Politechnika Opolska. Skrypt Nr 237 ISSN (wersja elektroniczna) Ewald Macha. Niezawodność maszyn
|
|
- Iwona Lewandowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Polechka Opolska Skrp Nr 37 ISSN (wersja elekrocza) Ewald Macha Nezawodość masz Opole
2 3 Sps reśc Przedmowa 5 Wkaz ważejszch ozaczeń 6. Podsawowe pojęca eor ezawodośc 7.. Pojęca ezawodośc Defcja ezawodośc Fukcja rzka Pojęce aprawalośc Pojęca goowośc Charakersk ezawodośc obeków eaprawalch aprawalch Warośc szczególe ezawodośc elacje loścowo - jakoścowe w plaowau.... Nezawodość, rwałość goowość obeków echczch 3.. odzaje obeków Nezawodość obeków echczch Trwałość obeków echczch Goowość obeków echczch Sa ezawodoścowe obeków 9 4. Modele maemacze obeków eodawalch 4.. Fukcja ezawodośc Fukcja zawodośc Gęsość prawdopodobeńswa Ieswość uszkodzeń Skumulowaa eswość uszkodzeń lub fukcja wodąca Współzależośc charakersk fukcjch ezawodośc Emprcze charakersk fukcje ezawodośc Charakersk lczbowe ezawodośc Nezawodość obeków prosch Ops ezawodoścow obeku Nezawodość obeków szeregowch Nezawodość obeków rówoległch Nezawodość obeków szeregowo-rówoległch Nezawodość obeków rówoległo-szeregowch Nezawodość obeków złożoch Nezawodość obeków progowch...55
3 4 8. Nezawodość obeków z uszkodzeam pu przerwa zwarce Nezawodość obeków z elemeam zależm 7. Modele ezawodoścowe obeków aproksmowae powm rozkładam prawdopodobeńswa 75.. ozkład wkładcz (ekspoecjal) ozkład Webulla Oczekwa pozosał czas zdaośc obeku Warukowe prawdopodobeńswo zdaośc obeku w przedzale czasowm. Obek sarzejące sę ozkład jedosaj ozkład ormal ozkład logarmczo-ormal Prawdopodobeńswo wkoaa zadaa przez obek Modele maemacze obeków odawalch 93.. Podsawowe pojęca meod maemacze zwązae z modelam odow Przekszałcae rozkładów zmech losowch Splo fukcj Kompozcja rozkładów dwóch zmech losowch Podsaw przekszałcea Laplace a Model odow achmasowej Sumarcz czas zdaośc ozkład gamma Proces odow Fukcja odow Gęsość odow.... Problem zapasu częśc zamech 5 3. Leraura 7
4 5 Przedmowa Nejsz skrp zosał w dużej merze opar a oakach do wkładów z ezawodośc dla V roku dzech sudów magserskch oraz rwałośc ezawodośc masz dla sudeów IV roku dzech V roku zaoczch sudów żerskch. Przedmo e bł objęe programem auczaa a keruku mechaka budowa masz, specjalośc kosrukcja badae masz a Wdzale Mechaczm Polechk Opolskej. Skrp obejmuje podsawowe zagadea maemaczej eor ezawodośc, przedsawoe wcześej przede wszskm w asępującch pozcjach: Poradk ezawodośc. Podsaw maemak. Praca pod redakcją J. Mgdalskego, Wd. Przem. Masz. WEMA, Warszawa 98 Iżera ezawodośc. Poradk pod red. J. Mgdalskego, Wd. AT Bdgoszcz ZETOM Warszawa 99 a akże w klku ch pracach doczącch ch zagadeń. Ksążk pod redakcją Mgdalskego są jedak zb obszere jak a porzeb sudeów. Skrp e jes węc pracą w peł orgalą, a jede próbą sworzea pewego rodzaju podręczka, omawającego podsawowe zagadea ezawodośc masz w przsęp dla sudeów sposób. Na końcu w wkaze leraur podao klka pozcj ksążkowch z zakresu maemaczej eor ezawodośc rachuku prawdopodobeńswa, kóre szerzej omawają zagadea poruszoe w ejszm skrpce. Przoczoo eż klka orm z ezawodośc w echce, kóre preczje defują wele szczegółowch zagadeń wsępującch w prakce żerskej. Nejsz skrp wdao prz wsparcu fasowm Komsj U Europejskej w ramach programu Leoardo da Vc, korak r PL/99//97/PI/II...c/FPC. Auor
5 7. Podsawowe pojęca eor ezawodośc.. Pojęca ezawodośc Pojęce ezawodośc może obejmować róże wmagaa opsae charakerskam echczm, ekoomczm socjologczm obeków. Wróża sę: ezawodość echczą, kóra uwzględa charakersk echcze, ezawodość echczo-ekoomczą, kóra uwzględa charakersk echcze ekoomcze, ezawodość globalą, kóra uwzględa charakersk echcze, ekoomcze socjologcze obeków... Defcja ezawodośc Nezawodość - bez dodakowch określeń - jes rozumaa jako ezawodość echcza. Nezawodość obeku jes o jego zdolość do spełea sawach mu wmagań. Welkoścą charakerzującą zdolość do spełea wmagań może bć prawdopodobeńswo spełaa wmagań. Sąd defcja: ezawodość obeku jes o prawdopodobeńswo spełea przez obek sawach mu wmagań. Ked wmagaem jes o, żeb obek bł zda (spraw) w przedzale (, ), kórego marą może bć czas, lość wkoaej prac, lczba wkoach czośc, długość przebej drog p. wed: ezawodość obeku jes o prawdopodobeńswo, że obek jes zda (spraw) w przedzale (, ), lub: ezawodość obeku jes o prawdopodobeńswo, że warośc paramerów określającch soe właścwośc obeku e przekroczą w cągu okresu (, ) dopuszczalch grac w określoch warukach eksploaacj obeku. W sese probablsczm ezawodość obeku () w daej chwl jes prawdopodobeńswem P(T ), ze jego rwałość T jes wększa od, j. () P(T ). Trwałość T może bć wrażoa p. czasem w [s], długoścą w [km] p. Z ego wka, że za każdm razem () jes a..3. Fukcja rzka (fukcja eswośc ubwaa, fukcja eswośc uszkodzeń) Jedm ze sposobów charakerzowaa zdolośc do spełea wmagań jes podae prawdopodobeńswa, że obek, kór speła wmagaa prz dam, p. w daej chwl, w asępm przedzale d lub przesae je spełać.
6 8 ozważa sę, jaka część obeków, kóre przerwał zdae (sprawe) w przedzale (, ), prawdopodobe sae sę ezdaa (esprawa) w przedzale (, +d). Tę ezdaą część obeków ozacza sę przez λ()d, zaś λ() azwa sę fukcją rzka, fukcją eswośc ubwaa lub fukcją eswośc uszkodzeń. Warośc ej fukcj azwa sę odpowedo rzkem, eswoścą ubwaa eswoścą uszkodzeń. Gd λ() zwększa sę, rzko (eswość ubwaa, uszkodzeń) zwększa sę - ezawodoścowe właścwośc obeków pogarszają sę. Gd λ() maleje, ezawodoścowe właścwośc obeków polepszają sę. W każdm asępm przedzale ubwa mejsz proce obeków ezdach ze zboru zdach. Przkład powego przebegu fukcj rzka λ() obeków podao a rs... - λ() [h ],,5,,5 λ() I λ() cos II λ() III 5 5 [h] s... Przkładowa fukcja rzka λ() dla obeków echczch, I - okres dojrzewaa do użkowaa, II - okres ormalego użkowaa, III - okres sarzea sę. W I okrese ujawają sę ukre wad maerałów, kosrukcj, moażu, edokładośc echologcze, edoparzea korol, omłk. W II okrese wsępują główe ezdaośc wwołae przez róże czk losowe e dające sę z gór zdefkować. W III okrese ujawają sę ezdaośc wskuek kumulowaa sę eodwracalch zma fzczch chemczch, cągłego sarzea sę maerałów, zużwaa sę ch, deformowaa kosrukcj, sopowej zma warośc paramerów obeku, aż poza dopuszczale grace (luz, wcerae sę okładz hamulców).
7 .4. Pojęce aprawalośc Celowe może bć eked charakerzowae ezawodośc obeku jedocześe klkoma rodzajam charakersk, p. gd obekow przwraca sę sprawość po jej uraceu. Wed ezawodość obeku jes o jego właścwość określoa przez prawdopodobeńswo, że obek będze spraw w cągu określoego okresu (, ) oraz przez prawdopodobeńswo, że gd sae sę espraw, przwrócoa mu zosae sprawość w cągu określoego okresu (, τ) merzoego czasem, loścą wkoaej prac, koszem przwracaa sprawośc p. Prawdopodobeńswo przwrócea sprawośc obekow w określom czase (, τ) jes marą aprawalośc. W przpadku ogólm aprawalość zależ od właścwośc samego obeku od waruków w jakch przwraca mu sę sprawość Pojęca goowośc Goowość obeku aprawalego - j. obeku, kóremu przwraca sę sprawość gd ją urac - może bć defowaa w róż sposób, p. Goowość obeku jes o prawdopodobeńswo, że obek będze goow do pełea swch fukcj w chwl. Goowość obeku jes o frakcja daego okresu (p. roku), w cągu kórego obek jes zdol do pełea swch fukcj lub je peł. Goowość obeku jes o frakcja sum okresów eksploaacj obeku, w cągu kórej obek peł swe fukcje lub jes zdol do pełea swch fukcj. Goowość jes o frakcja całego żca obeku, w cągu kórej obek jes zdol do pełea fukcj lub ją peł. Np. T Goowość A ; T + T - średa długość okresów sprawośc - średa długość okresów esprawośc.6. Charakersk ezawodośc obeków eaprawalch aprawalch Kres żca obeku przchodz, gd e przwraca sę jego sprawośc. Obekow e przwraca sę sprawośc ze względów ekoomczch, a akże eracjoalch (p. ze względów a modę, gus, esekę, obczaje e). Obek,
8 kórm e przwraca sę uracoej sprawośc, azwa sę obekam eaprawalm. Kres żca akego obeku adchodz z chwlą zjawea sę perwszej esprawośc. Nezawodość obeku eaprawalego, zdefowaa jako prawdopodobeńswo przeżca, określają fukcje (), λ() lub f() lub paramer ch fukcj, prz czm: () - fukcja ezawodośc: prawdopodobeńswo przeżca okresu (, ), λ() f() - fukcja rzka (eswośc uszkodzeń), - fukcja gęsośc prawdopodobeńswa, kóra opsuje rozkład rwałośc obeków. Nezawodość obeku może bć scharakerzowaa róweż przez zbór dach z obserwacj zboru obeków lub orzmach z prób ezawodośc obeków. Obekam aprawalm azwa sę ake, kórm przwraca sę sprawość, gd ją uracą. W przpadku ch obeków, oprócz wmeoch charakersk, soe są aprawalość goowość. Tak węc charakerskam ezawodoścowm obeków aprawalch mogą bć: fukcje () lub f() lub λ(), bądź eż warośc ch fukcj dla określoego przedzału (, ), albo paramer rozkładów rwałośc, fukcje () lub f() lub λ() doczące okresów sprawośc lub warośc ch fukcj dla określoego przedzału (, ) albo paramerów rozkładu długośc okresów sprawośc, aalogcze fukcje doczące przwracaa sprawośc, aprawalość, goowość, sesowe kombacje powższch charakersk, zbor dach z obserwacj zboru obeków. Zagadeam wzaczaa ekoomczego okresu użkowaa obeku zajmuje sę eora odow, kóra bada właścwośc zborów, z kórch poszczególe eleme ubwają, a a ch mejsce przbwają owe. Teora odow odpowada m.. a pae, ked obek lub jego eleme powe bć zasąpo owm ze względów ekoomczch. Z eor odow wka, że e zawsze opłaca sę wmeać obek cz jego eleme a ow dopero wed, gd sae sę espraw lub gd e ma już możlwośc fzczch (bologczch) przwrócea sprawośc. W pewch przpadkach lepej wmeć go wcześej.
9 .7. Warośc szczególe ezawodośc Do warośc szczególch ezawodośc ależą: max - warość maksmala ezawodośc (uzskwaa lokale), e - ekoomcze opmala warość ezawodośc, k - warość krcza ezawodośc (e olerowaa przez użkowków), max max - ajwększa warość ezawodośc uzskwaa w echce śwaowej. Na rs.. przedsawoo zależość koszów od ezawodośc. K K + K K k e max K max, max s... Zależość koszów K od ezawodośc ; K - kosz zwększea, K - kosz posojów, gwaracj, serwsu p. Z rsuku ego wka, że kosz K uzskaa wększej ezawodośc rosą, aomas prz dużej ezawodośc maleją kosz K posojów, gwaracj, serwsu p. Iseje zaem mmala suma koszów K + K prz kórch uzskuje sę ekoomcze opmalą warość ezawodośc e..8. elacje loścowo - jakoścowe w plaowau Problem loścowo-jakoścowe w śwele eor ezawodośc moża sformułować asępująco. W celu zaspokojea porzeb w cągu określoego czasu ależ dosarczć pewą lczbę N obeków (wrobów) o określoej ezawodośc. Moża o zrobć rzema sposobam (rs..3):
10 E I N; N ( N N)( + ) E II ; N ( N + N)( ) Ab zachowa zosał posula zaspokojea porzeb społeczch, wmeoe sposob produkcj muszą spełać relację E I E II E III E cos E III II < N, > I < N, > III < N, > E cos. s..3. Ilusracja welowaraowego plau produkcj loścowo-jakoścowej, I - wara podsawow, II - wara jakoścow, III - wara loścow, E - fukcja efekwośc produkcj.
11 3. Nezawodość, rwałość goowość obeków echczch.. odzaje obeków Każd obek echcz ma określoą ezawodość (), rwałość (T) goowość (G). Zależe od kokreego zasosowaa oraz wmagań (podawach zwkle w ormach, przepsach, umowach hadlowch p.) coraz częścej żąda sę od wwórców podawaa warośc lczbowch odpowedch wskaźków doczącch ezawodośc, rwałośc goowośc. Mając ake dae moża racjoalej podejmować deczje zwązae z produkcją wrobów oraz ch długorwałą eksploaacją. Ze względu a rodzaj charakersk, kóra jes soa dla daego obeku echczego, obek dzel sę a 8 klas (abela..). Tabela... Podsawowe klas obeków echczch T G Klas Ozaczee klas I pu I - - II pu - T - III pu T T - IV pu T - - G V pu G - G VI pu G - T G VII pu TG T G VIII pu TG I. Obek pu I (lość), o obek, kórm e sawa sę wmagań jakoścowch zwązach z ch ezawodoścą, rwałoścą goowoścą. II. Obek pu (ezawodość), od kórch wmaga sę dużej ezawodośc. Tpowm przkładam akch obeków są obek specjalego przezaczea (p. samolo, helkoper). III. Obek pu T (rwałość), od kórch wmaga sę przede wszskm dużej rwałośc. Są o droge waże gospodarczo obek echcze, p. budk, mos, waduk p. IV. Obek pu T (ezawodość rwałość), dla kórch podsawowm wmagaam są jedocześe duża ezawodość duża rwałość. Są o droge waże gospodarczo obek o długorwałej cągłej eksploaacj, p. elekrowe (zwłaszcza jądrowe), zapor wode, sak e.
12 4 V. Obek pu G (goowość), od kórch wmaga sę dużej goowośc. Są o główe pogoowa - medcze (kareka reamacja), sraż pożara (wóz srażack) e. VI. Obek pu G (ezawodość goowość), kóre cechują sę zarówo dużą ezawodoścą jak dużą goowoścą, p. helkoper pogoowa medczego, apara raowcwa górczego e. VII. Obek pu TG (rwałość goowość), od kórch wmaga sę główe dużej rwałośc goowośc, p. sak raowcwa morskego e. VIII. Obek pu TG (ezawodość, rwałość, goowość). Są o różego rodzaju obek pogoowa, charakerzujące sę dużą rwałoścą ezawodoścą... Nezawodość obeków echczch W eor żer ezawodośc przjmuje sę, że fukcją, kóra ajlepej charakerzuje zma ezawodośc dowolego obeku echczego jes fukcja eswośc uszkodzeń λ(). Z jej przebegu moża wcągąć wele wosków aur eoreczej prakczej, a akże wzaczć: - fukcję ezawodośc () P( T ) exp λ( x) dx, (.) o - fukcję zawodośc (dsrbuaę) () F() P( T < ) () exp λ( x) dx, (.) o - fukcję gęsośc prawdopodobeńswa df() f () λ() exp λ( x) dx, (.3) d - fukcję wodącą (skumulowaą eswość uszkodzeń) Λ ( ) dx. (.4) λ( x )
13 Zajomość przebegu fukcj λ() umożlwa produceow użkowkow, podejmowae ważch deczj prakczch w zakrese: usalaa ezbędch okresów sarzea wsępego produkowach obeków, usalea welkośc asormeu częśc zamech, plaowaa opmalej prac serwsu echczego, służb remoowch, usalea opmalch okresów wma proflakczch elemeów zespołów, usalaa opmalch okresów eksploaacj obeków (eora odow), ch dzałań echczo-ekoomczch (okres gwaracj). W welu przpadkach ekspermeale przebeg fukcj λ() moża aproksmować fukcjam aalczm (eoreczm rozkładam prawdopodobeńswa jak p. rozkładem wkładczm, bea, rówomerm, Webulla lub kompozcją ch rozkładów). zeczwse przebeg fukcj λ() kokreego obeku, zależe od przjęej sraeg eksploaacj, mogą bć bardzo róże mogą bć celowo kszałowae. Na rs.. pokazao dwa róże przebeg fukcj λ() dla obeków pu λ(; r, r, r) oraz λ(; m, c, r) uzskae w wku sosowaa sarzea wsępego wma proflakczch. Fukcja λ(; x,, z) wróża rz przedzał czasowe ozaczoe odpowedo przez x,, z w kórch może przjmować warośc rosące (r), sałe (c) malejące (m). a) λ(; r, r, r) λ() λ 5 p
14 6 b) λ() λ(; m, c, r) λ s p s.. zeczwse przebeg fukcj λ() dla obeku a) pu λ(; r, r, r) z uwzględeem wma proflakczch po czase p ; b) pu λ(; m, c, r) z uwzględeem sarzea wsępego przez czas s wma proflakczch po czase p..3. Trwałość obeków echczch Trwałość obeku jes erozerwale zwązaa z jego zasobem (resursem) czasem użkowaa (Tab.. Tab..3) Tabela... Trwałość ekórch urządzeń domowch apędzach slkam elekrczm Urządzee Trwałość Czas prac Zasób prac w laach w roku w [h] - resurs w [h] Młek do kaw 5 - Kosarka do rawków Pralka 3-3 Welaor sołow Tabela..3. Przecęa rwałość ekórch wrobów powszechego użku kosrukcj budowlach Wrób Laa Moockl Kuchee pece gazowe 6 Budk wejske 7 Pramd egpske klka sęc
15 Zając rwałość obeku jego częśc składowch moża w sposób racjoal prowadzć gospodarkę w zakrese wposażea obeków w częśc zapasowe, produkowaa włącze porzebch częśc zamech, sosowaa racjoalch wma proflakczch częśc, usalaa opmalej rwałośc obeków, plaowaa odzsku częśc defcowch o dużej rwałośc p Goowość obeków echczch Przez goowość obeku rozume sę jego zdolość do achmasowego wkowaa zadań zjawającch sę zwkle w losowch chwlach w losowch pukach, przesrze p. wezwae karek pogoowa do wpadku. Goowość obeku wraża sę prawdopodobeńswem G(), że obek przsąp do realzacj usaloego zboru zadań we właścwm czase T we właścwm mejscu przesrze, a po ch zakończeu będze goow do realzacj zadań asępch. Zaem G() P T (.5) ( ) gdze jes wmagam czasem goowośc, o jes czasem, w cągu kórego obek powe przsąpć do realzacj zlecoch mu zadań. Obek echcze przezaczoe do realzowaa akch samch zadań mogą meć różą goowość. Obek ma m wększą goowość, m w krószm czase może przsąpć do realzacj określoego zadaa (p. przgoowae do prac uwersalej kopark hdraulczej). Zależe od zlecoego zadaa oraz waruków geologczch koparkę rzeba każdorazowo wposażć (przezbroć) w odpowed osprzę (p. przedsęber lub podsęber) oraz we właścwe pas gąsecowe. Czas T przgoowaa kopark do prac jes zmeą losową w przpadku, gd jes o mejsz od, uzaje sę, że koparka jes w sae goowośc, aomas w przpadku przecwm uzaje sę, że koparka jes w sae egoowośc. Gd G, koparka jes w sae absoluej goowośc, a gd G - w sae absoluej egoowośc. Przkładem ssemu o dużej goowośc jes ssem człowek - masza, ked persoel obsługując maszę zajduje sę zawsze w sae prac (absoluej goowośc), aomas masza jes uruchamaa zależe od porzeb, p. podczas dżurowaa ploa samolou pogoowa raukowego. Urzmae obeku w wższch saach goowośc zawsze odbwa sę koszem zmejszea jego rwałośc ezawodośc. Zając goowość częśc składowch obeku oraz srukurę goowoścową moża wzaczć goowość obeku rakowaego jako ssem. W m celu moża skorzsać ze wzorów podach w abel.4.
