3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA"

Transkrypt

1 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz lowych zadań decyzyjych ormułujemy także elowe zadaa decyzyje (NZD). Zadae decyzyje azywamy elowym jeżel ukcja celu lub chocaż jede z waruków oraczających są elowe (p. kwadratowe wykładcze loarytmcze tp.). Przykład praktyczeo zaadea o charakterze elowym (zaadee wyboru optymaleo portela akcj) Stopa zysku ryzyko Rozważmy astępujący problem decyzyjy. Iwestor posadający określoy kaptał chce o ulokować a ełdze kupując akcje. Każda akcja jest charakteryzowaa przez dwa podstawowe czyk stote dla westora podejmująceo decyzje o zakupe akcj: stopę zysku (zwrotu) ryzyko. Stopa zysku (zwrotu) to stosuek zysku jak przyos daa akcja do kosztu jej zakupu. Stopę zysku w okrese t oblczamy wedłu wzoru: (4.) R [( P P ) D ] P t t t t / t dze: P t wartość akcj a koec okresu t P t- wartość akcj a początku okresu t D t welkość dywdedy w okrese t. Uwaa! Dla dzeych stóp zwrotu przyjmujemy ajczęścej że dywdeda jest rówa zero. Czasam stopę zwrotu deuje sę róweż pomjając składk D t.

2 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Wszystke decyzje zwązae z westowaem w akcje są decyzjam dotyczącym przyszłośc podejmowaym w warukach epewośc. Tak węc stopa zysku jest w stoce przyszłą oczekwaa stopą zysku jaka zostae osąęta w pewym okrese. Stąd uzyskae ustaloej wartośc stopy zysku wąże sę z ryzykem. Stopa zysku jest zmeą losową która może przyjmować róże wartośc z określoym prawdopodobeństwam. Prawdopodobeństwa te zależą od sytuacj a ełdze a te z kole od różych czyków p. od stau ospodark czy sytuacj poltyczej. Przykład 4. Rozważmy akcje dwóch spółek A B. W Tabel 4. przedstawoo rozkłady stóp zwrotu tych akcj. Tabela 4. Możlwy sta Prawdopodobeństwo Stopa zwrotu ospodark p R A (w %) R B (w %) Powstaje pytae: jak a podstawe tych przewdywaych stóp zysku oszacować jede wskaźk który mółby umożlwć podjęce decyzj o zakupe akcj? Do teo celu służy oczekwaa stopa zysku (zwrotu). Określa sę ją wedłu wzoru: m (4.) R p R dze: R oczekwaa stopa zwrotu; R -ta możlwa wartość stopy zwrotu; p prawdopodobeństwo osąęca przez stopę zwrotu -tej wartośc; m lczba możlwych do osąęca wartośc stopy zwrotu.

3 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Po podstaweu do wzoru (4.) wartośc z Tabel 4. otrzymamy: dla spółk A: R.6%.3%.4%.( %).( 4%) % A dla spółk B: R. %. 4%.4 %. 6%. % % B Rozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk A Rozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk B Wartośc możlwych stóp zwrotu Wartośc możlwych stóp zwrotu a) b) Wykres 4. Rozkłady prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk A a) oraz B b) Z oblczoych wartośc oczekwaych stóp zwrotu wyka że westowae w obe spółk jest tak samo atrakcyje (te sam oczekway zysk ). Aalza wykresów 4.a) 4.b) pozwala jedakże stwerdzć że w przypadku akcj spółk A możemy rówe dobrze dużo zyskać (6% z prawdopodobeństwem.) jak dużo stracć (-4% z prawdopodobeństwem.). Dzeje sę tak dlateo że rozrzut możlwych wartośc stopy zwrotu wokół oczekwaej stopy zwrotu (R A %) jest duży. Takej złej cechy e posada rozkład stopy zwrotu spółk B. Wdać z wykresu 4.b że w ajorszym przypadku możemy a e stracć a e zyskać (dla R 5B %) atomast w ajlepszym przypadku wprawdze zyskujemy tylko % (czyl mej ż dla ajlepszeo przypadku dla spółk A tz. dla R A 6%) ale mamy mejszy rozrzut możlwych wartośc stopy zwrotu wokół wartośc oczekwaej (tz. wokół R B %). Dlaczeo? Poeważ z akcją B wąże sę zacze mejsze ryzyko ż z akcją A. Im wększe zróżcowae możlwych stóp zysku tym wększe ryzyko zwązae z daą akcją.

4 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Powstaje zasadczy problem: Jak zmerzyć ryzyko jak wyrazć je sytetycze za pomocą jedej lczby? Ryzyko zwązae z daą akcją moża zmerzyć za pomocą waracj stopy zysku określoej wzorem: (4.3) m V p( R R) dze: V waracja stopy zwrotu; R oczekwaa stopa zwrotu. Częścej stosuje sę ą marę ryzyka maowce odchylee stadardowe s stopy zwrotu (stadard devato o returs): (4.4) s V p m ( R R) dze: s odchylee stadardowe stopy zwrotu. Odchylee stadardowe wskazuje przecęte odchylee możlwych stóp zwrotu od oczekwaej stopy zwrotu przy czym m wększe jest odchylee stadardowe tym wększe ryzyko. Ze wzoru (4.3) oraz Tabel 4. mamy: - dla akcj spółk A V A.(.6.).(..) - dla akcj spółk B.(.3.).(.4.).4(..).66 V B.(..).(.6.).(.4.).(.).4(..).64

5 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata oraz ze wzoru (4.4): s s A B VA VB % % Powyższe oblczea potwerdzają akt zaobserwoway a wykrese 4. że akcje spółk B cechują sę 5-co krote mejszym ryzykem bo s B <s A. Portel akcj Gdy westor kupuje klka akcj stote jest powązae ch stóp zysku merzoe za pomocą współczyka korelacj. Dla dwóch akcj ozaczoych umeram współczyk korelacj określoy jest wzorem: m p ( R (4.5) ρ R ) ( R s s R ) Rozważaa asze oprzemy o tzw. portel dwuskładkowy tz. składający sę z akcj tylko dwóch spółek. Wprowadzmy astępujące ozaczea: s s - odchylea stadardowe stóp zwrotu akcj spółk ; R R - oczekwae stopy zwrotu akcj spółk ; ρ - współczyk korelacj stóp zwrotu akcj obu spółek; w w - udzały akcj obu spółek w portelu przy czym : w w. Oczekwaa stopa zwrotu R p portela akcj dwóch spółek daa jest wzorem: (4.6) R p w R w R Przypadek dy wykluczamy krótką sprzedaż. Wówczas udzały akcj w portelu są lczbam eujemym.

6 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waracja V p stopy zwrotu portela dwuskładkoweo wyraża sę wzorem: (4.7) V p w s w s w w s s ρ Z kole odchylee stadardowe stopy zwrotu portela dwuskładkoweo lczymy astępująco: (4.8) s p Vp Przykład 4. (decyzyje zadae westycyje jako zadae PN) Rozpatrzmy zaadee doboru optymaleo -składkoweo portela akcj. Chodz zatem o to aby tak dobrać udzały poszczeólych akcj w portelu by: stopa zwrotu portela R p (por. wzór (4.6)) była jak ajwększa; ryzyko portela V p (merzoe za pomocą waracj stopy zwrotu portela (por. wzór (4.7))) było jak ajmejsze. Tak zdeoway problem decyzyjy jest problemem dwukryteralym trudym do rozwązaa w tej postac. Najczęścej problem te aalzuje sę jako dwa uproszczoe problemy jedokryterale: problem I - ustalć tak portel akcj aby: a). stopa zwrotu portela była jak ajwększa; b). ryzyko portela było e wększe ż ustaloy dopuszczaly pró wartośc. problem II - ustalć tak portel akcj aby: a). ryzyko portela było jak ajmejsze; b). stopa zwrotu portela była e mejsza ż ustaloy dopuszczaly pró wartośc.

7 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Przyjmjmy astępujące ozaczea: lczba akcj w portelu; R oczekwaa stopa zwrotu akcj -tej spółk (por. (4.)) ; udzał akcj -tej spółk w portelu ; s odchylee stadardowe akcj -tej spółk (por. (3.3.6)) ; ρ współczyk korelacj mędzy akcją -tej j-tej spółk j j ; R pdop dopuszczaly (doly) pró wartośc oczekwaej stopy zwrotu portela; V pdop dopuszczaly (óry) pró wartośc waracj stopy zwrotu portela. Oba podproblemy moża zdeować astępująco: podproblem I - wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) aby: (4.9) R ma przy oraczeach: (4.) j s j j s j s ρj V pdop j (4.) j (4.) Zadae (4.9) (4.) ze wzlędu a waruek (4.) jest elowym zadaem decyzyjym trudym do rozwązaa. Fukcja celu (4.9) opsuje oczekwaą stopę zwrotu z portela. Waruek (4.) odpowedzaly jest za to że ryzyko portela (merzoe za pomocą waracj stopy zwrotu portela) e przekroczy wartośc dopuszczaleo prou. Waruek (4.) zapewa to że udzały w portelu muszą sę sumować do jedośc (aczej: do %).

8 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata podproblem II - wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) aby: (4.3) j s j j s j s ρ j m j przy oraczeach: (4.4) R Rpdop (4.5) j (4.6) To zadae jest róweż zadaem elowym dyż elowość wprowadza ukcja celu (4.3). Mmalzuje oa warację stopy zwrotu z portela. Waruek (4.4) zapewa to że stopa zwrotu z portela będze e mejsza ż ustaloa wartość proowa R pdop. Waruek (4.5) zapewa to że udzały w portelu muszą sę sumować do jedośc (aczej: do %). Zbudujmy optymaly portel składający sę z akcj dwóch spółek A B które charakteryzują sę astępującym parametram: oczekwae stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowedo: R A.9 R B.95; odchylea stadardowe stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowedo: s A.547 s B.36; współczyk korelacj mędzy akcjam spółk A B wyos: ρ AB.5. Perwszy westor ozajmł że zadowol o take rozwązae które zapew mu maksymalą stopę zwrotu z portela przy średm odchyleu możlwych stóp zwrotu z portela od wartośc oczekwaej e węcej ż o 4%. Dru westor e chce ryzykować teresuje o węc tak portel który mmalzuje ryzyko. Wymaa przy tym stopy zwrotu z portela e mejszej ż %. Dla perwszeo westora mamy węc astępujące zadae optymalzacj:

9 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) A oraz B aby: (4.7) 9 95 ma przy oraczeach: A B (4.8) A 547 B 36 A 547 B (4.9) A B (4.) A B Rozwązując to zadae otrzymujemy astępujące rozwązae optymale:.58 A B. 48 oraz wartość ukcj celu (oczekwaą stopę zwrotu z portela) rówą.54 czyl.54%. Jest to maksymala możlwa do osąęca oczekwaa stopa zwrotu z portela przy ryzyku (waracj stopy zwrotu z portela) e wększym ż.4. Z kole dla drueo westora mamy astępujące zadae optymalzacj: wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) A oraz B aby: (4.) m A przy oraczeach: B (4.) A 9 B 95 (4.3) A B (4.4) A B Rozwązując to zadae otrzymujemy astępujące rozwązae optymale:.9 A B. 79 oraz wartość ukcj celu (warację stopy zwrotu z portela) rówą.69. Jest to mmala możlwa do osąęca wartość A B

10 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata ryzyka (merzoeo za pomocą waracj stopy zwrotu z portela) przy zapeweu pozomu dochodów e mejszeo ż %. Należy zauważyć że przyjęce zbyt wysokej mmalej stopy zwrotu z portela R pdop prowadz do sprzeczośc zadaa lub portela akcj o bardzo dużym ryzyku (w zadau (4.) (4.4)). Podobe przyjęce zbyt skeo pozomu ryzyka V pdop w zadau (4.7) (4.) spowoduje bądź emożość spełea oraczeń bądź zalezee portela akcj o bardzo małym dochodze. Przydatość propoowaych model dla wyzaczaa optymaleo portela akcj zależy od waryodośc ormacj tz. od teo czy dyspoujemy dobrym szacukam dotyczącym przyszłośc lub czy moża wykorzystać dae z przeszłośc do podejmowaa decyzj dotyczących przyszłośc.

11 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Typy zadań WŁASNOŚCI ZADAŃ PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO Zadae decyzyje postac: () ma (4.5) przy or. ( ) ( m) ( ) ( m r) (4.6) (4.7) () m (4.5 ) przy or. ( ) ( m) ( ) ( m r) (4.6 ) (4.7 ) azywamy zadaem proramowaa eloweo (PN) jeżel ukcja celu () lub chocaż jede z waruków oraczających ( ) są elowe przy czym (... ) ozacza -wymarowy wektor zmeych decyzyjych. W proramowau elowym podstawowe zaczee mają dwa rodzaje ukcj: ukcja wypukła ukcja wklęsła. Wykresy ukcj wypukłej oraz ukcj wklęsłej przedstawoo a rysuku pożej..5^ ^ 4-6 ukcja wypukła ukcja wklęsła

