Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada. Zajęcia 3"

Jan Kosiński
4 lat temu
Przeglądów:

1 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Katarzyna Rosak-Lada Zajęca 3

2 1. Dobrod dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R 2 Dekompozycja warancj zmennej zależnej Współczynnk determnacj R 2 2. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 3. Lnowośd w modelu 4. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Interpretacja współczynnków regresj w modelu lnowym względem zmennych objaśnających Elastycznośd Semelastycznośd

4 Dobrod dopasowana równana regresj (do danych emprycznych) wyrażona jest przez tak zwany współczynnk determnacj lnowej oznaczany przez R 2. Współczynnk ten określa jaka częśd zmennośc zmennej objaśnanej y jest wyjaśnona łączne przez zmennośd wszystkch zmennych objaśnających. 2, K Jedną z mar zmennośc zmennej jest WARIANCJA.

5 Warancje zmennej zależnej y można przedstawd jako dekompozycje (podzał) na częśd wyjaśnoną przez model na częśd newyjaśnoną przez model. TSS ESS RSS Dekompozycja warancj jest możlwa JEDYNIE dla modelu ze stałą

6 Całkowta suma kwadratów: Zmennośd całkowtą zmennej objaśnanej y, oznaczaną w lteraturze angelskm skrótem TSS (Total Sum of Squares), merzymy za pomocą sumy kwadratów odchyleo obserwacj zmennej objaśnanej od średnej: n TSS ( y y) 1 2

7 Wyjaśnona suma kwadratów: Jeśl model zawera stałą, to całkowtą sumę kwadratów możemy zdekomponowad na dwa składnk, na wyjaśnoną (równanem regresj) sumę kwadratów, oznaczaną przez ESS (Explaned Sum of Squares) n ESS ( y y) 1 2

8 Resztowa suma kwadratów: resztową (newyjaśnoną) sumę kwadratów, oznaczaną przez RSS (Resdual Sum of Squares). RSS n e 2 1

9 R wyjasnona suma kwadratów ESS calkowta suma kwadratów TSS 2 1 n n 1 ( y y) ( y y) RSS TSS Dla modelu ze stałą 0 R 2 1

10 y y y R 2 =0 TSS RSS R 2 =0,50 TSS ESS RSS R 2 =0,90 TSS ESS R S S Współczynnk determnacj jest jedną z podstawowych mar jakośc dopasowana modelu. Informuje o tym, jaka częśd zmennośc zmennej objaśnanej została wyjaśnona przez model. Współczynnk determnacj przyjmuje wartośc z przedzału [0;1] w modelu ze stałą. Jego wartośc najczęścej są wyrażane w procentach. Dopasowane modelu jest tym lepsze, m jego wartośd jest blższa jednośc.

11 R 2 przyjmuje wartośc z przedzału domknętego mędzy 0 1. Jeśl R 2 =1, to model regresj w 100% wyjaśna zmennośd y, y yˆ, e 0 oraz RSS a jeśl R 2 = 0, to model regresj w ogóle ne wyjaśna zmennośc y. yˆ y, ESS 0 0 Jeśl na przykład wynos R 2 = 0,7 to możemy powedzed, że 70% zmennośc zmennej objaśnanej y jest wyjaśnone przez łączną zmennośd wszystkch zmennych objaśnających, a 30% zmennośc jest newyjaśnone (jest zmennoścą resztową).

12 R 2 jest WYŁĄCZNIE statystyką opsową ne należy jej stosowad do porównywana model. Przy szacowanu klku model dla danej zmennej zależnej z różną lczbą zmennych objaśnających na podstawe dentycznego zboru danych, korzystane ze współczynnka determnacj R 2 dla wyboru modelu lepej dopasowanego do danych emprycznych staje sę problematyczne. Gdy bowem dodajemy do równana dalsze zmenne objaśnające to zawsze wzrasta R 2 nezależne od prawdzwej ważnośc tych nowododanych zmennych. placa 2 1 2wek R 5% placa 2 1 2wek 3 plec R 7%

13 Gdy bowem dodajemy do równana dalsze zmenne objaśnające to zawsze wzrasta R 2 nezależne od prawdzwej ważnośc tych nowododanych zmennych. Wąże sę to z ogólnym własnoścam optymalzacj. Jeśl, poprzez narzucena ogranczeo, zmnejszymy zbór, na którym mnmalzujemy funkcję celu, to uzyskana w mnmum wartośd funkcj celu będze wększa lub równa wartośc funkcj w mnmum dla mnmalzacj bez ogranczeo.

14 Nawet dodając do modelu całkowce bezsensowną zmenną uzyskujemy polepszene dopasowana. Co węcej, jeśl K=N (lczba parametrów =lczbe obserwacj), to R 2= 1 Z tego powodu za marę dobroc dopasowana zaproponowano ne R 2, a tak zwany skorygowany współczynnk determnacj. R 2

15 R 2 R 2 jest skorygowany ze względu na tak zwaną lczbę stopn swobody, to znaczy ze względu na różncę mędzy lczbą obserwacj N a lczbą zmennych objaśnających K. R 2 1 N 1 N K (1 R 2 )

16 Oszacowano dwa modele za pomocą MNK na próbe lczącej 12 obserwacj otrzymano następujące wynk: Który z powyższych model należy wybrad dlaczego? 0,81, 3 2,64 2 ˆ ) 0,8, 2 1,5 ˆ ) R x x y b R x y a

18 Zmenne Zmenne cągłe Zmenne dyskretne

19 Zmenną cągłą nazywamy zmenną, która przyjmuje wartośc ze zboru lczb rzeczywstych. zmennym posadającym charakter loścowy Np. dochody, wydatk, cena neruchomośc td.

20 Zmenną dyskretną nazywamy zmenną, która przyjmuje wartośc ze skooczonego podzboru lczb naturalnych. Zazwyczaj podzbór ten jest stosunkowo mało lczny obejmuje klka czy klkanaśce elementów. zmennym posadającym charakter jakoścowy np. płed, wykształcene, mejsce zameszkana, stan cywlny td.

22 Lnowośd w modelu względem: K Po perwsze - zmennych objaśnających, które są w perwszej potędze, y a po druge - względem parametrów k, które są równe w perwszej potędze. K 1 K y K K

23 Interpretacja współczynnków regresj w modelu lnowym względem zmennych objaśnających

24 Model regresj lnowej dla -tej obserwacj: y Wartośd oczekwana zmennej objaśnanej przy danych wartoścach zmennych objaśnających wynos: E( y ) Pochodną cząstkową warunkowej wartośc oczekwanej po 2 k E( y k ) k K k K K K x K k merzy oczekwaną zmanę y jako efekt zmany K o jedną jednostkę, gdy wartośc nnych zmennych objaśnających modelu pozostają nezmenone (ceters parbus).

25 y K K ˆ b1 b2 2 y... b K K 2 współczynnk INTERPRETACJA: jeżel wartość zmennej nezależnej 2 wzrośne o jednostkę, to wartość zmennej zależnej y : - wzrośne (jeżel b 2 >0) o b 2 jednostek lub - spadne (jeżel b 2 <0) o b 2 jednostek ceters parbus. 1 wyraz wolny Uwaga! Wyraz wolny ne nterpretujemy.

26 placa 1 2nauka 3 wek placa 993,26 73,59nauka 35, 09 wek Zmenna nauka - lata nauk -tej osoby Interpretacja: Mesęczne wynagrodzene wzrasta przecętne o 73,59 zł przy wzrośce lczby lat nauk o jeden rok, przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

27 Elastycznośd

28 Elastycznośc mogą byd wyznaczane z modelu - LOGLINIOWYM, w którym zarówno zmenna objaśnana jak zmenne objaśnające są logarytmam zmennych perwotnych. ln y 1 2 ln 2... K ln K ln ( y ) 1 2 ln 2... K ln E( y ln k ) k ln K k merzy o le procent zmen sę zmenna objaśnana, gdy zmenna objaśnająca zmen sę o jeden procent, gdy wartośc nnych zmennych objaśnających modelu pozostają nezmenone (ceters parbus).

29 ln y 1 2 ln 2... K ln K ˆ ln y b1 b2 ln 2... b K ln K 2 współczynnk INTERPRETACJA: jeżel wartość zmennej nezależnej 2 wzrośne o 1%, to wartość zmennej zależnej y : - wzrośne (jeżel b 2 >0) o b 2 % lub - spadne (jeżel b 2 <0) o b 2 %. ceters parbus. 1 wyraz wolny Uwaga! Wyraz wolny ne nterpretujemy.

30 ln( wydatk ) 1 2 ln( dochód ) ln( wydatk ) 2 0,25ln( dochód ) Interpretacja: Mesęczne wydatk wzrastają przecętne o 0,25% przy wzrośce mesęcznego wynagrodzena o 1%, przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

31 Semelastycznośd

32 Semelastycznośc mogą byd wyznaczane z modelu, w którym zmenna objaśnana jest zlogarytmowana a zmenne objaśnające ne są logarytmam zmennych perwotnych. ln y K K ln ( y ) ln E( y k ) K k K k *100% merzy o le procent zmen sę zmenna objaśnana, gdy zmenna objaśnająca zmen sę o jedną jednostkę, gdy wartośc nnych zmennych objaśnających modelu pozostają nezmenone (ceters parbus).

wzrośne o 1 jednostkę, to wartość zmennej zależnej y : - wzrośne (jeżel b 2

33 ln y K K ˆ ln y b1 b b K K 2 współczynnk INTERPRETACJA: jeżel wartość zmennej nezależnej 2 wzrośne o 1 jednostkę, to wartość zmennej zależnej y : - wzrośne (jeżel b 2 >0) o b 2 *100% lub - spadne (jeżel b 2 <0) o b 2 *100%. ceters parbus. 1 wyraz wolny Uwaga! Wyraz wolny ne nterpretujemy.

34 ln( placa ) 1 2wek ln( placa ) 2,34 0, 04 wek Interpretacja: Płaca wzrasta przecętne o 4% przy wzrośce weku o 1 rok, przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

35 ln( wydatk ) 3,6 0,35ln( dochód ) 0, 11dzec Interpretacja: Elastycznośd, wzrost dochodu o 1% powoduje wzrost wydatków o 0,35% przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome. Semelastycznośd, wzrost lczby dzec o 1 powoduje wzrost wydatków o 11%=0,11*100% przy założenu pozostałych charakterystyk na ne zmenonym pozome.

37 1. Proszę opsad wzór dekompozycj zmennośc całkowtej zmennej objaśnanej y na zmennośd wyjaśnoną newyjaśnoną. 2. Podad nterpretacje R Wyjaśnd, dlaczego R 2 ne można używad do porównana model. 4. Jaką nterpretację mają współczynnk regresj przy zmennych objaśnających cągłych w modelu lnowym względem zmennych objaśnających? 5. Jaką nterpretację mają współczynnk regresj przy zmennych objaśnających cągłych w modelu loglnowym względem zmennych objaśnających?

38 Dzękuję za uwagę

Podobne dokumenty

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a