Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup"

Kamila Kozieł
8 lat temu
Przeglądów:

1 Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT 004, wyd. II Introducton to the Practce of Statstcs, D. Moore, G. McCabe, Freeman 003, wyd. IV Statstcs for the Lfe Scences, M. Samuels, J. Wtmer, 003, wyd. III H. Jasulewcz W. Kordeck \Rachunek prawdopodobeństwa statystyka matematyczna. Przykłady zadana", wyd. II Plan wykładu: Wnoskowane statystyczne dla ednoczynnkowe Analzy waranc: Format danych Hpotezy model ANOVy Tabela ANOVy test Fshera Porównywane średnch param Jednoczynnkowa Analza waranc Rozważamy zmenną losową o wartoścach lczbowych, np. pozom cholesterolu we krw. Obserwace pochodzą z klku grup/populac. Rozstrzygnemy czy średne w grupach różną sę stotne przez porównane zmennośc pomędzy grupam ze zmennoścą ndywdualnych obserwac wewnątrz grup. To est ANalyss Of VArance=ANOVA Grupy etyketue edna dodatkowa zmenna akoścowa, np. nazwa zastosowane terap, stąd ednoczynnkowa ANOVA. Typowe dane Czas do zagoena sę dane rany przy klku metodach terap. Zarobk kobet mężczyzn w danym sektorze gospodark. Okres użytkowane opon pochodzących od klku producentów. Jeżel zmenna akoścowa ma tylko dwe wartośc, ANOVA est równoważna testow Studenta dla dwóch nezależnych prób. ANOVA pozwala na 3 węce grop. Przypomnene: Dwe populace, neznane odchylena standardowe Cel: testu H 0 : μ 1 = μ przecw H a : μ 1 μ σ 1, σ są neznane. Statystyka Studenta t to: x1 x t Załóżmy np., że n 1 =n =n. s1 s Wtedy = ( ) n1 n. Statystyka Fshera uogólnene. (ponże) stanow pewne Zasada: porównać zmenność pomędzy wewnątrz grup Badane grafczne: porównane hstogramów wszystkch grup wykresy pudełkowe (box-plot) obok sebe Statystyczna stotność różnc pomędzy grupam zależy od: różnc średnch odchyleń standardowych welkośc grup 1

2 Wykresy pudełkowe dla terap antycholesterolowych. Czy terape stotne sę różną? A teraz? (Mnesza zmenność wewnątrz grup.) ANOVA: hpotezy H 0 : Średne w grupach (populacach) są równe. H a : Ne wszystke średne są równe. W H a ne specyfkuemy, które średne sę różną. Można to następne badać przez porównana param. Grupa znaczy tuta populaca. Dla danych grupa to próba z dane populac. ANOVA: notaca n = lczba wszystkch obserwac I = lczna grup = (welka) średna dla wszystkch danych x -ta grupa ma: n = # obserwac x = wartość dla -te obserwac x = średną s = próbkowe odchylene standardowe ANOVA: model x, gdze nezal. N(0, ) Tuta µ oznacza (neznaną) średną z -te populac, σ est (neznanym) odchylenem standardowym, o którym zakładamy, że est równe dla wszystkch populac. Estymatory parametrów: Reguła dla odchyleń standardowych w ANOVe: Jeżel loraz różnych s ne przekracza, to możemy utrzymywać, że σ ne zależy od grupy używać ANOVy. Estymatorem est x. Estymatorem est s s, where s p p ( n 1) s... ( n 1) s 1 1 I I p ( n1 1)... ( ni 1)

3 ANOVA: hpotezy (ponowne) Typowa lustraca: równe odchylena standardowe, różne średne w trzech populacach: H 0 : 1 = = 3 = = I H a : Ne wszystke średne z populac są równe. Przykład: Zbadamy czytane ze zrozumenem dla trzech grup ucznów szkoły podstawowe przed po zastosowana trzech różnych metod nauk czytana: Basal, DRTA, Strat. Wstępne pytane naukowe: Czy te grupy różną sę pozomem przed rozpoczęcem kursu? Symbolczne: H 0 : 1 = = 3 H a : Ne wszystke średne są różne. Wykresy pudełkowe dla grup przed kursem. Ocena normalnośc (QQ-plot) dla grupy Basal przed kursem 3

4 Ocena normalnośc (QQ-plot) dla grupy DRTA przed kursem Ocena normalnośc (QQ-plot) dla grupy Strat przed kursem Statystyk dla każde z grup. Przypomnene: pytamy, czy grupy różną sę. Czy można użyć welu testów Studenta dla porównań param? Tak, ale.. Welokrotne porównana (tuta 3) pomędzy wszystkm param zwększaą prawdopodobeństwo fałszywego odrzucena hpotezy zerowe. Oszacowane odchylena standardowego σ będze dokładnesze przy wykorzystanu wszystkch obserwac, ak w ANOVe. Użyemy ANOVy testu Fshera F. Tabela ANOVy Trzy kategore: pomędzy, wewnątrz całkowte (between, wthn, total). Trzy welkośc do oblczena: SS, df, MS. Będzemy często przetwarzać dane komputerem. DF stopne swobod y SS suma kwadratów odchyleń MS Średne kwadraty odchyleń Between I-1 z danych SSG/DFG Groups Wthn groups n-i z danych SSE/DFE (called Error) Total n-1 z danych SST/DFT Wzory: SSG n ( x x) groups SSE ( n 1) s groups SST ( x x) obs Note: SST=SSG+SSE, DFT=DFG+DFE. 4

5 Wynk ANOVy w SASe F test Fshera Statystyka testowa: F s = MSG/MSE. Przy H 0, F s ma tzw. rozkład Fshera-Snedecora z parametram DFG, DFE. W tablcy F na WWW podane są wartośc krytyczne/prog odrzucena dla danych DFG, DFE. Degrees of freedom n the numerator" = DFG. Degrees of freedom n the denomnator" = DFE. Duże wartośc statystyk F s odrzucaą H 0. Densty curve of an F dstrbuton p F s Ćwczene: Zweryfku tabele ANOVy P-wartość testu F. 5

6 Wnosek: Rozważane grupy ucznów ne różną sę stotne przed przeprowadzenem kursów (P=0.33). Ewentualne późnesze różnce będą wskazywały na różnce w efektywnośc metod nauczana: Basal, DRTA Strat. Ważne: odchylena standardowe grup są podobne. Współczynnk determnac: R =SSG/SST Pokazue aka część całkowte zmennośc wynka z różnc pomędzy grupam. Tuta tylko 3%. Na wydruku SAS-a: R-square Pełn podobną role ak r w regres lnowe. Pytane naukowe: Statystyk dla każde z grup po : Po klku mesącach nauk metodam Basal, DRTA Strat, został przeprowadzony koleny egzamn czytana ze zrozumenem. Wynk egzamnu będze oznaczany symbolem COMP. Czy te metody różną sę efektywnoścą? Sformułu hpotezy: Wynk z SASa dla zmenne COMP: 6

7 Wnosek: Wyaśnena: DRTA oraz Strat to nnowacyne metody oparte na podobne flozof dydaktyk. Basal est metodą standardową. Uwag: Dla dwóch prób o tym samym rozmarze n, mamy = ( ) ( ) [( ) ( ) ]: =... Wartośc krytyczne spełnaą F(1,df)=(t df ). Zatem test Fshera F dla ANOVy rzeczywśce est uogólnenem testu Studenta t dla dwóch nezależnych prób. Porównana param: Jeżel H 0 est odrzucona, to można zbadać, które średne faktyczne sę różną. x x t t t 1 1 sp n n **, f,declare means, dfferent Stosuemy np. poprawkę Bonferronego dla k porównań danego α=0.05, t ** =t * (DFE, α/k). Tu: =, eżel porównywać wszystke pary. Jednoczesne przedzały ufnośc dla różnc średnch: ** 1 1 CI for s x x t sp n n 7

8 Excel s output (for a dfferent problem): 8

Podobne dokumenty

Jednoczynnikowa analiza wariancji. Wnioskowanie dla jednoczynnikowej ANOV-y. Porównywanie poszczególnych średnich

(Wykład 13) Jednoczynnikowa analiza wariancji Wnioskowanie dla jednoczynnikowej ANOV-y Format danych Hipotezy i model ANOVA Tabela ANOVA i test F Porównywanie poszczególnych średnich Jednoczynnikowa ANOVA