Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej

Transkrypt

1 Rachek prawdopodobeńswa saysyka maemaycza Esymacja przedzałowa paramerów srkralych zborowośc geeralej Częso zachodz syacja, że koecze jes zbadae ogół poplacj pod pewym kąem p. średa oce z pewego przedmo. Zdarza sę jedak, że dyspoje sę jedye częścą wyków z poplacj próba, gdyż zdobyce daych z ogół operacj może być koszowe lb awe emożlwe do zrealzowaa. aysyka opsowa dosarczała formacj a ema próby z poplacj, a podsawe, kórych wycągece awe podsawowych wosków a ema poplacj było rde. Celem esymacj woskowae saysycze, jes wycągece wosków a ema całej poplacj operając sę jedye a wykach próby losowej. Ne są o wosk bezwzględe prawdzwe, a jedye warygode w pewym założoym sop. Jedym ze sposobów esymacj jes meoda przedzałowa esymacja przedzałowa, kóra polega a poda przedzałów fośc dla saysyk oblczoych z próby. Daje oa możlwość ocey dokładośc wyzaczoych saysyk z próby a le całej poplacj. rzykładem akej saysyk jes średa bądź odchylee sadardowe. Taka cecha oblczoa z próby jes azywaa esymaorem paramer poplacj geeralej. rzyjmjąc, że poplacja geerala ma rozkład ormaly Nµ,σ, o saysyka róweż charakeryzje sę rozkładem ormalym. Wyka z ego, że waroścą oczekwaą saysyk jes warość oczekwaa z poplacj geeralej, aomas odchylee sadardowe ej saysyk maleje wraz ze wzrosem poplacj. rzedzałem fośc a pozome -α 0<α< azywamy przedzał Θ, Θ, kóry zależy od próby losowej e zależy od szacowaego paramer. oado prawdopodobeńswo zalezea sę szkaej warośc paramer w ym przedzale wyos -α. ozom przedzał fośc azyway jes róweż współczykem fośc. W prakyce przyjmje sę ajczęścej współczyk o warośc 0,9; 0,95; 0,99. rzedzał fośc dla średej W zależośc od klk czyków, wyróża sę 3 modele zajdowaa przedzał fośc dla średej Model Model Model 3 oplacja ma rozkład Nµ,σ, oplacja ma rozkład Nµ,σ, Nezay rozkład poplacj, Nezae µ, Zae σ, Nezae µ oraz σ, róba mała 30 Nezae µ oraz σ, róba dża >30 Model Średa jes esymaorem warośc oczekwaej rozkład. Jeżel przyjmje sę współczyk fośc -α o przedzał fośc zajdje sę w asępjący sposób: adaryzjemy saysykę o rozkładze, do saysyk U

2 Dla daego współczyka fośc msmy zaleźć ake, że o podsawe wzor a saysykę U, zakładając, że α =α =0,5α po przekszałceach erówośc orzymje sę wzór a przedzał fośc o współczyk -α Model Średa jes esymaorem warośc oczekwaej rozkład. Jeżel przyjmje sę współczyk fośc -α o przedzał fośc zajdje sę w asępjący sposób: aysyka gdze o odchylee sadardowe próby. aysyka ma rozkład sdea o - sopach swobody. Rozkład e e zależy od paramerów µ σ rozkład poplacj geeralej, dlaego moża go żyć do wyzaczea przedzał fośc. Dla daego współczyka fośc msmy zaleźć ake, że, o podsawe wzor a saysyka rozwąza erówośc względem µ orzymjemy przedzał fośc,, UWAGA! Ŝ jes esymaorem eobcążoym odchylea sadardowego. Oblczamy go ze wzor: x Model 3 Średa jes esymaorem warośc oczekwaej rozkład. Jeżel przyjmje sę współczyk fośc -α o przedzał fośc zajdje sę w asępjący sposób:

3 Dla dżych prób saysyka U ma rozkład asympoycze ormaly N0,. Dlaego moża przyblżyć ę saysykę rozkładem ormalym. adaryzjemy saysykę do saysyk U. Dla daego współczyka fośc msmy zaleźć ake, że o podsawe wzor a saysykę U, zakładając, że α =α =0,5α po przekszałceach erówośc orzymje sę wzór a przedzał fośc o współczyk -α rzedzał fośc dla waracj odchylea sadardowego Dla waracj odchylea sadardowego sosje sę dwa modele wyzaczaa przedzał fośc w zależośc od ego czy zae jes odchylee sadardowe poplacj geeralej oraz lczośc próby. Esymaor waracj moża oblczyć przy życ wzorów x x x * gdze µ=e Jeżel saysyk oraz Ŝ są oblczoe z próby, kórej poplacja geerala ma rozkład ormaly o są oe zwązae z rozkładem ch-kwadra o - sopach swobody Model oplacja ma rozkład ormaly Lczość próby jes mała 30 rzedzał fośc wyzaczay jes przy pomocy wzor

4 ,, rzedzał fośc dla odchylea sadardowego zyskje sę perwaskjąc przedzał fośc dla waracj. Model oplacja ma rozkład ormaly Lczość próby jes dża >30 Dla dżych lczośc prób saysyka ma asympoyczy rozkład ormaly N,. osjąc sadaryzację zyskjemy saysykę U rzedzał fośc dla odchylea sadardowego wyzaczay jes przy pomocy wzor Zadaa Zadaa ależy wykoać żywając opcj rzedzały fośc dla średej w blok saysyk podsawowych, oraz przy pomocy kalklaora prawdopodobeńswa.. Wykoao pomary rezysacj 0 losowo wybraych elemeów z par prodk. Wyk zawaro w plk przyklad. Zay jes rozkład poplacj geeralej ormaly odchylee sadardowe rezysacj elemeów z par σ=3,38. Zaleźć 95% przedzał fośc dla średej.. Zmerzoo średcę 7 łożysk przyklad. Odchylee sadardowe w poplacj geeralej wyos,687 a rozkład jes ormaly. Zaleźć przedzał fośc dla współczyków fośc 0,9, 0,95, 0, Z grpy pracowków zakład wybrao 3 osobową grpę. Zbadao ją pod względem lośc szk wykoywaego deal a godzę. Orzymae wyk:,,, 5, 9, 0, 7, 8, 6, 3,, 9, 8. Zakładając że ogół lośc wykoaych deal a pracowka ma rozkład ormaly zaleźć 90 % przedzał fośc. 4. Zmerzoo objęośc 5 losowo wybraych klek z par klek łożyskowych orzymjąc w

5 cm:,4,38,5,7,7. Na pozome fośc 0,9 skosrować przedzał fośc dla średej objęośc klk. Zakładamy, że rozkład objęośc klek jes ormaly 5. lk HearDsease przedsawa dae doyczące chorób serca wśród pewej częśc poplacj. Dla zmeych doyczących skrczowego cśea krw ysolc Blood ressre współczyka BMI Obesy oblczyć proceowe przedzały fośc. 6. Wykoao pomary rezysacj 0 losowo wybraych elemeów z par prodk o rozkładze Nµ,σ. Wyk zawaro w plk przyklad3. Zaleźć 95% przedzał fośc dla odchylea sadardowego. 7. Dae przedsawają pomar pojemośc 60 kodesaorów przykład 4. Zakładając,że poplacja geerala ma rozkład ormaly zajdź 95 99% przedzał fośc dla odchylea sadardowego.