MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE"

Transkrypt

1 L.Kowalsk-Modelowae progozowae MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE o Podsawowe charakersk dach sasczch, o Ideks, o Progozowae- wadomośc wsępe, o Modele ekoomercze, o Jedorówaow model low, o Progoza a podsawe modelu lowego, o Model edecj rozwojowej, o Progozowae a podsawe szeregów czasowch, o Nawe prose meod progozowaa, o Model Browa, o Model Hola, o Aalza waraowa, o Teora ger, o Zesaw dach sasczch. Lucja Kowalsk Warszawa

2 L.Kowalsk-Modelowae progozowae PODSTAWOWE CHARAKTERYSTYKI DANYCH STATYSTYCZNYCH RODZAJE ŚREDNICH Jedą z welkośc charakerzującch dae lczbowe jes warość średa. Rodzaje podsawowch średch: armecza geomercza harmocza Wbór średej zależ od rodzaju badach welkośc porzeb aalz dach. Najczęścej sosowaą średą jes średa armecza. Średą armeczą lczb rzeczwsch,, 3,..., azwam lczbę: (... ) Przkład. W pęcu wbrach solcach lczba l mera wos: 3,, 5,, 3. Ile wos średa l mera w ch solcach? (odp. 3) Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: wsępuje raz,,,,r... k o k k (... k k ) Te sposób lczea średej armeczej azwam średą armeczą ważoą. Przkład. W dwudzesu pęcu wbrach pańswach lczba suów medczch badającch ow wrus grp jes asępująca: w dzesęcu po 3 su, w dzesęcu po 4 su, w pęcu po 6 suów. Ile wos średa lczba ch suów w rozparwach pańswach? k 5 5 ( ) 4 Średą geomerczą lczb rzeczwsch dodach,, 3,..., azwam perwasek ego sopa z ch loczu, z.

3 L.Kowalsk-Modelowae progozowae g... Średa geomercza zajduje ajczęścej zasosowae przecęego empa zma w czase, p. do uśredaa deksów łańcuchowch. Przkład. Rocz proceow przros lczb ursów odwedzającch da rego w czerech kolejch laach wosł: %, %, 5%, 5%. Jak bł śred przros w m okrese? g 4 4,,,5,5,5939,36 Śred proceow przros lczb ursów w m okrese wosł około,36% z roku a rok. Zauważm, że średa armecza ch dach wos,5% Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: o wsępuje raz,,,,r g... k k ( ) ( ) ( ) ( )... k k Te sposób lczea średej geomerczej azwam średą geomerczą ważoą. k Średą harmoczą lczb,, 3,..., różch od zera azwam odwroość średej armeczej odwroośc lczb, z. h... Średą harmoczą sosuje sę prz uśredau welkośc względch, p. prz oblczau przecęej prędkośc lub średej gęsośc zaludea. Przkład. Gęsość zaludea w rzech -sęczch masach wos odpowedo, 3 6 osób km. Oblczm przecęą gęsość zaludea. H osób/km 3

4 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Sosując średą armeczą orzmalbśm: osób/km Przkład. Pa Kowalsk codzee dojeżdża do prac samochodem z prędkoścą 4km/h. Pewego da zaspał wjechał późej ż zwkle. W połowe ras zoreował sę, że e zdąż zwększł prędkość o km/h, dzęk czemu e spóźł sę do prac. Z jaką średą prędkoścą jechał ego da pa Kowalsk? h Zauważm, że średa armecza ch dach wos 5km/h Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: wsępuje raz,,,,r... k o h k k... Te sposób lczea średej harmoczej azwam średą harmoczą ważoą. k k Twerdzee Dla dowolch lczb rzeczwsch dodach,, 3,..., zachodzą erówośc h g prz czm rówość zachodz wed lko wed, gd Zróżcowae dach. Zróżcowae dach (rozrzu) merzm uśredając ch odchlee od średej. Waracja s [( ) ( )... ( ) ] ( ) Np. dla dach, 5, 3, 4, 6, średa wos 4. Ab wzaczć warację lczm sumę kwadraów odchleń poszczególch dach od średej: 4

5 L.Kowalsk-Modelowae progozowae ( 4) (5 4) (3 4) (4 4) (6 4) 4 4 orzmaa sumę dzelm przez 5 (lczba dach). Zaem waracja dla powższch dach wos. Jeżel wśród dach wsępują warośc powarzające sę: o wsępuje raz,,,,r s... k k ( ( ) ( )... ( ) ) ( ) k k k Uwaga s k ( ) ( ) Waracja merz rozrzu (zróżcowae) dach sasczch (pukem odesea jes średa) lecz mara a wrażoa jes w kwadraach jedosek rozparwach dach sasczch co uruda erpreację, dlaego w prakce częścej sosujem perwasek z waracj azwa odchleem sadardowm. Odchlee sadardowe s s, Współczk zmeośc s v (eked wk jes podawa w proceach) Współczk zmeośc merz zróżcowae względe określa jaką część (le proce) przecęego pozomu badaej cech saow odchlee sadardowe. Poeważ jes o welkość emaowaa, częso bwa sosowa do porówwaa zróżcowaa dwóch cech lub ej samej cech w różch populacjach. Przedzał powch warośc [ s s],, Jes o przedzał do kórego ależ wększość dach sasczch, erpreacja a jes uzasadoa wed gd cecha ma rozkład zblżo do rozkładu ormalego. Rozsęp r, ma m 5

6 L.Kowalsk-Modelowae progozowae SZEREG CZASOWY Warośc zjawska worzą szereg czasow (szereg damcz): chwle lub okres (przedzał pow bć jedakowe) Uwaga: eked sosuje sę zaps:,,...,. INDEKSY (wskaźk damk) Ideks merzą zmaę pozomu zjawska mędz dwoma wróżom okresam (momeam). Ideks dzelm a: deks dwduale (prose), deks zespołowe (agregaowe). INDEKSY INDYWIDUALNE Ideks dwduale sosujem prz badau damk zjawsk jedorodch. a) cąg deksów o sałej podsawe: I /, I /, I 3/,..., I / sała podsawa (dowola spośród,..., ). gdze I / (,,..., ) (moża dodać I / %) b) cąg deksów łańcuchowch: gdze I I /, I 3/, I 4/3,..., I / - / - - (, 3,...,) Przkład Y lczba wpadków drogowch w cągu roku. Rok I / lczba wpadków / , ,5, ,, ,976, ,7,4 Średe empo damk o średe empo zma przpadające a jedoskę czasu. I 6

