O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH

Transkrypt

1 Mateusz Baryła Unwersytet Ekonomczny w Krakowe O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH Wprowadzene W polskej ustawe o rachunkowośc znajduje sę zaps mówący, że ( ) celem badana sprawozdana fnansowego jest wyrażane przez begłego rewdenta psemnej opn wraz z raportem o tym, czy sprawozdane fnansowe jest prawdłowe oraz rzetelne jasno przedstawa sytuację majątkową fnansową, jak też wynk fnansowy badanej jednostkˮ (Ustawa o rachunkowośc z dna 9 wrześna 994 r., art. 65, ust. ). Należy wyraźne zaznaczyć, że przeprowadzane przez begłego rewdenta badane sprawozdana fnansowego dotyczy równeż wykrywana oszustw fnansowych. Wskazują na to zapsy zawarte zarówno w przepsach krajowych, jak mędzynarodowych. Zgodne z nm to właśne na begłym rewdence spoczywa obowązek wykrywana oszustw, jeżel tylko wywerają one stotny wpływ na nformacje prezentowane w sprawozdanach fnansowych. W procese wykrywana oszustw fnansowych pomocne okazują sę procedury oparte na prawe Benforda. Problematyka dotycząca dentyfkowana nadużyć fnansowych z wykorzystanem wspomnanego prawa została podjęta mędzy nnym w następujących pracach: Ngrn (994, 0); Durtsch, Hllson, Pacn (004); Savlle (006). W zasadze tak sam cel badana sprawozdana fnansowego został sformułowany w regulacjach mędzynarodowych (por. Mędzynarodowy Standard Rewzj Fnansowej (MSRF) nr 00, ust. 3). Zob.: Mędzynarodowy Standard Rewzj Fnansowej nr 40 zatytułowany Odpowedzalność begłego rewdenta podczas badana sprawozdań fnansowych dotycząca oszustwˮ, ust. 5, 3; Krajowy standard rewzj fnansowej nr, ust. 54. Treśc tych standardów można znaleźć na strone nternetowej Krajowej Izby Begłych Rewdentów:

2 Mateusz Baryła. Analzy oparte na badanu rozkładu cyfr Najogólnej rzecz ujmując, prawo Benforda dotyczy częstośc występowana cyfr na określonych pozycjach znaczących w lczbe. Można tutaj rozważać zarówno pojedyncze pozycje znaczące, jak brać pod uwagę wększą lość pozycj znaczących lczby jednocześne. Wynkający ze wspomnanego prawa rozkład cyfr na określonych pozycjach znaczących jest znany w lteraturze pod nazwą rozkładu Benforda. Prawdopodobeństwo tego, że na perwszej, drugej oraz uogólnając problem k-tej pozycj znaczącej lczby (co symbolczne będzemy oznaczać: D, D D k ) pojaw sę cyfra odpowedno, oraz k, oblczamy następująco: P( D k = k ) = P ( D = = + ) log0, () 9 P ( D = = + ) log0, h= 0h + () k K log0[ + ( h 0 + K + hk 0 + k ) ], (3) h = h = 0 h = 0 k gdze: {,,..., 9}, j {0,,..., 9}, j =, 3,..., k. Chcąc przykładowo oblczyć prawdopodobeństwo tego, że perwszą drugą znaczącą cyfrą lczby będą odpowedno cyfry oraz, należy to uczynć zgodne z następującym wzorem: P ( D = = + D ) log0. (4) Zastosowane prawa Benforda w wykrywanu oszustw sprowadza sę do dokonywana porównań częstośc występowana cyfr (oblczonych np. dla zboru danych ksęgowych) na określonych pozycjach znaczących z prawdopodobeństwam wynkającym z rozkładu Benforda. W tym zakrese Ngrn Mttermaer (997) zaproponowal sześć testów wykorzystujących analzę cyfr (ang. dgtal analyss tests), wśród których znalazły sę mędzy nnym następujące: test perwszych cyfr, test drugch cyfr, test dwóch perwszych cyfr oraz test dwóch ostatnch cyfr. W celu przeprowadzena dalszych rozważań poczyńmy klka uwag do przyjętych oznaczeń. Nech w ( oznacza zaobserwowaną w zborze lczącym n elementów częstość względną cyfry (lub cyfr) w teśce o numerze t, czyl

3 O pewnym modelu pozwalającym dentyfkować 3 w = n / n, gdze n ( reprezentuje lość wystąpeń cyfry (lub cyfr) w t-tym teśce. Nech p ( oznacza wynkające z rozkładu Benforda prawdopodobeństwo wystąpena cyfry (lub cyfr) w teśce o numerze t. Wówczas, posługując sę wprowadzonym oznaczenam, wymenone testy oparte na analze cyfr będze można scharakteryzować tak, jak to uczynono w tabel. Test t = t = t = 3 t = 4 Charakterystyka wybranych testów opartych na analze cyfr Charakterystyka testu Polega na porównanu częstośc względnych w z prawdopodobeństwam p dla perwszej cyfry znaczącej; =, przy czym =,,..., 9 Polega na porównanu częstośc względnych w z prawdopodobeństwam p dla drugej cyfry znaczącej; =, przy czym = 0,,..., 9 Polega na porównanu częstośc względnych w z prawdopodobeństwam p dla dwóch perwszych cyfr znaczących; =, przy czym = 0,,..., 99 Polega na porównanu częstośc względnych w z prawdopodobeństwam p dla dwóch ostatnch cyfr znaczących; = s- s, przy czym s- s = 00, 0,..., 99, natomast s oznacza ostatną cyfrę Źródło: Opracowane własne na podstawe: Ngrn, Mttermaer (997, s. 57); Slva, Carrera (0, s. 5). Tabela W przypadku każdego z przeprowadzanych testów pojawa sę koneczność dokonana oceny badanego zboru danych pod kątem jego zgodnośc z prawem Benforda. W tym zakrese proponuje sę wykorzystane różnych mar. Nektóre z nch zestawono w tabel. Wybrane mary służące do oceny zgodnośc danych z prawem Benforda Mara Równane Mara Równane M Tabela [ w p ] χ = n M 3 d( = [ w p ] p n( w p u = M MAD = w p M 4 p [ p ] n( n Uwaga: W przypadku mary M M 3 za wartość wyrażena n(, w zależnośc od wybranego testu t, podstawamy: n(t = ) = 9, n(t = ) = 0, n(t = 3) = 90, n(t = 4) = 00. Źródło: Opracowane własne. Pojawające sę w lteraturze metody oceny zgodnośc danych ze wspomnanym prawem można w zasadze podzelć na dwe grupy. Jedna z nch obejmuje te metody, które operają sę na teor weryfkacj hpotez statystycznych (np. mara M M 4 ), natomast drugą grupę stanową metody, które ne wykorzystują takego podejśca (np. mara M M 3 ). Podstawowy problem zwązany z drugą wymenoną

4 4 Mateusz Baryła z kole grupą mar dotyczy braku jakchkolwek wartośc grancznych, na podstawe których można by jednoznaczne stwerdzć, czy zbór danych podlega prawu Benforda, czy też ne. Jedyne w przypadku mary M można znaleźć w lteraturze pewne sugeste, które zestawono w forme tabel 3. Zaproponowane wartośc granczne dla mary M Tabela 3 Stopeń zgodnośc t = t = t = 3 Duża zgodność 0,000-0,004 0,000-0,008 0,0000-0,0006 Akceptowalna zgodność 0,004-0,008 0,008-0,0 0,0006-0,00 Skrajne akceptowalna zgodność 0,008-0,0 0,0-0,06 0,00-0,008 Brak zgodnośc > 0,0 > 0,06 > 0,008 Źródło: Opracowane własne na podstawe: Drake, Ngrn (000, s ). W dalszej częśc nnejszego artykułu zostane przedstawony model (w swojej najprostszej postac), zaproponowany w pracy Slva, Carrera (0), służący do dentyfkacj k najbardzej podejrzanych rekordów w zborze danych ksęgowych.. Konstrukcja modelu Przyjmjmy, że begły rewdent dysponuje zborem danych składającym sę z n zapsów ksęgowych. Chce on zdentyfkować w tym zborze zadaną z góry lczbę k zapsów, jaką należy poddać szczegółowemu badanu celem wykryca neprawdłowośc spowodowanych oszustwam. Aby przeprowadzć analzę zgodnośc danych z prawem Benforda, begły rewdent wybera test t oraz jedną z mar przedstawonych w tabel, oznaczoną symbolem M z odpowednm subskryptem. Begły chce zdentyfkować k najbardzej podejrzanych zapsów ksęgowych, tj. takch rekordów, które gdy zostaną usunęte z wyjścowego zboru danych spowodują najwększą poprawę wartośc wybranej mary M. W dalszej częśc, spośród mar zaprezentowanych w tabel, weźmemy pod uwagę jedyne te, które uwzględnają łączny rozkład cyfr na określonej pozycj w lczbach. W celu rozwązana postawonego problemu decyzyjnego, w zapse mar służących do oceny zgodnośc danych z prawem Benforda trzeba uwzględnć owe k lczb, które należy usunąć z perwotnego zboru danych. Mamy zatem: M ( t, = ( n k( p n k p, (5)

5 O pewnym modelu pozwalającym dentyfkować 5 n k( M ( t, = p, (6) n( n k n k( M 3 ( t, = ( ) ( ) p t, (7) n t n k gdze n ( oraz k ( oznaczają lość lczb mających cyfrę (cyfry) na określonej pozycj znaczącej odpowedno dla wyjścowego zboru danych (lczącego n elementów) zredukowanego zboru danych (tj. powstałego po usunęcu ze zboru wyjścowego k lczb). Pojawające sę w powyższych marach wyrażene [ n k( ]/( oznacza częstość względną występowana cyfry (cyfr) w wynku zastosowana wybranego testu t, oblczoną na podstawe zboru danych, z którego usunęto k lczb. Przejdźmy do zapsana optymalzacyjnego modelu programowana matematycznego dla omawanego problemu decyzyjnego. Jako funkcję kryterum (celu) przyjmemy jedną z uprzedno zdefnowanych mar, której wartość będzemy mnmalzować: przy następujących ogranczenach: M ( t, mn, k = k, k n, k 0 całkowte. Zauważmy, że spośród wyżej zapsanych warunków ogranczających, perwszy z nch dotyczy łącznej lczby rekordów, które mają zostać usunęte, czyl poddane przez audytora szczegółowemu badanu. Drug z zapsanych warunków odnos sę do lośc usunętych lczb zawerających cyfrę (cyfry) na określonej pozycj znaczącej; lość ta ne może być wększa nż lość takch lczb znajdujących sę w wyjścowym zborze. Z kole trzec zapsany warunek mów o tym, ż lość lczb, jake należy usunąć z cyfrą (cyfram) na danej pozycj znaczącej, mus sę wyrażać lczbą całkowtą neujemną. Zauważmy ponadto, że drug z zapsanych warunków okazuje sę być zbędny w sytuacj, gdy dla każdego jest spełnona nerówność k n (.

6 6 Mateusz Baryła 3. Przykład empryczny W celu zlustrowana omawanego problemu posłużmy sę następującym przykładem. Załóżmy, że begły rewdent dysponuje zborem danych ksęgowych lczącym n = 300 rekordów. Do jego analzy wybera przykładowo test t =, a węc decyduje sę na analzę opartą na rozkładze perwszej cyfry znaczącej. Przyjmjmy, że dla rozważanego zboru uzyskano rozkład perwszej cyfry znaczącej tak, jak przedstawa to tabela 4. Rozkład perwszej cyfry znaczącej dla analzowanego zboru danych Tabela 4 n () w () 0,354 0,6 0,8 0,094 0,073 0,054 0,049 0,05 0,034 Źródło: Opracowane własne. Załóżmy dodatkowo, że do oceny zgodnośc danych z prawem Benforda audytor wybera odchylene przecętne, czyl marę oznaczoną symbolem M. Dla rozpatrywanego przypadku otrzymujemy wartość wspomnanej mary wynoszącą 0,07, co wskazuje na brak zgodnośc danych z prawem Benforda. Przyjmjmy także, że begły rewdent chce zdentyfkować k = 30 zapsów, na które należy zwrócć szczególną uwagę, aby wykryć neprawdłowośc spowodowane oszustwam. Wówczas optymalzacyjny model matematyczny przyjme następującą postać: 3 k() 58 k() M ( t =, n k = 370) = 0, , k3() 30 k4() 33 k5() + 0,49 + 0, , k6() 58 k7() 68 k8() + 0, , , k9() + 0,0458 mn, 370 k ( ) = 30, =,,..., 9, k ( ) 0 całkowte, =,,...,9.

7 O pewnym modelu pozwalającym dentyfkować 7 * Rozwązując powyższy model, uzyskano następujące optymalne wartośc k (), które zestawono w tabel 5. Rozwązane optymalne rozważanego problemu decyzyjnego Tabela * k () Źródło: Opracowane własne. Analzując otrzymane wynk, należy stwerdzć, że w celu wykryca zadanej lczby najbardzej podejrzanych ksęgowań, begły rewdent pownen wybrać poddać szczegółowemu badanu 3 zapsy ksęgowe, które mają cyfrę na perwszej pozycj znaczącej, 4 zapsy z cyfrą 3 jako perwszą cyfrą znaczącą oraz 3 zapsy mające na perwszej pozycj znaczącej cyfrę 8. Na uwagę zasługuje fakt, że po usunęcu ze zboru owych 30 rekordów, wartość odchylena przecętnego wynos około 0,07, co wskazuje już na skrajne akceptowalną zgodność danych z prawem Benforda. Podsumowane Opsany w nnejszym artykule model programowana matematycznego może posłużyć jako użyteczne narzędze w trakce dentyfkowana najbardzej podejrzanych zapsów ksęgowych w procese wykrywana oszustw fnansowych przez begłych rewdentów. Należy jednak wyraźne zaznaczyć, że zaprezentowany model posada co najmnej dwa zasadncze ogranczena. Podczas konstrukcj modelu przyjęto, że audytor wybera jedną z analz opartych na rozkładze Benforda. W rzeczywstośc może on być zanteresowany jednoczesnym przeprowadzenem wększej lczby tego typu analz. Prezentując model założono także, ż do oceny zgodnośc danych z prawem Benforda jest wykorzystywana mara uwzględnająca łączny rozkład cyfr na określonej pozycj w lczbach. Rozbudowując ten problem, można wząć pod uwagę możlwość wykorzystana welu mar jednocześne, także tych, które w swojej konstrukcj ne operają sę na łącznym rozkładze cyfr. Ne ulega wątplwośc, że chęć uwzględnena przedstawonych uwag przyczyn sę do wzrostu złożonośc omówonego modelu.

8 8 Mateusz Baryła Lteratura Drake P.D., Ngrn M.J. (000): Computer Asssted Analytcal Procedures Usng Benford s Law. Journal of Accountng Educatonˮ, No. 8. Durtsch C., Hllson W., Pacn C. (004): The Effectve Use of Benford s Law to Assst n Detectng Fraud n Accountng Data. Journal of Forensc Accountngˮ, Vol. V. (dostęp: ). Krajowy standard rewzj fnansowej nr. Krajowa Rada Begłych Rewdentów. Mędzynarodowy Standard Rewzj Fnansowej (MSRF) 00: Ogólne cele nezależnego begłego rewdenta oraz przeprowadzane badana zgodne z Mędzynarodowym Standardam Rewzj Fnansowej. Mędzynarodowa Federacja Ksęgowych. Mędzynarodowy Standard Rewzj Fnansowej (MSRF) 40: Odpowedzalność begłego rewdenta podczas badana sprawozdań fnansowych dotycząca oszustw. Mędzynarodowa Federacja Ksęgowych. Ngrn M.J. (994): Usng Dgtal Frequences to Detect Fraud. The Whte Paperˮ, Aprl/May. Ngrn M.J. (0): Benfordʼs Law: Applcatons for Forensc Accountng, Audtng, and Fraud Detecton. Wley, New Jersey. Ngrn M.J., Mttermaer L.J. (997): The Use of Benford s Law as an Ad n Analytcal Procedures. Audtng: A Journal of Practce & Theoryˮ, Vol. 6, No.. Savlle A. (006): Usng Benfordʼs Law to Detect Data Error and Fraud: An Examnaton of Companes Lsted on the Johannesburg Stock Exchange. South Afrcan Journal of Economc and Management Scencesˮ, Vol. 9, No. 3. Slva C.G., Carrera P.M.R. (0): Selectng Audt Targets Usng Benfordʼs Law. Insttute of Systems Engneerng and Computers, INESC, Combra. Ustawa o rachunkowośc z dna 9 wrześna 994 r. Dz.U. 994, nr, poz. 59 z późn. zm. ABOUT A MODEL IDENTIFYING THE K MOST SUSPICIOUS RECORDS IN AN ACCOUNTING DATA SET IN THE PROCESS OF FINANCIAL FRAUD DETECTION Summary Fnancal frauds lead to the dsturbance of a normal development of stock markets. When they appear, the funds are not properly allocated, whch has a negatve mpact on economc growth. In most cases, nvestors make decsons takng nto consderaton economc nformaton presented by companes. Fnancal frauds substantally affect data ncluded n fnancal statements. For ths reason, t seems mportant to undertake steps amng at fraud detecton. A key role n ths ssue may be assumed by audtors who are responsble for dentfyng sgnfcant fnancal rregulartes.

9 O pewnym modelu pozwalającym dentyfkować 9 In the paper, a certan mathematcal programmng model whch can be useful for audtors durng detectng rregulartes caused by fnancal frauds s dscussed. In the case of ths model, the decson problem conssts n fndng a gven number of the k most suspcous records n a data set that should be thoroughly audted. Benfordʼs Law s used as a base whle constructng the model.