12 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Moża wyróżć dwa podstawowe typy zadań proramowaa eloweo:. zadaa proramowaa wypukłeo (PW). zadaa proramowaa ewypukłeo (PNW). Zadaem proramowaa wypukłeo azywamy take zadae proramowaa eloweo w którym: - mmalzujemy wypukłą bądź maksymalzujemy wklęsłą ukcję celu - zbór rozwązań dopuszczalych jest zborem wypukłym. Każde e zadae proramowaa eloweo azywamy zadaem proramowaa ewypukłeo. Wśród zadań proramowaa wypukłeo szczeóle zaczee zajmują zadaa proramowaa kwadratoweo a wśród zadań proramowaa ewypukłeo zadaa proramowaa wklęsłeo. Zadaem proramowaa kwadratoweo azywamy zadae PW w którym: - ukcja celu jest ukcją kwadratową - wszystke ukcje ( ) są lowe (zbór rozwązań dopuszczalych jest weloścaem wypukłym) Zadaem proramowaa wklęsłeo azywamy zadae proramowaa ewypukłeo w którym: - mmalzujemy wklęsłą bądź maksymalzujemy wypukłą ukcję celu - zbór rozwązań dopuszczalych jest weloścaem wypukłym. Idetykacja typu zadaa jest bardzo stota pozwala bowem określć trudośc jake moą wystąpć przy szukau rozwązaa optymaleo oraz wybrać odpowedą metodę rozwązaa.

13 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waruk optymalośc Kuha-Tuckera (K-T) Dla zadań proramowaa eloweo waruk optymalośc rozwązań określa twerdzee Kuha-Tuckera. TWIERDZENIE Kuha-Tuckera (K-T) Jeżel jest rozwązaem optymalym zadaa (4.5) (4.7) to spełoe są astępujące waruk 3 : (a) (4.8) jest rozwązaem dopuszczalym czyl: ( ) ( m) ( ) ( m r) (b) steją take lczby (możk) ( r) że: (4.9) dla... m dowole dla m... r ( ) ( m) (c) spełoa jest ormuła: r (4.3) ( ) ( ) dze ozacza -wymarowy wektor zer. Waruk typu (a) określają spełee oraczeń. Jeżel któreś z oraczeń małoby zwrot to ależy to oraczee pomożyć przez. Podobe jeśl ukcja celu () podleałaby mmalzacj to ależy ją przemożyć przez ukcja () podlea wówczas maksymalzacj 4. 3 Uwaa! W lteraturze spotyka sę róże rówoważe decje waruków K-T. 4 Wyka to z teo że: m () ma ( ()).

14 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata W warukach typu (b) możk muszą być eujeme tylko dla waruków zadaa PN w postac erówośc przy czym dy waruek jest spełoy z ostrą erówoścą to z (4.9) wyka że odpowadający mu możk mus być rówy zero. Waruków typu (c) jest tyle le elemetów (zmeych) ma wektor (czyl ). Symbol ( ) ozacza radet ukcj () czyl wektor pochodych cząstkowych tej ukcj tz.: ( ) ( ) ( ) ( )... oraz ( ) ozacza radet ukcj (): ( ) ( ) ( ) ( )... dze: ( ) j - pochoda cząstkowa ukcj wzlędem j-tej składowej wektora ( ) j - pochoda cząstkowa ukcj wzlędem j-tej składowej wektora Zapsując waruek typu (c) w postac skalarej otrzymamy astępujących waruków: (4.3a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r

15 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waruk różczkowe Kuha-Tuckera są warukam koeczym optymalośc (e są w oólym przypadku warukam wystarczającym). Każde rozwązae optymale zadaa proramowaa eloweo mus spełać waruk (a)-(c) ale rozwązae spełające te waruk ekoecze jest optymale. Istote jest że dla zadań proramowaa wypukłeo waruk Kuha-Tuckera są warukam wystarczającym. Jeżel rozwązae dopuszczale speła waruk różczkowe Kuha-Tuckera to jest rozwązaem optymalym. Jeżel atomast waruków e speła to e jest rozwązaem optymalym. Moża zatem powedzeć że: Dla zadań proramowaa wypukłeo waruk Kuha-Tuckera pozwalają jedozacze oceć czy badae rozwązae jest optymale. Dla zadań proramowaa ewypukłeo waruk Kuha-Tuckera są spełoe przez każde rozwązae będące ekstremum lokalym wobec teo e moża woskować czy otrzymae rozwązae jest rozwązaem optymalym (lobale). Przykład 4.3 Rozważmy zadae proramowaa eloweo: (4.3) ( ) 3 ma przy or. (4.3) Wykres ukcj celu (4.3) przedstawoo a rysuku.

16 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata <> ^ Fukcja celu (4.3) jest wklęsła a zadae jest a maksmum węc jest to zadae proramowaa wypukłeo. Z rysuku wyka że optymalym rozwązaem zadaa (4.3) (4.3) jest pukt z maksymalą wartoścą ukcj celu ( )3. Zapszmy waruek (4.3) w kowecj przyjętej w proramowau elowym: ( ) ( ). Dla zadaa (4.3) (4.3) waruk Kuha-Tuckera mają postać: (a) (b) ( ) ( ) (c) ( ) bo ( ) ( 3 ) ( 3 ) oraz ( ) ( ) ( ) ( )

17 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Jedyym puktem ze zboru rozwązań dopuszczalych który speła waruk Kuha-Tuckera (a)-(c) jest z możkem. Pukt jest rozwązaem optymalym zadaa (4.8) (4.9) (ale e jest werzchołkem zboru rozwązań dopuszczalych!). WNIOSEK! Rozwązae optymale zadaa proramowaa wypukłeo e mus zajdować sę w werzchołku lub a brzeu zboru rozwązań dopuszczalych (tak jak to było w przypadku zadań PL). Przykład 4.4 Z elektrocepłow eera przesyłaa jest do dwóch zużywających ją zakładów produkcyjych. Fukcja kosztów przesyłaa eer do tych zakładów w zależośc od welkośc przesyłu (odpowedo do zakładu I do zakładu II ) daa jest wzorem: ( ) Rozdzelć dzeą produkcję eer wyoszącą 6 MWh pomędzy te dwa zakłady tak aby mmalzować koszty przesyłu eer. Rozwązae Zode z treścą zadae do rozwązaa jest astępujące: (4.33) ( ) m przy oraczeach: (4.34 ) ( ) 6 (4.35) ( ) (4.36) ( ) 3

18 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Wykres ukcj celu (4.33) przedstawoo pożej. 5 <y> Najperw musmy zapsać zadae (4.33)-(4.36) w rówoważej postac jako zadae typu (4.5)-(4.7) dyż podae w (4.8)-(4.3) waruk Kuha-Tuckera dotyczą zadaa postac (4.5)-(4.7). Otrzymamy zadae: (4.33 ) ( ) ma przy oraczeach (4.34)-(4.36).

19 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Waruk Kuha-Tuckera dla teo zadaa są astępujące: (a) 6 (b) 3 3 (c) II 8 I 3 Waruek (c).i otrzymalśmy oblczając: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 atomast waruek (c).ii oblczając: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 dze: ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3

20 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata Rozwązae układu rówań erówośc określoeo przez waruk (a)-(c) możemy dokoać p. poprzez przyjmowae pewych założeń co do wartośc możków a astępe sprawdzae czy spełoe są wszystke waruk (a)-(c). Przyjmjmy a początek że 3. Przy tych założeach otrzymujemy że spełoe są waruk typu (b) oraz pozostaje am do rozwązaa astępujący układ rówań (przy czym musmy pamętać że otrzymae wartośc zmeych muszą być eujeme aby spełć pozostałe dwa założea wykające z waruku typu (a)): (a) 6 (c) Elmujemy z (c.i) (c.ii) poprzez pomożee (c.i) przez (-) dodae stroam obu rówań: ( 4 Otrzymamy: 8 8 Dodając rówae (a) otrzymujemy układ rówań: I II Z rówaa II wyzaczamy 6 wstawamy do I otrzymując: ) ( 6 ) / : 4 9

21 Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata oraz Otrzymalśmy astępujące rozwązae: 9 7. Zauważmy że wszystke waruk typu (a)-(c) dla 3 otrzymaeo rozwązaa są spełoe zatem para ( ) (9 7) jest rozwązaem optymalym problemu (4.33)-(4.36). Wartość ukcj celu (4.33) dla otrzymaeo rozwązaa jest maksymala. wyos ( ) 89

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f

Bardziej szczegółowo

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą. Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10) Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

Regresja REGRESJA

Regresja REGRESJA Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu

Bardziej szczegółowo

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i. c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Funkcja wiarogodności

Funkcja wiarogodności Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym. Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja krzywych...

Reprezentacja krzywych... Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

Ryzyko inwestycji w spółki sektora TSL na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych

Ryzyko inwestycji w spółki sektora TSL na Warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych CZYŻYCKI Rafał 1 PURCZYŃSKI Ja Ryzyko westycj w spółk sektora TSL a Warszawskej Gełdze Paperów Wartoścowych WSTĘP Elemetem erozerwale zwązaym z dzałaloścą westorów a całym ryku kaptałowym jest epewość

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2 Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym)

Badania Operacyjne (dualnośc w programowaniu liniowym) Badaa Operacye (dualośc w programowau lowym) Zadae programowaa lowego (PL) w postac stadardowe a maksmum () c x = max, podczas gdy spełoe są erówośc () ax = b ( m ), x 0 ( ) Zadae programowaa lowego (PL)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo