Ryzyko inwestycji. Ryzyko jest to niebezpieczeństwo niezrealizowania celu, założonego przy podejmowaniu określonej decyzji. 3.

Transkrypt

1 PZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFOMTYCZNYCH Istota, defncje rodzaje ryzyka Elementem towarzyszącym każdej decyzj, w tym decyzj nwestycyjnej, jest ryzyko. Wynka to z faktu, że decyzje operają sę na pronoze co do przyszłych warunków dzałana, a ne na nformacjach pewnych. Temat: yzyko nwestycj yzyko jest to nebezpeczeństwo nezrealzowana celu, założoneo przy podejmowanu określonej decyzj. W dzałalnośc ospodarczej neosąnęce celu może sę wyrażać ne tylko wystąpenem straty lecz równeż nższym, nż założony, wynkem; W przypadku procesu nwestycyjneo wąże sę to z nebezpeczeństwem błędnej lokaty kaptału; Owo nebezpeczeństwo ma najczęścej charakter merzalny w kateorach probablstycznych. Możlwe jest węc określene np. prawdopodobeństwa wystąpena zdarzeń, warunkujących dzsejszą decyzję; Ta cecha odróżna ryzyko od nepewnośc, która jest nemerzalna. POWDZĄCY : dr nż.. Zbnew TPT Zbnew..Tarapatta@ss..watt..edu.pll httttp::////ttarapatta..ssttreffa..pll Wspomnane wcześnej ryzyko nwestycyjne dzel sę na dwa rodzaje: ryzyko sukcesu : nebezpeczeństwo osąnęca efektywnośc nezodnej z założenam projektowym. ryzyko płynnośc : ścśle zwązane z ryzykem sukcesu. Polea na braku lub opóźnenu wpływów z nwestycj. Hasło do materałów na strone WWW podaje wykładowca!

2 Przykład 3.. Załóżmy, że dysponujemy -co letną oblacją o wartośc nomnalnej zł z odsetkam płaconym coroczne w wysokośc %. Daram przepływów otówkowych dla tej oblacj przedstawa ys Zakładając stopy rynkowe na pozome % cenę oblacj P lczymy jak zaktualzowaną wartość wszystkch wpływów otówkowych, czyl: P + ( +.) ( +.) W przypadku, dy stopy procentowe zmnejszą sę do pozomu 8% wartość P wynese: ys. 3.. wpływy ( +.8) ( +.8) P wypływy Daram przepływów otówkowych oblacj -co letnej o wartośc nomnalnej zł, o odsetkach corocznych w wysokośc %. zaś dy stopy procentowe wzrosną do % P wynese: P P ( +.) ( +.) Wdać węc na powyższym przykładze odwrotną zależność ceny oblacj rynkowych stóp procentowych. Zmana stóp procentowych powoduje zmany ceny oblacj (nstrumentu o stałej stope procentowej), czeo wynkem jest występowane zdefnowaneo wcześnej ryzyka nwestycyjneo. + czas Ważną cechą ryzyka ( nepewnośc) jest ch dynamczny ekonomczny charakter. Wyraża sę to w następujących faktach: nepewność ryzyko wzrastają wraz z wydłużenem horyzontu czasoweo nwestycj, czyl wraz ze wzrostem czasu zaanażowana kaptału; nwestor podejmujący decyzję nwestycyjną zwązaną z wększym ryzykem, może węcej zyskać lub węcej stracć nż w przypadku decyzj o nższym ryzyku; ryzyko ma swoją cenę, która zależy od rodzajów ryzyka metod jej ustalana; z uwa na tę cenę mówmy o nwestycjach mnej lub bardzej bezpecznych, czyl o mnejszym lub wększym ryzyku. Z punktu wdzena nwestora można rozpatrywać trzy rodzaje zachowań wobec ryzyka : preferowane ryzyka jeo skutków; neutralność wobec ryzyka; nechęć (awersja) do ryzyka jeo pomaru. Źródłem ryzyka decyzj nwestycyjnych podejmowanych na podstawe wynku rachunku są trzy rupy czynnków (ys. 3..): makroospodarcze (stan ospodark, nflacja, poltyka monetarna tp.); mezoospodarcze (zwązane z analzą sektorową, np. stopeń nnowacyjnośc sektora, jeo enerochłonność, moblność tp.); mkroospodarcze (zwązane z analzą sytuacyjno-fnansową przedsęborstwa). odzaje ryzyka: yzyko systematyczne jest wywołane oólnym warunkam ospodarowana (rynkowym, społecznym, poltycznym, prawnym) dotyczy wszystkch rozpatrywanych projektów, przy czym poszczeólne projekty moą wykazywać różną wrażlwość na czynnk teo ryzyka. yzyko specyfczne dotyczy konkretnych projektów, a nawet ch warantów, tzn. może być charakterystyczne tylko dla daneo warantu może ne meć żadneo znaczena dla nneo warantu przy rozpatrywanu teo sameo projektu nwestycyjneo. 3 4

3 ys. 3.. yzyko: - systematyczne - specyfczne czynnk makro Źródła ryzyka czynnk mezo odzaje ryzyka w ocene nwestowana czynnk mkro yzyko: - p r o j e k t u nwestycyjneo - przedsęborstwa właśccel Źródła rodzaje ryzyka w ocene projektu nwestycyjneo yzyko: - fnansowe (kursów walut, stopy procentowej) - operacyjne Ze wzlędu na kryterum skutków decyzj nwestycyjnej w lobalnej strate przedsęborstwa możemy wyodrębnć: a) ryzyko projektu nwestycyjneo; b) ryzyko przedsęborstwa jeo właśccel. yzyko projektu nwestycyjneo wynka ze skal trafnośc założeń techncznych ekonomczno-fnansowych teo projektu. Wększe ryzyko towarzyszy realzacj nwestycj nowych, a mnejsze nwestycj modernzacyjnych. yzyko przedsęborstwa jeo właśccel zazwyczaj ne jest take samo jak ryzyko nwestycj. yzyko przedsęborstwa zależy od relacj mędzy korzyścam osąnętym z realzacj daneo projektu nwestycyjneo, a korzyścam zwązanym z eksploatowanem majątku będąceo w dyspozycj teo przedsęborstwa. yzyko właśccel kaptału jest zwązane z ryzykem systematycznym ch skłonnoścą oraz preferencjam do lokaty kaptału w różnych frmach. Ze wzlędu na kryterum efektywneo doboru projektu nwestycyjneo wyróżna sę ryzyko: a) fnansowe; b) operacyjne. yzyko fnansowe rozpatruje sę najczęścej w kontekśce ryzyka kursoweo oraz ryzyka stopy procentowej. yzyko kursowe (foren exchane rsk) jest to ryzyko przenesena straty z tytułu posadana np. przez bank otwartej, ne zabezpeczonej pozycj walutowej na skutek nekorzystneo ruchu kursów walutowych. yzyko stopy procentowej (nterest rate rsk) to możlwy wpływ zman stóp procentowych na dochody wartość netto jednostk. yzyko stopy procentowej pojawa sę, kedy kaptał podstawowy odsetkowe przepływy penężne, zarówno blansowe, jak pozablansowe, mają różnące sę termny wyceny. Welkość ryzyka stanow funkcję welkośc kerunku zman stopy procentowej oraz welkośc termnów zapadalnośc nedopasowanych pozycj. yzyko operacyjne zwązane jest ze zmanam w strukturze aktywów, tzn. ze zmanam elementów majątku trwałeo obrotoweo. yzyko to wynka ze stopna wpływu zman sprzedaży na kształtowane sę zysku operacyjneo. Wpływa węc na nepewność przyszłych zman cen surowców wyrobów końcowych, zman technolo produkcj, konkurencj, aktywnośc marketnowej preferencj konsumenta tp. 3. Zarządzane ryzykem fnansowym W krajach wysoko rozwnętych dla celów analzy, oranczana zabezpeczana sę przed ryzykem, rozwnęła sę dyscyplna rsk manaement służąca zarządzanu ryzykem. Zarządzane ryzykem fnansowym w nstytucj polea na projektowanu wdrażanu struktury czasowej przepływów penężnych w celu osąnęca pożądaneo pozomu ryzyka. 6

4 Metody zarządzana ryzykem:. metody koryowana efektywnośc projektu nwestycyjneo - poleają one na korektach wybranych parametrów rachunku efektywnośc nwestycj tzw. narzutach procentowych;. analza wrażlwośc prou rentownośc - polea na zmanach różnych rodzajów nakładów efektów będących elementam rachunku oraz na wyznaczanu dla przedsęborstwa wartośc krytycznych zwązanych z realzacją danej nwestycj. Narzędze, które służą do tych analz to: pró rentownośc, okres zwrotu zaanażowaneo kaptału, marnes bezpeczeństwa. Wynkem metody jest ocena wartośc krytycznych warantów nwestycj; 3. metody probablstyczno-statystyczne - szacowane pomar ryzyka metodam rachunku prawdopodobeństwa statystyk matematycznej. Chodz przede wszystkm o szacowane oczekwanej wartośc zdyskontowanej netto (NPV); 4. metody operacyjne (w tym teora er) - stosuje sę w warunkach nepewnośc wcześnej zdefnowanej. Instytucją reulującą nadzorującą zarządzane ryzykem fnansowym jest azylejsk Komtet ds. Nadzoru ankoweo (asle Commttee on ankn Supervson). W skład teo oranu wchodzą przedstawcele banków centralnych nstytucj nadzorujących system bankowy z dwunastu krajów śwata. Najważnejszym dokumentem Komtetu azylejskeo była tzw. azylejska Uoda Kaptałowa (asle Captal coord) z 988 roku, której autorzy skoncentrowal sę na ryzyku kredytowym. W roku 996 opublkowana została najważnejsza poprawka tej uody, uwzlędnająca ryzyko rynkowe. W 999 roku środowsko fnansowe otrzymało do konsultacj dwa dokumenty: perwszy dotyczył modelowana ryzyka kredytoweo, zaś dru jest propozycją dokumentu mająceo zastąpć starą uodę bazylejską. 3.3 Mary ryzyka rynkoweo Kluczowym elementem procesu zarządzana ryzykem, jest pomar oweo ryzyka. Służą temu tzw. mary ryzyka rynkoweo, klasyfkowane w trzech kateorach : mary zmennośc (volatlty measures); mary wrażlwośc (senstvty measures); mary zarożena (downsde rsk measures). Mary zmennośc odzwercedlają zmany fnansowych cen lub stóp zwrotu. Z reuły berze sę pod uwaę rozkład cen (lub stóp zwrotu) wyznacza mary rozproszena teo rozkładu. Mary wrażlwośc odzwercedlają wpływ pewnych zmennych, zwanych czynnkam ryzyka na ceny (lub stopy zwrotu). Mary zarożena odnoszą sę do pomaru możlwych nekorzystnych odchyleń od oczekwanych wartośc (cen lub stóp zwrotu) Wprowadzene Defncja podstawowych pojęć: stopy zwrotu, oczekwanej stopy zwrotu oraz rozkładu stopy zwrotu. Stopa zwrotu określa dochód przypadający na jednostkę zanwestowaneo kaptału wyraża sę wzorem: ( W ) t Wt + Dt (3.3.) t Wt dze: t stopa zwrotu akcj osąnęta w t-tym okrese; W t wartość (cena) akcj w t-tym okrese; D t dywdenda wypłacona w t-tym okrese. Przy stopach zwrotu, do opsu nepewnośc stosuje sę podejśce wynkające z rachunku prawdopodobeństwa. W podejścu tym rozważa sę tzw. rozkład stopy zwrotu. Upraszczając, rozkład stopy zwrotu są to możlwe do osąnęca stopy zwrotu oraz prawdopodobeństwa ch osąnęca. 7 8

5 Przykład 3.3. ozważany jest zakup akcj spółk. Eksperc określl pęć możlwych scenaruszy stanu ospodark w przyszłośc, a zatem możlwych stanów rynku. Oszacowal równeż stopy zwrotu akcj spółk w każdym z możlwych scenaruszy oraz prawdopodobeństwa zrealzowana każdeo scenarusza. Wynk zawera tabela. Tabela 3.3. Dane do Przykładu 3.3. Możlwy stan Prawdopodobeństwo p Stopa zwrotu (w %) Interpretację rafczną danych zawartych w Tabel 3.3. przedstawa Wykres ozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk,4,, Wartośc możlwych stóp zwrotu Wykres 3.3. Wykres rozkładu stopy zwrotu zawarteo w Tabel 3.3. Syntetyczną marą dochodu, którą wyznacza sę na podstawe rozkładu stopy zwrotu jest tzw. oczekwana stopa zwrotu (expected return): m (3.3.3) p dze: oczekwana stopa zwrotu; -ta możlwa wartość stopy zwrotu; p prawdopodobeństwo osąnęca przez stopę zwrotu -tej wartośc; m lczba możlwych do osąnęca wartośc stopy zwrotu. Przykład 3.3. Weźmy pod uwaę akcje spółk, której rozkład stopy zwrotu został przedstawony w Tabel Wyznaczyć oczekwaną stopę zwrotu z akcj spółk. Po podstawenu do wzoru (3.3.3) wartośc z Tabel 3.3. otrzymamy:. 4% +. % +.3 % +.3 4% +. ( %).% Gdy ne ma możlwośc uzyskana nformacj o rozkładze stopy zwrotu, do oszacowana wartośc oczekwanej stopy zwrotu można wykorzystać dane hstoryczne tzn. stopy zwrotu zrealzowane w przeszłośc. Na tej podstawe szacuje sę oczekwaną stopę zwrotu wedłu wzoru: n (3.3.4) t n t dze: t stopa zwrotu z akcj zrealzowana w t-tym okrese; n lczba okresów, z których pochodzą dane. 9

6 3.3. Mary zmennośc ryzyka yzyko jest tu rozumane jako nezodność z oczekwanym dochodem pod uwaę berze sę rozkłady stopy zwrotu (rate of return) zwanej równeż stopą zysku. by lepej zrozumeć sens defnowana mar zmennośc ryzyka posłużmy sę następującym przykładem. Przykład ozważmy akcje dwóch spółek. W Tabel 3.3. przedstawono rozkłady stóp zwrotu tych akcj. Tabela 3.3. Dane do przykładu Możlwy Prawdopodobeństwo Stopa zwrotu stan p (w %) (w %) Przedstawmy równeż te dane (rozkłady) w postac rafcznej na Wykrese Po polczenu oczekwanej wartośc stopy zwrotu dla obu spółek (ze wzoru (3.3.3)) otrzymamy: % % czyl z punktu wdzena oczekwanej wartośc stopy zwrotu zanwestowane w obe spółk jest tak samo atrakcyjne (ten sam oczekwany zysk ). a) b) ozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk ozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk Przedstawony przykład sueruje, że ryzyko akcj można określać za pomocą rozrzutu możlwych stóp zwrotu wokół oczekwanej stopy zwrotu. Marą ryzyka akcj, która wykorzystuje tę zasadę jest warancja stopy zwrotu akcj (varance of returns): (3.3.) m V p ( ) dze: V warancja stopy zwrotu; oczekwana stopa zwrotu. Częścej stosuje sę nną marę ryzyka, manowce odchylene standardowe stopy zwrotu (standard devaton of returns): (3.3.6) s V p ( m ) dze: s odchylene standardowe stopy zwrotu. Odchylene standardowe wskazuje przecętne odchylene możlwych stóp zwrotu od oczekwanej stopy zwrotu, przy czym m wększe jest odchylene standardowe stopy zwrotu, tym wększe ryzyko na odwrót. Przykład ozważmy te same akcje, co w poprzednm przykładze (Tabela 3.3.). Oczekwana stopa zwrotu akcj obu spółek wynos: %, %. Oblczyć warancję oraz odchylene standardowe stóp zwrotu akcj obu spółek.,4,, Wartośc możlwych stóp zwrotu,4,, Wartośc możlwych stóp zwrotu Ze wzoru (3.3.) oraz Tabel 3.3. mamy: - dla akcj spółk. (.6.) +. (.3.) V. (..) +. (.4.) +.4 (..).66 +

7 - dla akcj spółk. (..) V oraz ze wzoru (3.3.6):. (.6.) s s V V +. (.4.) +. (.) +.4 (..) %.64..% Powyższe oblczena potwerdzają fakt zaobserwowany na Wykrese 3.3., że akcje spółk cechują sę mnejszym ryzykem, bo s <s. Grafczną zależność mędzy dochodem a ryzykem z akcj przedstawa ys odchylene stand. stopy zwrotu s C D E F + Zauważmy, że przy merzenu odchylena standardoweo stopy zwrotu (wzór (3.3.6)), odchylena możlwych stóp zwrotu od oczekwanej stopy zwrotu podnos sę do kwadratu. Powoduje to, że jednorazowe duże odchylene podnesone do kwadratu może zawyżyć welkość ryzyka. Wady tej pozbawone jest odchylene przecętne stopy zwrotu (mean absolute devaton of returns): (3.3.7) d p m dze: d odchylene przecętne stopy zwrotu; x - wartość bezwzlędna z x; Przykład 3.3. ozważmy akcje tych samych dwóch spółek co w przykładze poprzednm (Tabela 3.3.). Wyznaczyć odchylene przecętne stóp zwrotu akcj spółk. Ze wzoru (3.3.7) oraz Tabel 3.3. mamy: - dla akcj spółk ys oczekwana stopa zwrotu Grafczna zależność mędzy oczekwaną stopą zwrotu odchylenem standardowym stopy zwrotu d Przypadek spółk F, jakkolwek bardzo atrakcyjny dla nwestora (posada najmnejsze ryzyko spośród wszystkch pozostałych spółek jednocześne najwyższą oczekwaną stopę zwrotu), rzadko występuje w praktyce. - dla akcj spółk d

8 Przedstawone do tej pory mary zmennośc ryzyka można nazwać maram ryzyka bezwzlędneo. Jak wcześnej wspomnelśmy, w przypadku wększośc akcj wyższe ryzyko wąże sę z wększym dochodem. W celu powązana ryzyka z dochodem wyznacza sę mary ryzyka wzlędneo, które określają welkość ponoszoneo ryzyka w stosunku do osąnęteo dochodu. Marą ryzyka wzlędneo jest tzw. współczynnk zmennośc stopy zwrotu (coeffcent of varaton): s (3.3.3) CV dze: CV współczynnk zmennośc stopy zwrotu; s odchylene standardowe stopy zwrotu (3.3.6); oczekwana stopa zwrotu (3.3.3). Wykres oczekwana stopa zwrotu E F 9 D 8 7 C H G 4 O odchylene standardowe stopy zwrotu s Wykres zależnośc dochód () - ryzyko (s) Współczynnk ten nterpretuje sę jako welkość ryzyka przypadająca na jednostkę stopy zwrotu. Inwestor będze dążył do zakupu akcj o nskej wartośc współczynnka zmennośc. Przykład Dla danych jak w Tabel 3.3. określć wartośc współczynnków zmennośc stopy zwrotu dla akcj spółk. Mamy: %, s.7% CV.7 %, s.% CV. Na Wykrese przedstawono zależność dochód () - ryzyko (s). Zauważmy, że akcje,, C, D leżą na prostej o równanu s, węc mają taką samą wartość współczynnka zmennośc. Mnmalzacja wartośc współczynnka zmennośc wązać sę będze z maksymalzacją kąta nachylena prostej przechodzącej przez środek układu współrzędnych dany punkt (akcję). W tym ujęcu najlepszym akcjam są E, a następne F. Współczynnk zmennośc wąże sę jednak z pewnym nedoodnoścam. Jeżel bowem będzemy mel akcję o oczekwanej stope zwrotu równej % odchylenu standardowym.% (czyl CV./.), to jest ona lepsza od akcj o oczekwanej stope zwrotu % odchylenu standardowym % (bo CV /. > CV.), co jest stwerdzenem co najmnej dyskusyjnym! 6

9 3.3.3 Mary wrażlwośc ryzyka Mary zmennośc ryzyka stanowły perwszą rupę mar ryzyka rynkoweo. Druą rupę stanową mary wrażlwośc (senstvty measures). Mary wrażlwośc odzwercedlają wpływ pewnych zmennych (zwanych czynnkam ryzyka) na ceny (bądź stopy zwrotu). Im bardzej jest wrażlwa cena nstrumentu fnansoweo na dzałane czynnków wpływających na tę cenę, tym wększe jest ryzyko rynkowe nstrumentu fnansoweo. Podobne, m bardzej jest wrażlwa stopa zwrotu na dzałane czynnków na ną wpływających, tym wększe jest ryzyko rynkowe. Podstawowa różnca jaka występuje mędzy maram zmennośc a wrażlwośc ryzyka polea na tym, że mary zmennośc merzą jedyne skutk występowana ryzyka rynkoweo (objawające sę zmennoścą np. stóp zwrotu), a mary wrażlwośc sęają do przyczyn tych zman (np. czynnków ryzyka). Mary wrażlwośc mają u podstaw jeden z czterech model: w odnesenu do wrażlwośc ceny: (3.3.4) P ( X, X,..., X m) lub (3.3.) P X, X,...,, ) ( X m ε w odnesenu do wrażlwośc stopy zwrotu: (3.3.6) ( X, X,..., X m) lub (3.3.7) ( X, X,..., X m, ε) dze: P - cena nstrumentu fnansoweo; - stopa zwrotu nstrumentu fnansoweo; X - -ty czynnk determnujący cenę bądź stopę zwrotu nstrumentu fnansoweo,, m ; - funkcja; ε - składnk losowy. Mara wrażlwośc zdefnowana jest jako pochodna cząstkowa funkcj wzlędem jedneo z czynnków ryzyka, tzn.: w odnesenu do model (3.3.4) (3.3.): P (3.3.8) X w odnesenu do model (3.3.6) (3.3.7): (3.3.9) X Oznacza to, że można wyznaczyć tyle mar wrażlwośc, le jest czynnków ryzyka, czyl m. Jednowskaźnkowy model Sharpe'a rynku kaptałoweo (upraszczający tzw. klasyczną teorę portfela). Model ten opera sę na założenu, że kształtowane sę stóp zwrotu akcj jest zdetermnowane dzałanem czynnka odzwercedlająceo zmany na rynku kaptałowym. Ma on postać: (3.3.) α + β M + e dze: - stopa zwrotu -tej akcj; M - stopa zwrotu ndeksu rynku; α, β - współczynnk równana; e - składnk losowy. Wzór (3.3.) jest równanem reresj przedstawa lnową zależność stopy zwrotu akcj od stopy zwrotu ndeksu rynku. Dzałane "nnych" czynnków rynku obrazuje e. W praktyce równane reresj jest szacowane w rezultace otrzymuje sę przyblżony model: (3.3.) ˆ α + ˆ β M dze ˆ α, ˆ β oznaczają estymatory parametrów α, β. W dalszych rozważanach będzemy utożsamać estymatory parametrów z nm samym (choć ne jest to do końca poprawne formalne), tzn. będzemy przyjmować, że ˆ α α, ˆ β β. 7 8

10 ównane (3.3.) nos nazwę ln charakterystycznej akcj (ln charakterystycznej paperu wartoścoweo) (securty characterstc lne). W równanu tym podstawową rolę odrywa współczynnk beta β (beta coeffcent). Wskazuje on, o le procent w przyblżenu wzrośne stopa zwrotu akcj, dy stopa zwrotu ndeksu rynku (portfela rynkoweo) wzrośne o %. Jest to jedna z najważnejszych mar wrażlwośc ryzyka. Interpretację współczynnka β przedstawono na Wykrese Wykres β > β β < Interpretacja współczynnka beta (β) Wartość współczynnka β możemy oblczyć korzystając z oólnej de przedstawonej w (3.3.9). Dla modelu reresj lnowej (3.3.), po oszacowanu wartośc β metodą najmnejszych kwadratów, otrzymamy: (3.3.) M β 3, α,, j cov(, M ) j m VM M m p ( j j j ) ( p ( Mj M Mj M ) M ) ardzo popularnym mernkem powązana stóp zwrotu dwóch nstrumentów fnansowych (w naszym przypadku -tej akcj ndeksu rynku) jest współczynnk korelacj: cov(, M ) (3.3.4) ρ M s sm dze: ρm - współczynnk korelacj mędzy stopą zwrotu -tej akcj ndeksu rynku; s odchylene standardowe stopy zwrotu -tej akcj, s V ; s M odchylene standardowe stopy zwrotu ndeksu rynku, s. M V M Współczynnk korelacj stóp zwrotu (3.3.4) określa słę kerunek powązana stóp zwrotu tych akcj. Jeo wartość zawera sę zawsze w przedzale [-, ]. Interpretację współczynnka korelacj przedstawono na ys Mt ,8,,6,,4,8 3, 3,6 4, t Mt ,4,6,8,,,4 t dze: cov(, M ) kowarancja mędzy stopam zwrotu -tej akcj oraz ndeksu rynku; V M warancja ndeksu rynku; m lczba możlwych wartośc stopy zwrotu; p j prawdopodobeństwo przyjęca przez stopę zwrotu j-tej wartośc; oczekwana stopa zwrotu akcj ; M oczekwana stopa zwrotu ndeksu rynku. ys.3.3. Mt ,8,,6,,4,8 3, 3,6 4, t Interpretacja współczynnka korelacj 9

11 Zauważmy, że wartość współczynnka beta może być lczona z wykorzystanem współczynnka korelacj. Manowce z (3.3.) (3.3.4) wynka, że (3.3.) ρ s s ρ s s M M M β VM sm M ρm s s Przykład ozważmy dane z Tabel Nech stopy zwrotu dotyczące spółk odnoszą sę do ndeksu rynku, tzn. Mj j, j,. Wylczyć wartość współczynnka zmennośc β, będąceo marą wrażlwośc ryzyka zanwestowana w akcje spółk w zależnośc od zachowana sę stóp zwrotu ndeksu rynku. Poneważ znamy rozkład stóp zwrotu akcj oraz ndeksu rynku (dane jak dla akcj spółk ), węc aby wylczyć β korzystamy wprost ze wzoru (3.3.), czyl: cov(, M ) β V M Warancję oraz wartośc oczekwane stóp zwrotu ndeksu rynku oraz akcj spółk polczylśmy we wcześnejszych przykładach: V M V.64, %., %. by polczyć kowarancję cov(, M ) korzystamy ze wzoru (lcznk z (3.3.)): cov(, M m ) p j j ( j ) (. (.6.) (..) +. (.3.) (.4.) +.4 (..) (..) + ) +. (..) (.6.) +. (.4.) (.).3 Stąd: β Mj.3.64 M M Z wykonanych wylczeń wynka, że jeżel wartość stopy ndeksu rynku zmen sę o %, to wartość stopy zwrotu akcj zmen sę o %. Wdać węc bardzo slną zależność stopy zwrotu akcj spółk od stopy zwrotu ndeksu rynku. Wartość współczynnka αˆ we wzorze (3.3.) wylczamy ze wzoru: (3.3.6) ˆ α ˆ β M Przykład Dla danych jak w przykładze poprzednm oszacujmy wszystke parametry modelu (3.3.). Z poprzednch wylczeń mamy, że: %.; M %.; β β Stąd z (3.3.6) mamy, że α...4 4% czyl pełna postać modelu jest następująca:,4 + M Współczynnk β wyznacza sę ne tylko dla pojedynczych akcj, ale równeż dla portfel akcj. Portfel akcj jest to zbór akcj pewnej lczby spółek. by wyznaczyć współczynnk beta portfela stosuje sę następujący wzór: n (3.3.3) β p w β dze: β p - współczynnk beta portfela; β - współczynnk beta -tej akcj; n - lczba akcj w portfelu; w - udzał procentowy -tej akcj w wartośc portfela.

12 Należy zauważyć, że współczynnk β ne zawsze wystarczy do określena wrażlwośc zmany stopy zwrotu akcj -tej na zmany stopy zwrotu M ndeksu rynku. Dlateo też stosuje sę równolele dru mernk, tzw. współczynnk determnacj, równy: (3.3.33) j ρ M θ Mj a) b) Wykres Interpretacja współczynnka determnacj: a) ; b) << Współczynnk ten jest marą dopasowana punktów emprycznych do prostej. Im wartość teo współczynnka jest blższa jednośc tym punkty empryczne są lepej dopasowane ( przyklejone ) do prostej reresj. Przykład 3.3. ozważmy dane z Tabel Nech stopy zwrotu dotyczące spółk odnoszą sę do ndeksu rynku, tzn. Mj j, j,. Wyznaczyć wartość współczynnka determnacj. Z poprzednch przykładów mamy, że cov(, ).3, M M V s M V.64. s V Korzystając z (3.3.33) współczynnk oblczymy następująco: j θ Mj Oprócz współczynnka β stosuje sę równeż nne mary wrażlwośc ryzyka, jak np.: współczynnk recke (delta, amma, vea, theta, rho) - dea ch wywodz sę z klasyczneo modelu wyceny opcj lacka, Scholesa Mertona. Współczynnk te wyznaczane są jako perwsza lub drua pochodna wartośc opcj wzlędem czynnków wpływających na wartość opcj opsanych w wyżej wspomnanym modelu. Do czynnków tych należą: cena wykonana, cena nstrumentu podstawoweo, stopa wolna od ryzyka oraz zmenność cen nstrumentu podstawoweo; duraton zmodyfkowany duraton - w odnesenu do oblacj mary te określają wrażlwość ceny oblacj lub nneo nstrumentu dłużneo na zmany stopy procentowej; współczynnk wrażlwośc (współczynnk beta) modelu wyceny arbtrażowej - współczynnk te określają jak stopa zwrotu reauje na zmany tzw. czynnków ryzyka, przy założenu, że pozostałe czynnk ne zmenają sę. Dotyczy modelu wyceny arbtrażowej PT ; współczynnk zabezpeczena dla kontraktu termnoweo - stosowany jest w przypadku zabezpeczena nstrumentu podstawoweo kontraktem termnowym (w szczeólnośc kontraktem futures). Należy dodać, że zastosowane mar wrażlwośc w zarządzanu ryzykem polea na tworzenu odpowedneo portfela nstrumentów fnansowych, w tak sposób, aby mara wrażlwośc wyznaczona dla teo portfela wynosła, co oznacza newrażlwość na tę marę, a zatem brak ryzyka (z punktu wdzena wartośc tej konkretnej mary). ρ M cov(, s sm M )

13 3.3.4 Mary zarożena ryzyka Mary zarożena to mary, które różną sę w swej koncepcj od przedstawanych wcześnej mar zmennośc wrażlwośc. Wychodzą one z założena, że do pomaru ryzyka należy brać pod uwaę przede wszystkm nekorzystne wartośc, np. nekorzystne odchylena od oczekwanych wartośc cen lub stóp zwrotu. Najpopularnejszą marą zarożena jest obecne Value at sk (w skróce Va). Formalne marę tę defnuje sę następująco: Value at sk (Va) jest to strata wartośc rynkowej (np. nstrumentu, portfela, nstytucj) taka, że prawdopodobeństwo osąnęca jej lub przekroczena w zadanym przedzale czasowym jest równe zadanemu pozomow tolerancj. Jeśl np.: zadany przedzał czasowy wynos jeden dzeń, pozom tolerancj wynos., Va tys. zł, to prawdopodobeństwo straty (np. spadku wartośc nstrumentu, portfela, nstytucj) w cąu jedneo dna równej lub wększej nż tys. zł jest równe. (zdarzene mało prawdopodobne). Oczywstym jest, że m nższy pozom tolerancj (przy tym samym przedzale czasowym), tym wyższa jest wartość Va, a m dłuższy jest przedzał czasowy (przy tym samym pozome tolerancj), tym wartość Va jest równeż wyższa. W sposób formalny Va określone jest za pomocą następująceo równana: (3.3.34) ( W < W Va) α P dze: α - pozom tolerancj; W - obecna wartość (cena) nstrumentu fnansoweo; W - wartość nstrumentu fnansoweo na konec okresu; Z (3.3.34) wynka, że Va jest funkcją kwantyla rozkładu stopy zwrotu. Oznaczmy przez W α kwantyl rozkładu wartośc (ceny) nstrumentu fnansoweo odpowadający zadanemu pozomow tolerancj (prawdopodobeństwu) α. Wówczas z defncj kwantyla otrzymujemy: (3.3.3) P ( W <W α ) α oraz (3.3.36) W W Va α Oznaczmy kwantyl rozkładu stopy zwrotu odpowadający zadanemu prawdopodobeństwu α przez α. Poneważ stopa zwrotu odnesona do kwantyla rozkładu może być wyznaczona następująco: W W (3.3.37) α α W to dokonując przekształceń wzoru (3.3.37), podstawając do (3.3.36) otrzymamy: (3.3.38) Va α W Poneważ kwantyl rozkładu stopy zwrotu odpowadający małemu prawdopodobeństwu α jest z reuły ujemny, zatem Va we wzorze (3.3.38) jest z reuły wartoścą dodatną. Ze wzoru (3.3.38) wynka, że podstawową charakterystyką nezbędną do określena Va jest kwantyl rozkładu stóp zwrotu. Jeżel założy sę, że rozkład stóp zwrotu jest normalny, wówczas kwantyl ten jest funkcją średnej odchylena standardoweo rozkładu stóp zwrotu, tzn. (3.3.39) α u α s dze: - oczekwana wartość rozkładu stóp zwrotu; s - odchylene standardowe rozkładu stóp zwrotu; u -α - kwantyl standardoweo rozkładu normalneo rzędu -α (wartość odczytywana z tablc standardoweo rozkładu normalneo). Mając (3.3.39) wzór (3.3.38) możemy zapsać naczej, tzn.: Va u α s W (3.3.4) ( ) 6

14 Przykład 3.3. Wedząc, że obecne wartośc akcj spółk oraz spółk wynoszą odpowedno: W zł, W zł wyznaczyć wartość Va dla obu spółek, dla pozomu tolerancj α. oraz dla danych jak w Tabel Przyjąć, że rozkłady stóp zwrotu w Tabel 3.3. określono na podstawe danych z jedneo mesąca. Z poprzednch wylczeń mamy, że: % % s.7% s.% Z tablc standardoweo rozkładu normalneo odczytujemy, że u.9.6. Korzystając z (3.3.4) otrzymujemy: dla spółk : Va ( u.9 s ) W (..6.7) 3. 4 dla spółk : Va ( u.9 s ) W (..6.). 8 Wracając do nterpretacj Va możemy stwerdzć, że prawdopodobeństwo spadku wartośc akcj spółk w cąu mesąca równe lub wększe od 3.4 zł jest równe.. Innym maram zarożena ryzyka są tzw. mary sem. Operają sę one na rozumenu ryzyka jako zjawska neatywneo, a w zwązku z tym uwzlędnają jedyne ujemne odchylena od oczekwanej stopy zwrotu odnoszą sę do poszczeólnych mar zmennośc. Semwarancja stopy zwrotu (semvarance of return) jest odpowednkem warancj stopy zwrotu (por. (3.3.)) wyznaczana jest wedłu wzoru: m (3.3.4) SV p d dze: SV semwarancja,, (3.3.4) d, dy dy < Semodchylene standardowe stopy zwrotu (standard semdevaton of return) jest odpowednkem odchylena standardoweo stopy zwrotu (por. (3.3.6)) wyznaczane jest wedłu wzoru: m (3.3.43) ss SV p d Semodchylene przecętne stopy zwrotu jest odpowednkem odchylena przecętneo stopy zwrotu (por. (3.3.7)) jest wyznaczane wedłu wzoru: (3.3.44) m sd p d dze: sd semodchylene przecętne stopy zwrotu; (3.3.4), dy < d, dy Przykład ozważmy akcje tych samych dwóch spółek co w przykładze poprzednm (Tabela 3.3.). Wyznaczyć semwarancję, semodchylene standardowe oraz semodchylene przecętne stóp zwrotu akcj spółk. Ze wzoru (3.3.4) oraz Tabel 3. mamy: - dla akcj spółk SV. (..) +. (.4.).33 - dla akcj spółk SV. (.6.) +. (.).3 oraz ze wzoru (3.3.43): ss SV % ss SV % Ze wzoru (3.3.44) mamy: sd sd

15 Przedstawmy obecne dwe nne mary zarożena ryzyka. Perwszą z nch jest pozom bezpeczeństwa (safety level) naczej zwany pozomem ufnośc (confdence level) określony następująco: (3.3.46) P ( < b ) α dze: b pozom bezpeczeństwa, wyrażony w procentach wartośc stopy zwrotu; P( ) prawdopodobeństwo zdarzena; stopa zwrotu; α - ustalona wartość prawdopodobeństwa blska wartośc, np... Ze wzoru (3.3.46) wynka, że pozom bezpeczeństwa b jest to taka wartość stopy zwrotu, że osąnęce od nej mnejszej wartośc jest mało prawdopodobne równe α (dlateo przyjmujemy jak najmnejsze wartośc α). Oczywstym jest, że m wartość b wększa tym lepej. Przykład ozważmy akcje dwóch spółek o rozkładach stóp zwrotu przedstawonych w Tabel Wyznaczyć pozomy bezpeczeństwa dla akcj obu spółek przy założenu, że prawdopodobeństwo α neprzekroczena pozomu bezpeczeństwa wynos α.. Z Tabel 3.3. odczytujemy, że zależność P. ( ) < b zachodz dla b -% natomast zależność P ( ). < b zachodz dla b 6%. Poneważ akcje spółk mają wyższy pozom bezpeczeństwa (tzn. b 6%) nż akcje spółk ( b -%), węc akcje spółk obarczone są mnejszym ryzykem. W przypadku, dy rozkład stóp zwrotu jest rozkładem cąłym (reprezentowanym np. przez funkcję ęstośc teo rozkładu) wówczas prawdopodobeństwu α będze odpowadało pole powerzchn pod krzywą ęstośc rozkładu prawdopodobeństwa. Zobrazowano to na Wykrese Dla wykresu funkcj ęstośc dla akcj spółk pole pod tą krzywą na lewo od punktu b jest równe α natomast dla spółk pod jej krzywą na lewo od punktu b. Wykres 3.3. Interpretacja pozomu bezpeczeństwa dla rozkładu cąłeo stóp zwrotu Z Wykresu 3.3. wdać, że akcja ma wększy pozom bezpeczeństwa nż, węc jest mnej ryzykowna. Druą z mar, którą obecne przedstawmy jest prawdopodobeństwo neosąnęca pozomu aspracj (aspraton level). Określone jest ono za pomocą następującej relacj: (3.3.47) P P( < ) Gęstość rozkładu prawdopodobeństwa stopy zwrotu a a α b Wartość stopy zwrotu dze: P a prawdopodobeństwo neosąnęca pozomu aspracj; stopa zwrotu; a ustalona przez nwestora wartość stopy zwrotu określająca pozom aspracj. Zauważmy, że z kole w tym przypadku P a jest nczym nnym jak wartoścą dystrybuanty rozkładu prawdopodobeństwa zmennej losowej opsującej stopy zwrotu dla arumentu a. Im wartość P a mnejsza tym lepej. α b 9 3

16 Przykład 3.3. Dla danych jak w Tabel 3.3. wyznaczyć prawdopodobeństwo neosąnęca pozomu aspracj dla akcj obu spółek, przy następujących pozomach aspracj dla obu spółek: a a %, dze a pozom aspracj dla spółk, a pozom aspracj dla spółk. Z Tabel 3.3. oraz z (3.3.47) odczytujemy, że : - dla spółk wartośc stóp zwrotu, które są mnejsze od a % dotyczą stanów o numerach 3, 4, z którym zwązane są prawdopodobeństwa.,..4 wobec teo P a P( < a ) P( < %) dla spółk wartośc stóp zwrotu, które są mnejsze od a % dotyczą stanów o numerach 3, 4, 6, z którym zwązane są prawdopodobeństwa.,.,.4. wobec teo P a P( < a ) P( < %) Wdać, że akcje spółk obarczone są mnejszym ryzykem, dyż P a < P a, tzn. dla akcj spółk występuje mnejsze prawdopodobeństwo neosąnęca pozomu aspracj. W przypadku, dy rozkład stóp zwrotu jest rozkładem cąłym (reprezentowanym np. przez funkcję ęstośc teo rozkładu) wówczas nterpretacja prawdopodobeństwa neosąnęca pozomu aspracj może być przedstawona jak na Wykrese Dla wykresu funkcj ęstośc dla akcj spółk pole pod tą krzywą na lewo od punktu a jest równe P a natomast dla spółk pod jej krzywą na lewo od punktu a jest równe P a. Gęstość rozkładu prawdopodobeństwa stopy zwrotu P a <P a P a P a 3.4 Dywersyfkacja portfela akcj a ryzyko Dywersyfkacja portfela akcj polea na takm doborze akcj oraz ch udzałów w portfelu, aby mnmalzować ryzyko portfela lub () maksymalzować oczekwaną stopę zwrotu z portfela akcj. Dlateo też dywersyfkacja portfela może prowadzć do znacznej redukcj ryzyka całkowteo. yzyko to ne może być jednak w całośc wyelmnowane. Proces dywersyfkacj portfela zlustrowano na Wykrese Wykres 3.4. odchylene stand. stopy zwr. portfela ryzyko systematyczne 3 Proces dywersyfkacj portfela akcj 7 ozważana nasze oprzemy o tzw. portfel dwuskładnkowy, tzn. składający sę z akcj tylko dwóch spółek. Wprowadzmy następujące oznaczena: s, s - odchylena standardowe stóp zwrotu akcj spółk ;, - oczekwane stopy zwrotu akcj spółk ; ρ - współczynnk korelacj stóp zwrotu akcj obu spółek; w, w - udzały akcj obu spółek w portfelu, przy czym zachodz w +w. Oczekwana stopa zwrotu portfela akcj dwóch spółek dana jest wzorem 9 lczba składnków portfela 3 Wykres a Wartość stopy zwrotu Interpretacja prawdopodobeństwa neosąnęca pozomu aspracj dla rozkładu cąłeo stóp zwrotu (3.4.) p w + w dze: p - oczekwana stopa zwrotu portfela dwuskładnkoweo. 3 3

17 Warancja V p stopy zwrotu portfela dwuskładnkoweo wyraża sę wzorem: (3.4.) V p w s + w s + w w s s ρ Z kole odchylene standardowe stopy zwrotu portfela dwuskładnkoweo lczymy następująco: (3.4.3) s p Vp Przykład 3.4. ozpatrzmy akcje dwóch spółek. Tyodnowe stopy zwrotu, ch warancje oraz współczynnk korelacj dla obu spółek wynoszą:.9.9%.9.9% V.99 V.36 ρ. W obecnej chwl cena akcj spółk wynos 7zł, a akcj spółk - 4zł. Inwestor dysponuje kwotą zł, za którą może kupć a) akcj spółk za resztę - akcje spółk lub b) akcj spółk za resztę akcje spółk. Która z decyzj (a lub b) jest lepsza z punktu wdzena oczekwanej stopy zwrotu warancj stopy zwrotu (tyodnowych). d. a) Zakupując akcj spółk nwestor zapłac x7zł7zł. Stanow to 7 w,6363 udzału w portfelu (63.63% wartośc portfela). Za pozostałe zł- 4 7zł4zł może kupć akcj spółk. ędą one stanowły 4 4 w,3637 udzału w portfelu (36.37% wartośc portfela). Oczekwana stopa zwrotu (tyodnowa) portfela dla teo przypadku wynese (wzór (3.4.)): p w + w % Warancję stopy zwrotu (tyodnową) portfela wylczymy z (3.4.): V p w s + w s + w w s s ρ a odchylene standardowe stopy zwrotu portfela: s p Vp % d. b) Zakupując akcj spółk nwestor zapłac x7złzł. Stanow to w,94 udzału w portfelu (9.4% wartośc portfela). Za pozostałe zł- złzł może kupć 4 akcję spółk. ędze ona stanowła 4 w,4 udzał w portfelu (4.% wartośc portfela). Oczekwana stopa zwrotu (tyodnowa) portfela dla teo przypadku wynese: p w + w % Warancja stopy zwrotu (tyodnowa) portfela: V w s + w s + w w s s ρ p a odchylene standardowe stopy zwrotu teo portfela (wzór (3.4.3)): 33 34

18 s p Vp.8.3.3% Zauważmy, że dla portfela z punktu a) mamy mnejszą warancję (czyl mnejsze ryzyko) nż dla portfela z punktu b), ale z kole oczekwana stopa zwrotu dla portfela z punktu b) jest wększa, nż dla portfela z punktu a). Trudno zdecydować, który z tych portfel jest lepszy. Zależy to od preferencj decydenta, czyl od teo, czy bardzej zależy mu na maksymalzacj oczekwanej stopy zwrotu, czy też na mnmalzacj ryzyka merzoneo za pomocą warancj lub odchylena standardoweo stopy zwrotu z portfela. Ponadto wpływ na decyzję będze mała skłonność decydenta do ryzyka. 3. Teora użytecznośc, awersja do ryzyka 3.. Elementy teor użytecznośc Użyteczność jest marą satysfakcj. Źródłem jej jest konsumpcja. Konsumpcja natomast wymaa penędzy. Stąd też skupmy sę na decyzjach nwestycyjnych ch wpływe na pozom zamożnośc. Wykresy 3..a), b) c) przedstawają zależnośc mędzy użytecznoścą a pozomem zamożnośc trzech różnych nwestorów: a) dotyczy nwestora cechująceo sę awersją do ryzyka; b) dotyczy nwestora cechująceo sę neutralnoścą wobec ryzyka; c) dotyczy nwestora cechująceo sę preferowanem ryzyka. Przeanalzujmy perwszeo nwestora. Jeo użyteczność rośne, jednak ten wzrost ma tempo malejące. Załóżmy, że nwestor ten ma do wyboru dwe nwestycje: pewną ryzykowną. Drua z nch charakteryzuje sę tym, że jej wybór może doprowadzć do osąnęca przez nwestora pozomu zamożnośc tys. z prawdopodobeństwem. lub tys. równeż z prawdopodobeństwem.. a) b) c) u ż U D y U C t e c z n o ś ć u ż y t e c z n o ś ć u ż y t e c z n o ś ć Wykres 3.. Wykresy zależnośc mędzy użytecznoścą a pozomem zamożnośc trzech nwestorów Oczekwany pozom zamożnośc nwestora wynos: C v. tys. +. tys. tys. D C' 8 C' D C C U(v) pozom zamożnośc (v) U(v) pozom zamożnośc (v) U(v) pozom zamożnośc (v) 3 36

19 Oczekwana użyteczność zwązana z nwestycją ryzykowną wynos: U. U (tys.) +. U (tys.) r U C Na wykrese 3..a) oczekwana użyteczność oczekwany pozom zamożnośc nwestora zobrazowano za pomocą punktu C leżąceo na środku odcnka. Zauważmy, że oczekwana użyteczność U r U C zwązana z ryzykownym projektem jest mnejsza od użytecznośc U p U D projektu pewneo, która pozwol osąnąć ten sam pozom boactwa równy tys. Obrazuje to punkt D na wykrese 3..a). Poneważ użyteczność U p U D projektu pewneo jest wększa od użytecznośc U r U C projektu ryzykowneo, stąd nwestor pownen wybrać perwszy rodzaj nwestycj. Warto zwrócć uwaę na występowane nwestycj pewnej (punkt C), która ma tę samą użyteczność co projekt ryzykowny (punkt C ). W sense użytecznośc nwestorow jest węc obojętne czy wyberze nwestycję pewną C, czy ryzykowną C'. Pozom zamożnośc zwązany z nwestycją pozbawoną ryzyka nazywa sę ekwwalentem pewnośc nwestycj ryzykownej o tej samej użytecznośc. W przykładze podanym na wykrese 3..a), ekwwalentem pewnośc nwestycj ryzykownej jest 8tys. Dla nwestorów charakteryzujących sę malejącą krańcową użytecznoścą (tzn. dy tempo wzrostu użytecznośc maleje) ekwwalent pewnośc nwestycj ryzykownej jest zawsze mnejszy od jej oczekwanej wartośc. Welkość teo ekwwalentu zależy od rodzaju funkcj użytecznośc. Wykres 3..b) przedstawa funkcję użytecznośc nwestora charakteryzująceo sę neutralną postawą wobec ryzyka. W takm przypadku, ekwwalent pewnośc każdej nwestycj ryzykownej jest tak sam, jak jej oczekwany pozom zamożnośc. Wykres 3..c) dotyczy nwestorów wykazujących rosnącą krańcową użyteczność (tzn. tempo wzrostu użytecznośc rośne). Ekwwalent pewnośc jest wększy od oczekwanej zamożnośc odpowadającej ryzykownej nwestycj. Oznacza to, że nwestor skłonny jest dopłacć, aby móc podjąć ryzyko. 3.. wersja do ryzyka Wykresy 3..a) 3..b) przedstawają funkcje użytecznośc nwestorów charakteryzujących sę różną awersją do ryzyka. a) b) u ż y t e c z n o ś ć u ż y t e c z n o ś ć U D U C C C D Wykres 3.. Wykresy funkcj użytecznośc nwestorów charakteryzujących sę różną awersją do ryzyka C' 8 C' 7 Dla perwszeo wykresu ekwwalent pewnośc wynos 8tys., zaś dla drueo - 7tys. Dru nwestor charakteryzuje sę wększą awersją do ryzyka nż perwszy. Natomast w obu przypadkach oczekwana zamożność z nwestycj ryzykownych wynos tys. Na podstawe tych wartośc możemy określć jakej oczekwanej stopy zwrotu E{} z ryzykownej nwestycj wymaają c nwestorzy. U(v) pozom zamożnośc (v) U(v) pozom zamożnośc (v) 37 38

20 Dla perwszeo nwestora: tys. 8tys. E { } % 8tys. Dla drueo nwestora: tys. 7tys. E { } 4% 7tys. Z powyższych oblczeń wynka, że nwestor charakteryzujący sę wększą awersją do ryzyka wymaa wększej stopy zwrotu z nwestycj ryzykownej, czyl wymaa tzw. prem za ryzyko równej 4%. Perwszy natomast jedyne %. Marą awersj do ryzyka jest tzw. bezwzlędna awersja do podejmowana ryzyka: U ''( v) (3..) a ( v) U '( v) dze: v - pozom zamożnośc nwestora; U', U'' - odpowedno: perwsza drua pochodna funkcj użytecznośc. Mara ta opera sę na stopnu wklęsłośc funkcj użytecznośc. Druą marą awersj do ryzyka jest tzw. wzlędna awersja do podejmowana ryzyka: U ''( v) (3..) r ( v) v a ( v) v U '( v) Przykłady funkcj użytecznośc w przypadku awersj do ryzyka: funkcja loarytmczna (3..3) U ( v) a + b ln( v) (3..4) a ( v) - rosnąca, ze wzrostem v; v (3..) r ( v) - stała. funkcja wykładncza a v (3..6) U ( v) e a (3..7) a ( v) a - stała; (3..8) ( v) v a - rosnąca; funkcja potęowa r (3..9) v U ( v), b b (,) (3..) b a ( v) v - malejąca; (3..) ( v) b - stała. funkcja kwadratowa r b Jeśl nwestor charakteryzuje sę malejącą, bezwzlędną awersją do ryzyka, wówczas wraz ze wzrostem pozomu swej zamożnośc będze przeznaczał coraz węcej penędzy na ryzykowne nwestycje. Jeżel nwestor charakteryzuje sę malejącą, wzlędną awersją do ryzyka, to wraz ze wzrostem swojej zamożnośc będze przeznaczał na ten cel coraz wększą część posadanych środków. Jeżel nwestor wykazuje stałą, wzlędną awersję do ryzyka, wtedy bezwzlędna awersja do ryzyka maleje. Obserwacje zachowań ludzkch potwerdzają tezę, że ludz cechuje malejąca, bezwzlędna awersja do ryzyka oraz stała lub malejąca, wzlędna awersja. (3..) (3..3) (3..4) U ( v) a b v, b a ( v) b v - rosnąca; b v r ( v) b v - rosnąca. 39 4