Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Transkrypt

1 Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84

2 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X, X,, X0 mają rozkłady ormale N (, ), zaś zmee Y, Y,, Y0 mają rozkłady ormale N (, ). Parametry,,, są ezae. Weryfkujemy hpotezę H : przy alteratywe 0 H : testem o obszarze krytyczym X Y K z, gdze s ( X Y ), X X, Y s rozmar testu jest rówy 0, 05, to z jest rówe (A) 0,705 (B) 0,754 (C) 0,6 (D) 0,60 (E) 0,576 Y. Jeśl

3 Zadae. Zmee losowe X, gdze j,,,... są warukowo ezależe pod warukem j zmeej mają rozkłady warukowe o wartośc oczekwaej waracj 4. Zmea losowa N pod warukem zmeej losowej ma rozkład Possoa o wartośc oczekwaej. Zmee ( X, X,...), N są ezależe. Zmea ma rozkład Gamma z parametram (00,), a zmea ma rozkład Gamma z parametram (,4). Zmee są ezależe. Waracja zmeej losowej N X j dla N 0 S j 0 dla N 0 jest rówa A) 65,65 (B) 5050,000 (C) 5065,65 (D) 606,500 (E) 664,75 Uwaga: Rozkład Gamma z parametram (, ) ma gęstość x p( x) ( ) 0 e x gdy x 0 gdy x 0

4 Zadae 4. Dyspoujemy dwema uram. W ure I mamy dwe kule bałe jedą czarą, w ure II mamy trzy kule bałe trzy czare. Powtarzamy razy eksperymet polegający a tym, że losujemy jedą kulę z ury I, e oglądając jej wkładamy ją do ury II, astępe losujemy jedą kulę z ury II e oglądając jej wkładamy ją do ury I. Nech X ozacza zmeą losową rówą lczbe kul bałych w ure I po dośwadczeach. Wtedy lm E ( X X ) jest rówa (A) (B) (C) (D) (E)

5 Zadae 5. Nech X, X,, X,, będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze jedostajym a przedzale (0,). Nech Z X, X,, X X. Wtedy Cov ( X, Z) jest rówa m X (A) (B) (C) (D) (E) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 ( 4)( )( ) 5

6 Zadae 6. Nech A, B, C będą zdarzeam losowym spełającym waruk P ( C B) 0 P ( B C) 0 P ( B C) 0 P( A C B) P( A B). Wtedy (A) P( A B C) P( A C) (B) P( A B C) P( A B) (C) P( A B C) P( A C B) (D) P( A B C') P( A B) (E) P( A B C') P( A C) 6

7 Zadae 7. Poberamy próbkę ezależych realzacj zmeych losowych o rozkładze Possoa z wartoścą oczekwaą 0. Nestety sposób obserwacj uemożlwa odotowae realzacj o wartośc 0. Poberae próbk kończymy w momece, gdy lczebość odotowaych realzacj wyos. Tak węc, każda z aszych kolejych odotowaych realzacj K, K,, K wyos co ajmej c e wemy o tym, le w mędzyczase pojawło sę obserwacj o wartośc 0. Estymujemy parametr za pomocą estymatora postac ˆ N, gdze N jest lczbą obserwacj o wartośc. Błąd średokwadratowy estymatora ˆ jest rówy (A) ( e ) (B) (C) (D) (E) e ( e ) e ( e ) e ( e ) 7

8 Zadae 8. Załóżmy, że X, X,, X, są dodatm ezależym zmeym losowym o jedakowym cągłym rozkładze prawdopodobeństwa. Nech R 0 R max{ X, X,, X }, gdy 0. Nech N M będą ezależym zmeym losowym o rozkładach Possoa, przy czym EN EM. Wtedy PR N M RN jest rówe 0 (A) (B) ( 0,5e,5e ) (C) ( e ) (D) ( e ) (E) ( e ) 8

9 Zadae 9. Zakładając, że zmee losowe X, X,, X5, Y, Y,, Y5 są ezależym zmeym losowym, przy czym X,,,, 5, mają rozkłady ormale N( X,), a zmee Y,,,, 5, mają rozkłady ormale N(, ), zbudowao test ajmocejszy dla weryfkacj hpotezy H : 0 przy alteratywe H : a 0 X Y pozome stotośc 0,05. W rzeczywstośc zmee losowe ) ezależe mają rozkłady ormale o parametrach VarY 4, współczyk korelacj ( X, Y ) 0, 5 zbudowaego testu jest rówa (A) 0,65 (B) 0,4 (C) (D) 0,8 (E) 0,87 Y X Y ( X, Y,,,, 5 X, EY Y EX. Przy tych warukach moc, są, VarX, 9

10 Zadae 0. Nech X, X,, X0 będą ezależym zmeym losowym o tym samym rozkładze Pareto o gęstośc gdy x 0 f ( x) ( x) 0 gdy x 0 gdze 0 jest ezaym parametrem. W oparcu o estymator ajwększej warogodośc T parametru zbudowao przedzał ufośc dla a pozome ufośc 0,95 postac ct, dt, gdze lczby c d dobrao tak, aby P ( ct ) P ( dt) 0,05. Lczby c d są rówe (A) c 0,48 d, 7 (B) c 0,76 d, 4 (C) c 0, d, 05 (D) c 0,6 d, 0 (E) c 0,54 d, 57 0

11 Egzam dla Aktuaruszy z marca 0 r. Prawdopodobeństwo statystyka Arkusz odpowedz * Imę azwsko :... Pesel... Zadae r Odpowedź Puktacja C D E 4 C 5 C 6 B 7 E 8 C 9 E 0 A * Oceae są wyłącze odpowedz umeszczoe w Arkuszu odpowedz. Wypeła Komsja Egzamacyja.