16 8 Wzor do wzaczaa goowośc ssemów Tablca..4. Ssem Goowość ssemu Szeregow ówoległ - jedorod G G - ejedorod G s s G - jedorod ( ) m G r G - ejedorod G ( ) m r G Szeregowo - rówoległ m [ ] - jedorod G ( G) sr - ejedorod G sr ( G j ) j m ówoległo - szeregow - jedorod m ( ) G rs G m rs G j j - ejedorod G
17 9 3. Sa ezawodoścowe obeków Jak wadomo, chwle zjawea sę uszkodzeń obeku, czas rwaa apraw, czas użkowaa p. mają charaker przpadkow, a zaem mogą bć rozparwae jako zmee losowe. Sąd właścwośc ezawodoścowe obeków są właścwoścam probablsczm dlaego pow bć badae opswae meodam eor fukcj losowch. Sa fzcz obeku moża opsać fukcją wekorową x() [x (),..., x ()] w każdej chwl [ o, g ] gdze x (),..., x () są wróżom zmem - są o paramer opsujące właścwośc obeku. W różch chwlach sa e jes a ogół róż. óżm saom fzczm obeku odpowadają róże sa ezawodoścowe. W ajprosszm ujęcu rozróża sę dwa sa ezawodoścowe: sa zdaośc S sa ezdaośc S o. W przpadku, gd fukcja wekorowa x() jes dwuwmarowa, ławo moża zobrazować rajekorę obeku (rs. 3.). Przejśce z S do S o azwa sę uszkodzeem obeku. Przejśce z S o do S azwa sę odoweem obeku. Krzwa (a) odos sę do obeku eodawalego (jedorazowego użca). Krzwa (b) odos sę do obeku odawalego. Przedzał (, ) os azwę czasu zdaośc obeku do powsaa perwszego uszkodzea. Przedzał (, u ) azwa sę czasem zdaośc obeku (eodawalego a rs. 3.). Każd z przedzałów (, 3 ),...,( k, k+ ) azwa sę czasem zdaośc obeku mędz kolejm uszkodzeam. Każd z przedzałów (, ),...,( k-, k ) azwa sę czasem odowea obeku., - sumarcz czas zdaośc obeku. ( k k+ ) (, ) - sumarcz czas odowea obeku. k k
18 X (b) 3 4 S (a) g S u Y Y > X Y X X S S Y < X X - skośość losowa kosrukcj Y - obcążea losowe X C 3 [s] C 5 [s] S S S C s. 3.. Ogóla lusracja grafcza rajekor obeku w przesrze dwuwmarowej oraz dla kosrukcj mechaczej układu elekroczego
19 4. Modele maemacze obeków eodawalch 4.. Fukcja ezawodośc Nech pewe obek eodawal zajduje sę w chwl o w sae zdaośc pozosaje w m sae aż do chwl u, w kórej asępuje jego uszkodzee. Wówczas przedzał czasow u - o u jes czasem zdaośc obeku rówocześe jego rwałoścą. Zmea losowa T, ozaczająca czas zdaośc obeków z pewej populacj, w peł charakerzuje dwusaow proces sochascz będąc modelem ezawodoścowm obeku eodawalego. Podsawową charakerską fukcją ezawodośc obeku eodawalego jes fukcja () P( T ),, (4.) zwaa fukcją ezawodośc. Fukcja ezawodośc obeku dla każdego usaloego ma warość rówą prawdopodobeńswu zdarzea, polegającego a euszkodzeu sę obeku co ajmej do ej chwl, czl prawdopodobeńswu zajdowaa sę obeku do chwl w sae zdaośc. Jeżel w chwl ( ) rozpoczaa prac obeku asępuje jego uszkodzee, mów sę wówczas o zw. ezawodośc począkowej obeku: Przjmuje sę, że (). ( ) P( T ) (4.) 4.. Fukcja zawodośc Fukcję, kóra dla każdego usaloego przjmuje warość prawdopodobeńswa zdarzea przecwego () ( T < ) (); F() P, (4.3) azwao fukcją zawodośc obeku. Jes oa dsrbuaą zmeej losowej T.
20 Jeżel obek przechodz w sa ezdaośc już w chwl, mów sę wówczas o zw. zawodośc począkowej, lub - w odeseu do par obeków - o wadlwośc począkowej Gęsość prawdopodobeńswa Jeżel fukcja ezawodośc jes bezwzględe (absolue) cągła, o moża ją przedsawć w posac () f (x)dx,. (4.4) Fukcja gęsośc prawdopodobeńswa jes określoa asępująco f () d d F() (). (4.5) d d 4.4. Ieswość uszkodzeń Fukcję ę defuje sę asępująco: d λ ( ) [ l () ] d >, (4.6) czl f () λ ( ). (4.7) () Ze wzoru (4.6) orzmuje sę róweż d d '() λ ( ) [ l () ] (). (4.8) d () d () Moża apsać, że ( ) () + '() +, (4.9)
21 sąd ( ) () '() () λ() 3 +, (4.) czl ( + ) () λ (). (4.) () Tak węc eswość uszkodzeń λ() charakerzuje w każdej chwl względe pogorszee sę ezawodośc obeku przpadające a jedoskę czasu. Dla porówaa gęsość ( + ) () f (), (4.) wraża bezwzględe pogorszee ezawodośc obeku w jedosce czasu Skumulowaa eswość uszkodzeń lub fukcja wodąca Fukcja a jes marą wczerpwaa sę zapasu możlwośc wkoaa przez obek zadaa ( x) dx, Λ () λ. (4.3) 4.6. Współzależośc charakersk fukcjch ezawodośc Każdą z omawach pęcu charakersk fukcjch ezawodośc obeku moża wrazć przez dowolą pozosałą. Tpow przebeg fukcj ezawodośc obeku () w powązau z m fukcjam ezawodośc pokazao a rs. 4. w abel 4.. Budując maemacz model ezawodośc obeku zakłada sę zazwczaj z gór posać fukcj eswośc uszkodzeń λ() w kosekwecj orzmuje sę eoreczą fukcję ezawodośc (), odpowadającą rozkładow zmeej losowej T o dsrbuace F() gęsośc prawdopodobeńswa f().
22 4 Charakersk fukcje ezawodośc Tabela 4. () () f (x)dx exp[ λ (x)dx] exp[ Λ()] () () f (x)dx exp[ λ (x)dx] exp[ Λ()] d d f() () () d d λ ) exp[ λ (x)dx] ( { exp[ Λ() ]} d d λ() d d d d [ l () ] { l[ () ]} ( ) f f (x)dx d Λ d () Λ() ( ) ( ) l l () () f f () d ( x) dx λ( x ) dx s. 4.. Ilusracja grafcza współzależośc fukcj ezawodośc ch powe przebeg.
23 Emprcze charakersk fukcje ezawodośc Przjmując ozaczee: - lczba obeków badach, () - lczba obeków zdach w chwl, m() - lczba obeków ezdach w chwl, jes Emprcza fukcja ezawodośc () Emprcza fukcja zawodośc () () + m(). (4.4) () m() m(). (4.5) () m() () F() (). (4.6) Emprcza fukcja gęsośc prawdopodobeńswa ( + ) m( ) () f (). (4.7) Emprcza eswość uszkodzeń (dla środków przedzałów ) gdze ( + ) m( ) () λ (). (4.8) ˆ () ˆ() + + ˆ (). (4.9) Emprcza fukcja wodąca ( ) Λ () λ. (4.)
24 6 Przkład 4. Badaem objęo 6 arcz ścerch (obek eaprawale) przez czas umowch jedosek czasu [ujc]. W wku przeprowadzoch badań swerdzoo, że w chwl rozpoczaa badaa ( ) jede obek bł już ezda, a pozosałe ulegał uszkodzeu w sposób przedsawo w poższej abel. () m() m( ) () 5 m() (4) 3 m(4) (8) m(8) () m() 6 Nezawodość począkowa () 5 () 6 Zawodość począkowa, czl wadlwość badaej par obeków 5 () F() () 6 6 W chwl 8 [ujc] Nezawodość Zawodość Fukcja gęsośc (dla środka przedzału) (8) (8). 6 m(8) 4 (8). 6 f (6) m( ) 6 4 ujc + 8 ˆ ( 6), 5 Ieswość uszkodzeń (dla środka przedzału) m( ) λ( 6) ˆ(),5 4 ujc λ( ) ujc
25 Fukcja wodąca, skumulowaa eswość uszkodzeń (dla środka przedzału) 3 6 [ λ() + λ(6) ] + +, 5 Λ ( 6) Przkład 4. Badao 5 żarówek przez czas [ujc]. W momece rozpoczęca badań rz żarówk bł już uszkodzoe. esza uszkadzała sę w asępując sposób: Dae: 5; [ujc]; 3 [ujc]. () m() m( ) () 47 m() (3) 45 m(3) (6) 43 m(6) (9) 4 m(9) () 38 m() - 5 (5) 37 m(5) (8) 35 m(8) () 34 m() 6 Oblczea ezawodość począkowa () 47 (), 94, 5 zawodość począkowa () F() (), 6.
26 8 Esmaor ezawodośc Esmaor zawodośc Esmaor gęsośc prawdopodobeńswa uszkodzeń (),9 (), f(),333 (4),86 (4),4 f(4),33 (7),8 (7), f(7), (),76 (),4 f (),33 (3),74 (3),6 f (3),67 (6),7 (6),3 f (6),33 (9),68 (9),3 f (9),67 Esmaor eswośc uszkodzeń Esmaor skumulowaej eswośc uszkodzeń λ (),363 ˆ () 46, Λ (),87 λ (4),55 ˆ (4) 44, Λ (4),545 λ (7),4 ˆ (7) 4,5 Λ (7),644 λ (),79 ˆ () 39, Λ (),777 λ (3),889 ˆ (3) 37,5 Λ (3),3439 λ (6),85 ˆ (6) 36, Λ (6),35994 λ (9),966 ˆ (9) 34,5 Λ (9),38893
27 9 Wkres. Nezawodość () - rs Nezawodo () Czas [ujc] suek 4. Wkres emprczej fukcj ezawodośc. Zawodość () - rs Nezawodo () Czas [ujc] suek 4.3 Wkres emprczej fukcj zawodośc.
28 3 3. Gęsość prawdopodobeńswa uszkodzeń f () - rs. 4.4 G so prawdop. uszkodze f() [/ujc] Czas [ujc] suek 4.4 Wkres emprczej fukcj gęsośc prawdopodobeńswa uszkodzeń. 4. Ieswość uszkodzeń λ () - rs. 4.5 Ieswo uszkodze λ() [/ujc] Czas [ujc] suek 4.5 Wkres emprczej fukcj eswośc uszkodzeń
29 3 5. Skumulowaa eswość uszkodzeń Λ () - rs. 4.6 Skumulowaa es. uszkodze Λ() [/ujc] Czas [ujc] suek 4.6 Wkres emprczej fukcj skumulowaej eswośc uszkodzeń.
30 33 5. Charakersk lczbowe ezawodośc Na gruce eor zmech losowch [] wróżć moża dwe grup charakersk lczbowch ezawodośc Są o: charakersk pozcje charakersk zmeośc. a) Charakersk pozcje (mar położea) o welkośc, wokół kórch grupują sę realzacje zmeej losowej T.. Warość oczekwaa w eor ezawodośc azwaa jes oczekwam czasem zdaośc + E[T] ˆ f ()d dla cągłej zmeej losowej, (5.) E[T] p dla dskreej zmeej losowej (p - częsość zdarzeń). (5.) Moża pokazać, że E[T] ()d (5.3). Medaa o aka warość zmeej losowej T ozaczoa przez M e, dla kórej P{ T < Me } P{ T > Me} (5.4) e F( Me ) lub f ()d f ()d M + Me (5.5) 3. Waroścą modalą lub króko modą azwa sę aką warość zmeej losowej T ozaczoą przez M o, dla kórej gęsość prawdopodobeńswa f(m o ) ma ajwększą warość. Wróża sę: rozkład jedomodale (umodale) ( maxmum), rozkład bmodale ( maxma), rozkład welomodale (polmodale) (klka maxmów).
31 34 ozkład jes smercz (rs. 5.), gd F f ( M ) F( M ), (5.6) e e + ( M ) f ( M ). (5.7) e e + Dla rozkładów smerczch E [T] M e M o. (5.8) M e M e s. 5.. Dsrbuaa gęsość prawdopodobeńswa rozkładu smerczego b) Charaker odchlaa sę zmeej losowej od jej warośc oczekwaej opsuje sę momeam (mar zmeośc). Mome zwkł rzędu k zmeej losowej T
32 k k [ ] f () d 35 α [T] E T. (5.9) k + Np. α ; α E[T] ˆ - warość oczekwaa.. Mome ceral rzędu k zmeej losowej T Np. µ [T] ; µ [T] ; k k [ T] E ( T ˆ ) ( ˆ ) f () d µ k. (5.) [ ] ( ) σ E T µ T ˆ - waracja (dspersja). (5.) Dla rozkładów smerczch µ µ µ.... Odchlea sadardowe 3 5 σ σ + σ (5.) Zwązk mędz α k µ k począkowch rzędów: Z zależośc (5.3) orzmuje sę α α 3 3 α3 αα + 4 α4 α3α + 6αα 3 µ, (5.3) µ 3 α, (5.4) 4 µ 4 α. (5.5) σ [ T ] E [ T] + ˆ E ( ) f ()d o. (5.6) 3. Współczk asmer (skośośc) (rs. 5.) µ 3 γ. (5.7) 3 σ
33 36 Gd: γ > asmera dodaa, M o < M e, γ < asmera ujema, M o > M e, γ dla rozkładów smerczch. M e M e s. 5.. Przkład rozkładów prawdopodobeńswa o dodaej ujemej asmer 4. Współczk ekscesu (spłaszczea) (rs. 5. 3) µ 4 γ 3. (5.8) 4 σ Gd werzchołek rozkładu jes wższ lub ższ od werzchołka rozkładu ormalego, wed jes odpowedo γ > lub γ <. Dla rozkładu ormalego γ.
34 37 s Przkład rozkładów prawdopodobeńswa o różch współczkach ekscesu 5. Współczk zmeośc σˆ ϑ (5.9) Jeżel warośc oczekwae porówwach rozkładów e są rówe, wed za marę zmeośc służ ϑ. Gd ˆ, o ϑ σ aczej mówąc, ϑ jes marą rozproszea, w kórej za jedoskę przjęo warość oczekwaą ˆ. 6. Odchlee przecęe [ T ˆ ] ˆ f () d σ [T] E (5.) p +
35 38 7. Kwal Kwalem p rzędu p (, ) czasu zdaośc azwa sę perwasek rówaa ( p ) F( p ) p. (5.) Kwal,5 (rzędu p,5) jes medaą, a kwale rzędu,5,75 są odpowedo kwalem dolm,5 kwalem górm,75. Zakładając, że w chwl począkowej obek ma % zapasu zdaośc, kwal p azwa jes (-p) % zapasem zdaośc obeku. Pojęce kwala może eż służć do określea maksmalego czasu zdaośc obeków eodawalch, poeważ czasow emu jes rów kwal rzędu. Operacja cerowaa zmeej losowej T daje zmeą losową T o ˆ T T ˆ. (5.) Operacja sadarzowaa zmeej losowej T daje zmeą losową T o ˆ σ T T ˆ T. (5.3) σ σ Powższe mar położea a) mar zmeośc b) służą do defowaa różch wskaźków ezawodośc obeków echczch sosowach w ormach. Dla przkładu orma polska PN-77/N-45 wróża łącze wskaźk [4]. Są o: () wskaźk doczące zdaośc rwałośc (3 wskaźków), () wskaźk doczące apraw (3 wskaźk), () wskaźk doczące przechowwaa lub rasporu (3 wskaźk), (v) e wskaźk. A oo ekóre z ch: ad. () Zasób γ-proceow γ do perwszego uszkodzea. Wskaźk e określa lość prac jaką może wkoać obek, odpowadająca γ- proceom prawdopodobeńswa poprawej prac, z. jes o rozwązae rówaa
36 39 γ ( γ ) (5.4) Moża zauważć, że wskaźk e jes zdefowa podobe jak kwal (5.) lecz a baze fukcj ezawodośc (). ad. () Prawdopodobeńswo apraw po czase, P () Defcja ego wskaźka opera sę a określeu fukcj zawodośc (4.3). Zgode z ą prawdopodobeńswo zdarzea, że w przedzale czasu (, ) obek zosae aprawo P () P(T p < ) (5.5) gdze: T p T + T o - zmea losowa ozaczająca czas przesoju aprawczego obeku od chwl wsąpea uszkodzea do chwl przwrócea obekow zdaośc, T - zmea losowa ozaczająca czas właścwej apraw, T o - zmea losowa będąca różcą mędz T p T. ad. () Odporość a przechowwae (raspor) p () Wskaźk e określa prawdopodobeńswo zdarzea, że obek w rakce przechowwaa (rasporu) w określoch warukach e uszkodz sę w przedzale czasu (, ) p () P(T p ) (5.6) gdze T p jes zmeą losową ozaczającą czas przechowwaa (rasporu) obeku, podczas kórego obek zachowuje określoe dla ego warośc wskaźków eksploaacjch. Wzór (5.6) określa węc fukcję ezawodośc wrażoą wzorem (4.). ad. (v) Wskaźk wkorzsaa echczego K w Isoą ego wskaźka jes prawdopodobeńswo zdarzea, że w dowolej chwl czasu obek zajduje sę w sae zdaośc wkouje zadae, do kórego jes przezaczo K w P(T < ) (5.7) gdze T jes zmeą losową opsującą powższe zdarzee. Bardzej przejrzse zaczee ego wskaźka oddaje jego esmaor
37 4 K w s + + (5.8) s s ps gdze: s - sumarcz czas poprawej prac obeku w rozparwam okrese eksploaacj, s - sumarcz czas apraw badaego obeku w rozparwam okrese eksploaacj, ps - sumarcz czas zuż a zabeg proflakcze badaego obeku w rozparwam okrese eksploaacj.
38 4 6. Nezawodość obeków prosch Obekam prosm azwa sę obek, mające szeregową, rówoległą, szeregowo-rówoległą lub rówoległo - szeregową srukurę ezawodoścową. W laach wkazao, że jes możlwa budowa dosaecze ezawodch obeków z zawodch elemeów. Obek ezawode orzmujem główe w wku właścwego zasosowaa zw. admaru przesrzeego, polegającego a umejęm wprowadzeu do obeku pewej lczb elemeów admarowch. 6.. Ops ezawodoścow obeku Do opsu ezawodoścowego sosowae są asępujące meod: pozwowa (zdaość obeku) (), egawowa (ezdaość obeku) (), kombowaa, pozwowo - egawowa. W opse logczm, zarówo pozwowm jak egawowm, srukurę ezawodoścową obeku podaje sę w kowecj zerojedkowej: A, ked, ked eleme jes eleme jes zda, ezda, lub A - zda, A (e A ) - ezda. 6.. Nezawodość obeków szeregowch Obekem o srukurze szeregowej (obek szeregow) azwa sę obek, kór fukcjouje poprawe, gd wszske jego eleme składowe są sprawe. Nezawodość s obeku - elemeowego o srukurze szeregowej w przpadku, ked uszkodzea jego elemeów składowch są uszkodzeam wzajeme ezależm, wrażoa jes wzorem (6.) s prz czm ozacza ezawodość - ego elemeu.
39 4 a) b) c) T T T e) s d). T.4 >> T f).4. T T T T T T s m (T ) s. 6. Lampa elekrcza o kosrukcj mozakowej jako przkład modelu fzczego obeku szeregowego: a) lampa, b) sposób połączea żarówek, c) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), d) srukura ezawodoścowa w zapse egawowm (ezdaośc), e) przebeg fukcj ezawodośc, f) wkres rwałośc.
40 W szczególm przpadku, gd obek jes zbudowa z elemeów o jedakowej ezawodośc (... ), orzmuje sę wzór 43 s. (6.) Z podaego wzoru wka, że ezawodość obeku jedorodego o srukurze szeregowej zwększa sę wraz ze zwększeem ezawodośc jego elemeów składowch (rs. 6.), aomas zmejsza sę w sposób wkładcz wraz ze zwększeem lczb ch elemeów. Cechą charakersczą obeku szeregowego jes o, że saje sę o obekem prakcze zawodm ( s ) już prz sosukowo ewelkej lczbe elemeów składowch. Częso zamas wzaczać warość s lepej wzaczać warość s, j. zawodość obeku szeregowego, według wzoru. (6.3) s s Gd obek jes zbudowa z elemeów o jedakowej zawodośc, orzmuje sę s ( ). (6.4) Obek o srukurze szeregowej moża zdefować róweż w kaegorach rwałośc T s T m ( T ) m ( T,...,T,..., T ) s, (6.5) gdze T ozacza rwałość - ego elemeu. Z powższego wzoru wka, że rwałość T s jes określoa rwałoścą ajsłabszego (ajmej rwałego) elemeu. Tpowm przkładem mechaczch obeków szeregowch są łańcuch, w kórch ogwa są połączoe szeregowo Nezawodość obeków rówoległch Obekem o srukurze rówoległej (obek rówoległ) azwa jes obek, kór fukcjouje poprawe, gd chocaż jede jego eleme jes spraw. Dla zwększea ezawodośc obeku wprowadza sę celowo pewą lczbę elemeów admarowch.
41 44 a) b) c) T T T d) T T T e). s f) >> T.6 T T.6. T r max (T ) T s. 6.. Lampa elekrcza o kosrukcj mozakowej jako przkład modelu fzczego obeku rówoległego: a) lampa, b) sposób połączea żarówek, c) srukura ezawodoścowa w zapse egawowm (ezdaośc), d) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), e) przebeg fukcj ezawodośc, f) wkres rwałośc
42 Zawodość r - elemeowego obeku rówoległego w przpadku, ked uszkodzea jego elemeów składowch są uszkodzeam wzajeme ezależm, moża wrazć wzorem (6.6) r prz czm ozacza zawodość - ego elemeu. W przpadku obeku jedorodego r (6.7) Wzor a ezawodość r obeku rówoległego są asępujące a dla obeku jedorodego ( ) (6.8) r r r ( ). (6.9) Z podach wzorów wka, że ezawodość obeku rówoległego zwększa sę e lko ze wzrosem ezawodośc jego elemeów składowch (rs. 6.), ale róweż ze zwększeem lczb elemeów. Cechą charakersczą obeku rówoległego jes o, że saje sę o obekem prakcze ezawodm ( r ) już prz sosukowo ewelkej lczbe elemeów. Trwałość (czas żca) obeku rówoległego T r jes zdeermowaa rwałoścą ajmocejszego (ajrwalszego) elemeu r ( T ) max ( T,...,T,..., T ) T max, (6.) gdze T ozacza rwałość - ego elemeu. Tak, jak w przpadku obeków szeregowch, pojawa sę u problem celowośc budow obeków rówoległch z elemeam o jedakowej rwałośc. Sosując p. krerum cągłośc prac obeku moża wkazać, że budowa akch obeków jes wsoce celowa.
43 Nezawodość obeków szeregowo-rówoległch Obekem szeregowo - rówoległm azwa jes ak obek, kór fukcjouje poprawe wówczas, gd wszske jego zespołów, o rówoległm połączeu m elemeów, fukcjouje poprawe. s Segmeowa lampa elekrcza jako przkład modelu fzczego obeku szeregowo - rówoległego: a) lampa, b) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), c) wkres rwałośc
44 Nezawodość sr obeku szeregowo - rówoległego, mającego zespołów o m rówolegle połączoch elemeach m [ rj] ( j ) 47 sr, (6.) j j prz czm j ozacza ezawodość -ego elemeu zajdującego sę w j-m zespole. Jeśl rozparwa obek jes obekem jedorodm regularm, czl obekem o jedakowej lczbe elemeów w poszczególch zespołach, moża apsać sr m [ ( ) ]. (6.) Zawodość rozparwaego obeku jedorodego moża wrazć wzoram oraz sr sr m [ ] (6.3) [ ( ) ] m. (6.4) Trwałość obeku szeregowo-rówoległego T sr jes zdeermowaa rwałoścą T j ajsłabszego zespołu sr j ( T ) m ( T,...,T,..., T ) T m, (6.5) j prz czm rwałość każdego j-ego zespołu jes zdeermowaa rwałoścą jego ajmocejszego elemeu, o zacz j ( T ) max ( T,..., T,..., T ) j j j T max. (6.6) j mj Zaem ( T ) ( ) ( ) ( ) j m max T,..., max Tj,..., max T j T sr m max. (6.7) j
45 Nezawodość obeków rówoległo-szeregowch Obekem rówoległo-szeregowm azwa jes ak obek, kór fukcjouje poprawe wówczas, gd przajmej jede spośród jego zespołów fukcjouje poprawe. s Segmeowa lampa elekrcza jako przkład modelu fzczego obeku rówoległo - szeregowego: a) lampa, b) srukura ezawodoścowa w zapse pozwowm (zdaośc), c) wkres rwałośc
46 Nezawodość obeku rówoległo - szeregowego rs mającego zespołów o m szeregowo połączoch elemeach moża zapsać wzorem 49 m ( ) rs sj j, (6.8) j j prz czm j ozacza ezawodość -ego elemeu zajdującego sę w j-m zespole. Gd obek jes jedorod regular, czl jes obekem o jedakowej lczbe elemeów w poszczególch zespołach, moża apsać rs m ( ). (6.9) Zawodość akego obeku moża wrazć wzoram oraz rs rs m [ ( ) ], (6.) m [ ]. (6.) Trwałość obeku rówoległo-szeregowego T rs jes zdeermowaa rwałoścą ajsłabszego elemeu w ajrwalszm zespole T rs max m j ( T ) ( ) ( ) ( ) j max m T,..., m Tj,..., m T j, (6.) prz czm T j ozacza rwałość (czas żca) -ego elemeu w j-m zespole.
47 5 7. Nezawodość obeków złożoch Przkład ego rodzaju obeków pokazao a rs. 7.. a) c) b) s. 7.. Przkład srukur ezawodoścowch obeków złożoch pu: a) mosek, b) saka, c) seć Główm problemem w procese aalz, sez opmalzacj ezawodoścowej obeków złożoch jes problem wzaczaa ch ezawodośc. Jedą z prosszch efekwejszch meod oblczaa ezawodośc ch obeków jes zw. meoda dekompozcj prosej. Meoda a polega a m, że obek o dowolej srukurze ezawodoścowej zosaje drogą kolejch operacj srukuralch przekszałco w pewą lczbę podssemów (obeków) prosch, o jes obeków o srukurach szeregowo - rówoległch, kórch ezawodość moża wzaczć zam meodam oblczeowm. Cechą charakersczą ej meod jes o, że dekompozcję obeku - elemeowego wkouje sę zawsze względem jedego dowole wbraego -ego elemeu, w wku czego orzmuje sę za każdm razem dwa obek (-) - elemeowe, e zawerające -ego elemeu. W przpadku, gd srukur orzmach obeków (podssemów) są adal srukuram złożom, przeprowadza sę ch asępe dekompozcje, prz czm czośc e powarza sę dopó, dopók e orzma sę obeków o srukurach prosch.
48 5 Zgode z podam opsem ezawodość, () obeku -elemeowego daje sę przedsawć asępującm wzorem rekurecjm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () +, (7.) gdze: - ezawodość -ego elemeu obeku, ( ) ( () () ) (,...,,..., ) - ezawodość obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego, w kórm - eleme jes absolue ezawod, ( zwarce ), ( ) ( ( ) ( ) ) (,...,,..., ) - ezawodość obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego, w kórm - eleme jes absolue zawod, j ( przerwa ). Ozaczeom we wzorze rekurecjm adaje sę erpreację grafczą, pokazaą a rs. 7. ( - ) ( ) ( ) ( - ) () s. 7. Ierpreacja ozaczeń we wzorze rekurecjm dla obeku weloelemeowego. Absolue ezawod eleme o j saow rodzaj zwarca dla przepłwu srumea eerg lub formacj, a eleme absolue zawod o j, saow swosą przerwę dla przepłwu srumea. Przkład 7. Dla zlusrowaa omawaej meod oblczeowej wzaczoo ezawodość obeku złożoego o srukurze moskowej. Zgode z przedsawoą procedurą oblczeową dekompozcję rozważaego obeku pęcoelemeowego ( 5) moża wkoać ze względu a dowol eleme. Poeważ dobór elemeu dekompozcjego (o j ) jes zupełe dowol e ma wpłwu a wk oblczeń, przjmuje sę, że rozważa
49 obek jes dekompoowa ze względu a eleme 5. Zaem zgode ze wzorem rekurecjm jes (rs. 7.3) ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( ) [ ( )( )][ ( )( )] ( + )( + ) ( 5) dla obeku jedorodego s Ierpreacja meod dekompozcj prosej a przkładze wzaczaa ezawodośc (obeku złożoego) moska (przkład 7.)
50 54 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (7.) gdze ( ) ( ) ( )( ) , ( ) ( ) , sąd ( ) ( )( ) ( )( ) (7.3) W przpadku, gd rozważa obek złożo jes jedorod, o zacz 5 4 3, orzmuje sę ( ) (7.4) Wkres fukcj ezawodośc (5) moska złożoego z jedakowch elemeów (rs.7.4) wskazuje, że celowe jes budowae akch obeków, gd ezawodość elemeów >,5. s. 7.4 Wkres fukcj ezawodośc moska (5) (5),,5,5,
51 7.. Nezawodość obeków progowch Obekam progowm albo obekam pu k z azwa sę obek, kóre uzaje sę za sprawe, gd k spośród elemeów ( k ) o eleme zdae. Ozacza o, że w obekach progowch pu k z dopuszcza sę uszkodzee pewej usaloej z gór lczb elemeów ( - k), pożej kórej obek uzaje sę jeszcze za zda. Dla każdego obeku progowego pu k z moża zdefować paramer p, kór azwa sę progem obeku: 55 k p. (7.5) Zależe od warośc p obek progowe pu k z moża podzelć a: obek mejszoścowe, ked p <,5, obek rówoścowe, ked p,5, obek wększoścowe, ked,5 > p,. Waro zauważć, że prose obek szeregowe rówoległe są szczególm przpadkam obeków progowch, a maowce: obek szeregow jes obekem progowm pu z, aomas obek rówoległ jes obekem progowm pu z. Obek progowe wsępują powszeche w prakce, zwłaszcza wed, ked ch dzałae jes opare a logce progowej. Jedą z osoblwośc obeków progowch pu k z jes ch duża efekwość ezawodoścowa, umożlwająca budowę obeków o dużej ezawodośc z elemeów o małej ezawodośc. Przkład. obeków progowch ozparuje sę dwe fukcjoale rówoważe lamp ośweleowe o kosrukcj mozakowej (rs. 7.5). Jeśl jako krerum poprawego fukcjoowaa każdej lamp przjme sę waruek, ab przajmej 66% żarówek bło zdach, o rozważae lamp moża rakować jako obek progowe pu k z, dla kórch p k/ /3. W prakce ozacza o, że lampę złożoą z rzech żarówek (dużej moc) uzaje sę za zdaą, jeżel przajmej dwe z ch są zdae, aomas lampę zbudowaą z 9 żarówek (małej moc) uzaje sę za zdaą w przpadku zdaośc przajmej k 6. Im słow, w przpadku perwszej lamp dopuszcza sę uszkodzee lko jedej żarówk, aomas dla drugej lamp - uszkodzee aż 3 żarówek.
52 56 s Obek progowe ch ops ezawodoścow. ealzacja fzcza obeku progowego zbudowaego z małej (a) dużej (b) lczb elemeów, c) układ połączeń elemeów (żarówek), d) ozaczee obeku progowego, e) srukura ezawodoścowa, f) wkres rwałośc, g) algorm oblczaa ezawodośc
53 Do wzaczaa ezawodośc p k/ obeków progowch pu k z, zbudowach z małej lczb elemeów, moża zasosować zaą już meodę dekompozcj prosej 57 gdze: p() ( ) p() ( ) p k / (k)/() + k /() + (,...,,..., ) (,...,,..., ), (7.6) p k / k / p() (k )/() p - ezawodość obeku k (-) elemeowego pu (k-) z (-) o warośc progu p, oblczoa dla przpadku, gd - eleme rozważaego obeku - elemeowego jes absolue ezawod ( j ),,...,,..., - ezawodość p() k /( ) p ( ) obeku (-) elemeowego pu k z (-), o warośc progu k p, oblczoa dla przpadku, gd - eleme rozważaego obeku -elemeowego jes absolue zawod ( j ). Ierpreację podach zależośc oraz sposób oblczaa ezawodośc obeków progowch pu k z przedsawoo a rs. 7.5 g. Przkład. obeków progowch Dla zlusrowaa podach zależośc wzacza sę ezawodość ajprosszego obeku progowego pu z 3 (lampa mozakowa, rs. 7.6 a). Zadae sprowadza sę do wzaczea ezawodośc lamp /3 a podsawe zajomośc ezawodośc jej żarówek, z. warośc,, 3. Zgode ze wzorem rekurecjm meod dekompozcj prosej jes: gdze: / / p + 3. /3 / ( ) / + (7.7) 3 3 Srukur ezawodoścowe / / pokazao a rs. 7.7.
54 58 s Wk aalz ezawodoścowej dwu obeków progowch zbudowach z małej (a) dużej (b) lczb elemeów / / 3 3 s Srukur ezawodoścowe / /
55 59 Sąd /3 ( + ) + ( ) (7.8) Jeśl rozparwaa lampa jes zbudowaa z żarówek jedorodch ( 3 ), jej ezawodość moża wrazć wzorem / (7.9) Orzmae wrażee przedsawoo w posac wkresu a rs. 7.6a. Wdać z ego, że ezawodość rójżarówkowej lamp progowej jes wększa ż ezawodość odpowadającej jej pod względem sł śwała lamp jedożarówkowej dla >,5 mejsza dla <,5. Ozacza o, że budowa progowch ssemów ośweleowch pu z 3 jes, jeśl chodz o ezawodość, sesowa jede wówczas, gd ezawodość użch żarówek wos >,5. Oblczae ezawodośc obeków pu k z zawerającch dużą lczbę elemeów jes ucążlwe wmaga użca kompuerów. W przpadku obeków zbudowach z elemeów jedorodch ezawodość k/ obeku progowego moża wrazć wzorem lub p p k / k ( ) ( ), (7.)! k k k / x ( x) dx!, (7.) ( k )!( k) prz czm k, k +,..., -, ( )! ;!.! ( )! Przkład 3. obeków progowch Przkładem jedorodego obeku progowego pu k z, zawerającego dużą lczbę elemeów, może bć wspomaa już lampa mozakowa (lub reklama śwela), kórej ezawodość moża wrazć wzorem
56 6 p 6 / ( ) ( ), (7.) prz czm 6, 6,..., 9, 9. Na rs. 7.6 b przedsawoo wkres fukcj ezawodośc 6/9, z kórego wka m.., że dla a,68 ezawodość rozparwaej lamp progowej jes wększa ż ezawodość odpowadającej jej lamp klasczej, o jes lamp z jedą żarówką. Prz a <,68 zachodz zjawsko przecwe. ozważaą lampę progową moża rakować jako prakcze ezawodą, jeżel b >,8 oraz jako prakcze zawodą, jeżel c <,5. Waro u podkreślć, że ezacza zmaa ezawodośc żarówek w przedzale ( c, b ) ma zasadcz wpłw a ezawodość lamp. Zma ezawodośc żarówek zaware w przedzale a,5; b,8, e mają prakcze wpłwu a ezawodość lamp. Z przedsawoch przkładów wka, że obek progowe pu k z moża soe budować jako obek o dużej ezawodośc. Zależe od warośc progu p k/ moża je wkować z elemeów o sosukowo małej ezawodośc. Obek pu k z budowae z dużej lczb elemeów (prakcze dla ) sają sę obekam deermsczm, mmo probablsczch właścwośc elemeów składowch, prz czm są oe obekam prakcze ezawodm ( k/ ) wówczas, gd ch eleme mają ezawodość wększą ż warość progu ( > p k/) oraz są obekam prakcze zawodm ( k/ ) wówczas, gd ch eleme mają ezawodość mejszą ż warość progu ( < p k/): ( ) ( ) dla > p k /, p k / (7.3) dla < p k /, k Ma o soe zaczee dla żer ezawodośc oraz sez obeków prakcze ezawodch. Obek progow pu k z moża opsać w kaegorach rwałośc (rs. 7.5 f). Z defcj obeku progowego wka, że jes o ak obek, kórego rwałość T p T k+ dla T T... Tk Tk+... T, (7.4)
57 jes zdeermowaa rwałoścą elemeu progowego o umerze pozcjm ( - k + ), z. perwszm elemeem krczm obeku. Sposób wzaczaa rwałośc T p obeku progowego pokazao a rs. 7.5 f. 6
58 63 8. Nezawodość obeków z uszkodzeam pu przerwa zwarce Doąd rozparwao obek zbudowae z elemeów dwusaowch (zda, ezda). Iseją obek, kórch eleme mogą ulegać uszkodzeom (sa ezdaośc) dwojakego rodzaju, kóre azwa sę uszkodzeem pu przerwa oraz uszkodzeem pu zwarce. Uszkodzea ego pu wsępują powszeche w układach elekrczch elekroczch oraz peumaczch, hdraulczch, opczch p. Osoblwoścą omawach układów jes o, że mają oe zmeą srukurę ezawodoścową zależą od rodzaju uszkodzeń, a odpowadające m fukcje ezawodośc r zawodośc r są fukcjam wekorowm. Tpowm reprezeaem obeku z uszkodzeam pu przerwa oraz zwarce jes przekaźk elekromechacz. Przekaźk w posac pojedczej cewk oraz pojedczego układu sków pokazao a rs. 8.. Z aalz prac przekaźka wka, że może o uracć właścwość przełączaa w wku przerw lub zwarca. Zaem ezawodość r przekaźka moża wrazć wzorem gdze. p + z (8.) jes prawdopodobeńswem uszkodzea (zawodoścą) przekaźka w wku wsąpea przerw lub zwarca. Sąd (, ) ( + ) p z p z (8.) W prakce żerskej, ezawodość r lub zawodość r przekaźka charakerzujem parą lczb p oraz z zapsujem asępująco lub dla obeku - elemeowego, z, p ( ) (, ). p z
59 64 ) s. 8.. Przekaźk elekromechacz jako przkład obeku z uszkodzeam pu przerwa zwarce : a) przekaźk, b) sa ezawodoścowe przekaźka, c) ozaczee obeku z uszkodzeam pu przerwa (p) zwarce (z), d) wkres ezawodośc
60 Oblczae ezawodośc obeków - elemeowch z dwoma rodzajam uszkodzeń moża wkoać meodą dekompozcj prosej sosując asępujące wzor rekurecje ( ) p z 65 ( ) ( ) ( ) ( + ), (8.3) ( ) ( ) () ( ) ( ) p pp() + p p, (8.4) ( ) ( ) () ( ) ( ) z zz() + z z. (8.5) We wzorach ch ozaczoo prawdopodobeńswa uszkodzea pu (p) przerwa : ( ) - obeku -elemeowego, p ( ) p() - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego z przerwam -m elemeem, ( ) - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego ze p() zwarm -m elemeem, oraz prawdopodobeńswa uszkodzea pu (z) zwarce : ( ) - obeku -elemeowego, z ( ) - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego ze z() zwarm -m elemeem, ( ) z() - obeku zdekompoowaego (-)-elemeowego z przerwam -m elemeem. W ablc 8. podao wzor do oblczaa zawodośc ezawodośc obeków prosch złożoch z uszkodzeam pu przerwa zwarce.
61 Wzor do oblczaa zawodośc ) ( z ) ( p, oraz ezawodośc r obeków prosch złożoch Zawodość obeku Obek Srukura obeku Jedorodego Nejedorodego szeregow p z, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m z m p m m z m z m p m p r ( ) ( ) ( ) m z m p m m z m z m p m p r rówoległ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p z z z p p r ( ) ( ) ( ) j pj j zj j zj z j pj z r szeregowo- rówoległ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] m z m p m m z m z m p m p r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m j zj m j pj m m j zj m z m j pj m p r Tablca 8..
62 cd. ablc 8.. Zawodość obeku Obek Srukura obeku Jedorodego Nejedorodego ( ) m m p ( ) ( pj) m m p [ ( p ) ] j ( m) m ( ) m m z ( z ) z zj r ( m) m m ( ) [ ( ) ] j z p r m j rówoległo - szeregow ( m) ( pj) m j zj złożo p, z ( ) p p ( ) + ( p ) p p() () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) z z + z z z() r ( ) r ( ) ( ) ( + ) ( ) p z ( ) r ( ) r k / ( k / ) ( k / ) ( k / + ) Przkład wzaczaa ( k / ) p z z progow p, z ( k / ) z ( k ) /( ) z z() + ( z ) ( ) k / z()
63 68 Przkład 8. Dla przełączka pęcoprzerwowego ( 5), pokazaego a rs. 8., ależ ( 5) ( 5) (5) wzaczć prawdopodobeńswa p, z oraz r, zając zawodośc p, z poszczególch elemeów (,,...,5). Sosując wzor rekurecje przeprowadz sę dekompozcję przełączka ze względu a eleme. ( 5) p p( p + p5 pp5 )( p3 + p4 p3p4 )+ ( )( + ) + (8.6) p p p3 p4 p5 ( 5) z z( z + z3 zz3 )( z4 + z5 z4z5 )+ ( )( + ) z z z5 z3 z4 p + (8.7) z p3 z3 p4 z4 p5 z5 ( 5) ( 5) ( 5 + ) p z (8.8) Gd przełączk jes wkoa z elemeów jedorodch, o zacz z z dla (,...,5) p p ( 5) p p + p 5p + p (8.9) ( 5) z z + z 5z + z (8.)
64 69 a) b) p, z,...5 c) ( 5 ) p ( 4) p p() + ( 4) p ( ) p() ( 4) p() ( + )( + ) p p5 p p5 p3 p4 p3 p4 ( 4) p() p p3 p4 p5 p p3 p4 p 5 + d) ( 5 ) z ( 4) z z() ( 4 + ) z ( ) z() ( 4) z() ( + )( + ) z z3 z z3 z4 p5 z4 z5 ( 4) z() zz5 + z4z3 zz3z4z 5 s.8.. Przkład wzaczaa zawodośc ( 5 r ) przełączka pęcoprzerwowego a) układ przełączka, b) schema blokow przełączka, c) algorm wzaczaa ( 5) p, d) algorm wzaczaa ( 5 ) z
65 7 9. Nezawodość obeków z elemeam zależm Dla zlusrowaa problemak ezawodośc obeków z elemeam zależm prześledzoo zachowae sę par elemeów, p. elemeu -ego oraz j- ego w warukach, ked asępuje uszkodzee jedego z ch, p. elemeu - ego (rs. 9.). T T j T, T j - ezależe j T T j T j T j T, T j zależe sochascze T T, T j zależe deermscze T s. 9.. Klasfkacja obeków z elemeam zależm
66 7 Powarzając welokroe powższ eksperme dla różch obeków moża swerdzć, że badae eleme mogą bć elemeam: ezależm, jeżel uszkodzee -ego elemeu e pocąga za sobą zma rwałośc ezawodośc elemeu j-ego, sochascze zależm, jeżel uszkodzee -ego elemeu pocąga za sobą, sochascze, o jes każdorazowo e zma rwałośc ezawodośc elemeu j-ego, kóre wkazują jedak pewe wraźe red, deermscze zależm, jeżel uszkodzee -ego elemeu pocąga za sobą deermscze, o jes zawsze ake same zma rwałośc ezawodośc elemeu j-ego. W przpadku obeków zbudowach z elemeów wzajeme ezależch do ch aalz sez porzeba jes jede zajomość srukur oraz warośc lub (,...,). W obekach z elemeam zależm formacja a jes róweż koecza, ale ewsarczająca. Poeważ każd eleme obeku może wwołwać a ogół e zma rwałośc ezawodośc elemeów pozosałch, róweż ważą sprawą jes o, że da eleme obeku ulega uszkodzeu jako perwsz, drug, rzec d. Uszkodzee elemeu obeku fak, że uszkadza sę o wcześej lub późej ż eleme obeku, są zdarzeam losowm. Prawdopodobeńswo zdarzea T < T j, o jes prawdopodobeńswo wcześejszego uszkodzea sę -ego elemeu zapsuje sę jako q P(T T ), (9.) < a prawdopodobeńswo przecwe jako j ( ) p P T T j. (9.) Poeważ omówoe zdarzea są wzajeme wkluczającm sę, moża zapsać zależość q + p. (9.3) Wprowadzo paramer q charakerzuje zw. czasow mechazm uszkodzea sę obeku jes sosowa w opse ezawodoścowm obeków zależch (Tabl. 9.).
67 Nezawodość ajprosszch obeków z elemeam zależm. Nazwa Obek szeregowe (s) (ops pozwow) 73 Tablca 9.. Obek rówoległe (r) (ops egawow) Nezależ s r Zależ asmercze qq sza q + ( q) q (,) rza q + ( q) q (,) q q q q q q Zależ asmercze Zależ smercze qq sa q + ( q) q (,) ra q + ( q) q (,) q q qq qq q q sz q + ( q) q (,) rz q + ( q) q (,) q q q q q q q q
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoTeoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoStrona: 1 1. CEL ĆWICZENIA
Katedra Podstaw Sstemów Techczch - Podstaw metrolog - Ćwczee 4. Wzaczae charakterstk regulacjej slka prądu stałego Stroa:. CEL ĆWICZENIA Celem ćwczea jest pozae zasad dzałaa udow slka prądu stałego, zadae
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE I PROGNOZOWANIE
L.Kowalsk-Modelowae progozowae MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE o Podsawowe charakersk dach sasczch, o Ideks, o Progozowae- wadomośc wsępe, o Modele ekoomercze, o Jedorówaow model low,
Bardziej szczegółowoReprezentacja krzywych...
