the false dscovery rate n multple testng under dependency. Ann. Statst.:29, Dudot S, Shaffer J.P., Boldrck J.C. 23 Multple hypothess testng n mcroarray experments. Statst. Scen. 18 (1): Dudzńsk M, Furmańczyk K. 27. Procedury jednoczesnego testowana welu hpotez ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA, Matematyka Stosowana Lehman E.L., Romano J.P. 25. Generalzatons of the famlywse error rate. Ann. Statst. 33: Storey J. 23. The postve false dscovery rate: A Bayesan nterpretaton and the q-value. Ann. Statst. 31: