SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

Transkrypt

1 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, Warszawa tel. (0) fax e-mal. nmb@el.waw.pl Streszczene Wyznaczane nepewnośc pomaru jest koneczną częścą każdej procedury pomarowej. W referace omówono klasyczne metody wyznaczana nepewnośc pomaru oraz przedstawono nne podejśce bazujące na bezpośrednm zastosowanu prawa propagacj funkcj rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa. Metoda ta jest złożona lecz ne wymaga wprowadzana uproszczeń na etape oblczenowym. Zastosowane metod numerycznych do wyznaczana rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa welkośc wyjścowej przy określonych rozkładach welkośc wejścowych podanym modelu pomaru prowadz do unwersalnych modułów oprogramowana, które mogą być stosowane w procedurach laboratoryjnych Słowa kluczowe: nepewność pomaru, prawo propagacj rozkładów, badana nenszczące. 1. WPROWADZENIE Wprowadzene jednoltej kodyfkacj szacowana nepewnośc pomaru zgodne z modelem probablstycznych spowodowało rozwój praktycznych metod oblczana nepewnośc pomaru jako parametru rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa przypsanego wyjścowej welkośc merzonej. Kryterum wyboru metody oblczana nepewnośc pomaru stanow postać modelu pomaru. Dla lnowego modelu pomaru stosuje sę prawo propagacj nepewnośc. Natomast dla dowolnej nelnowej funkcj pomaru stosuje sę prawo propagacj rozkładów. W Instytuce Elektrotechnk został opracowany paket programów do wspomagana pracy w laboratorach. W ramach paketu znajduje sę program do wyznaczana nepewnośc pomaru metodą propagacj rozkładów. Program pozwala na 1

2 rozwązane welu problemów w procese szacowana nepewnośc pomarów metod badawczych.. PROBLEMY SZACOWANIA NIEPEWNOŚCI POMIARU Szacowane nepewnośc pomarów złożonych zwązane jest z problemam, które można zalczyć do jednej z trzech klas. Perwszą klasę stanową zadana pomarowe, dla których wymagane jest podejśce ogólne. Model pomaru wynka z analzy metrologcznej zjawsk procesu pomarowego. Welkość wyjścowa jest zwązana zależnoścą z welkoścam wejścowym. Zależność ta może meć charakter funkcj analtycznej lub surowej zależnośc eksperymentalnej w postac tabel. Drugą klasę stanową te problemy, dla których można zastosować aproksymację równana pomaru perwszym wyrazem rozwnęca w szereg Taylora. W trzecej grupe znajdują sę problemy, dla których ne można wcześnej przesądzć, jake podejśce prowadz do wystarczająco dokładnego oszacowana. Zgodne z powyższym skodyfkowano opsane podejśca, zalecane do oceny nepewnośc pomaru. Perwsze podejśce to zastosowane metod analtycznych przekształcana funkcj rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa. Metody analtyczne ne wprowadzają żadnych przyblżeń na etape oblczenowym. Nedokładnośc powstają na etape przypsywana wejścowym zmennym losowym rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa. Zastosowane metod analtycznych prowadz do skomplkowanych przekształceń funkcj rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa. Metody analtyczne są stosowane na etape analzy zjawsk syntezy modelu. W praktyce pomarowej mogą być stosowane jedyne w najprostszych przypadkach. Druge podejśce polega na zastąpenu modelu pomaru przez aproksymację perwszym wyrazem rozwnęca w szereg Taylora. Stosując to podejśce uzyskuje sę dobre wynk dla lnowego lub lnearyzowanego modelu pomaru oraz dla normalnych rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa welkośc wejścowych. Trzece podejśce jest rozszerzenem poprzednego. Model pomaru aproksymuje sę rozwnęcem w szereg Taylora z wyrazam wyższych stopn. Prowadz to dość skomplkowanych zależnośc w praktyce stosuje sę najwyżej dwa wyrazy. Następne podejśce bazujące na prawe propagacj rozkładów polega na zastosowanu metod numerycznych do wyznaczana rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa welkośc wyjścowej przy określonych rozkładach welkośc wejścowych podanym modelu pomaru.

3 Model pomaru welkośc fzycznej określa welkość merzoną, welkośc wpływające oraz welkośc zakłócające. Welkość wyjścowa welkośc wejścowe powązane są analtyczną zależnoścą funkcyjną: Y = f (X ) (1) Argumentem powyższej funkcj jest wektor, którego składowe są nezależnym zmennym losowym: X ) T = ( X 1, X,..., X n () Ze zmennym losowym wejścowym zwązane są rozkłady gęstośc prawdopodobeństwa otrzymane na drodze eksperymentu lub przyjęte arbtralne. W obu przypadkach rozkłady gęstośc prawdopodobeństwa opsują zjawska losowe w sposób przyblżony. Przyjęte przez organzacje mędzynarodowe zasady wyznaczana nepewnośc dopuszczają stosowane dwóch sposobów. Perwszy nazywany prawem propagacj nepewnośc posługuje sę parametram rozkładów welkośc wejścowych do wyznaczena nepewnośc rozszerzonej welkośc wyjścowej. Drug sposób określany jako prawo propagacj rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa przekształca funkcje rozkładów gęstośc wejścowych. 3. PRAWO PROPAGACJI NIEPEWNOŚCI Nepewność złożona wynku pomaru welkośc fzycznej, zgodne z ogólnym zasadam, szacowana jest w następujących etapach: - określene zasady pomarowej, welkośc merzonej welkośc wpływających, - dentyfkacja źródeł nepewnośc, - przyjęce typów rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa dla welkośc wejścowych, - estymacja odchyleń standardowych, - wyznaczene współczynnków wrażlwośc, - zestawene budżetu nepewnośc, - oblczene wartośc złożonej nepewnośc standardowej - oblczane nepewnośc rozszerzonej. Wynk pomaru składa sę z wartość merzonej welkośc fzycznej oraz nepewnośc rozszerzonej pomaru. Te dwe wartośc określają przedzał ufnośc. 3

4 Rys. 1. Ilustracja prawa propagacj nepewnośc. Prawo przenoszena nepewnośc określa zwązek nepewnośc wyjścowych z nepewnoścam welkośc wejścowych. Welkoścam wejścowym są welkośc merzone, welkośc wpływające występujące w modelu pomaru oraz welkośc zakłócające. Złożona nepewność standardowa zgodne z prawem propagacj nepewnośc: u(y) u( y) = N 1 f x u ( x ) c f x = (3) - złożona nepewność standardowa welkośc wyjścowej, u(x ) - złożona nepewność standardowa welkośc wejścowej, c - wrażlwość wyjśca na wejśce. Wrażlwość wyjśca na określone wejśce przy funkcj pomaru danej w postac analtycznej wyznacza sę jako pochodną cząstkową. W nnych przypadkach należy stosować metody symulacyjne lub eksperymentalne. Nepewność złożona wyznaczana zgodne z prawem propagacj łączona jest z nepewnoścą metody oraz nepewnoścam arbtralne wprowadzanym przez badacza. Budżet nepewnośc jest zestawenem tabelarycznym podstawowych nformacj, które są koneczne do wylczena nepewnośc pomaru dokumentowana jej zgodne z obowązującym normam. Wejścowe nepewnośc standardowe są szacowane metodą A B. Istotnym elementem budżetu jest typ rozkładu gęstośc, gdyż przyjmowane bez analzy probablstycznej typu rozkładu może prowadzć do błędnego oszacowana przedzału ufnośc. W przypadku prostych zależnośc funkcyjnych współczynnk wrażlwośc można wyznaczyć analtyczne. Problemy pojawają sę w przypadku braku postac analtycznej lub postać funkcyjna jest trudna do analzy. 4

5 4. PRAWO PROPAGACJI ROZKŁADÓW Prawo propagacj rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa jest uogólnenem prawa propagacj nepewnośc określa zasadę przekształcana rozkładów wejścowych w rozkład wyjścowy. Welkośc wejścowe opsane są funkcjam gęstośc prawdopodobeństwa: g ) T ( ξ ) = ( g1( ξ1), g ( ξ ),..., g n ( ξ n (4) Rozkłady welkośc wejścowych są częścą modelu pomaru. Przyjęce wybranego typu rozkładu pownno być uzasadnone badanam statystycznym lub analzą zjawsk. Zaleca sę przyjmowane rozkładu normalnego, gdy występuje klka welkośc wejścowych o zblżonych wartoścach rozrzutu. Rozkład równomerny jest dobrym modelem welkośc fzycznej, która zmena sę w znanych grancach. Rys.. Ilustracja prawa propagacj rozkładów. Welkość wyjścowa opsana jest wynkową funkcją gęstośc prawdopodobeństwa. Jeśl funkcja modelująca pomar jest nelnowa to wyjścowa funkcja rozkładu może wykazywać asymetrę. W ogólnym przypadku wykorzystane prawa propagacj rozkładów do przekształcena funkcj rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa welkośc wejścowych prowadz do trudnośc analtycznych. Dobrym rozwązanem okazało sę zastosowane numerycznych metod symulacyjnych metod Monte Carlo. Metoda symulacyjna korzysta bezpośredno z prawa propagacj rozkładów gęstośc prawdopodobeństwa. Algorytm numerycznego wyznaczana nepewnośc dzała w następujących krokach: - wprowadzene funkcj modelującej pomar, - określene typów rozkładów dla każdego z wejść, - podane wartośc parametrów rozkładów, - wybór parametrów symulacj, - wyznaczene wyjścowego rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa, 5

6 - określene wartośc welkośc wyjścowej, - określene nepewnośc rozszerzonej pomaru złożonego, Proces oblczenowy przebega zgodne z ustawonym przez obsługę parametram pomocnczym. W wynku dzałana algorytmu otrzymuje sę rozkład gęstośc prawdopodobeństwa, przedzał ufnośc dla podanego pozomu ufnośc oraz pełną dokumentację grafczną w postac raportu. Proces można powtarzać przy doberanych parametrach. 5. UWAGI KOŃCOWE Bezpośredne zastosowane prawa propagacj funkcj gęstośc rozkładów prawdopodobeństwa prowadz do algorytmów symulacyjnych, które w forme programów mogą być wykorzystane w praktyce laboratoryjnej. Oprogramowane pozwala na wyznaczene rozkładów z dowolną wymaganą dokładnoścą. Algorytmy wyznaczana nepewnośc mogą być zntegrowane z oprogramowanem pomarowym raportującym. Czas oblczeń automatycznych jest krótk, wynk mogą być archwzowane. Program można wykorzystywać także do eksperymentów zwązanych z waldacją metod pomarowych metodam statystycznym. W postac uproszczonej otrzymuje sę rozkład eksperymentalny bez przyblżonej postac analtycznej. W wersj rozszerzonej możlwe jest przyblżane danych wyjścowych funkcjam analtycznym. Opracowane oprogramowane pozwala na skuteczne oblczane nepewnośc zgodne z modelem probablstycznym bez konecznośc analzy funkcj pomaru bez wyznaczana współczynnków wrażlwośc. Algorytmy mplementowane w rozszerzonej wersj pozwalają na wspomagane waldacj metod badawczych. W badanach nenszczących występuje problem konfrontowana wynków pomarów tej samej cechy różnym metodam. Każda z metod dostarcza wynku opsanego nnym rozkładem. Opsana powyżej metoda postępowana może być zastosowana w takm przypadku. LITERATURA 1. Bernat K, Wójtowcz S.: Wyznaczane nepewnośc pomarów złożonych metodą symulacyjną. 34 KKBN, Zakopane Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement, Supplement 1, Numercal Methods for the Propagaton of Dstrbutons, Wójtowcz S., Bernat K., Ccheck A.: Szacowane nepewnośc pomaru metodą symulacyjną. 33 KKBN, Poznań-Lcheń Wyrażane nepewnośc pomaru. Przewodnk. Główny Urząd Mar, Warszawa