(liniowy model popytu), a > 0; b < 0

Transkrypt

1 MODELE EKONOMERYCZNE Model eoomercz o ops sochasczej zależośc adaego zjawsa eoomczego od czów szałującch go, wrażo w posac rówośc lu uładu rówośc. Jeśl p. rozparujem zjawso popu a oreślo owar lu grupę owarów przjmem, że główm czem szałującm pop jes cea o możem rozparwać model D fp D - pop, P - cea. Z prawa malejącego popu wa, że fucja f powa ć malejąca P < P fp > fp. Zależość ę możem zrealzować za pomocą różch fucj malejącch, ajprossza z ch o fucja lowa: D a P low model popu, a > ; <

2 jeśl model low e pasuje do zaoserwowach welośc o ależ zasosować model elow p. model poęgow: D a P poęgow model popu, a > ; < Dla pewch zaresów ce model low może ć dorm przlżeem modelu elowego D Model low Model elow P P P Need model z jedą zmeą źle opsuje adae zjawso, wed możem rozparwać model z weloma zmem.

3 W modelu popu drugm czem szałującm pop może ć dochód, wed rozparujem zależość: D fp, I I - dochód ludośc. Zależość ę możem ja poprzedo zrealzować za pomocą fucj lowej lu poęgowej D a P ci D a P I Ogóla posać modelu w posac jedej rówośc: Y c f, ε Y, - zmee, może ć posac,,...,, ε -eleme losow Powod uwzględaa elemeu losowego w modelu eoomerczm: e uwzględee wszsch czów szałującch adae zjawso ajczęścej e uwzględam czów mającch mał wpłw eleme losow reprezeuje łącz wpłw ach zmech, 3

4 możlwość wsępowaa łędów w pomarze welośc zmech, ra pewośc cz przjęa do olczeń posać fucja modelu jes prawdłowa. Uproszczoa lasfacja zmech w modelu zmea edogecza zmea, órej warośc oreśloe są w modelu, zmea egzogecza zmea, órej warośc oreśloe są poza modelem, zmea ojaśaa wsępuje po lewej sroe rówań modelu, zmea ojaśająca wsępuje po prawej sroe rówań modelu. Każda ze zmech może ć eżąca lu opóźoa. Uwaga: W modelach welowmarowch zmea ojaśaa może ć jedocześe zmeą ojaśającą. 4

5 Przład. Rozparzm model wzrosu gospodarczego DN NI ani 4 ddn Z c ε ε gdze DN - dochód arodow, NI - aład wescje, Z - zarudee, a,, c, d - paramer sruurale, ε,ε - eleme losowe Klasfacja: zmee edogecze: DN, NI, NI 4 zmee egzogecze: Z zmee ojaśae: DN, NI zmee ojaśające: NI Z, DN, 4 zmee eżące: DN, Z, NI zmee opóźoe: NI 4. 5

6 Klasfacja model Modele lasfujem ze względu a asępujące rera: a lcza zależośc w modelu - modele jedorówaowe, - modele welorówaowe, posać zależośc fucjej, - modele lowe, - modele elowe poęgowe, władcze, p.. c rola czasu w rówaach, - modele sacze e uwzględają czasu, - modele damcze. Przład Model z przładu jes: - dwurówaow, - elow, - damcz. 6

7 Jedorówaow model low z jedą zmeą ojaśającą Y ε gdze: Y - zmea ojaśaa, - warośc oserwacje zmeej Y;,..., - umer oserwacj, - zmea ojaśająca, - warośc zmeej,, - paramer sruurale ch przlżoą warość wzacza sę a podsawe oserwacj, ε - sład losow. Załadam, że ε,,..., z. ażda zaoserwowaa warość jes fucją lową z doładoścą do słada losowego ε. Załadam róweż, że są usalom waroścam elosowm, am samm w powarzalch próach. Sład losowe ε są losowm zmem ezależm o zerowej 7

8 warośc przecęej waracj, óra e zależ od homosedasczość. A wzaczć przlżoą warość paramerów sruuralch, a podsawe pró sosujem meodę ajmejszch wadraów MNK. MNK polega a wzaczeu ach przlżeń a dla dach oserwacj, suma wadraów odchleń zaoserwowach warośc od warośc eoreczch ˆ ła mmala, z. chcem wzaczć mmum fucj: e ˆ $Y prosa regresj z pró e ŷ * e S, e ˆ ˆ azwam reszam modelu regresj 8

9 9 Należ wzaczć prosą regresj a a suma pól wadraów ła mmala. Olczając pochode cząsowe fucj * przrówując do zera orzmujem uład rówań ormalch S S rozwązując orzma uład rówań orzmam wzor a przlżoe warośc paramerów sruuralch Prosą Y ˆ azwam prosą regresj z pró.

10 Model regresj lowej: Uwaga esmaor e ε $Y e { { } } EY ε EY prosa regresj $Y prosa regresj z pró Mar dopasowaa. Waracja reszowa: Waracja reszowa o uśredee pól wadraów zudowach a reszach odzwercedla sopeń dopasowaa prosej regresj do dach sasczch. Nech, e $, gdze $ wed czl S e S e e S e S e ozacza średe sadardowe odchlee od prosej regresj.

11 Dopasowae modelu do dach emprczch moża oceać odchleem sadardowm resz lecz jes o mara ezwzględa euormowaa, dlaego do porówań lepsze są mar względe lu uormowae. Najprosszą względą marą dopasowaa jes współcz zmeośc losowej : V e S Y e % Współcz e formuje jaą część średej warośc adaego zjawsa saow odchlee sadardowe resz. Mejsze warośc ego współcza wsazują a lepsze dopasowae modelu do dach emprczch, eed żąda sę a p. V e <,. { Zmeość całowa } } Zmeość przpadowa Zmeość wjaśoa modelem regresj

12 Wprowadzam ozaczea: Całowa suma wadraów zmeość całowa: CSK Wjaśoa suma wadraów zmeość wjaśoa: WSK ˆ Newjaśoa suma wadraów zmeość przpadowa: NSK e gdze : ˆ Własość: Czl ˆ CSK WSK NSK e Marą dopasowaa modelu do rzeczwsośc warośc zaoserwowach jes róweż współcz deermacj R Współcz deermacj: WSK R R, CSK współcz e oreśla jaa część całowej zmeośc zmeej ojaśaej zosała wjaśoa przez model regresj lowej.

13 R ˆ e cov, Y S S Y r Przład Badao zależośc oszów całowch w s. zł. Y od welośc producj s. sz. w 6-cu załadach producjch Dla modelu Y ε wzaczam przlżoe warośc paramerów sruuralch współcz deermacj. ŷ ˆ ˆ ; 4; ; 4 *

14 zaem zwąze pomędz oszam całowm a weloścą producj wraża sę zależoścą lową w posac Y ˆ Współcz deermacj R 6 8,89 ależ oczewać, że rozparwa model wjaśa 89% całowej zmeośc adaego zjawsa. JEDNORÓWNANIOWY MODEL LINIOWY - POSAĆ OGÓLNA. Ogóla posać modelu lowego z zmem ojaśającm. Y ε... gdze: Y - zmea ojaśaa - zmee ojaśające,,,..., - paramer sruurale,,,,..., ε - sład losow. 4

15 Założea: Nech - lcza oserwacj,,,..., - umer oserwacj,, ε,,,...,, - zaoserwowae warośc zmeej ojaśającej, słada losowego zmech ojaśającch,,,...,. Założee.... ε dla,,..., Założee. a,,...,, - warośc usaloe e są losowe,,,...,, - lowo ezależe, c > Założee 3. ε - są ezależm zmem losowm o jedaowm rozładze prawdopodoeńswa, N, σ. Eε, D ε σ homoscedasczość 5

16 6 Zaps modelu w posac macerzowej. Nech: Y M L L M M M M M L M ε ε ε ε M Zaem powższ model moża zapsać w posac. Y ε Sosując meodę ajmejszch wadraów orzmujem weor esmaorów paramerów sruuralch : Meoda ajmejszch wadraów MNK. Rozparujem fucję: S... Uwaga. Reguł różczowaa względem weora są asępujące: a a A A A przrówujem do zera. sąd Y

17 7 Neocążoość esmaora. ε ε ε zaem ε E E Macerz owaracj dla : ] [ ] [ cov σ σ εε εε E E E E E werdzee Gaussa Marowa. Najlepszm, eocążom, lowm esmaorem weora w modelu lowm, w órm Eε oraz Eεε Iσ, jes esmaor uzsa meodą ajmejszch wadraów. Weor resz uzsach z rówaa regresj oszacowaego meodą ajmejszch wadraów jes rów: ε ε ε ] [ ] [ I e

18 8 Neocążom esmaorem parameru σ jes waracja reszowa: Nech, e Y Y $, gdze $ Y wed Y Y Y e e e S S e dla S e Mar dopasowaa. Współcz deermacj: Y Y Y Y Y R dla, cov ˆ Y S S Y e R

19 Współcz zeżośc: Y Y Y Y Y Y Φ R Sorgowa współcz zeżośc: Φ$ Φ Sorgowa współcz deermacj: $ R R Sadardowe łęd oszacowaa paramerów sruuralch. Rozparujem macerz Se a główej przeąej ej macerz mam waracje ch łędów z. S,,,...,. Zaem S S,,,...,. dla S S S S e e S Sosujem eed zaps Yˆ S S 9

20 Przład. Y - wdajość prac ml zł/zar., - echcze uzrojee prac ml zł/zar., - zarudee se osó, Rozparujem model Y ε Y ,6,5,9,,,,9,3, Y 7 3, 6 78 Y Y 58 7, , , , , 777, 777, 57574, 777, 4943 wzaczm, R, S,,. Rozwązae: 7, , , , 75 Y 3, , 777, 777 3, 6 6, 36, 57574, 777, , 43 zaem rówae płaszczz regresj ma posać: Y$ 9, 75 6, 36, 43 ;

21 Waracja reszowa jes rówa S e,57 sąd S e,756; Błęd sadardowe esmaorów paramerów sruuralch: S, 35 ; S 4, S, 68 Uwzględam je w zapse: Y$ 9, 75 6, 36, 43,35,4,68 Współcz deermacj wos R, 943 Przedzał ufośc dla,,,,..., ; dla pozomu ufośc -α mam: u S ; u S α α gdze u α odczujem z alc rozładu Sudea: P u > α α.

22 Werfacja hpoez dla,,,,..., ; dla pozomu soośc α rozparzm dwa es: Uogólo es Walda. Wsuwam dwe hpoez: H... co ajmej jedo,,,... H Sosujem sasę U Y Y R R e e Rozparujem zór rcz: K < ; gdze odczujem dla pozomu soośc α z alc rozładu Fszera-Sedecora dla, - sop swood. Deczje: Jeśl U K o H odrzucam, Jeśl U K o e ma podsaw do odrzucea H.

23 es dla poszczególch paramerów,,,,...,. Wsuwam dwe hpoez: H, H - jedą z rzech poższch hpoez. Rozparujem sasę zór rcz wg ael: H Sasa Zór rcz Odcz K > < ; ; P > α > U S K < < K > ; P > α ; P > α Deczje: Jeśl U K o H odrzucam, Jeśl U K o e ma podsaw do odrzucea H. Uwaga Jeśl adam soość parameru o przjmujem z. rozparujem hpoezę H 3

24 Badae losowośc resz es ser. Rozparujem hpoez H resz modelu mają charaer losow, H resz modelu e mają charaeru losowego, Reszom przpsujem smol a lu : a - gd e >, - gd e < resz e e rozparujem. Sere o podcąg złożoe z jedaowch smol. Sosujem sasę: U lcza ser Zór rcz: K ; > gdze odczujem z alc dla pozomu soośc α lcz oraz, gdze - lcza smol a, - lcza smol, alca dla α,5:

25 Deczje: Jeśl U K o H odrzucam, Jeśl U K o e ma podsaw do odrzucea H. Badae smer słada losowego. Nech - lcza oserwacj, m - lcza resz dodach. Wsuwam dwe hpoez: H m H m Sosujem sasę U m m m Rozparujem zór rcz: K ; > < ; gdze odczujem dla pozomu soośc α z alc rozładu Sudea: P > α. Deczje: Jeśl U K o H odrzucam, 5

26 Jeśl U K o e ma podsaw do odrzucea H. zmeość wjaśoabadae ormalośc rozładu resz Zasosujem es Shapro-Wla. Wsuwam dwe hpoez: H - resz mają rozład ormal, H - resz e mają rozładu ormalego. Resz porządujem emalejąco: e, e,..., e Sosujem sasę U [ / ] a e e 6 e e gdze [/] jes częścą całową lcz /, e dla model lowch, a - - współcz Shapro-Wla odczae z alc: , , ,6,

27 ,6, ,6, ,6, ,6, ,5, ,5, ,5,3 6 35,5, ,5, ,5, ,5, ,5, ,4, , 875, 4, 743, 976, 4, 6, 347, 4, 46, 495, 5, , 56, 947, 4, 49, 586, 77, 8, 878, 939, , 399, 695, 9, 99, 4, 353, 447, , 33, 539, 77, 88, 5, , 4, 433, 593, , ,

28 8, ,4 88,4 734,3 53,3 3,3, 553, 56, 565, 7, 59, 85, 587, 64, 686, 97, 7, 334, 837, 93, 3, 496, 6, 7, 63, 33, 4 -, 4 Rozparujem zór rcz: K < ; gdze odczujem dla pozomu soośc α daego z alc esu Shapro-Wla: alca esu Shapro-Wla dla α, ,7 67,7 48,7 6,7 88,8 3,8 8,8 9,8 4,8 5, ,8 66,8 74,8 8,8 87,8 9,8 97,9,9 5 Deczje: Jeśl U K o H odrzucam, Jeśl U K o e ma podsaw do odrzucea H. > 8

29 Badae jedorodośc waracj słada losowego Jedorodość waracj słada losowego homosedasczość jes jedm z założeń lasczej meod ajmejszch wadraów. Nespełee ego założea oża efewość esmaorów paramerów sruuralch e wpłwa a zgodość eocążoość. Zasosujem es Goldfelda-Quada. W eśce m dzelm próę a dwe rówolcze podpró o lczeoścach gd lcza oserwacj jes eparzsa - środowa lu środowe oserwacje e orą udzału w dalszch olczeach. Na podsawe ch podpró szacujem paramer sruurale modelu olczam waracje reszowe Se, Se. Pró umerujem a a S e Se. Wsuwam dwe hpoez: 9

30 H σ σ H σ > σ Sosujem sasę U S S e e Rozparujem zór rcz: K < ; gdze odczujem dla pozomu soośc α z alc rozładu Fszera-Sedecora dla -, - sop swood. Deczje: Jeśl U K o H odrzucam, Jeśl U K o e ma podsaw do odrzucea H. Badae auoorelacj resz es Dura- Wasoa. Rozparujem hpoezę: H resz e są sorelowae z H ρ Olczam warość sas e e U e Uwaga U < ; 4 > 3

31 Dla resz esorelowach U Z alc rozładu D-W odczuje sę dla usaloego α,, dwe lcz L U. alca rozładu D-W dla α,5: L U L U 6,6, ,7,356,467,897 8,73,33,559,777 9,84,3,69,699,879,3,697,64,97,34,758,64,97,33,8,579 3,,34,86,56 4,45,35,95,55 5,77,36,946,543 Jeśl U < o rozparujem hpoezę alerawą: H resz są sorelowae dodao z H ρ >. Przjmuje sę asępującą regułę deczją: 3

32 Jeśl U < L o H odrzucam. Jeśl U > U o e ma podsaw do odrzucea H. Jeśl L U U o e podejmujem deczj. Jeśl U > o rozparujem hpoezę alerawą: H resz są sorelowae ujeme z H ρ <. Przjmuje sę asępującą regułę deczją: Jeśl U > 4 - L o H odrzucam. Jeśl U < 4 - U o e ma podsaw do odrzucea H. Jeśl 4 - U U 4 L o e podejmujem deczj. Nech τ [ τ L τ ] Progoza puowa Progoza. τ Sadardow łąd progoz gd S τ S e τ S S τ e τ τ τ τ Se τ 3

33 Progoza przedzałowa dla pozomu ufośc -α. u S ; u S τ α τ τ α τ gdze u α odczujem z alc rozładu Sudea: u P > α α. Przład. Y - welość producj s. sz., - lcza zarudoch s. osó, - warość mająu rwałego ml zł, Rozparujem model Y ε. Mając dae Ro Y 76, 9, 95, 7 9 5,4,5 4,5 4,7 4,8 4,8 5, 5, 5, 6, 7 7, 8,, oraz wedząc, że 6, , , , , , , 3436, 8999, 6985 oraz S e,53 Y$, 86, 83,

34 wzaczm progozę puową przedzałową a ro 999 dla Rozwązae: [ ] τ 7 5. Poważ 86,, 83, 653 ; o warość progoz puowej jes rówa: τ τ [ 7 5] 86,, 83 4, 89, 653 Poeważ τ [ 7 5] τ 6, , , , , , , 3436, 8999, ,5 o sadardow łąd progoz wos S S, 53 4, 5 6, 67 τ e τ τ Zaem przewdwaa welość producj wos 4 ± 6,67. Progoza przedzałowa dla pozomu ufośc -α,95. 34

35 Lczę u α odczujem z alc rozładu Sudea: P 4 > uα, 5 u α,78. τ uα Sτ ; τ uα Sτ <94,6; 87,7> DODAEK. Uogóloa meoda ajmejszch wadraów. Jeśl waracja sładów losowch e jes sała ra homoscedasczośc lu e są spełoe założea o rau auoorelacj resz o ależ do szacowaa paramerów sruuralch sosować uogóloą meodę ajmejszch wadraów: V V Y gdze V - dodao oreśloa macerz smercza sopa. W przpadu rau homoscedasczośc moża p. przjąć: e V L e L L L L L L e gdze e - resz modelu oszacowae MNK. W przpadu auoorelacj resz moża p. przjąć: 35

36 gdze r V L r r r r L L L L L e e e r r L e - resz modelu oszacowae MNK. DODAEK. Doór zmech ojaśającch model low.,,..., zmee ojaśające, Y - zmea ojaśaa, Zmee ojaśające pow charaerzować sę: a wsoą zmeoścą współcz zmeośc powżej oreśloej warośc rczej p., V >,, slą orelacją z Y, c słaą orelacją z m zmem ojaśającm. Przład. Mając dae warośc zmech 36

37 Y Sprawdź, óre zmee ależ welmować jao quas sałe przjmując rczą warość współcza zmeośc rówą,5? Współcz zmeośc dla poszczególch zmech ojaśającch są rówe: V V V 3 V 4,55,36,33,97 Zaem ależ welmować zmeą 4. Jeśl zmee, Y mają par warośc, o współcz orelacj Pearsoa olczam asępująco: 37

38 38, cov S S Y r Y Y Nech Y r r - współcz orelacj mędz poszczególm zmem ojaśającm a zmeą ojaśaą. Weorem orelacj azwam weor r r r R M Nech j j r r - współcz orelacj mędz poszczególm zmem ojaśającm. Macerzą orelacj azwam smerczą macerz L L L L L L L r r r r r r R Meoda woru zmech ojaśającch, óre są sle sorelowae ze zmeą ojaśającą słao sorelowae z m zmem ojaśającm. Kolejość posępowaa:

39 usalam rczą warość orelacj r r alo jes arzucoa alo olczam ze wzoru α r r gdze α - odczujem z alc α rozładu Sudea dla - sop swood pozomu soośc α. elmujem e zmee ojaśające dla órch: r r r 3 spośród pozosałch zmech weram aą zmeą s dla órej r s ma { r } a zmea ese ajwęcej formacj 4 ze zoru zmech ojaśającch elmujem e dla órch r s > r r zmee sle sorelowae z wraą zmeą s powelają zaware w s formacje. Kro 3 4 moża eweuale powarzać. Przład. Dla zmech,, 3, 4 Y z poprzedego przładu weor orelacj macerz orelacj są rówe: 39

40 R,88,8,73,9 -,85 R,74,33 -,85 -,8 -,8,74 -,8,7,33 -,8 -,7 Dla pozomu soośc,5-8 sop swood odczujem z alc rozładu Sudea α,36 wzaczam r r α α,36,63,36 odrzucam zmeą 4, Zreduowa weor zreduowaa macerz orelacj są rówe R,88,8,73 R,85,74,85,8,74,8 3 weram, 4 elmujem, 3, Zaem rozparwa model low powe meć posać: Y ε Meoda Hellwga. Rozparujem wszse epuse podzor zoru zmech ojaśającch {,,..., }, ach podzorów jes L -. Dla ażdego podzoru olcza sę wsaź pojemośc formacjej: dwduale 4

41 egrale ch warośc ależą do przedzału [, ]. Idwdualą pojemość formacją olczam ze wzoru: h lj gdze l,,..., L umer podzoru - omacj, I l - zór umerów zmech wchodzącch w sład l - ego podzoru. Iegralą pojemość formacją olczam sumując pojemośc dwduale rozparwaego podzoru: H r I l j r j l h lj j Należ wrać a podzór zmech ojaśającch dla órego egrala pojemość formacja jes masmala. Przład. Dla zmech,, Y olczoo,8,6 R R, I l,6 Są 3 podzor zoru {, }: { }, { }, {, }. Olczam: h,8,64, H,64, 4

42 h -,,4, H,4, h 3,8 /,6,4, h 3 -, /,6,5, H 3 h 3 h 3,45, Poeważ ajwęszą pojemość formacją ma podzór { }, o ależ przjąć, że jes jedą zmeą ojaśającą w m modelu z. Y ε. DODAEK 3. Modele lowe welorówaowe. Zjawsom eoomczm wjaśam przez model welorówaow odpowadają zmee edogecze. Pozosałe zmee azwam zmem egzogeczm. Y,..., Y m - zmee edogecze ez opóźeń czasowch Z,..., Z - zmee edogecze z opóźeam czasowm zmee egzogecze Ogól zaps modelu: Y Y Y m... m m m Y Macerzowe przedsawee ego zapsu os azwę posac sruuralej: m Y Y 4 j j γ γ j j γ Z j mj Z j Z ε j j ε ε m

43 gdze BY ΓZ ε B... m... m m m γ γ Γ... γ m γ γ... γ m λ γ... γ m Y Y Y... Y m Z Z Z... Z ε ε ε... ε m Jeśl zmee Y,..., Y m wrazm przez Z,..., Z o orzmam posać zreduowaą modelu: Posać macerzowa: gdze Π π π... π m π π π... m π π π... m Y Y Y m j j... π Z j j j mj j π Z j π Z η j η η m Y Π Z η η η η... η m Powższą macerz weor wzaczam ze wzorów: η ε Π B Γ B 43

44 Klasfacja model welorówaowch. Jeśl macerz B jes macerzą dagoalą eweuale po przeumerowau rówań o model azwam prosm,. Jeśl macerz B jes macerzą rójąą eweuale po przeumerowau rówań lu zmech o model azwam reurecjm, 3. W pozosałch przpadach model azwam modelem o rówaach współzależch. Paramer model prosch reurecjch szacujem ja paramer model jedorówaowch ażde rówae możem rozparwać oddzele. Paramer modelu o zmech współzależch moża oszacować lo wed gd wszse jego rówaa są defowale. werdzee. Waruem oeczm dosaeczm ego, a - e rówae modelu o m rówaach współzależch ło defowale, jes macerz A paramerów zajdującch sę prz zmech, óre są w modelu, a e wsępują w rówau, 44

45 órego defowalość jes adaa, ła rzędu m -. Nech - lcza zmech, zajdującch sę w modelu, a e wsępują w rówau, órego defowalość jes adaa. Jeśl m -, o mówm, że rówae jes jedozacze defowale. Jeśl > m -, o mówm, że rówae jes ejedozacze defowale. Jeśl < m -, o mówm, że rówae e jes defowale. Paramer modelu o zmech współzależch rówaach jedozacze defowalch moża oszacować meodą ajmejszch wadraów: P Z Z Z Y 45 Γ BP DODAEK 4. REGRESJA KRZYWOLINIOWA. Paramer wraej fucj elowej wzacza sę meodą ajmejszch wadraów, orzsając z odpowedego uładu rówań ormalch. Fucja welomaowa.

46 46... ˆ Jej paramer,..., wzaczam rozwązując uład rówań ormalch ór ma posać: Powższ uład rówań orzmujem przrówując do zera pochode cząsowe fucj zmech S... ˆ,...,,, W szczególośc Fucja wadraowa. ˆ Jej paramer,..., wzaczam rozwązując uład rówań ormalch ór ma posać:

47 Fucja poęgowa. a ˆ Chocaż jes o szczegól przpade fucj welomaowej o waro rozparwać go róweż oddzele. Jej paramer a, wzaczam przez przeszałcee do posac lowej logarmujem oe sro. a l l ˆ l Uład rówań ormalch ma posać: a a l l l l l l l l Rozwązując powższ uład rówań lowch względem a' la olczam a'. Sąd a e a'.

48 Paramer jes erpreowa jao współcz elasczośc, z. jeśl zmea wzrośe o %, o Y zme sę średo o %. Fucja władcza. ˆ a Logarmując oe sro orzmam. l ˆ l a l Uład rówań ormalch ma posać: l l l a l l a l Rozwązując powższ uład rówań lowch względem a' la ' l olczam a' '. Sąd a e a' e '. Paramer jes erpreowa jao śred przros względ, z. jeśl zmea wzrośe o jedosę, o Y zme sę średo o - %. Fucja logscza. 48

49 49 c e a ˆ gdze - czas, a >, >, c >. Fucja logscza służ mędz m do opsu progozowaa,welośc sprzedaż produu wchodzącego a re. Przjmujem z Najperw wzaczam warośc paramerów a, c u u a u u c l gdze z z u z z z z z u z z z z u Nasępe orzsając z olczoch a c olczam

50 a e c,,..., Paramer > gwarauje see puu przegęca, a jes erpreowa jao pozom ascea asmpoa pozoma. W przpadu elowm marą dopasowaa dopasowaa modelu do dach sasczch jes współcz orelacj rzwolowej R ˆ ; R <, >. Przład. Mając dae Wzaczm wadraową fucję regresj. Korzsając z sum w poższej ael uładam uład rówań ormalch:

51 sum a a c 4 58 a 96 4 c 36 9 a 4 36 c 8 4 Rozwązaem przlżom uładu jes a,4643; -4,548; c,7 Zaem fucja regresj wadraowej ma posać ˆ,4643-4,548 5,7 Fucja a jes dorze dopasowaa do dach sasczch R,873, R,93. Zauważm, że w m przpadu fucja lowa e jes dorą fucją regresj a ardzo sa warość współcza orelacj

52 Pearsoa śwadcz o rau zależośc lowej a e o rau zależośc jaejolwe. 5