Wybór najlepszych prognostycznych modeli zmienności finansowych szeregów czasowych za pomocą testów statystycznych

Transkrypt

1 UNIWERSYTET EKONOMICZNY W POZNANIU WYDZIAŁ INFORMATYKI I GOSPODARKI ELEKTRONICZNEJ Wybór ajlepszych progosyczych model zmeośc fasowych szeregów czasowych za pomocą esów saysyczych Elza Buszkowska Promoor: prof. UAM dr hab. Ryszard Doma Pozań 00

2 Sps reśc Wsęp. Zmeość srumeu fasowego.... Mary zmeośc... Specyfkacja model zmeośc warukowej Zmeość mplkowaa Progoza zmeośc Zmeość zrealzowaa Podsumowae.... Rozkłady błędu dla model GARCH..... Rozkłady uwzględające grube ogoy..... Rozkłady opsujące skośość szeregów czasowych Podsumowae Meody esowaa długej pamęc Defcja krókej pamęc procesu Aalza R/S Tes Lo Meoda Geweke a Porer-Hudak Podsumowae Tesowae adrzędej zdolośc progosyczej za pomocą SPA Saysyk esowe SPA RC Hpoeza zerowa esu SPA Porówae esów SPA RC Oszacowae dysrybuay saysyk esowej Boosrapowy esymaor p-warośc SPA Najlepsze modele progosycze zmeośc deksu WIG0, ypu GARCH, uzyskae meodą SPA Dae Omówee wyków empryczych 4.7. Podsumowae

3 5. Meoda zboru ufośc model, MCS Saysyk esowe w meodze MCS reguła elmacj P-warośc MCS 5.3. Poszukwae ajlepszych model progosyczych zmeośc dla deksu WIG0 przy użycu meody zboru ufośc model Saysyk esowe Wyk porówywaa model Wybór ajlepszych model progosyczych zmeośc deksu WIG0 spośród model z rodzy ARMA-GARCH meodą MCS Orzymae wyk emprycze Podsumowae. 6. Tes warukowej zdolośc progosyczej Saysyka esowa esu warukowej zdolośc progosyczej Welokrokowy es warukowej zdolośc progosyczej Podsumowae Rakg model zmeośc Kocepcje rówoważośc mędzy rakgam Regresja Mcera-Zarowza w koekśce rakgu progoz Podsumowae Kombacje progoz Lowa kombacja progoz Kombacje dwóch progoz Kombacje elowe progoz Porówywae progosyczych model zmeośc ch kombacj przy pomocy meody zboru ufośc model Modele zmeośc ch kombacje ujęe w badau Wyk badaa Porówae kombacj elowych Doaldsoa Kamsry oraz Paoa Shepparda Wyk badaa Podsumowae 9. Wybór ajlepszych model progosyczych zmeośc dla kursów waluo

4 wych spółek akcyjych spośród model ARMA-GARCH meodą MCS Badae dla kursu euro do złoego Wyk badaa Badae dla kursu fraka szwajcarskego do złoego Wyk porówywaa model Badae dla kursu fua bryyjskego do złoego Wyk porówywaa model Modele progosycze zmeośc dla spółek akcyjych z GPW Wyk badaa Podsumowae Modelowae progozowae zmeośc mplkowaej deksu WIG Całkowa zmeość mplkowaa klasy opcj Ideks zmeośc mplkowaej WIV Model ARFIMA Poszukwae ajlepszych model progosyczych zmeośc mplkowaej deksu WIG Dae Wyk porówywaa model Progozowae zmeośc mplkowaej za pomocą model ypu GARCH Dae Wyk porówaa progoz Podsumowae... Zakończee... Leraura

5 Wsęp Porówywae różych model progosyczych zajdowae ajlepej dopasowaego modelu jes ważym zagadeem w ekoomer fasowej jedym z celów dyseracj. Iym zadaem jes zasosowae meod SPA MCS do porówywaa progosyczych model zmeośc. Badaa ad modelam zmeośc z wykorzysaem meod SPA MCS były omawae szeroko w welu koeksach. Celem ych auorów było mędzy ym sprawdzee warośc progosyczej model dla różych mar zmeośc a przykład zmeośc zrealzowaej, zmeośc mplkowaej, zmeośc hsoryczej. W leraurze dokoao welu cekawych, eoreyczych porówań pomędzy meodam SPA MCS oraz mędzy meodam SPA RC. Pokazao, że meoda SPA ma przewagę ad esem RC, poeważ es e ma wększą moc jes bardzej odpory a złe modele. Naomas meoda MCS jes lepsza od esu SPA, gdyż e zależy od modelu wzorcowego. Podaje poado zbór wszyskch model ajlepszych. W przecweńswe do SPA opera sę oa a jedej hpoeze zerowej, a złe modele są elmowae we wczesych eapach procedury. Zam zapropoowao meodę SPA przedsawoo es rówej zdolośc progosyczej EPA. Pojawł sę o w pracy Debolda Marao (995) Wesa (996). Debold Marao zapropoowal meodę porówywaa model param. Wes (996) Clark McCracke (00) uogóll ą kosrukcję uwzględając epewość paramerów see model zageżdżoych, aomas Whe (000) Hase (005) badal meody porówywaa progoz węcej ż dwóch model. Gacom Whe (006) uogóll wyk dla warukowej formacj. Podejśce o bazuje a warukowych oczekwaach, co do progoz błędów progoz zamas bezwarukowych. W procy Hasea Lude a (005) pokazao za pomocą meod SPA RC, że model GARCH(,) dobrze progozuje kurs wymay DM-$ ale e jes ajlepszym modelem progosyczym dla zwroów IBM. Praca a zasugerowała auorce pyae czy model GARCH(,) jes dobrym modelem progosyczym dla akywów z polskej gełdy. Problem e będze baday w rozdzałach empryczych. Leraura a ema model zmeośc zwroów srumeów fasowych jes szeroka. Zaczya sę od modelu ARCH Egla (98) GARCH Bollersleva (986). Powsaje pyae, kóry model jes ajlepszy?. Trudo a e odpowedzeć gdyż zwroy akywów częso e zawerają dosaeczej formacj żeby wybrać jede ajlepszy model. 5

6 Jedym ze sawaych problemów w leraurze było, czy modele o wększej lczbe paramerów ak samo dobrze opsują szereg czasowe jak modele prossze. Zosało pokazae, że rakg zme sę, jeśl zame sę modele wzorcowe w eśce SPA, a przykład, jeśl zasąpmy kwadra zwrou ą marą zmeośc zrealzowaej. W pracy Hasea Lude'a (006) pokazao, że uszeregowae model zmeośc a baze esymaora zmeośc może być ezgode z rzeczywsym rakgem. Wyprowadzoo waruk, kóre zapewają, że prawdzwy rakg rakg przyblżoy są rówoważe. Praca Hasea Lude (005) zawera oceę progosyczych model zmeośc dla sześcu różych fukcj sray. W pracy Kma ych (998) zajduje sę porówae model zmeośc sochasyczej model GARCH, aomas porówae model zmeośc zrealzowaej ARMA z modelam GARCH ym modelam jes emaem pracy Adersea. (003) oraz pracy Adersea. (004). Dokoamy saysyczej ocey progoz do sworzea rakgu progoz. Progozowae ma duże zaczee w ekoom. Poprzedza podejmowae decyzj ekoomczych. Isyucje rządowe częso operają swoje decyzje a progozach główych zmeych ekoomczych, a frmy operają a progozowau zarządzae plaowae produkcj. Ekoomcza ocea progoz zmeośc jes porzeba do ocey przydaośc model. Progozy kowaracj zmeośc mają zasosowae do podejmowaa decyzj w fasach: opymalzacj średej waracj porfela, hedggu, merzea ryzyka maksymalzacj zysku. Sosuje sę je do wyzaczaa greckch współczyków wycey opcj. Im wększa jes zmeość ym srume charakeryzuje sę wększym ryzykem wesycyjym. Iseje ryzyko poesea dużych sra wykających z ekorzysej dla posadacza zmay jego warośc. Przy wycee opcj, kedy zmay ce a ryku są wyższe od przecęej wysawca opcj zażąda za podejmowae ryzyko wyższej prem. Kedy aomas oowaa zmeają sę z da a dzeń ezacze wysawca będze żej szacował poecjale sray. Dla wesorów kupujących opcje wzros zmeośc srumeu bazowego ozacza wzros zarówo opcj kupa jak sprzedaży. Dla wesorów wysawających opcje (zajmujących króke pozycje w opcjach kupa sprzedaży) wzros zmeośc jes aomas zjawskem epożądaym. Progozy zmeośc wykorzysuje sę w sraegach opcyjych. Zysk przyos sraega długego selaża, gdy oczekujemy zaczej zmay warośc srumeu bazowego ezależe od ego, czy warość a wzrośe czy spade. Gdy ryek charakeryzuje mała zmeość moża zarobć a sraeg małego selaża. Progozy zmeośc sosuje sę do wyzaczaa depozyu zabezpeczającego. Co węcej przy 6

7 ocee średej waracj porfela oraz hedggu zajomość warukowej waracj korelacj prowadz do lepszych wyków bez dodakowych slych założeń. Kolejym zasosowaem jes ryzyko porfela, kóre ależy rozumeć jako warację lub odchylee sadardowe jego sopy zwrou. Do jego wyzaczea wykorzysuje sę rachuek loścowej srukury ryzyka, kóra odos sę do kokreego waloru.. Progozy waracj moża zasosować do wyzaczea l ryku kapałowego CML. La a pozwala zbadać, czy zbudoway porfel jes efekywy. Moża je akże wykorzysać do wyzaczea progoz współczyka. Jes o marą saysyczą wykorzysywaą w modelowau ryku paperów waroścowych. Współczyk ozacza sopeń wrażlwośc daej akcj a zmay sopy zysku deksu gełdowego. Wskazuje o o le proce wzrośe sopa zysku paperu waroścowego, jeżel sopa zysku deksu gełdowego wzrośe o %. Celem pracy jes ocea model progosyczych zmeośc ypu GARCH deksu WIG0, kursów waluowych spółek oowaych a GPW kombacj ych model, gdyż wybór ajlepszych model ma zaczee w zasosowaach prakyczych. Może przyczyć sę do redukcj koszów esymacj. W oparcu o powyższy cel sformułowao asępujące hpoezy badawcze rozprawy. Perwsza, główa hpoeza mów, że przy założeu sea podobej dyamk ryku moża wyróżć pewe modele ypu ARMA-GARCH jako ajlepej progozujące zmeość deksu WIG0 kursów waluowych względem złoego. W hpoeze drugej posulujemy, że dla różych częsolwośc oowań orzymuje sę e same zbory model ajlepszych dla deksu WIG0. Trzeca hpoeza badawcza swerdza, że wybór modelu ARMA może poprawć progozy zmeośc modelu GARCH w zw. modelu ypu ARMA-GARCH. Czwara hpoeza mów, że polsk deks WIG0 ajlepej progozują prose modele GARCH RskMercs wśród model z soym parameram. Nasępą hpoezą jes, że kombacja Paoa Shepparda dobrze dopasowuje sę do szeregu zmeośc daje lepsze progozy ż pojedycze modele. Posulujemy, że fukcja Paoa Shepparda dopasowuje sę podobe do ego samego szeregu zmeośc, co fukcja Doaldsoa Kamsry. Wyzaczee paramerów jedak szybsze dla fukcj Paoa Shepparda. W hpoeze kolejej swerdzamy, że dla deksu WIG0, dla różych ypów mar zmeośc zrealzowaej dla zboru szeregów progoz model GARCH zbory MCS są ake 3, same dla zmeośc zrealzowaej przeskalowaej Koopmaa Hol, oraz podsawowej zmeośc zrealzowaej, określoej jako suma kwadraów zwroów śród- 7

8 dzeych z aką samą fukcją sray, lecz wyk są odmee dla esymaora, zmeośc ze zwroem ocym,. Hpoeza koleja swerdza, że modele ARMA- GARCH e zawsze dobrze progozują zmeość spółek a GPW ze względu a d o podwyższoej zmeośc. Weryfkujemy róweż hpoezę: modele GARCH mogą dobrze progozować zmeość kursów waluowych euro do złoówk, fraka szwajcarskego do złoówk fua do złoówk. Koleją hpoezą jes, że szereg zmeośc mplkowaej a deks WIG0 ma własość długej pamęc. Poado werdzmy, że zmeość mplkowaą deksu WIG0 dobrze progozują modele ARMA ARIMA ARFIMA aomas źle sę dopasowują modele AR() MA(). Nasępa hpoeza badawcza mów, że deks WIV0 moża progozować lepej za pomocą ARMA dopasowaego do ego szeregu ż za pomocą model GARCH dopasowaych do szeregu zwroów WIG0. Osaą hpoezą badawczą jes, że wszyske modele ARMA ARI- MA ARFIMA dopasowae dobrze do szeregu WIV0 podobe progozują zmeość mplkowaą (progozy prawe sę e różą od sebe) Odpowedz a przedsawoe powyżej problemy saramy sę uzyskać badając szereg logarymczych oowań deksu WIG0, jak róweż cechujące sę mejszą zmeoścą szereg kursów waluowych oraz szereg zmeośc mplkowaej WIV0. Wykorzysujemy róże częsolwośc poczyając od daych 5 muowych a kończąc a daych dzeych. Szereg progoz zmeośc porówujemy ze zmeoścą zrealzowaą wyzaczaą a rzy róże sposoby lub z deksem zmeośc mplkowaej WIV0. Waroścą dodaą pracy jes odpowedź a pyae czy seją ajlepsze modele progosycze zmeośc dla deksu WIG0, zmeośc mplkowaej deksu WIG0, kursów waluowych względem złoego przykładowych spółek oowaych Na GPW oraz wskazae model ajlepszych w oparcu o badaa emprycze dla różych okresów. Nasępe sprawdzlśmy, że dla różych częsolwośc oowań orzymuje sę e same zbory model ajlepszych dla deksu WIG0. Po rzece wykazalśmy, że wybór modelu ARMA może poprawć progozy zmeośc uzyskae z modelu z rodzy GARCH. Poado udowodlśmy, że kombacja Paoa Shepparda dobrze dopasowuje sę do szeregu zmeośc WIG0 kursów waluowych daje lepsze progozy zmeośc ż pojedycze modele. Sprawdzlśmy, że fukcja Paoa Shepparda dopasowuje sę podobe do ego samego szeregu zmeośc co fukcja Doaldsoa Kamsry. Wyzaczee paramerów jedak szybsze dla fukcj Paoa 8

9 Shepparda. Swerdzamy, że dla deksu WIG0, dla różych ypów mar zmeośc zrealzowaej dla zboru szeregów progoz model GARCH zbory MCS są ake same dla zmeośc zrealzowaej przeskalowaej Koopmaa Hol, oraz podsawowej zmeośc zrealzowaej, określoej jako suma kwadraów zwroów śróddzeych z aką samą fukcją sray, lecz wyk są odmee dla esymaora zmeośc ze,, zwroem ocym. Okazało sę, że modele ARMA-GARCH e zawsze dobrze progozują zmeość spółek a GPW ze względu a d o podwyższoej zmeośc. Udowodlśmy, że szereg zmeośc mplkowaej a deks WIG0 ma własość długej pamęc. Poado wykazalśmy, że zmeość mplkowaą deksu WIG0 dobrze progozują modele ARMA ARIMA ARFIMA aomas źle sę dopasowują modele AR() MA(). Sprawdzlśmy, że deks WIV0 zmeośc mplkowaej moża progozować lepej za pomocą modelu ARMA dopasowaego do ego szeregu ż za pomocą model GARCH dopasowaych do szeregu zwroów WIG0. Na końcu pokazalśmy, że wszyske modele ARMA ARIMA ARFIMA dopasowae dobrze do szeregu WIV0 podobe progozują zmeość mplkowaą (progozy różą sę ezacze od sebe). Układ pracy jes asępujący: 3, Rozdzał perwszy pośwęcoy jes pojęcu zmeośc srumeu fasowego. Po omóweu różych aspeków ego pojęca kosekwecj eobserwowalośc zmeośc przedsawłam paramerycze modele zmeośc ypu GARCH. Omówłam u róweż pojęca eorę zmeośc zrealzowaej oraz zagadea zwązae z progozowaem zmeośc bezpośredą oceą jakośc progoz zmeośc. Wyjaśłam zmeość mplkowaa poado, czym jes Rozdzała drug zawera omówee rozkładów sóp zwrou wykorzysywaych w modelach GARCH. Przedsawłam uaj meszaę dwóch rozkładów ormalych, rozkłady uwzględające grube ogoy: rozkład -Sudea uogóloy rozkład błędu GED oraz rozkłady opsujące skośość szeregów zwroów: skośy rozkład -Sudea oraz rozkłady sable. Rozdzał rzec jes pośwęcoy meodom esowaa długej pamęc. W jego ramach zdefowałam króką pamęć procesu losowego. Zaprezeowałam rzy meody wykrywaa długej pamęc: aalzę R/S, es Lo oraz meodę Geweke a Porer- Hudak Rozdzał czwary doyczy esowaa adrzędej zdolośc progosyczej model za pomocą esu SPA. Przedsawłam hpoezę zerową aleraywą esu SPA oraz 9

10 saysykę esową. Wymełam róże fukcje sray sosowae w eśce. Rozkład asympoyczy saysyk esowej esu SPA e jes sadardowy oraz e są jedozacze określoy przy prawdzwej hpoeze zerowej, emej możlwe jes orzymae zgodych oszacowań prawdopodobeńsw esowych (p-warośc) za pomocą echk boosrapowych (Pols Romao 994), kóre omówłam w jedym z podrozdzałów. Opsałam esymaory p-warośc SPA. Omówłam asympoyczy rozkład saysyk esowej. Przedsawłam wyk badań doyczące porówaa esów RC SPA. Meoda RC e elmuje model, kóre mają zby wele paramerów. Poado SPA ma zdecydowae wększą moc ż RC. Na końcu zajduje sę badae włase. Przedsawłam ajlepsze modele progosycze zmeośc deksu WIG0, ypu GARCH, dla ajlepej dopasowaego modelu średej ARMA(0,0). Wyk uzyskałam meodą SPA. Dokoałam wyboru ajlepszych model progosyczych deksu WIG0 przy użycu esu SPA Rozdzał pąy. W rozdzale pąym przedsawłam procedurę kosrukcj zboru ufośc model (MCS). Podałam werdzee, kóre zapewa, że w procese elmacj MCS orzymuje sę zbór model ajlepszych. Po omóweu ogólej eor przedsawoa zosała przeze me kocepcja prawdopodobeńsw esowych (p-warośc) meody MCS oraz ch erpreacja. Częsć eoreyczą rozdzału zamyka omówee saysyk esowych reguły elmacj sosowaej w meodze MCS. W przedsawoym badau empryczym wyselekcjoowałam ajlepsze modele progosycze deksu WIG0 przy użycu meody zboru ufośc model. Zawarłam badae auorske a ema ajlepszych model progosyczych dla deksu WIG0 wśród model ARMA- GARCH, wybraych meodą MCS. Poszukwałam model zmeośc GARCH dla różej specyfkacj ARMA. Pokazałam, że wybór modelu ARMA średej może poprawć progozy zmeośc model ypu GARCH. Pokazałam że w grupe model ypu ARMA-GARCH moża wyypować pdzbór model ajlepszych dla deksu WIG0. Badae przeprowadzłam dla różych szeregów zwroów deksu WIG0 Rozdzał szósy zawera omówee esu warukowej zdolośc progosyczej. W ramach rozdzału przedsawłam saysyk esowe esu warukowej zdolośc progosyczej oraz welokrokowego esu warukowej zdolośc progosyczej. Podałam werdzea, kóre zapewają, że saysyk esowe esów warukowej zdolośc progosyczej mogą być weryfkowae w oparcu o warośc kryycze rozkładu q. 0

11 Rozdzał sódmy doyczy rakgu model zmeośc. Zgody rakg progosyczych model zmeośc, z. rakg zomorfczy z rakgem, w kórym progoza zmeośc byłaby porówywaa z eobserwowalą zmeoścą rzeczywsą, może być przyday do podejmowaa decyzj wesycyjych p. w meodze porfelowej oparej a progozach zmeośc. Przedsawłam kocepcje rówoważośc mędzy rakgam. Omówłam waruk, kóre zapewają rówoważość rakgów oparych a baze zmeośc rzeczywsej a baze esymaora zmeośc (Hase Lude 006). Opsałam róweż worzee rakgu model progosyczych a podsawe współczyka regresj Mcera-Zarowza. W rozdzale ósmym omówłam zagadee kombacj progoz. Przedsawłam argumey śwadczące o przewadze kombacj progoz ad progozam orzymaym za pomocą pojedyczych model. Kombacja progoz jes dobrą aleraywą, jeśl e jes możlwe wyróżee jedego domującego modelu (Tmmerma 006). Poado kombacje progoz są bardzej sable ż dywduale progozy (Sock Waso 004). W rozdzale opsałam kombacje lowe elowe progoz, meody esymacj wag kombacj oraz kombacje z wagam zmeającym sę w czase. Rozdzał zawera róweż badae włase a ema porówywae progosyczych model zmeośc deksu WIG0 ch kombacj przy pomocy meody zboru ufośc model. Daym są modele zmeośc oraz ch kombacje lowe elowe. Wykem badaa są zbory MCS zawerające kombacje elowe Paoa Shepparda, jako dające lepsze progozy ż pojedycze modele. Rozdzał kończy badae będące porówaem kombacj elowych Doaldsoa Kasry oraz Paoa Shepparda Rozdzał dzewąy o prezeacja badaa własego a ema wyboru ajlepszych model progosyczych dla kursów waluowych spółek akcyjych z GPW spośród model ypu ARMA-GARCH, meodą MCS. Wykoałam badae dla kursu euro do złoego, kursu fraka szwajcarskego do złoego kursu fua bryyjskego do złoego. Badae przeprowadzłam dla różych szeregów odosłam rezulay do wyków ych auorów. Osa podrozdzał doyczy wyboru model progosyczych zmeośc dla spółek akcyjych a GPW. W przedsawoym badau uwzględłam spółk PKN Orle, Hadlowy Agora. Progozy zmeośc porówałam z dzeą zmeoścą zrealzowaą. Wykorzysałam dwe fukcje błędu MAD MSE. Wycągęłam wosek, że modele ARMA-GARCH e zawsze dobrze progozują zmeość spółek a GPW.

12 Rozdzał dzesąy jes a ema modelowaa progozowaa zmeośc mplkowaej deksu WIG0. Najperw zdefowałam całkową zmeość mplkowaą klasy opcj. W kolejym podrozdzale zdefowałam model ARFIMA. Nasępe poszukwałam ajlepszych model progosyczych deksu WIV0 spośród model AR- MA(p,q), ARIMA(p,,q) ARFIMA(p,q) dla p 0,, } q 0,, } Okazało sę, że modele e geerują bardzo dobre progozy WIV0. Nasępe porówałam progozy zmeośc ajlepszych model ypu ARMA, ARIMA ARFIMA z progozam ych model z rówocześe modelowaą progozowaą waracją warukową błędu za pomocą model GARCH jego różych rozszerzeń. W osam pukce próbowałam progozować zmeość mplkowaą progozując zmeość szeregu zwroów deksu WIG0 przy użycu model z rodzy ypu GARCH. Prezeowaa praca dokorska powsała pod kerukem aukowym prof. Ryszarda Domaa. Auorka chcałaby serdecze podzękować Pau Profesorow za całą udzeloą pomoc, wsparce aukowe, życzlwe podpowedz pośwęcoy czas.. Zmeość srumeu fasowego W zależośc od celu aalzy fukcjoują róże defcje zmeośc. Zmeość cey srumeu fasowego opsuje słę wahań zwrou ego srumeu w daym przedzale czasowym. Wększa zmeość ozacza podwyższoą epewość co do przyszłych ruchów kursów. Badae zmeośc srumeów fasowych ależy do szyb-

13 ko rozwjających sę obszarów badawczych. Zmeość odgrywa ważą rolę przy wycee srumeów pochodych, p. opcj opymalzacj porfela. Zmeość wysępuje poado we wzorze a warość zagrożoą. Procesy zmeośc charakeryzują sę persysecją edecją do worzea skupsk Zmeość ma edecje do spadku w czase zaawasowaej bessy, poprzez począek owej hossy aż do jej dojrzałego sadum. Wpsuje sę o w udokumeoway fak egaywej korelacj zmeośc ze sopą zwrou. Ią cechą jes eobserwowalość zmeośc. Ozacza o, że zmeośc e moża odczyać bezpośredo. Urzymywae sę wysokej zmeośc powo być osrzeżeem dla wesorów do pozosawaa poza rykem. Kosekwey spadek zmeośc powe zacząć przycągać uwagę, ak aby włączyć sę do ryku grając a zwyżkę. Poeważ zaczee prakycze mają progozy zmeośc pojawa sę problem ocey jakośc progozy. Jedym z zagadeń jes zaem poszukwae mar zmeośc. Wyróża sę rzy sposoby pomaru zmeośc za pomocą model zmeośc, mplkowae przez cey rykowe, p. cey opcj, oraz oblczae zmeośc zrealzowaej. Wśród parameryczych model zmeośc ajczęścej wymea sę modele auoregresyjej heeroskedasyczośc warukowej GARCH oraz modele zmeośc sochasyczej SV. W podejścu dyamczym przyjmuje sę założee, że seje możlwość przewdywaa przyszłych warośc zwroów w oparcu o ch przeszłe warośc oraz opóźoe warośc ych zmeych objaśających. Szczególe zaczee ma uaj wysępowae elowych zależośc mędzy ym welkoścam. Kocepcja specyfkacja modelu, w kórym wykorzysao ego ypu relację pojawła sę po raz perwszy w pracy Egle a doyczącej zmeośc sóp flacj w Welkej Brya. Zapropooway w pracy model auoregresyjej heeroskedasyczośc warukowej ARCH(p) opera sę a założeu sea auokorelacj pomędzy kwadraam zwroów. W kolejych laach model e podlegał lczym rozszerzeom modyfkacjom zajdując zasosowaa w modelowau zmeośc fasowych makroekoomczych szeregów czasowych. Aleraywym podejścem do zapropoowaego przez Egle a modelu ARCH(p) są modele zmeośc sochasyczej. Moywacj ch powsaa ależy doparywać sę w powszeche sosowaym po dzeń dzsejszy modelu Blecka-Scholesa (973), kórego cechuje erealsycze założee o sałośc zmeośc. Założee o sało sę główym powodem wprowadzea przez Hulla Whe a (987) modelu wycey opcj, w kórym zmeość opsaa jes sochasyczym rówaem różczkowym. 3

14 .. Mary zmeośc Mary zmeośc operają sę a defcj ryzyka jako możlwośc osągęca wyku ego ż oczekway. Maram merzącym ake ryzyko są mary dyspersj. Marą rozproszea jes odchylee sadardowe. Oblcza sę ją a podsawe daych hsoryczych pochodzących z daego horyzou czasowego asępująco lub s r r (.) s r r, (.) gdze s-odchylee sadardowe, -lczba daych z określoego przedzału czasowego r - średa sopa zwrou. Mara a jes populara wykorzysywaa zarówo w eor porfelowej, w wycee opcj w szacowau welkośc VAR. Wadą ej meody jes o, że przy oblczau rzeba sę oprzeć a daych hsoryczych przez o seje problem doboru okresu z jakego dae e powy pochodzć. Zby krók okres powoduje, że dae mogą eść bardzo mało formacj o obece paującej syuacj. Dae mej odległe powy w wększym sopu wpływać a warość odchylea sadardowego. Jes o zaware w kocepcj ważoego odchylea sadardowego. gdze r w s r rw, (.3) r, jes defowae asępująco:. W oparcu o ę marę fukcjoują w aalze echczej ak zwae wsęg Bollgera Meoda wsęg Bollgera zosała zapropoowaa przez Bollgera polega a ym, że wokół średej umeszcza sę dwe wsęg, kóre są odchyloe od ej o dwa 4

15 (lub ą lczbę) odchylea sadardowe. Przy sosowau dwóch odchyleń sadardowych 95% daych ceowych powa sę zaleźć pomędzy dwema wsęgam. Jeśl cey docerają do górej lub dolej wsęg wedy ryek saje sę wykupoy lub wyprzeday. Rozszerzee wsęg jes ożsame ze wzrosem zmeośc. Te wskaźk są wylczae a baze obserwacj przeszłych. Zaem możemy mówć o zmeośc hsoryczej już zrealzowaej. Odchylee sadardowe jes wrażlwe a warośc skraje. Problem e rozwązuje średe odchylee sóp zwrou od meday. Medaa jes marą położea ewrażlwą a warośc eksremale. Dość częso przyjmowaym założeem jes sałość odchylea sadardowego w czase. Lcze badaa przemawają za odrzuceem ego założea zasosowaem model warukowej waracj. Na przykład model ypu GARCH. Do pomaru ryzyka służy śred rozsęp mędzy dwoma skrajym waroścam sopy zwrou Wyraża sę asępującym wzorem: gdze s- połowa rozsępu, rmax max m s 0.5 r r (.4) maksymala sopa zwrou w zadaym okrese, rm mmala sopa zwrou. Isoym musem ej mary jes o, że jej warość zależy wyłącze od dwóch skrajych sóp zwrou a e od ch rozkładu. Kolejym sposobem pomaru ryzyka jes zasosowae odchylea mędzykwaralego, zdefowaego jako różca pomędzy rzecm perwszym kwarylem. Mara a e jes ak wrażlwa a warośc eksremale, gdyż wyzacza sę ją dla wększej lczby obserwacj. Badae zmeośc zwroów może być prowadzoe a dwa sposoby. Perwszy o podejśce saycze lub hsorycze. Zakłada oo ejawe, że zwroy hsorycze e woszą formacj progosyczych. Zakłada jedak, że przyszłe zwroy są fukcją zwroów przeszłych. W podejścu hsoryczym zmeość srumeu fasowego jes esymowaa jako: r j r j j j ˆ (.5) Oblcza sę zmeość a podsawe zwroów przeszłych w oke o długośc. To podejśce zakłada, że w przedzale o długośc zwroy są ezależe lub co ajmej eskorelowae mają jedakowy rozkład. 5

16 W podejścu dyamczym, uwzględającym zwroy logarymcze, wyzaczae asępująco l P l P zwrou r 00 marą zmeośc jes waracja warukowa sopy r względem - algebry E r E r. (.6), (algebry formacj do chwl -) Ozacza o, że w ym ujęcu zmeość jes progozowala, Może być określoa a podsawe formacj, kóre mapłyęły do momeu -. Moża róweż zdefować zmeość dla czasu cągłego. Zakłada sę wedy, że rasakcje a rykach fasowych odbywają sę w dowalych chwlach, a pomary zmeośc zwroów srumeów fasowych mogą eoreycze doyczyć dowole krókch przedzałów czasu. Marygał w eor prawdopodobeńswa o proces sochasyczy (cąg zmeych losowych, w kórym warukowa warość oczekwaa zmeej w chwl, gdy zamy warośc do jakegoś wcześejszego momeu s jes rówa warośc w momece s. Defcja.. Każdą emalejącą rodzę cał T azywamy flracją. Flracja może być erpreowaa jako hsora saów procesu. Defcja.. Najmejsze przelczale addyywe -cało zborów zawerające półprose posac,a azywamy całem zborów Borelowskch ozaczamy je przez. Elemey cała azywamy zboram Borelowskm. Defcja.3. Nech,, będze przesrzeą probablsyczą ech ozacza cało zborów Borelowskch. Fukcję czyl Defcja.4. Proces losowa X : azywamy zmeą losową gdy jes merzala B X B : X B X azywamy adapowaym do flracj jeśl dla dowolego X jes - merzala. T zmea 6

17 Iaczej X jes adapoway jeśl dla każdej realzacj dla każdego chwl Defcja.5. Proces flracj jeśl Defcja.6. X jes zay w X adapoway do flracj azywamy marygałem względem mary a) E X b) dla dowolego s< E X X s Dla cągu zmeych losowych X,... zmeą losową o akej własośc, że dla, X każdego o czy zdarzee zrealzowało sę zależy wyłącze od realzacj zmeych losowych X,..., azywamy momeem zarzymaa Defcja.7. Nech,,, X X, a poado Pr( ) jes prawe wszędze skończoa, będze przesrzeą probablsyczą ech T T będze flracją. Poado ech X będze procesem adapowaym do flracj. Wówczas mówmy, że X jes marygałem lokalym jeśl seje cąg momeów zarzymaa k ak, że ) k jes rosący ) k jes rozbeży do k 3) X 0 k jes marygałem dla każdego k W eor prawdopodobeńswa proces rzeczywsy X jes semmarygałem jeśl moża uworzyć jego dekompozycję a sumę lokalego marygału adapowaego procesu o skończoej waracj. Defcja.8. Nech,, będze będze przesrzeą probablsyczą oraz ech T T flracją. Proces X azywamy -semmarygałem jeśl moża go rozłożyć a sumę X A, gdze jes marygałem lokalym a A jes procesem adapowa- 7

18 ym do, mającym rajekore prawosroe cągłe z lewosroym gracam oraz lokale ograczoą warację. Jeśl M jes marygałem z lokale całkowalym kwadraem o zachodz rówość h M h Var ( M( ) ) E M h (.7) Jeśl X, X jes waracją kwadraową dla semmarygału X, określoą wzorem X X X X 0 X s dx s,, (.8) gdze X s jes gracą lewosroą, o prawdzwa jes asępująca własość: E M M h EM, M M, M h Zaem koleją marą zmeośc, a przedzale [-h,] jes zmeość wyzaczaa ze wzoru:, h M, M M, M h 0 (.9) azwaa zmeoścą eoreyczą lub zmeoścą fakyczą. W pracy Doma Doma (004) pokazao, że zmeość zmeość eoreycza może być aproksymowaa sumą kwadraów zwroów o odpowedo dużej częsolwośc. Jes o esymaor zgody zmeośc eoreyczej. Zapszmy model Blacka-Scholesa z uwzględeem skoków: dp d dw dq, h h gdze rozmar skoku o p p. K, p jes logarymczą ceą srumeu fasowego w chwl. q ozacza proces Possoa, przy czym q lub 0 czy w momece asępuje skok. q w zależośc od ego, Wedy z eor zmeośc przy przyjęych założeach zachodz zbeżość: / r j, sds K s (.0) j s W pracy Badorffa-Nelsea Shepharda (004) rozwęo eorę pozwalającą badać wysępowaa skoków w procese z czasem cągłym.. Specyfkacja model zmeośc warukowej 8

19 W badaach przedsawoych w rozdzałach empryczych pracy wykorzysao róże ypy model GARCH. Model GARCH(p,q) (uogóloy model ARCH) opsuje sę rówaam: y, q p y j j j (.) 0,, 0, 0, 0. ~ dd j Prosy sposób budowaa model, ławość ch esymacj oraz sejąca aurala erpreacja są powodem popularośc ych Modele e zapewają rwałą w czase zależość pomędzy kwadraam zwroów przy jedoczesej redukcj lczby opóźeń jaka mogłaby wysąpć w modelu ARCH. W badaach wykorzysao opsae pożej ypy model GARCH. Perwszym waraem modelu GARCH, uwzględającym efek asymer był GARCH wykładczy (EGARCH) przedsawoy przez Nelsoa w roku 99.o zaczy model: q p log log (.) E j j j Warość oczekwaa Dla rozkładu ormalego mamy: E zależy od przyjęego rozkładu błędu. E Dla skośego sadaryzowaego rozkładu -Sudea 4 E. gdze jes lczbą sop swobody sadaryzowaego rozkładu -Sudea a jes współczykem asymer. Dla uogóloego rozkładu błędu GED 9

20 0, E gdze 3. W posac zapropoowaej przez Bollersleva Mkkelsea w 996 roku model EGARCH ma asępującą specyfkację, l g L L. ) ( E g Tak jes o zdefoway w programe G@RCH Laureaa. W programe TSM Davdsoa model EGARCH(,) jes posac:, log log gdze o paramer asymer W częśc empryczej esymujemy za pomocą TSM modele EGARCH(,) z paramerem asymer rówym zero, wedy: log log (.3) Model GARCH(p,q) w kórym p j j q azywa sę zegrowaym modelem IGARCH. Szczególym przypadkem jes model RISKMETRICS, dla kórego seją dwa współczyk ARCH GARCH wyrażoe asępująco:. (.4) Zegroway ułamkowo model GARCH zosał wprowadzoy przez Bale go, Bolersleva Mkelsea w roku 996. Służy do modelowaa długej pamęc w procese zmeośc. Warukowa waracja w modelu FIGARCH(,d,), w programe TSM jes daa wzorem: d y L L L, (.5)

21 Kolejym jes model HYGARCH. Jes o hperbolczy GARCH. Model HY- GARCH(,) w programe TSM jes posac: d k L y L L, (.6) Wysępowae asymeryczych oddzaływań zwroów ujemych dodach a pozom zmeośc azywa sę efekem dźwg. Rozszerzeem modelu GARCH uwzględającym e efek jes model Glosea, Jagaahaa Rukle z roku 993 GJR p, q S j j j (.7) S jes zmeą pomocczą, kóra przyjmuje warość kedy warość j jes egaywa, a 0 kedy jes pozyywa. Model APARCH wprowadzoy przez Dga, Gragera Egle a w roku 993. obejmuje model GJR jako szczególy przypadek. Model e posada współczyk asymer oraz daje możlwość dopasowaa wykładka, gwaraującego see bezwarukowego momeu rzędu dla procesu. Model APARCH(p,q) obejmuje jako szczególe przypadk sedem ych rozszerzeń modelu GARCH. Model APARCH opsuje sę rówaam: q p y y j gdze 0,,,..., q j y j, aomas model FIAPARCH(,) w programe TSM ma asępującą specyfkację: L ) y ( d W dalszych rozdzałach będą róweż wykorzysywae modele ARMA-GARCH. Są o modele, w kórych jedocześe jes szacowaa składowa lowa w posac ARMA oraz zmeość za pomocą model GARCH. Specyfkacja modelu ARMA(r,s)-GARCH(p,q) jes aka jak pożej:. r a 0 r a r s b