Reprezeacja rzywych... Reprezeacja przy pomocy fcj dwóch zmeych rzywe płase płase - jedej: albo z z f x y x [ x x2] y [ y y2] f x y g x x [ x x2] Wady: rzywe óre dla pewych x y mogą przyjmować wele warośc
Bardziej szczegółowoWiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności
BOGALECKA Magda 1 Wek statku a prawdopodobeństwo wstąpea wpadku a morzu aalza współzależośc WSTĘP Obserwowa od blsko weku tesw rozwój trasportu morskego, oprócz lądowego powetrzego, jest kosekwecją wzmożoej
Bardziej szczegółowoNiezawodność. systemów nienaprawialnych. 1. Analiza systemów w nienaprawialnych. 2. System nienaprawialny przykładowe
Nezawoość sysemów eaprawalych. Aalza sysemów w eaprawalych. Sysemy eaprawale - przykłaowe srukury ezawooścowe 3. Sysemy eaprawale - przykłay aalzy. Aalza sysemów w eaprawalych Sysem eaprawaly jes o sysem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowo(liniowy model popytu), a > 0; b < 0
MODELE EKONOMERYCZNE Model eoomercz o ops sochasczej zależośc adaego zjawsa eoomczego od czów szałującch go, wrażo w posac rówośc lu uładu rówośc. Jeśl p. rozparujem zjawso popu a oreślo owar lu grupę
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Iormaa - Wład 9 - dr Bogda Ćmel cmelbog@ma.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec
Bardziej szczegółowoObliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?
Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
EAIB-Iormaa-Wład 9- dr Adam Ćmel cmel@.ag.edu.pl Racue różczow ucj welu zmec Z uwag a prosoę zapsu ławe erpreacje gracze ograczm sę jede do ucj lub zmec. Naurale uogólea wprowadzac pojęć a ucje zmec zosawam
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoMatematyka II. x 3 jest funkcja
Maemayka II WYKLD. Całka eozaczoa. Rachuek całkowy. Twerdzea o całkach eozaczoych. Całkowae wybraych klas fukcj. Całkowae fukcj wymerych. Całkowae fukcj rygoomeryczych.. Defcja fukcj perwoej. Fukcję F
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY
Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statstka Katarza Chud Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ Aalza korelacj umożlwa stwerdzee wstępowaa zależośc oraz oceę jej atężea ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI: CECHY: ILOŚCIOWA ILOŚCIOWA CECHY: JAKOŚCIOWA
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoVI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoBADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ
Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoMonika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk
Nepewośc pomarów DR Adrzej Bąk Defcje Błąd pomar - różca mędz wkem pomar a wartoścą merzoej welkośc fzczej. Bwa też azwa błędem bezwzględm pomar. Poeważ wartość welkośc merzoej wartość prawdzwa jest w
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
Bardziej szczegółowoSZEREGI CZASOWE W PLANOWANIU PRODUKCJI W PRZETWÓRSTWIE SPOŻYWCZYM
SZEREGI CZASOWE W PLANOWANIU PRODUKCJI W PRZETWÓRSTWIE SPOŻYWCZYM Arur MACIĄG Sreszczee: W pracy przedsawoo echk aalzy szeregów czasowych w zasosowau do plaowaa progozowaa produkcj w przewórswe spożywczym.
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowo1. WSTĘP. METODA EULERA 1 1. WSTĘP. METODA EULERA
. WSTĘP. MTODA ULRA. WSTĘP. MTODA ULRA Wprowadzee Mowacja pozawaa meod umerczc:. Rozwązwae bardzo dużc kosrukcj o złożoej geomer welu sopac swobod powżej mloa prz różorodm zacowau maerałów.. Śwadome wkorzswae
Bardziej szczegółowoNiezawodność i diagnostyka Kierunek AiR, sem. V, rok. ak. 2010/11 STRUKTURY I MIARY PROBABILISTYCZNE SYSTEMÓW METODA DRZEWA (STANÓW) NIEZDATNOŚCI
Nezawodość dagosyka Keruek, sem. V, rok. ak. 00/ STUKTUY I MIY POILISTYCZNE SYSTEMÓW METOD DZEW STNÓW NIEZDTNOŚCI. Srukury obeków złożoych ch rerezeace Wsółczese obeky sysemy echcze, a szczególe wększe
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa Wzory
tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowodev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?
Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 10
MEODY KOMPUEROWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Poechnka Poznańska Mchał Płokowak Adam Łodgowsk Mchał PŁOKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Konsace nakowe dr nż. Wod Kąko Poznań 00/00 MEODY KOMPUEROWE 0 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Bardziej szczegółowoSprzedaż finalna - sprzedaż dóbr i usług konsumentowi lub firmie, którzy ostatecznie je zużytkują, nie poddając dalszemu przetworzeniu.
W 1 Rachu maroeoomcze 1. Produ rajowy bruo Sprzedaż fala - sprzedaż dóbr usług osumeow lub frme, órzy osaecze je zużyują, e poddając dalszemu przeworzeu. Sprzedaż pośreda - sprzedaż dóbr usług zaupoych
Bardziej szczegółowoSzeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja
Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej
Bardziej szczegółowoImmunizacja portfela
Immuzaja porfela Sraega mmuzaj porfelowej [Redgo 9] polega a sworzeu porfela srumeów sało upoowh spełająego dwa waru: - spade e srumeów fasowh wwoła wzrosem sóp spo jes w peł reompesowa przez wzros dohodów
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej
Rachek prawdopodobeńswa saysyka maemaycza Esymacja przedzałowa paramerów srkralych zborowośc geeralej Częso zachodz syacja, że koecze jes zbadae ogół poplacj pod pewym kąem p. średa oce z pewego przedmo.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowoZmiana bazy i macierz przejścia
Auomaya Roboya Algebra -Wyład - dr Adam Ćmel cmel@agh.edu.pl Zmaa bazy macerz prześca Nech V będze wymarową przesrzeą lową ad całem K. Nech Be e będze bazą przesrze V. Rozważmy ową bazę B e... e. Oczywśce
Bardziej szczegółowoDEA podstawowe modele
Marek Miszczński KBO UŁ 2008 - Aaliza dach graiczch (EA) cz.2 (przkład aaliza damiki rakigi) EA podsawowe modele WPROWAZENIE Efekwość (produkwość) obieku gospodarczego o es defiiowaa ako sosuek sum ważoch
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoProjekt 2 2. Wielomiany interpolujące
Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I stopień ZESTAW ZADAŃ
Stattka ZADAIA STATYSTYKA I topeń ZESTAW ZADAŃ dr Adam Sojda. Aalza truktur jedowmarowego rozkładu emprczego..... Badae wpółzależośc w dwuwmarowm rozkładze emprczm. 8 3. Aalza zeregów czaowch.... 4. Aalza
Bardziej szczegółowoPrzestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach
dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Maemayka ubezpeczeń mająkowych 7.05.00 r. Zadane. Pewne ryzyko generuje jedną szkodę z prawdopodobeńswem q, zaś zero szkód z prawdopodobeńswem ( q). Ubezpeczycel pokrywa nadwyżkę szkody ponad udzał własny
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoWSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW
WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka
Bardziej szczegółowoJózef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta
Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów
Bardziej szczegółowoModele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoCZYNNIKOWY MODEL ZARZĄDZANIA PORTFELEM OBLIGACJI
Zeszyy Naukowe Wydzału Iorayczych echk Zarządzaa Wyższej Szkoły Iorayk Sosowaej Zarządzaa Współczese robley Zarządzaa Nr /0 CZYNNIKOWY MOE ZARZĄZANIA OREEM OBIGACJI Adrzej Jakubowsk Isyu Badań Syseowych
Bardziej szczegółowoLekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna
TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoWybór najlepszych prognostycznych modeli zmienności finansowych szeregów czasowych za pomocą testów statystycznych
UNIWERSYTET EKONOMICZNY W POZNANIU WYDZIAŁ INFORMATYKI I GOSPODARKI ELEKTRONICZNEJ Wybór ajlepszych progosyczych model zmeośc fasowych szeregów czasowych za pomocą esów saysyczych Elza Buszkowska Promoor:
Bardziej szczegółowoPomiary parametrów napięć i prądów przemiennych
Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach
Bardziej szczegółowoThis copy is for personal use only - distribution prohibited.
ZESZYTY NAUKOWE WSOWL - Ths copy s for persoal se oly - dsrbo prohbed. - Ths copy s for persoal se oly - dsrbo prohbed. - Ths copy s for persoal se oly - dsrbo prohbed. - Ths copy s for persoal se oly
Bardziej szczegółowoKONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny
KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoOCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.
OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość
Bardziej szczegółowodr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia
dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoMechanika Bryły y Sztywnej - Ruch Obrotowy. Bryła a Sztywna. Model górnej kończyny Model kręgosłupa
WYKŁAD # Mechaka Bryły y Szywej - Ruch Obroowy Bryła a Szywa Model cała rzeczywsego, dla k puky (ależą podczas ruchu. a rzeczywsego, dla kórego dwa dowole wybrae żące do bryły) y) e zeają swojej odległośc
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoCentralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych
Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa
Bardziej szczegółowo. Dla każdego etapu t znamy funkcję transformacji stanu (funkcja przejścia):
D Miszczńska, M Miszczński, KBO UŁ, Eleme programowaia damiczego Eleme PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO (PD) Rozważam -eapow proces deczj: eap eap 2 eap - eap sa począkow 2 deczja x x x 2 x Sa procesu a począek
Bardziej szczegółowoMETODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowo