Statystyka. Zmienne losowe

Transkrypt

1 Statystyka Zmenne losowe

2 Zmenna losowa Zmenna losowa jest funkcją, w której każdej wartośc R odpowada pewen podzbór zboru będący zdarzenem losowym. Zmenna losowa powstaje poprzez przyporządkowane każdemu zdarzenu elementarnemu lczby rzeczywstej. Wtedy wartość zmennej losowej ma swoje prawdopodobeństwo. Czyl zmenna losowa ma wartośc oraz prawdopodobeństwo

3 Typy zmennej losowej Ze względu na rodzaj zboru zdarzeń elementarnych skończony, neskończony, przelczalny, ne przelczalny wyróżnamy typy zmennych losowych: zmenna losowa skokowa - gdy skończony lub neskończony ale przelczalny zmenna losowa cągła - gdy ne przelczalny jest przedzałem lub sumą przedzałów

4 Funkcja rozkładu Funkcję przyporządkowującą każdej wartośc zmennej losowej odpowedne prawdopodobeństwo nazywamy funkcją prawdopodobeństwa zmennej losowej funkcją rozkładu prawdopodobeństwa dla zmennej losowej skokowej funkcją gęstośc dla zmennej losowej cągłej

5 Zmenna losowa skokowa funkcja rozkładu prawdopodobeństwa f P X p f oraz f p

6 Zm. losowa cągła funkcja gęstośc f P X lm f dla R oraz f d

7 Zmenna losowa skokowa f =p,,6, suma

8 Zmenna losowa cągła f dla, dla,,5,5,,,6,8,

9 Podstawy rachunku całkowego C F d f f F R ' F jest funkcją perwotną dla f f d F F b F a a b a b

10 Podstawowe wzory d C d C a d a C, a a d ln C a d a C, a, a lna

11 Przykład f dla, dla, f d d dla dla dla f d d

12 Zm. cągła - przykład f,5 f=, f,5,5,,,5 dla dla dla dla dla ,,5 f=,5+,5, f=,-,5,

13 ,,,,} {,6 {,},5} {,75,},6,6 {,,6} {,8,5},5,5 {,5 },5, 8,5 8 {, }, {, },5,5,5 {,5,5,,,5 [,5,5,,,5,5 8 8 d d d d f Zm. cągła - przykład

14 Zm. cągła - przykład f,5,,5,,5,,,

15 Dystrybuanta zmennej losowej - F Możemy utworzyć funkcję taka, która określ prawdopodobeństwo, że zmenna losowa ne przekroczy wartośc tej funkcj: F F X P X funkcję tę nazywamy dystrybuantą zmennej losowej F P X P p o F f d o dla zmennej losowej skokowej dla zmennej losowej cągłej

16 Dystrybuanta F p F,, kumulacja prawdopodobeństwa,6,68, razem

17 ,6 Dystrybuanta,,,,9,6,

18 Dystrybuanta,,,8,,9,6, F dla dla dla,,,6,8,

19 Własnośc dystrybuanty o Ogranczona wynka z własnośc prawdopodobeństwa o Co najmnej prawostronne cągła o Nemalejąca o Określona dla lczb rzeczywstych

20 Przykład Dla jakej wartośc parametru A dana funkcja może być funkcją gęstośc zmennej losowej X. A dla f dla pozostalych f d A A A d A A A

21 Zastosowane dystrybuanty,5,,5,,5-6 8 f F==, F==,6 8 dla 8 dla dla - dla - dla F,6,5,,,,5,5,5,,,6 X F X F X P

22 F,5 Przykład,66 Które zdane jest prawdą P X F X F X,66 P X F X F X,66 P X F X F X,66 P X F X F X,66,,,,

23 Parametry zmennej losowej EX wartość oczekwana D X warancja DX odchylene standardowe nne, np. kwantyle, medana, wartość modalna td.

24 Wartość oczekwana EX f p dla zm.losowej skokowej d dla zm.losowej caglej Wartość oczekwana EX wyznacza położene najbardzej prawdopodobnej wartośc zmennej losowej

25 Wartość oczekwana,,6,6,,6, p EX,6,, d d f EX,,8,,,,6

26 ,5 7,5,95,5,95 }, {9,6 {,7} },5 {,65 },, 5,6 {,8,9} {,6 },5,5,5 {,5 },5, 8,5 8 {, }, {, },5,5,5 {,5,5,,,5 [,5,5,,,5,5 8 8 d d d d f EX Wartość oczekwana,5,,5,,5-6 8 f

27 Warancja D X EX p EX f d p - EX f d EX dla skokowej dla caglej Warancja jest marą rozrzutu wartośc zmennej losowej wokół wartośc oczekwanej

28 Warancja,5,,8,6,,,6, EX p X D,,6,,6,,6 6 5, d EX d f EX,,8,,,,6

29 ,67 6,6 6,67 6,6 9,5,5 8} 79, {,8} {.8 },5 {,5,5,} 5,6 5,,8 {,8},8 {,5},5 8,5 {,5,5 },5, 8,5 8 {, }, {, },5,5,5 {,5,5,5,,,5 [,5,5,5,,,5,5 8 8 d d d EX d f X D Warancja,5,,5,,5-6 8 f

30 Odchylene standardowe DX D X Wskaźnk zmennośc,6,6,,5 f,,5,,5-6 8 VX DX EX EX,,6,5 D X,5,,67 DX,78,,88 VX,668,,58

31 Kwantyle Kwantylem rzędu q zmennej losowej X jest taka lczba q, że P X q czyl F q q Kwantyl rzędu / nazywamy medaną Me, lub naczej wartoścą środkową ED 5 - doss effectva - medana dawek efektywnych, LD 5 - doss lethal - medana dawek śmertelnych - w medycyne czy przy trucznach. Kwantyle k / dla k=,, to kwartyle Kwantyle k / dla k=,...9 to decyle Kwantyle k / dla k=,...99 to centyle q

32 Wartość środkowa - medana Medana Me to kwantyl rzędu,5 P X czyl F,5,5,5,5 Jeżel EX = Me symetryczny to rozkład zmennej losowej jest

33 Kwantyle p,,6, suma,,68

34 Kwantyle,5,,5,,5-6 8 f F=,5 =,5 8 dla 8 dla dla - dla - dla F,6,5,,,,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,6,5,5 /,5,5,5,5,5,5,5,5

35 Wartość modalna Wartość modalna Mo to taka wartość zmennej losowej X dla której funkcja gęstośc przyjmuje maksmum lokalne. Dla zmennej losowej skokowej wartość o najwyższym prawdopodobeństwe. Rozkład może być jedno dwumodalny

36 Współczynnk asymetr Współczynnk asymetr skośnośc rozkładu zmennej losowej X : EX EX f p / D X d / D X dla skokowej dla caglej Dla rozkładów jednomodalnych: EX Mo DX Gdy = to rozkład symetryczny

37 Przykład W klatce znajdują sę cztery bałe myszy dwe szare. Myszy przechodzą tunelem do nnej klatk, przy czym zakładamy, że wchodzą do tunelu nezależne. Wartoścą zmennej losowej jest numer perwszej szarej myszy przechodzącej tunelem. Wyznaczyć rozkład zmennej losowej. Oblczyć EX, DX zmennej losowej 5 p 5 /5 /5 /5 /5 /5 5 EX D X Me = Mo =

38 Przykład Dla jakej wartośc parametru A dana funkcja może być funkcją gęstośc zmennej losowej X. Oblczyć EX, DX f A dla dla pozostalych A d d d f EX d d X E d f X D

39 Ovs musmon