7 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Zagadee Wzaczć lczb g aką, że gdb wszske deks łańcuchowe bł sobe rówe mał warość g o sarując z warośc oblczoa warość zjawska w okrese błab rówa (aka sama jak prz różch deksach łańcuchowch). Lczbę g azwam średm empem damk lub średm empem zma lub średm deksem łańcuchowm. Zauważm, że () I... I / / gdb wszske deks bł rówe o () g Porówując () () mam Własość: g I/-... I / (średa geomercza) g I / Śred wskaźk empa o T g Doda wskaźk empa ozacza, że średo zjawsko wzrasało. Ujem wskaźk empa ozacza, że średo zjawsko malało. Przkład Dla dach z poprzedego przkładu: g 4,5,84,887,4,7,4,4 % T,4,4 % Ozacza o, że średo z roku a rok lczba wpadków wzrasała o,4%. Uwaga Średe empo damk moża sosować do wzaczaa warośc zjawska w okresach asępch (osaą warość zjawska możm przez odpowedą poęgę g ). Przkład Dla dach z poprzedego przkładu wzacz progozę lczb wpadków drogowch w roku. 7

8 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progozowae- wadomośc wsępe Progozowae o racjoale woskowae o zdarzeach ezach a podsawe zdarzeń zach. Celem progoz jes dosarczee obekwch formacj porzebch do podejmowaa deczj. Progoz a smulacje. Progoza co będze w momece, Smulacja co b bło gdb... Przkład Z rozparwaego modelu wka, że wdak a prasę ksążk saową 5% mesęczch dochodów rodz. Usaloo, że mesęcze dochod rodz wosą 4 zł. Możem zaem posawć progozę, że wdak a prasę ksążk wosą zł. Jeśl jedak wzaczalbśm wdak a prasę ksążk dla różch waraów dochodu, p. wdak 9 zł dla dochodu 38, wdak zł dla dochodu 4, wdak zł dla dochodu 44, o błb smulacje. Procedur progozowaa Prose ucje (a podsawe prosch charakersk lczbowch), Ekoomercze, Poprzez aalogę, Progoz eksperów (heurscze), Wzaczae różch scearusz rozwoju. Progozowae zma warośc badaego zjawska mogą bć: - loścowe (zgode z dochczasową prawdłowoścą p. redem lub fukcją regresj), - jakoścowe (odejśce od dochczasowch prawdłowośc) 8

9 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Uproszczoa klasfkacja progoz. Ze względu a warośc progoz: progoz loścowa jakoścowa pukowa przedzałow Ze względu a okres progoz: - Krókookresowa (a ak okres w kórm mogą zachodzć lko zma loścowe), - Średookresowa (a ak okres w kórm mogą zachodzć zma loścowe ewelke zma jakoścowe), - Długookresowa (a ak okres w kórm mogą zachodzć zarówo zma loścowe jak jakoścowe). W prakce eked podzał e odos sę do zasęgu eksrapolacj (lczba jedosek czasu wjśca z progoza w przszłość) w porówau z lczbą dach: do % - progoza krókookresowa, od d % - progoza średookresowa, powżej % - progoza długookresowa, Poeważ warośc progoz wzaczam w oparcu o dae, o muszą bć oe dobrej jakośc. Cech dach decdujące o ch jakośc: - rzeelość, - jedozaczość, - defkowalość, - kompleość, - akualość, - kosz (zberaa opracowaa), - porówwalość ( p. w zakrese: czasowm, eroralm, pojęcowm). 9

10 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Eap progozowaa: Sformułowae zadaa progosczego Określee zmech progozowach, Usalee celu progoz, Usalee horzou progoz waruków jej dopuszczalośc Określee przesłaek progosczch Określee czków kszałującch badae zjawsko, Zberae dach, Wbór meod progozowaa Wzaczae progoz Ocea dopuszczalośc progoz Wkorzsae progoz Werfkacja moorowae (prz powarzalośc) progoz. Podsawow schema progozowaa. Y - badae zjawsko, - obserwacje badaego zjawska, - progozowae warośc badaego zjawska.,,... (MODEL),..., T (przeszłość) (reguła progozowaa) (przszłość) Bezwzględ błąd progoz jes rów, Względ błąd progoz jes rów dodach), moża go wrażać w proceach. gdze o prawdzwa warość zjawska w okrese progoz. Uwaga (ma zwkle ses dla zjawsk o waroścach Bezwzględ błąd progoz eked defuje sę jako. Względ błąd progoz eked defuje sę jako.

11 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Prawdzwą warość błędu progoz moża wzaczć dopero po usaleu prawdzwej warośc badaego zjawska, wcześej błąd moża lko oszacować. Szacowae błędu progoz.. Na podsawe progoz wgasłch (e pos),. Meoda sochascza (e ae). Ad.. Wkorzsuje sę formacje o rafośc progozowaa w przeszłośc. Przjmuje sę, że rafość progoz przszłch będze podoba do rafośc progoz przeszłch. Progoz wgasłe użwae do szacowaa pow bć wzaczae w e sam sposób jak osaecza progoza. Jako oszacowae błędu progoz moża p. przjąć średą z k modułów błędów bezwzględch % k lub względch k k % progoz wgasłch. Te sposób szacowaa błędu progoz zasosujem prz modelach adapacjch. Ad.. Wkorzsuje sę sochascze założea o sosowam modelu. Przjmuje sę, że błąd progoz jes zblżo do średej rozbeżośc mędz możlwm waroścam progozowaego zjawska a możlwm progozam ego zjawska w okrese progoz. k Jako oszacowae błędu progoz moża p. błąd średokwadraow ( ) k k lub względ błąd średokwadraow %. Te sposób szacowaa k błędu progoz zasosujem prz modelach ekoomerczch. Neked przjmuje sę, że progoza jes dopuszczala, gd szacowa błąd e przekracza 5 %. Schema progozowaa a podsawe modelu ekoomerczego f() - wekor zmech objaśającch dla okresu progoz. Progoza pukowa: f ( ). Progoza przedzałowa:,, Zwkle ( błąd bezwzględ progoz przedzałowej).

12 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Jakość progoz w zaczm sopu zależ od jakośc zasosowaego modelu ekoomerczego. Oprócz ego Błąd progoz powe bć mał, Przjęe warośc zmech objaśającch pow bć wargode, Okres progoz powe bć sesow. Przkład Rozparując model Y X, Y jedoskowe kosz produkcj, X welkość produkcj W m przpadku progoz racą ses dla >. Przkład Lczba sudeów keruków ekoomczch w Polsce (s. osób) lczoa a koec roku akademckego w laach wosła: 54, 58, 65, 7, 4, 4, 93. lczba sudeów (s. sz.) 37,8e,6 R,979 lczba sudeów (s. sz.) Rozparując model Y f (), Y lczba sudeów, rok W m przpadku progoza p. a rok 7 (poad,46 ml osób) błab przesada.

13 L.Kowalsk-Modelowae progozowae MODELE EKONOMETRYCZNE Model ekoomercz o ops sochasczej zależośc badaego zjawska ekoomczego od czków kszałującch go, wrażo w posac rówośc lub układu rówośc. Jeśl p. rozparujem zjawsko popu a określo owar lub grupę owarów przjmem, że główm czkem kszałującm pop jes cea o możem rozparwać model D f(p) D - pop, P - cea. Z prawa malejącego popu wka, że fukcja f powa bć malejąca ((P < P f(p ) > f(p )). Zależość ę możem zrealzować za pomocą różch fukcj malejącch, ajprossza z ch o fukcja lowa: D a bp (low model popu), a > ; b < jeśl model low e pasuje do zaobserwowach welkośc o ależ zasosować model elow p. model poęgow: D b a P (poęgow model popu), a > ; b < Dla pewch zakresów ce model low może bć dobrm przblżeem modelu elowego D Model low Model elow P P P Neked model z jedą zmeą źle opsuje badae zjawsko, wed możem rozparwać model z weloma zmem. W modelu popu drugm czkem kszałującm pop może bć dochód, wed rozparujem zależość: D f(p, I) I - dochód ludośc. Zależość ę możem jak poprzedo zrealzować za pomocą fukcj lowej D a bp ci lub poęgowej 3

14 L.Kowalsk-Modelowae progozowae D a P b I c Ogóla posać modelu w posac jedej rówośc: Y f ( X, ε) X, Y - zmee, (X może bć posac X (X, X,..., X k )), ε -eleme losow gd Y f (X ) ε o ε azwam składkem losowm, gd Y f (X )ε o ε azwam czkem losowm. Powod uwzględaa elemeu losowego w modelu ekoomerczm: e uwzględee wszskch czków kszałującch badae zjawsko (ajczęścej e uwzględam czków mającch mał wpłw eleme losow reprezeuje łącz wpłw akch zmech), możlwość wsępowaa błędów w pomarze welkośc zmech, brak pewośc cz przjęa do oblczeń posać fukcja modelu jes prawdłowa. Eap modelowaa ekoomerczego: I. Merorcza aalza zjawska kosrukcja II. Esmacja paramerów. III. Werfkacja modelu. pozwa IV. Zasosowae modelu. egawa Uproszczoa klasfkacja zmech w modelu zmea edogecza zmea, kórej warośc określoe są w modelu, zmea egzogecza zmea, kórej warośc określoe są poza modelem, zmea objaśaa wsępuje po lewej sroe rówań modelu, zmea objaśająca wsępuje po prawej sroe rówań modelu. Każda ze zmech może bć beżąca lub opóźoa. Uwaga: W modelach welowmarowch zmea objaśaa może bć jedocześe zmeą objaśającą. Przkład. Rozparzm model wzrosu gospodarczego DN ani NI ddn gdze DN - dochód arodow, NI - akład wescje, b 4 4 Z ε ε c

15 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Z - zarudee, a, b, c, d - paramer srukurale, ε,ε - eleme losowe ( ε - czk losow, ε - składk losow) Klasfkacja: zmee edogecze: DN, NI, NI4 zmee egzogecze: zmee objaśae: zmee objaśające: zmee beżące: Z DN, NI, 4 Z NI, DN DN, Z, NI zmee opóźoe: NI 4. Klasfkacja model Modele klasfkujem ze względu a asępujące krera: a) lczba zależośc w modelu - modele jedorówaowe, - modele welorówaowe, b) posać zależośc fukcjej, - modele lowe, - modele elowe (poęgowe, wkładcze, p.). c) rola czasu w rówaach, - modele sacze (e uwzględają czasu), - modele damcze. Przkład Model z przkładu jes: - dwurówaow, - elow, - damcz. Przkład 3 (model popu) D - pop, P - cea, I - dochód ludośc. D a bp ci ε Jes o model: - jedorówaow, - low, - sacz. 5

16 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Przkład 4 (model rówowag rkowej) D a bp ci ε S d ep ε D S S - sprzedaż. Przkład 5 (Model welkośc produkcj Cobba-Douglasa) b b P ax Y a >, < b < P - welkość (warość) produkcj przedsęborswa, X - zarudee (fudusz płac), Y - warość środków rwałch Jedorówaow model low z jedą zmeą objaśającą gdze: Y - zmea objaśaa, β β X ε Y - warośc (obserwacje) zmeej Y; obserwacj, X - zmea objaśająca, - warośc zmeej X,,..., - umer β, β - paramer srukurale (ch przblżoą warość wzacza sę a podsawe obserwacj (, ) ) ε - składk losow. Zakładam, że β β ε,,..., z. każda zaobserwowaa warość jes fukcją lową składka losowego ε. z dokładoścą do Zakładam róweż, że są usalom waroścam (elosowm), akm samm w powarzalch próbach. Składk losowe ε są losowm zmem ezależm o zerowej warośc przecęej waracj, kóra e zależ od (homoskedasczość). Ab wzaczć przblżoą warość paramerów srukuralch β, β a podsawe prób sosujem meodę ajmejszch kwadraów (MNK). MNK polega a wzaczeu akch przblżeń b β b β 6 ab dla dach obserwacj, ) suma kwadraów odchleń zaobserwowach warośc od warośc eoreczch mmum fukcj: () e S( b ( ˆ β β bła mmala, z. chcem wzaczć, b ) e ( ˆ ) ( b b ) ˆ azwam reszam modelu regresj

17 L.Kowalsk-Modelowae progozowae 7 MNK: Należ wzaczć prosą regresj ak ab suma pól kwadraów bła mmala. Oblczając pochode cząskowe fukcj () przrówując do zera orzmujem (układ rówań ormalch) ) )( ( ) )( ( S S β β β β β β β β β β rozwązując orzma układ rówań (p. perwsze rówae możm przez dodając sroam oblczam β ) orzmam wzor a przblżoe warośc paramerów srukuralch ( ) ( )( ) ( ) ) ( b b b Moża wkazać, że dla ch warośc speło jes waruek dosaecz mmum. Prosą X b b Y ˆ azwam prosą regresj z prób. $Y b b X (prosa regresj z prób) e ŷ e ˆ

18 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Uwaga: a) ( )( ) b) ( ) ( ) Model regresj lowej: b β b β (esmaor) ε $Y e { { ε } } E(Y ) EY β β X (prosa regresj) $Y b b X (prosa regresj z prób) Uwaga Gd X jes zmeą czasową z. model ma posać Y β β ε wówczas ak model azwam modelem edecj rozwojowej lub modelem redu lowego. Wed korzsając z usaloch warośc wzor a b b o moża uproścć (parz odpowed ema). Mar dopasowaa. Waracja reszowa: Waracja reszowa o uśredee pól kwadraów zbudowach a reszach odzwercedla sopeń dopasowaa prosej regresj do dach sasczch. Nech, e $, gdze $ b b wed czl S e S e e b b S e S e ozacza średe (sadardowe) odchlee od prosej regresj. 8

19 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Dopasowae modelu do dach emprczch moża oceać odchleem sadardowm resz lecz jes o mara bezwzględa euormowaa, dlaego do porówań lepsze są mar względe lub uormowae. Najprosszą względą marą dopasowaa jes współczk zmeośc losowej : V e S Y e % Współczk e formuje jaką część średej warośc badaego zjawska saow odchlee sadardowe resz. Mejsze warośc ego współczka wskazują a lepsze dopasowae modelu do dach emprczch, eked żąda sę ab p. V e <, (,3). } { Zmeość całkowa } Zmeość przpadkowa Zmeość wjaśoa modelem regresj Wprowadzam ozaczea: Całkowa suma kwadraów (zmeość całkowa): Wjaśoa suma kwadraów (zmeość wjaśoa): Newjaśoa suma kwadraów (zmeość przpadkowa): gdze : ˆ b b CSK WSK ( ) ( ˆ ) NSK e Własość: Czl ( ) CSK WSK NSK ( ˆ ) e Marą dopasowaa modelu do rzeczwsośc (warośc zaobserwowach) jes róweż współczk deermacj R WSK Współczk deermacj: R R, CSK Współczk e określa jaka część całkowej zmeośc zmeej objaśaej zosała wjaśoa przez model regresj lowej. Prakcze sposob oblczaa współczka deermacj: 9

20 L.Kowalsk-Modelowae progozowae R ( ˆ ( ) ) ( e ) b b ( ) b ( ) ( ) Se S Y cov ( X, Y) S S X Y r Wosek. Dla modelu lowego warość lczbowa współczka deermacj jes rówa kwadraow współczka korelacj Pearsoa. Przkład Badao zależośc koszów całkowch (w s. zł.) Y od welkośc produkcj (s. sz.) X w 6-cu zakładach produkcjch Dla modelu Y β β ε wzaczam przblżoe warośc paramerów srukuralch współczk deermacj. Oblczea wkoam w abel ( )( ) ( ) ( ) ŷ ˆ ( ˆ ) ; 4 ; b ; b zaem zwązek pomędz koszam całkowm a welkoścą produkcj wraża sę zależoścą lową w posac Y ˆ X Współczk deermacj 6 R,89 8 ależ oczekwać, że rozparwa model wjaśa 89% całkowej zmeośc koszów całkowch produkcj.

21 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progoza a podsawe modelu lowego. (jeda zmea) $Y b b X oszacowa model ekoomercz. Progoza pukowa. Nech przewdwaa warość cech X w okrese progoz. Progoza pukowa o przewdwaa warość cech Y odpowadająca warośc cech X. b b Sadardow błąd progoz ( ) ( ) e e s s s Zaem ależ rakować warość progoz jako s ± Gdze e s e s o odchlee reszowe. Nech e $, gdze $ b b wed e s e czl b b s e Jakość progoz pukowej możem oceć względm błędem progoz pukowej % δ s puk

22 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Model edecj rozwojowej Gd X jes zmeą czasową (,,..., ) z. model regresj ma posać b b Y ˆ wówczas ak model azwam modelem edecj rozwojowej lub modelem redu lowego Wed korzsając z własośc: () ) (, 6 ) )( (, ( ) ( ) Mam ( ) ) ( ) ( b b b b Waracja reszowa Nech e $, (gdze $ b b ) o resz modelu, wed e s e czl b b s e e s e s ozacza średe (sadardowe) odchlee od redu lowego. Dopasowae modelu do dach emprczch oceam eż współczkem deermacj ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ˆ r b b b e R Progoza dla modelu redu Nech okres progoz. Progoza pukowa o przewdwaa warość cech Y w okrese. b b Sadardow błąd progoz pukowej

23 L.Kowalsk-Modelowae progozowae 3 ( ) ( ) e e s s s Wzór e moża uproścć korzsając z własośc (). s s s e e ) ( 4 ) ( 6 ) )( ( ) ( 6 ) )( ( Zaem ależ rakować warość progoz jako s ± Jakość progoz pukowej możem oceć względm błędem progoz pukowej % δ s puk Przkład. Lczba maurzsów (s. osób) w pewm wojewódzwe w laach wosła; Rok Y 3,8 6 7,5 7,5 9, 9,9,3 3, 3,4 Orzmae rówae redu lowego ma posać Y, 3, ˆ Przewdwaa lczba maurzsów w laach asępch: Rok - 5 osób, rok - 64 osób.

24 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progozowae a podsawe szeregów czasowch. Składowe szeregów czasowch. Szereg czasow składowa ssemacza składowa przpadkowa red sał pozom składowa okresowa wahaa cklcze wahaa sezoowe Tred (edecja rozwojowa) - długookresowa skłoość do jedokerukowch zma (wzrosu lub spadku) warośc zmeej badaej. Jes kosekwecją dzałaa sałch czków p. w przpadku sprzedaż - lczba poecjalch kleów, ch dochod lub preferecje. Może bć wzaczo gd mam dług cąg obserwacj. Sał (przecę pozom) - wsępuje gd w szeregu czasowm e ma redu, zaś warośc badaej zmeej osclują wokół pewego sałego pozomu. Wahaa cklcze - długookresowe wahaa wokół redu lub sałego pozomu. W ekoom ajczęścej zwązae z cklem koukuralm gospodark. Wahaa sezoowe - wahaa wokół redu lub sałego pozomu. Wahaa e mają skłoośc do powarzaa sę w określom czase e przekraczającm jedego roku, odzwercedlają wpłw pogod lub kaledarza a dzałalość gospodarczą. 4

25 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Czas Wahaa cklcze Wahaa sezoowe Tre d Sał pozom Wahaa przpadkowe Czas 5

26 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Dekompozcja szeregu czasowego wodrębee poszczególch składowch. sał pozom 5,, 5,, 5,, czas red 5,, 5,, 5,, czas 6

27 L.Kowalsk-Modelowae progozowae sał pozom wahaa sezoowe 5,, 5,, 5,, czas (w kwarałach) red wahaa sezoowe 5,, 5,, 5,, czas (w kwarałach) Neked przjmuje sę, że wahaa przpadkowe są ewelke, gd ch współczk zmeośc jes rzędu klku, ajwżej klkuasu proce. 7

28 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Progoza zmeej Y jes waroścą fukcj f zależej od czasu, przeszłch warośc progoz ej zmeej. f (,,..., p,,..., p, ξ ) czas warośc progoz składk losow p - welkość opóźea. Uwaga. Jakość modelu oceam jak w ekoomer. Dopasowae welkośc zjawska wzaczoch z modelu (progoz wgasłe) do welkośc zaobserwowach oceam a podsawe: - błędu średokwadraowego progoz wgasłch s k k ( ) k - lczba progoz wgasłch welkość a określa o le średo jedosek progoz wgasłe odchlają sę (plus-mus) od warośc zaobserwowach. - względego błędu średokwadraowego (proceowego błędu średokwadraowego) progoz wgasłch s w k k % welkość a określa o le średo proce progoz wgasłe odchlają sę (plus-mus) od warośc zaobserwowach. - średego błędu względego (proceowego błędu względego) progoz wgasłch k ψ k % (erpreacja jak wżej) Częso osa z ch błędów służ do oce jakośc progoz. 8

29 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Nawe prose meod progozowaa. (opare a założeu, że wahaa przpadkowe są ewelke e zme sę dochczasow wpłw czków kszałującch obserwowae zjawsko). Zaleą meod awej jes prosoa, wadą brak oce jakośc progoz a podsawe progoz wgasłch. Rodzaje progoz awch: wg sałego pozomu lub 3 wg sałch przrosów bezwzględch (p. red zblżo do lowego) ( ) wg sałch przrosów względch (ekóre red elowe) wg wahań sezoowch sałego pozomu, gdze r długość cklu sezoowego (lczba faz cklu), r wg wahań sezoowch redu r r r, gdze r długość cklu sezoowego (lczba faz cklu), r - przros średch w dwóch osach cklach. Przkład. Dla poszczególch ser dach mesęczch wzacz progozę awą a kolej mesąc. a) 5, 9, 6, 3, 36, b), 4,, 4, 7, c) 5,,, 5,. Przkład. Wedząc, że zjawsko ma charaker sezoow (r 4), dla poszczególch ser dach kwaralch wzacz progozę awą a dwa koleje kwarał. a) 5,, 6,, 7, b) 5,, 9, 7,, 7, 4,, 7 9

30 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Meoda średej globalej. Meoda średej ruchomej. Meodę ą wkorzsujem zarówo do wgładzaa szeregu czasowego jak do progozowaa. Progoza jes średą armeczą z k osach obserwacj (k - sała wgładzaa). k k k wzaczam ak ab śred kwadraow błąd e pos s ( ) k k mmal. Progozę oceam za pomocą średego błędu względego progoz przeszłch bł Ψ k k k % Uwaga. Gd k o meoda awa. Gd k o średa globala. Gd k duże o średa ruchoma slej wgładza szereg czasow lecz jedocześe wolej reaguje a zma pozomu badaego zjawska. Gd k małe o średa ruchoma szbcej odzwercedla zma zjawska lecz wększ wpłw wwerają a ą wahaa przpadkowe. Ab sosować średą ruchomą powśm zwkle dspoować co ajmej klkuasoma dam. Będzem sosować zwkle k 3 lub k 5. Średa ważoa. Usalam wag < w w... w k < ake, że w (ozacza o, że do wcześejszch formacj przwązujem mejszą wagę). Progozę wzaczam a podsawe wzoru: w k k k 3

31 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Model Browa (pros model wgładzaa wkładczego). Zwkle sosujem e model dla szeregów czasowch o sałm pozome lub bardzo słabm redze umarkowach wahaach przpadkowch. Model pozwala wzaczć progozę wg wzoru: ( α) α,, 3,..., progoza jes kombacją wpukłą (średą ważoą) przeszłej warośc zjawska przeszłej progoz. α, paramer wgładzaa. Warość α doberam p. a podsawe krerum ajmejszego błędu średokwadraowego progoz wgasłch s z. m s ( α) gdze α s ( ) α Jeśl e mam możlwośc wzaczea opmalej warośc parameru wgładzaa zwkle zaleca sę sosowaa warośc,,3. Uwaga Rówoważ wzór a progozę w m modelu ma posać: α ( ) zaem dla małch α progoza w małm sopu uwzględa błąd e pos progoz przeszłch. Uwaga Jako warość przjmujem jedą z warośc: a) perwszą warość szeregu czasowego,, b) średą z rzech począkowch warośc szeregu czasowego, c) średą z pęcu począkowch warośc szeregu czasowego, Model Browa jes rozwęcem meod średch ważoch. Wag maleją wkładczo prz coraz sarszch dach. Wdać o gd przekszałcm wzór a progozę w m modelu: 3, podsawając α ( α) α ( α) orzmam α ( α)( α ( α) ) α α( α) ( α) asępe podsawając osaecze α α 3 ( α) 3 α( α) α orzmam α( α) ( α) α( α) 3 ( α 3 3 ( α) ( α) )

32 L.Kowalsk-Modelowae progozowae α Wag prz poszczególch elemeach szeregu czasowego k k α( α)... α( α) k... α > α( α) >... > α( α) >... saową koleje wraz cągu geomerczego o loraze < α <. Dla dużch ch suma jes prawe rówa bowem k α α α( α)... α( α)... ( α) Uwaga. a) jeśl wgładzee szeregu czasowego (zwłaszcza dla dużch α) e jes zadawalające o możem powższe wgładzae powórzć, b) chocaż dla małch α wgładzee jes lepsze, o e zawsze wed jes ajmejsz błąd średokwadraow dla progoz przeszłch, wdać o w asępującm przkładze Przkład,. Lczba sprzedach żarówek (s. sz.) w hurow LUMEN w kolejch kwarałach la 998-: 37, 36, 34, 33, 34, 33, 35, 34, 35, 33, 34, 36 Badając welkość błędu średokwadraowego dla różch warośc α orzmam: α,,,3,4,5,6,7,8,9 błąd,47,39,36,35,35,36,37,38,4 Jak wdać ajlepsze (z ego puku wdzea) warośc α są w przedzale,4,5. 3

33 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Szereg czasow z redem. Model Hola. Sosujem dwa rówaa rekurecje: I - służ do wzaczaa wgładzoch warośc szeregu czasowego w chwl α ( α)( F S ) F II - służ do wzaczaa wgładzoch warośc przrosu redu w chwl S β α, β, - paramer wgładzaa. β ( F F ) ( ) S Ich warość doberam p. a podsawe krerum ajmejszego błędu średego progoz wgasłch s z. m s ( α, β ) gdze α, β s β Progoz wgasłe oblczam wg wzoru F S Progozę zmeej Y a okres T (T>) T, d. T w szczególośc dla T mam: ( ( α, )) F ( T ) S (wszske koleje progoz leżą a prosej F S F S ) Uwaga. Poeważ F S o F α ( ) S S αβ ( ) Warośc począkowe F S wzaczam wg propozcj Propozcja F S - 3 Wraz wol lowej fukcj redu oszacowa a podsawe p. klku perwszch obserwacj Współczk kerukow lowej fukcj redu oszacowa a podsawe p. klku perwszch obserwacj 33

34 L.Kowalsk-Modelowae progozowae SYMULACJE (aalza waraowa) Przkład Rozparzm model poęgow popu oszacowa a podsawe dach z la 99- Y ˆ X X,5,5 Y - pop (s. sz/rok) X - dochod osób (zł/rok) X - cea (zł/sz) Ierpreacja paramerów. Prz usaloej cee wzros dochodów o % powoduje wzros popu o,5%. Prz usaloch dochodach wzros ce o % powoduje spadek popu o,5%. Problem. a) Jaka powa bć welkość produkcj w roku ab e bło zapasów wedząc, że w roku dochod mogą bć w gracach - a cea 6-8? b) Jaka powa bć cea w roku ab prz dochodach w gracach - sprzedać 6 sz? Ad a) Zakładam, że paramer modelu e zmeą sę. Poeważ fukcja modelu jes mooocza ze względu a poszczególe zmee o do określea grac welkośc produkcj (popu) wsarcz rozparzć dole góre grace zakresu zmech objaśającch. Dla X, X 6 mam Y 68 Dla X, X 8 mam Y 44 Dla X, X 6 mam Y 96 Dla X, X 8 mam Y 65 Zaem ależ produkować co ajmej 44 sz. (wara pesmscz), lub co ajwżej 96 sz. (wara opmscz). 34

35 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Ad b) Oblczam z rówaa modelu zmeą X X X Y,5 3 Dla X, Y 6 mam X 6,5 Dla X, Y 6 mam X 8, Zaem bezpecza cea o 6,5 zł/sz. (wara pesmscz). Uwaga. Jeśl X, X porakujem jako zmee losowe o określom rozkładze o przez geerowae losowch warośc ch zmech moża określć losową warość popu. Zadae. Rozparzm model poęgow popu (jak wżej) oszacowa a podsawe dach z la 99- Y ˆ X X,7,8 a) Podać erpreację paramerów, b) Jaka powa bć welkość produkcj w roku ab e bło zapasów wedząc, że w roku dochod mogą bć w gracach - 5 a cea 3-4? c) Jaka powa bć cea w roku ab prz dochodach w gracach - sprzedać 8 sz? 35

36 L.Kowalsk-Modelowae progozowae TEORIA GIER Teora ger o eora podejmowaa deczj w erakwch suacjach koflku lub współprac. Począkowo gr uożsamao z gram owarzskm lub hazardowm, ch problemaką zajmowało sę welu maemaków flozofów. Teora ger jako dzedza maemak sosowaej zasała w 944 roku dzęk moograf Joha vo Neumaa Oskara Morgesera "Theor of Games ad Ecoomc Behavor" szbko zalazła zasosowaa w ekoom, socjolog, pscholog, bolog, formace, ssemach łączośc, aukach polczch, wojskowośc ekolog. Poowe ożwoe zaeresowae eorą ger asąpło po roku 994 gd rzech maemaków orzmało agrodę Nobla z ekoom za prace w ej dzedze (Joh Nash, Joh Harsaj Rehard Sele). Wprowadzee, podsawowe pojęca. Przjmuje sę, że w grze pow uczesczć przajmej dwe osob (pańswa, frm, gauk d., uczeskem gr może eż bć aura). Każd uczesk (gracz) ma pewą lczbę możlwch sposobów rozegraa gr (sraeg). Wk gr jes określo przez układ sraeg wbrach przez poszczególch gracz. Każdemu wkow gr odpowada zesaw wpła dla poszczególch gracz, określają oe wk gr. Rozparzm kokree suacje, kóre mogą bć aalzowae przez eorę ger. Przkład Gra w orła (O) reszkę (R). Gracz A wbera orła lub reszkę. Gracz B e zając wboru gracza A wbera róweż orła lub reszkę. Jeśl obdwaj wbral o samo, gracz B wgrwa zł od gracza A, w przecwm przpadku gracz A wgrwa zł od gracza B. Rozparwaą grę moża zapsać w posac drzewa (zw. posać ekseswa lub rozwęa) 36

37 L.Kowalsk-Modelowae progozowae A R O B R O R O (-,) (,-) (, -) (-,) Lczb prz werzchołkach końcowch ozaczają warośc wpła poszczególch gracz (perwsza lczba o wpłaa gracza A, druga - gracza B). Drug sposób zapsu gr o posać macerzowa (posać ormala). O B R A O (-, ) (, -) R (, -) (-, ) lub krócej (, ) (, ) ( ) ( ),, (zw. zaps dwumacerzow). Poeważ suma wpła w każdm przpadku wos zero ( gra o sume zerowej) o zaps macerzow ej gr może bć jeszcze prossz (uwzględam lko wpła gracza A, wpła gracza B są domśle lczbam przecwm) 37

38 L.Kowalsk-Modelowae progozowae Przkład Dlema węźa. Dwaj osobc podejrza o popełee poważego przesępswa zosal zarzma a podsawe poszlakowch formacj umeszcze w oddzelch pomeszczeach. Orzmują propozcje współprac z prowadzącm śledzwo. Zarzma, kór obcąż drugego z zarzmach będze wol, aomas obcążo orzma wrok 8 la węzea. Jeżel obaj przzają sę do w o dosaa po 6 la, gd żade sę e przza o zosaą skaza lko za udzał w m drobm przesępswe a kar po roku węzea. Każd z zarzmach chce orzmać jak ajższ wrok ma dwe sraege "przzać sę", "e przzać sę". Rozparwae zagadee moża zapsać w posac macerzowej Przkład 3 Zmowa karelowa. ( 6, 6) ( 8, ) (, 8) (, ) Dwaj producec wwarzają e sam owar. Jeśl zawrą porozumee doczące ce welkośc produkcj ab osągąć zsk maksmal o łącz zsk w wsokośc s zł podzelą po rówo. Zwększee produkcj groz obżką ce (zaem zsku), ale frm wedzą, że jeśl lko jeda frma zwększ produkcję o jej zsk wese 5 s zł a rwala, kór e zmeł welkośc produkcj lko 4 s zł. Jeśl jedak obe frm zwększą produkcję o orzmają lko po 5 s zł. Każda z frm ma dwe sraege "wkoać usaloą produkcję", "zwększć produkcję ".. Rozparwae zagadee jes podobe do "dlemau węźa" moża go zapsać w posac macerzowej (, ) ( 4, 5) ( 5, 4) ( 5, 5) Ie suacje prowadzące do ger pu "dlema węźa" o p. a) dwa kokurujące ze sobą sklep sraege "obżć ce", "e obżać ce ", jako wpła rozparujem zsk poszczególch sklepów. 38

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

(liniowy model popytu), a > 0; b < 0

(liniowy model popytu), a > 0; b < 0 MODELE EKONOMERYCZNE Model eoomercz o ops sochasczej zależośc adaego zjawsa eoomczego od czów szałującch go, wrażo w posac rówośc lu uładu rówośc. Jeśl p. rozparujem zjawso popu a oreślo owar lu grupę

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

Politechnika Opolska. Skrypt Nr 237 ISSN 1427-9932 (wersja elektroniczna) Ewald Macha. Niezawodność maszyn

Politechnika Opolska. Skrypt Nr 237 ISSN 1427-9932 (wersja elektroniczna) Ewald Macha. Niezawodność maszyn Polechka Opolska Skrp Nr 37 ISSN 47-993 (wersja elekrocza) Ewald Macha Nezawodość masz Opole 3 Sps reśc Przedmowa 5 Wkaz ważejszch ozaczeń 6. Podsawowe pojęca eor ezawodośc 7.. Pojęca ezawodośc...7.. Defcja

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

SZEREGI CZASOWE W PLANOWANIU PRODUKCJI W PRZETWÓRSTWIE SPOŻYWCZYM

SZEREGI CZASOWE W PLANOWANIU PRODUKCJI W PRZETWÓRSTWIE SPOŻYWCZYM SZEREGI CZASOWE W PLANOWANIU PRODUKCJI W PRZETWÓRSTWIE SPOŻYWCZYM Arur MACIĄG Sreszczee: W pracy przedsawoo echk aalzy szeregów czasowych w zasosowau do plaowaa progozowaa produkcj w przewórswe spożywczym.

Bardziej szczegółowo

PROGNOZY I SYMULACJE

PROGNOZY I SYMULACJE orecasig is he ar of saig wha will happe, ad he explaiig wh i did. Ch. Chafield (986 PROGNOZY I YMULACJE Kaarza Chud Laskowska kosulacje: p. 400A środa -4 czwarek -4 sroa iereowa: hp://kc.sd.prz.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny. OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I stopień ZESTAW ZADAŃ

STATYSTYKA I stopień ZESTAW ZADAŃ Stattka ZADAIA STATYSTYKA I topeń ZESTAW ZADAŃ dr Adam Sojda. Aalza truktur jedowmarowego rozkładu emprczego..... Badae wpółzależośc w dwuwmarowm rozkładze emprczm. 8 3. Aalza zeregów czaowch.... 4. Aalza

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 3. tel.: (061)

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 3.  tel.: (061) Ćwiczeia 3 mgr iż.. Mara Krueger mara.krueger@edu.wsl.com.pl mara.krueger@ilim.poza.pl el.: (06 850 49 57 Meod progozowaia krókoermiowego sał poziom red sezoowość Y Y Y Czas Czas Czas Model aiw Modele

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

Józef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta

Józef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez

MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez MATEMATYKA wkład Ciągi,, 2, 3, 4,,, 3, 5, 7, 9,,,,,,,,, są przkładami ciągów 2 4 6 8 Pierwsze 2 ciągi są rosące (do ieskończoości), zaś 3-i ciąg jes zbieŝ do zera co ozaczam przez lim a ch 2-óch ciągów,

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

DEA podstawowe modele

DEA podstawowe modele Marek Miszczński KBO UŁ 2008 - Aaliza dach graiczch (EA) cz.2 (przkład aaliza damiki rakigi) EA podsawowe modele WPROWAZENIE Efekwość (produkwość) obieku gospodarczego o es defiiowaa ako sosuek sum ważoch

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.

Sprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu. W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

Wybór najlepszych prognostycznych modeli zmienności finansowych szeregów czasowych za pomocą testów statystycznych

Wybór najlepszych prognostycznych modeli zmienności finansowych szeregów czasowych za pomocą testów statystycznych UNIWERSYTET EKONOMICZNY W POZNANIU WYDZIAŁ INFORMATYKI I GOSPODARKI ELEKTRONICZNEJ Wybór ajlepszych progosyczych model zmeośc fasowych szeregów czasowych za pomocą esów saysyczych Elza Buszkowska Promoor:

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności BOGALECKA Magda 1 Wek statku a prawdopodobeństwo wstąpea wpadku a morzu aalza współzależośc WSTĘP Obserwowa od blsko weku tesw rozwój trasportu morskego, oprócz lądowego powetrzego, jest kosekwecją wzmożoej

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Katedra Podstaw Sstemów Techczch - Podstaw metrolog - Ćwczee 4. Wzaczae charakterstk regulacjej slka prądu stałego Stroa:. CEL ĆWICZENIA Celem ćwczea jest pozae zasad dzałaa udow slka prądu stałego, zadae

Bardziej szczegółowo

1. WSTĘP. METODA EULERA 1 1. WSTĘP. METODA EULERA

1. WSTĘP. METODA EULERA 1 1. WSTĘP. METODA EULERA . WSTĘP. MTODA ULRA. WSTĘP. MTODA ULRA Wprowadzee Mowacja pozawaa meod umerczc:. Rozwązwae bardzo dużc kosrukcj o złożoej geomer welu sopac swobod powżej mloa prz różorodm zacowau maerałów.. Śwadome wkorzswae

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 10

METODY KOMPUTEROWE 10 MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk Mchał PŁOKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Konsace nakowe dr nż. Wod Kąko Poznań 00/00 MEODY KOMPUEROWE 0 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH

ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH ANALIZA SZEREGÓW CZASWYCH Szereg czasow zbór warośc baanej cech lub warośc baanego zjawska zaobserwowanch w różnch momenach czasu uporząkowan chronologczne. Skłank szeregu czasowego:. enencja rozwojowa

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

Funkcja wiarogodności

Funkcja wiarogodności Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza

Bardziej szczegółowo

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów

11. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów . Aproksmcj metodą jmejszch kwdrtów W ukch przrodczch wkoujem często ekspermet polegjące pomrch pr welkośc, które, jk przpuszczm, są ze sobą powąze jkąś zleżoścą fukcją =f(, p. wdłużee spręż w zleżośc

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 7 Analiza dynamiki zjawisk (zjawiska w czasie) ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 7 Analiza dynamiki zjawisk (zjawiska w czasie) ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 7 Aaliza damiki zjawisk (zjawiska w czasie) ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Sroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (lko jeda jes prawdziwa). Paie Szereg damicz o: a) ciąg prędkości

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK (dok.) WYGŁADZANIE szeregu czasowego

ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK (dok.) WYGŁADZANIE szeregu czasowego D. Miszczńska,M.Miszczński, Maeriał do wkładu 6 ze Saski, 009/0 [] ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK (dok.). szereg czasow, chroologicz (momeów, okresów). średi poziom zjawiska w czasie (średia armecza, średia

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

. Dla każdego etapu t znamy funkcję transformacji stanu (funkcja przejścia):

. Dla każdego etapu t znamy funkcję transformacji stanu (funkcja przejścia): D Miszczńska, M Miszczński, KBO UŁ, Eleme programowaia damiczego Eleme PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO (PD) Rozważam -eapow proces deczj: eap eap 2 eap - eap sa począkow 2 deczja x x x 2 x Sa procesu a począek

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc

Bardziej szczegółowo

Wpływ redukcji poziomu szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów 161

Wpływ redukcji poziomu szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów 161 Kaarzya Zeug-Żebro WPŁYW REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO MEODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WAROŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA Wprowazee W aalze szeregów czasowych zakłaa sę, że w aych moża wyorębć skłak

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. metody analizy i wykorzystania danych ekonomicznych

EKONOMETRIA. metody analizy i wykorzystania danych ekonomicznych UIWERSYE EKOOMICZY w Krakowe EKOOMERIA EKOOMERIA meod analz wkorzsana danch ekonomcznch (handous zapsk wkładowc dla sudenów) Kraków Anon Gorl Anna Walkosz Unwerse Ekonomczn w Krakowe emaka. Wprowadzene..

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

$y = XB KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ Z WIELOMA ZMIENNYMI NIEZALEŻNYMI

$y = XB KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ Z WIELOMA ZMIENNYMI NIEZALEŻNYMI KASYCZNY ODE REGRESJI INIOWEJ Z WIEOA ZIENNYI NIEZAEŻNYI. gdz: wtor obsrwacj a zmj Y, o wmarach ( macrz obsrwacj a zmch zalżch, o wmarach ( ( wtor paramtrów struturalch (wtor współczów, o wmarach (( wtor

Bardziej szczegółowo

6. *21!" 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;!" "+!"!4 oraz "" % & "!4! " )$!"!4 1 1!4 )$$$ " ' ""

6. *21! 4 % rezerwy matematycznej. oraz (ii) $ :;! +!!4 oraz  % & !4!  )$!!4 1 1!4 )$$$  ' Memy fow 09..000 r. 6. *!" ( orz ( 4 % rezerwy memycze $ :;!" "+!"!4 orz "" % & "!4! " $!"!4!4 $$$ " ' "" V w dowole chwl d e wzorem V 0 0. &! "! "" 4 < ; ;!" 4 $%: ; $% ; = > %4( $;% 7 4'8 A..85 B..90

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

CZYNNIKOWY MODEL ZARZĄDZANIA PORTFELEM OBLIGACJI

CZYNNIKOWY MODEL ZARZĄDZANIA PORTFELEM OBLIGACJI Zeszyy Naukowe Wydzału Iorayczych echk Zarządzaa Wyższej Szkoły Iorayk Sosowaej Zarządzaa Współczese robley Zarządzaa Nr /0 CZYNNIKOWY MOE ZARZĄZANIA OREEM OBIGACJI Adrzej Jakubowsk Isyu Badań Syseowych

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

R n. i stopa procentowa okresu bazowego, P wartość początkowa renty, F wartość końcowa renty. R(1 )

R n. i stopa procentowa okresu bazowego, P wartość początkowa renty, F wartość końcowa renty. R(1 ) Maeayka fasowa ubezpeczeowa Ćwczea 4 IE, I rok SS Tea: achuek re oęce rey Warość począkowa końcowa rey ey o sałych raach ea o zeych raach ea uogóoa osawowe poęca rachuku re ea es o cąg płaośc okoywaych

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Całka krzywoliniowa nieskierowana (całka krzywoliniowa funkcji skalarnej)

Całka krzywoliniowa nieskierowana (całka krzywoliniowa funkcji skalarnej) WYŁAD : CAŁI RZYWOLINIOWE Nech - krwa w R : gde [ α β ] ora C [ α β]. Zaem dowol puk krwej moża predsawć w posac j k krwa adaa jes pre wekor parameracj r : r j k. Decja Jeśl krwa e ma puków welokroch.

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch

Bardziej szczegółowo