Funkcje i charakterystyki zmiennych losowych

Transkrypt

1 Funkcje charakterystyk zmennych losowych Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Intelgencj Metod Matematycznych Wydzał Informatyk Poltechnk Szczecńskej

2 5. Funkcje zmennych losowych Funkcja g : R R jest odwzorowanem borelowskm, jeśl (5.) B B ( R) { x R : g( x) B} B ( R) (5.) Uwag X a) Warunkow (5.) równoważny jest warunek y R { x R : g( x) < y} B ( R) b) Każda funkcja cągła jest odwzorowanem borelowskm (5.3) Twerdzene X zmenna losowa, określona na przestrzen probablstycznej (Ω, Z, P), g dowolna funkcja borelowska Funkcja Y : Ω R, określona wzorem Y = g( X ), tzn. Y ( ω ) = g ( X ( ω) ) dla ω Ω, jest zmenną losową. Y = g( X ) funkcja zmennej losowej X : Ω R Y R g

3 Funkcje zmennych losowych typu skokowego (5.4) Twerdzene Jeśl X jest zmenną losową typu skokowego o zborze atomów S X = { x, x,...} rozkładze P( X = x) = p, =,,..., to Y = g( X ) jest równeż typu skokowego o zborze atomów SY = { g( x), g( x),...} rozkładze P ( Y = g ( x )) = p, =,,... (5.5) Przykład X jest zmenną losową typu skokowego o zborze atomów rozkładze x 0 p 4 4 Wyznaczyć rozkład zmennej a) b) Y = X + Y = X + { k: g ( x ) = g ( x )} k k S X = {,0,}

4 Funkcje zmennych losowych typu cągłego a) b) (5.6) Twerdzene Jeśl X jest zmenną losową typu cągłego o gęstośc f X Y = ax + b ( a 0), to zmenna losowa Y także jest typu cągłego jej gęstość określona jest wzorem y b fy ( y) = f X (5.5) Przykład a a X ma rozkład jednostajny na przedzale 0,, tzn. funkcja gęstośc określona jest wzorem dla x 0, f X ( x) = Wyznaczyć rozkład zmennej 0 dla x 0, Y = X + 0 dla x < 0 dla 0 x < Y = g( X ), gdze g( x) = dla x < 3 dla x f ( x) 0 Rys.5.. Gęstość zmennej losowej X

5 6. Charakterystyk lczbowe zmennej losowej Wartość oczekwana (przecętna) zmennej losowej X, określonej na przestrzen probablstycznej (Ω, Z, P), to welkość (6.) EX X ( ω) dp, o le całka stneje (6.) Własnośc (wartośc oczekwanej) a) b) c) Ec = c, c R Ω EX <, EY <, a, b R E( ax + by ) < E( ax + by ) = aex + bey X 0 EX = 0 P( X = 0) = ( X = 0 prawe wszędze)

6 Wartość oczekwana funkcj zmennej losowej typu skokowego (6.3) Twerdzene Nech X będze zmenną losową typu skokowego o rozkładze P( X = x ) = p dla =,,... Jeśl g jest funkcją borelowską na R taką, że g( x ) p <, to Eg( X ) stneje oraz (6.4) Wnosk = Eg( X ) g( x ) p a) g( x) = x EX = x p b) g( x) = x EX = x p

7 Wartość oczekwana funkcj zmennej losowej typu cągłego (6.5) Twerdzene Nech X będze zmenną losową typu cągłego o gęstośc f. Jeśl g jest funkcją borelowską na R taką, że to Eg( X ) stneje oraz g( x) f ( x) dx <, Eg( X ) = g( x) f ( x) dx a) b) (6.6) Wnosk g( x) = x EX = x f ( x) dx g( x) = x EX = x f ( x) dx

8 Warancja Warancja zmennej losowej X to lczba (6.7) (6.8) Wnosk D X E( X EX ) a) X zmenna losowa typu skokowego o rozkładze P( X = x ) = p dla =,,... D X = ( x EX ) p b) X zmenna losowa typu cągłego o gęstośc f D X ( x EX ) f ( x) dx =

9 Własnośc warancj a) b) c) d) e) (6.9) Własnośc D X = EX ( EX ) D X 0 D X P X EX (6.0) Przykład Oblczyć wartość oczekwaną warancję zmennej losowej X x 0 p 3 a) o rozkładze = 0 ( = ) = D ( ax ) a D X, a = R D ( X b) D X, b + = R b) o funkcj gęstośc x dla x, ) f ( x) = 3 x dla x (,3 0 dla x,3 4 4

10 Inne charakterystyk zmennej losowej Odchylene standardowe zmennej losowej X to lczba (6.) σ D X Wartośc oczekwane mk EX, E X, µ k E( X EX ) to odpowedno: a) k-ty moment zwykły b) k-ty moment absolutny c) k-ty moment centralny zmennej losowej X k k k ( EX = m, D X = µ )

11 Inne charakterystyk zmennej losowej Kwantyl rzędu p każda lczba x p, p (0,) taka, że F( x ) p lm F( x) p x x tzn. p p p dla zmennej typu skokowego x < x x x p p F( x ) = p dla zmennej typu cągłego p Medana kwantyl rzędu Odchylene przecętne od wartośc oczekwanej d = E X EX Współczynnk zmennośc σ ν =, m 0 m + p

12 Inne charakterystyk zmennej losowej Współczynnk skośnośc (asymetr) f ( x) µ γ = = σ E( X EX ) σ a) 3 f ( x) b) γ > 0 γ < 0 Domnanta (moda) 0 x Rys.6.. Asymetra prawostronna (a) lewostronna (b) typ skokowy wartość xk {mn x,max x}, dla której p k jest maksmum absolutnym, typ cągły odcęta maksmum absolutnego funkcj gęstośc, o le jest punktem cągłośc 0 x

13 Inne charakterystyk zmennej losowej Współczynnk skupena (kurtoza) µ κ = = σ E( X EX ) σ f ( x) f EX D X = EX = 0 = D X κ < κ f Rys.6.. Porównane skupena dwóch rozkładów Współczynnk spłaszczena (eksces) 0 γ = κ 3 x Rozkład normalny κ = 3 γ = 0

14 7. Wybrane zmenne typu skokowego (7.) Rozkład jednopunktowy P( X = a) =, dla ustalonego a R lub Dystrybuanta 0 dla F( x) = dla Parametry EX = a = a D X a a x x > a a F( x) a 0 x EX = a = a = = 0 x p a Rys.7.. Wykres dystrybuanty zmennej losowej X

15 Rozkład 0- (7.) Rozkład 0 z parametrem p (0,) P( X = ) = p, P( X = ) = q, q = p lub Dystrybuanta 0 dla x 0 F( x) = q dla 0 < x dla x > Parametry EX = 0 q + p = p D X = p p = p( p) = p q Realzacja EX = 0 q + p = p x 0 p q p sukces zmenna losowa X n = gdy w n-tym dośwadczenu wystąp 0 porażka ma rozkład 0 dla każdego n =,, F( x) q 0 Rys.7.. Wykres dystrybuanty zmennej losowej X p q x

16 Rozkład dwumanowy (7.3) Rozkład dwumanowy z parametram n =,,, p (0,) ( ) ( ) n k n k P X = k = p q, k = 0,,,..., n, q = p k Rozkład jest dobrze określony 0( ) n n k n k n ( ) k p q = p + = q = Parametry k EX = n p D X = n p q Własnośc (n+)p lczba całkowta najbardzej prawdopodobnym wartoścam zmennej są lczby (n+)p oraz (n+)p (n+)p lczba necałkowta najbardzej prawdopodobną wartoścą zmennej jest lczba [(n+)p] ([x] całość z x) Realzacja lczba możlwych sukcesów w schemace Bernoull ego

17 Rozkład geometryczny (7.4) Rozkład geometryczny z parametrem p (0,) k P( X = k) = q p, k =,,..., q = p Rozkład jest dobrze określony n k n k q p = p q = p = p = k= k= Parametry q p EX D X = p q = p Realzacja lczba dośwadczeń do momentu perwszego sukcesu

18 Rozkład Possona (7.5) Rozkład Possona z parametrem λ > 0 k λ λ P( X = k) = e, k = 0,,,... k! Rozkład jest dobrze określony k k (M) λ λ λ λ λ λ 0 e = e e e e k= 0 = = = k= 0 k! k! z rozwnęca funkcj w szereg Maclaurna mamy ( k ) (M) f (0) k x k f ( x) = x stąd e = x k= 0 k= 0 k! k! Parametry EX = λ D X = λ

19 Przyblżene rozkładem Possona Twerdzene Cąg rozkładów dwumanowych jest zbeżny do rozkładu Possona z parametrem λ Uwaga Jeśl n 50, p 0. n p 0, to do celów praktycznych można przyblżać ( ) k n p k q n k λ e λ, λ = n p k k! Realzacja ze względu na wcześnejszą uwagę lczba możlwych sukcesów w schemace Bernoull ego, przy dużej lczbe dośwadczeń małym prawdopodobeństwe sukcesu (kontrola jakośc)

20 Wykład Dzękuję za uwagę