KORELACJA KORELACJA I REGRESJA. X, Y - cechy badane równocześnie. Dane statystyczne zapisujemy w szeregu statystycznym dwóch cech
|
|
- Bronisława Turek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KORELACJA I REGRESJA. KORELACJA X, Y - cech badae rówocześe. Dae statstcze zapsujem w szeregu statstczm dwóch cech......
2 lub w tablc korelacjej. X Y... l.... l.... l k k k... kl k..j......l gdze,,..., k - warat lub środk klas dla cech X,,,..., l - warat lub środk klas dla cech Y,.j - sum lczebośc kolum,. - sum lczebośc wersz.
3 Wstępe słę kształt zależośc mędz cecham możem oceć a podstawe dagramu korelacjego: Y Y X X korelacja lowa dodata Y korelacja lowa ujema Y X X korelacja krzwolowa brak korelacj 3
4 Słę zależośc mędz cecham merzm współczkem korelacj lowej Pearsoa Uwaga. r X Y cov (, ) S X SY r ; 4
5 gdze cov ( X, Y ) ( )( ) lub (gd dae w tablc korelacjej) cov ( X, Y ) k l j j j ( )( ) k l j j j jest kowaracją mędz cecham X Y (kowaracja też merz słę zależośc mędz cecham, jej zak określa keruek zależośc lecz jest welkoścą euormowaą) 5
6 6 ( ) ( ) s X ( ) ( ) S Y
7 7 lub (gd dae w tablc korelacjej) ( ) ( ).. s k k X ( ) ( ).. s l j j l j j Y są odchleam stadardowm dla cech X Y.
8 Uwaga: a) ( )( ) ( ) ( ) b) 8
9 Karl Pearso ( ), agelsk matematk, prekursor statstk matematczej 9
10 Jeśl r > 0 to mówm, że cech są skorelowae dodato (wzrostow cech X towarzsz wzrost cech Y), Jeśl r < 0 to mówm, że cech są skorelowae ujeme,(wzrostow cech X towarzsz spadek cech Y), Jeśl r 0 to mówm, że cech są eskorelowae, (zma wartośc cech X e powodują zma wartośc cech Y), 0
11 Jeśl 0 < r < 0, 3to mówm, że cech są skorelowae słabo, Jeśl 0, 3 r < 0, 5 to mówm, że cech są skorelowae średo, Jeśl 0, 5 r < 0, 7 to mówm, że cech są skorelowae moco, Jeśl 0, 7 r to mówm, że cech są skorelowae bardzo moco. Powższe przedzał mają zakres umow.
12 Iterpretując powższ współczk korelacj ależ pamętać, że jego wartość blska zera e zawsze ozacza brak zależośc a jede brak zależośc lowej. W tm przpadku ależ skorzstać z wkresu lub skorzstać z ch mar zależośc p. polczć tzw. stosuk korelacje. Wartość współczka korelacj zależ od zakresu zmeośc badach cech, podobe jak średa artmetcza podlega wpłwom skrajch wartośc.
13 Przkład Badao zależość wartośc zużtch surowców (w ts. zł.) Y od welkośc produkcj (ts. szt.) X w 6-cu zakładach produkcjch. t,5 3 0,5 t Wzaczam wartość współczka korelacj. 3
14 Oblczea wkoam w tabel ( )( ) ( ) ( ),5 3 0, ,5 0,5 0-0,5, , ,5 0,5 0,5 0 0,5, , 5; 4 ; r , 948 zatem zwązek pomędz wartoścą zużtch surowców a welkoścą produkcj jest bardzo sl (korelacja dodata). 4
15 Przkład. Badao zależość lczb błędów a stroe maszopsu Y od stażu prac X (podao środek przedzału stażu prac) w grupe 50 sekretarek. Y 0 3. X j
16 ,7 5,; 6
17 S X , 5, 79, S Y ,, 7 0,
18 4... cov( X, Y ) ,, 7 7,
19 7, 04 r 0, , 36 0, 8 zatem zwązek pomędz stażem a loścą błędów jest bardzo sl (korelacja ujema). 9
20 Słę zależośc możem róweż merzć współczkem korelacj rag Spearmaa: Obserwacje umerujem od ajmejszej do ajwększej (adajem rag). Jeśl dae powtarzają sę to przpsujem m jedakowe rag rówe średej artmetczej z kolejch umerów. Q gdze d - różce rag. d 6 3 0
21 Charles Edward Spearma ( ) agelsk pscholog statstk
22 Współczk te stosujem w przpadku małej lczb dach lub w przpadku cech emerzalch, którch wartośc moża uporządkować. W przpadku cech emerzalch moża merzć słę zależośc współczkem Cramera lub Czuprowa (defcja będze podaa prz teśce ezależośc ch kwadrat).
23 Przkład. Dwóch człoków komsj przetargowej A B oceało adesłae ofert. Człoek A oceał jakość ofert opsowo atomast człoek B przdzelał m pukt od 0 do 00. Oferta Ocea A Ocea B Raga oce A I mej ż 50 przecęta II słaba 45 III dobra 5 IV przecęta 30 V bardzo 5 dobra VI bardzo słaba 4 VII przecęta 40 Razem Raga oce B d d 3
24 Oferta Ocea A Ocea B Raga oce A Raga oce B I mej ż przecęta II słaba 45 6 III dobra 5 6,5 IV przecęta 30 4,5 3 V bardzo dobra 5 7,5 VI bardzo słaba 4 5 VII przecęta 40 4,5 4 Razem d d 4
25 Oferta Ocea A Ocea B Raga oce A Raga oce B d d I mej ż przecęta II słaba III dobra 5 6,5 4,5 0,5 IV przecęta 30 4,5 3,5,5 V bardzo dobra 5 7,5 5,5 30,5 VI bardzo słaba VII przecęta 40 4,5 4 0,5 0,5 Razem 0 0 Q , 8 3 Wka stąd zupeł brak zgodośc oce obu człoków komsj (bardzo sla korelacja ujema). 5
26 REGRESJA LINIOWA Regresja to kształt zależośc mędz badam cecham. Iteresuje as ajprostsza zależość w postac fukcj lowej. Wzaczm prostą Yˆ b0 + b X Najlepej dopasowaą do dach (, ) 6
27 Y - zmea objaśaa, - wartośc (obserwacje) zmeej Y;,..., - umer obserwacj, X - zmea objaśająca, - wartośc zmeej X, b0,b - parametr strukturale (ch wartość wzacza sę a podstawe obserwacj (, )) 7
28 Ab wzaczć wartość parametrów strukturalch b 0,b a podstawe prób stosujem metodę ajmejszch kwadratów (MNK). MNK polega a wzaczeu takch b 0,b ab dla dach obserwacj (, ) suma kwadratów odchleń zaobserwowach wartośc od wartośc Yˆ b0 + b X bła mmala, tz. chcem wzaczć mmum fukcj: 8
29 ŷ e ˆ $Y b 0 +b X (prosta regresj z prób) e 9
30 30 b b e b b S 0 0 ) ( ) ˆ ( ), ( (*) e ˆ azwam resztam modelu regresj Uwaga. 0 e Należ wzaczć prostą regresj tak ab suma pól kwadratów bła mmala.
31 3 Oblczając pochode cząstkowe fukcj (*) przrówując do zera otrzmujem (układ rówań ormalch) 0 ) )( ( 0 ) )( ( b b b b b S b b b b b S
32 3 rozwązując otrzma układ rówań otrzmam wzor a przblżoe wartośc parametrów strukturalch ( ) ( )( ) ( ) ), cov( ) ( X X Y S Y X r S S b b b 0
33 Prostą Yˆ b0 + b X azwam prostą regresj z prób. 33
34 Mar dopasowaa. Waracja resztowa: Waracja resztowa to uśredee pól kwadratów zbudowach a resztach odzwercedla stopeń dopasowaa prostej regresj do dach statstczch. 34
35 35 Nech, e $, gdze $ b b + 0 wted S e e czl ( ) 0 Y e S r b b S e S e S ozacza średe (stadardowe) odchlee od prostej regresj.
36 Dopasowae modelu do dach emprczch moża oceać odchleem stadardowm reszt lecz jest to mara bezwzględa euormowaa, dlatego do porówań lepsze są mar względe lub uormowae. 36
37 Najprostszą względą marą dopasowaa jest współczk zmeośc resztowej: V e S Y e 00% Współczk te formuje jaką część średej wartośc badaego zjawska staow odchlee stadardowe reszt. Mejsze wartośc tego współczka wskazują a lepsze dopasowae modelu do dach emprczch, eked żąda sę ab p. V e < 0,. 37
38 { Zmeość całkowta } } Zmeość przpadkowa Zmeość wjaśoa modelem regresj Wprowadzam ozaczea: Całkowta suma kwadratów (zmeość całkowta): CSK ( ) Wjaśoa suma kwadratów (zmeość wjaśoa): WSK ( ˆ ) Newjaśoa suma kwadratów (zmeość przpadkowa): NSK e gdze : ˆ b0 + b 38
39 Własość: Czl ( ) ( ˆ ) CSK WSK + NSK + e 39
40 Marą dopasowaa modelu do rzeczwstośc (wartośc zaobserwowach) jest róweż współczk determacj R Współczk determacj: R WSK CSK R 0, współczk te określa jaka część całkowtej zmeośc zmeej objaśaej została wjaśoa przez model regresj lowej. 40
41 4 ( ) ( ) ( ) 0 ), ( cov ) ( ) ( ) ˆ ( r S S Y X b b b e R Y X +
42 Przkład Badao zależośc kosztów całkowtch (w ts. zł.) Y od welkośc produkcj (ts. szt.) X w 6-cu zakładach produkcjch ˆ + Dla Y b0 b wzaczam przblżoe wartośc parametrów strukturalch współczk determacj. 4
43 Oblczea wkoam w tabel ( )( ) ( ) ( )
44 ( )( ) ( ) ( )
45 36 4 6; 4 ; b 0,5; b0 4 0,5*6 64 zatem zwązek pomędz kosztam całkowtm a welkoścą produkcj wraża sę zależoścą lową w postac Współczk determacj Yˆ + 0, 5X R 6 0,89 8 ależ oczekwać, że rozpatrwa model wjaśa 89% całkowtej zmeośc badaego zjawska. 45
46 46 Stadardowe błęd oszacowaa parametrów strukturalch. X e e S S S b S ) ( ) ( ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( X e X e S S S b S b S S b S + + Stosujem eked zaps ) ( ˆ )) ( ( )) ( ( 0 0 e b S b S S X b b Y ± + ± ±
47 Uwaga. W celu dokładejszego zbadaa kształtu zależośc mędz cecham moża wkoać wkres emprczch l regresj. Są to łamae wzaczoe przez średe warukowe: j k. j j (tz. oblczam średą wartość X prz ustaloej wartośc j ) l j j. j (tz. oblczam średą wartość Y prz ustaloej wartośc ) Regresja Y względem X ( ); (, );...; (, ), Regresja X względem Y k k ( ); (, );...; (, ), Łamae te przecają sę w pukce ( ) l l,. Im blżej sebe są położoe tm slejsz jest zwązek medz cecham. 47
48 Przkład. Badao zależość wartośc sprzedaż Y (ml zł) od wdatków a reklamę X (ts. zł) w grupe 00 frm. Y X j ,5; ,44 Zestawee średch warukowch: (, ) (, ) j j , 9 6, , , 4 7, , 9, 7 0, 7 4 Wkres emprczch l regresj. j j Le regresj Regresja Y względem X Regresja X względem Y Wartośc cech Y Wartośc cech X 48
49 W przpadku gd wkres dach w układze współrzędch wskazuje a brak zależośc lowej możem próbować dobrać fukcję elową do opsu zależośc mędz cecham. Rówość waracja. S ( ) S ( ) + S ( ) gdze S ( ) - waracja cech Y S ( ) - waracja mędzgrupowa S ( ) k ( ). merz zróżcowae cech Y wwołae oddzałwaem cech X. Jest to waracja średch warukowch Y(X ). S ( ) - waracja wewątrzgrupowa S ( ) k s ( ). merz zróżcowae cech Y wwołae oddzałwaem czków poza cechą X. Jest to średa ważoa rozkładów warukowch Y(X ). 49
50 Stosuek korelacj e S( ) S( ) merz słę zależośc cech Y względem cech X. Aalogcze stosuek korelacj e S( ) S( ) merz słę zależośc cech X względem cech Y. Stosuk korelacje pokazują słę zwązku, lecz e formują o jego keruku. Przjmują wartośc z przedzału [0, ]. Wartośc e e są a ogół róże. Różca mędz kwadratem stosuku korelacjego a kwadratem współczka korelacj Pearsoa (zwa wskaźkem krzwolowośc) merz stopeń krzwolowośc regresj: m m e r zmeej Y względem X, e r zmeej X względem Y, Neked przjmuje sę, że jeśl wskaźk krzwolowośc jest e wększ ż 0, to wpłw jedej cech a drugą jest low moża stosować regresję lową, w przecwm przpadku lepej stosować regresję elową. 50
51 Progoza. Progoza puktowa τ - momet (okres progoz) τ - wartość cech X w okrese progoz * 0 b + b τ τ 5
52 5 Stadardow błąd progoz ( ) ( ) e e S S S τ τ τ τ
53 Uwaga ) S τ > Se ) S τ jest mmale dla τ 53
54 błąd względ progoz: δ τ S τ * τ 00% 54
55 Model tedecj rozwojowej Gd X jest zmeą czasową t (t,,..., ) tz. model regresj ma postać Yˆ b0 + bt wówczas tak model azwam modelem tedecj rozwojowej lub modelem tredu lowego. 55
56 Wted korzstając z własośc: ( + ) (*) t t ( + )(, t 6 t + ), t ( ) t t t ( t ) + 56
57 57 mam ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( t t t t t t t t b t t t t t
58 b 0 b t b + 58
59 Waracja resztowa Nech e $, (gdze ˆ b 0 + b t ) to reszt modelu, wted s e e t b0 t b t t czl se t e s e s ozacza średe (stadardowe) odchlee od tredu lowego. t t 59
60 60 Dopasowae modelu do dach emprczch oceam też współczkem determacj ( ) ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) (ˆ r t t b t b b e R t t t t +
61 Progoza dla modelu tredu Nech t τ okres progoz. * Progoza puktowa τ to przewdwaa wartość cech Y w okrese t τ. * b + bt τ 0 τ 6
62 6 Stadardow błąd progoz puktowej ( ) ( ) t t t t e t e t t t t t t s t t t t s s τ τ τ τ
63 63 Wzór te moża uproścć korzstając z własośc (*). t t s t t s s e e ) ( 4 ) ( 6 ) )( ( ) ( 6 ) )( ( τ τ τ τ τ
64 Zatem ależ traktować wartość progoz jako * ± τ s τ Jakość progoz puktowej możem oceć względm błędem progoz puktowej δ pukt τ sτ 00% * 64
65 Przkład Y welkość sprzedaż (ts. szt.). Dae z kolejch półrocz : 05, 5, 8, 9, 8, 30, 39, 4, 46, 56, 60, 64. Wzaczć progozę a perwsze półrocze 00 roku oceć jej dokładość. 65
66 66
67 t t t t t 67
68 t t t t t
69 tśr 6,5 śr 35,967 b 5,0804 b0 0,8939 Se^ 7,79984 Se,7970 tt 5 t* 79,00 St 3,667 d pkt,04% 69
70 70
Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowoStatystyka. Katarzyna Chudy Laskowska
Statstka Katarza Chud Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ Aalza korelacj umożlwa stwerdzee wstępowaa zależośc oraz oceę jej atężea ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI: CECHY: ILOŚCIOWA ILOŚCIOWA CECHY: JAKOŚCIOWA
Bardziej szczegółowoBADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ
Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoJózef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta
Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów
Bardziej szczegółowoStatystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk
Statstka powtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rodzaje mar statstczch mar położea - wzaczają przecęta wartość cech statstczej mar zróżcowaa (lub zmeośc, rozproszea, dspersj) -
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoLinie regresji II-go rodzaju
Lam regresj II-go rodzaju zmeej () względem () azwam zadae krzwe g(;,, ) oraz h(;,, ) gd spełają oe odpowedo waruk: E E Le regresj II-go rodzaju ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g ;,,... g ;,,... f, dd m,,... (
Bardziej szczegółowoNatalia Nehrebecka. Dariusz Szymański
atala ehreecka Darusz Szmańsk Wkład . MK przpadek welu zmech. Własośc hperpłaszczz regresj 3. Doroć ć dopasowaa rówaa regresj. Współczk determacj R Dekompozcjawaracj zmeejzależejzależej Współczk determacj
Bardziej szczegółowoANALIZA ZALEŻNOŚCI DWÓCH ZMIENNYCH ILOŚCIOWYCH
ANALIZA ZALEŻNOŚCI DWÓCH ZMIENNYCH ILOŚCIOWYCH Na ogół oprócz obserwacj jedej zmeej zberam róweż formacje towarzszące, które mogą meć zaczee w aalze teresującej as welkośc. Iformacje te mogą bć p. wkorzstae
Bardziej szczegółowoRegresja linowa metoda najmniejszych kwadratów. Tadeusz M. Molenda Instytut Fizyki US
Regresja lowa metoda ajmejszch kwadratów Tadeusz M. Moleda Isttut Fzk US Regresja lowa (też: metoda ajmejszch kwadratów, metoda wrówawcza, metoda Gaussa) Zagadea stota metod postulat Gaussa współczk prostej
Bardziej szczegółowoNiepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk
Nepewośc pomarów DR Adrzej Bąk Defcje Błąd pomar - różca mędz wkem pomar a wartoścą merzoej welkośc fzczej. Bwa też azwa błędem bezwzględm pomar. Poeważ wartość welkośc merzoej wartość prawdzwa jest w
Bardziej szczegółowoAnaliza ZALEśNOŚCI pomiędzy CECHAMI (Analiza KORELACJI i REGRESJI)
D. Mszczńska, M.Mszczńsk, Materał do wkładu 7 ze Statstk (wersja poprawoa), WSEH, Skerewce 009/0 [] Aalza ZALEśNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoStatystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna
Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i statystyka W 10: Analizy zależności pomiędzy zmiennymi losowymi (danymi empirycznymi)
Rachuek Prawdopodoeństwa statstka W 0: Aalz zależośc pomędz zmem losowm dam emprczm) Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 adra@tempus.metal.agh.edu.pl Odkrwae aalza zależośc pomędz zmem loścowmlczowm) Przedmotem
Bardziej szczegółowoOpracowanie wyników pomiarów
Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZA 1. Wkład wstęp. Teora prawdopodobeństwa elemet kombatork. Zmee losowe ch rozkład 3. Populacje prób dach, estmacja parametrów 4. Testowae hpotez statstczch 5. Test parametrcze (a
Bardziej szczegółowoMODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI
MODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI Współzależość cech Rozważam jedostk zborowośc badae ze względu a dwe, lub węcej zmech W przpadku obserwacj opartch a dwóch zmech możem wkreślć dagram korelacj. Każda obserwacja
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.
INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,
Bardziej szczegółowoStatystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk
Statstka pwtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rdzae mar statstczch mar płżea - wzaczaą przecęta wartść cech statstcze mar zróżcwaa (lub zmeśc, rzprszea, dspers) - wzaczaą słę zróżcwaa
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.
Bardziej szczegółowoTeoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka
Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej
Bardziej szczegółowoWSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Co w Sylabusie?
WSPÓŁZALEŻNOŚĆ PROCESÓW MASOWYCH Co w Sylabuse?. Aalza korelacj. Testy ezależośc 3. Aalza regresj 4. Regresja perwszego drugego rodzaju 5. Woskowae statystycze WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI (PEARSONA) Aalza korelacj
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY
Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W 11: Analizy zależnościpomiędzy zmiennymi losowymi Model regresji wielokrotnej
Rachunek prawdopodobeństwa statstka W 11: Analz zależnoścpomędz zmennm losowm Model regresj welokrotnej Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl Model regresj lnowej Model regresj lnowej prostej
Bardziej szczegółowoMETODY KOMPUTEROWE 1
MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE I PROGNOZOWANIE
L.Kowalsk-Modelowae progozowae MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE o Podsawowe charakersk dach sasczch, o Ideks, o Progozowae- wadomośc wsępe, o Modele ekoomercze, o Jedorówaow model low,
Bardziej szczegółowoLiniowe relacje między zmiennymi
Lowe relacje mędzy zmeym Marta Zalewska Zakład Proflaktyk ZagrożeńŚrodowskowych Alergolog Ocea lowych relacj mędzy zmeym Metoda korelacj - określee rodzaju sły zależośc mędzy cecham. Metoda regresj 1 Uwaga
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoDane modelu - parametry
Dae modelu - paramer ˆ Ozaczea zmech a0 ax ax - osz w s. zł Budowa modelu: x - welość producj w seach o x - welość zarudea w osobach Meoda MNK Dae: x x 34 9 0 60 34 9 0 60 35 3 7 35 3 7 X T 0 9 3 4 5 3
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa Wzory
tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoREGRESJA LINIOWA. gdzie
REGREJA LINIOWA Jeżel zmerzoo obarczoe tlko błędam przpadkowm wartośc (, ),,,..., dwóch różch welkośc fzczch X Y, o którch wadomo, że są zwązae ze sobą zależoścą lową f(), to ajlepszm przblżeem współczków
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowoWykład 6. Klasyczny model regresji liniowej
Wkład 6 Klacz modl rgrj lowj Rgrja I rodzaju pokazuj jak zmają ę warukow wartośc oczkwa zmj zalżj w zalżośc od wartośc zmj zalżj. E X m Obraz gomtrcz tj fukcj to krzwa rgrj I rodzaju czl zbór puktów płazczz,
Bardziej szczegółowoWspółczynnik korelacji liniowej oraz funkcja regresji liniowej dwóch zmiennych
Współcznnk korelacj lnowej oraz funkcja regresj lnowej dwóch zmennch S S r, cov współcznnk determnacj R r Współcznnk ndetermnacj ϕ r Zarówno współcznnk determnacj jak ndetermnacj po przemnożenu przez 00
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ VI WYBRANE TWIERDZENIA WRAZ Z DOWODAMI Na prawach rękopsu Warszawa, paźdzerk 0 Data ostatej aktualzacj:
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkład 4 Matematcze opracowwae wków ekspermetalch Cz. I. Metoda ajmejszch kwadratów Cz. II. Metod statstcze UWAGI OGÓLNE Ekspermet wkowae w auce moża podzelć
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoE K O N O M E T R I A (kurs 10 godz.)
E K O N O M E T R I A (kurs 0 godz.) PLAN kursu A. Ekoometra: defcje, pojęca, przkład B. Elemet statstk matematczej (zmea losowa, przedzałowa estmacja parametrów populacj, hpotez parametrcze) C. Model
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wkład wstępn. Teora prawdopodobeństwa element kombnatork. Zmenne losowe ch rozkład 3. Populacje prób danch, estmacja parametrów 4. Testowane hpotez statstcznch 5. Test parametrczne
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoProbabilistyka i statystyka. Korelacja
06-05-08 Probablstyka statystyka Korelacja Probablstyka statystyka - wykład 9 dla Elektrok Korelacja Aalza korelacj zajmuje sę badaam stea zależośc lowej mędzy dwema cecham X Y. Podstawową marą jest współczyk
Bardziej szczegółowoLaboratorium fizyczne
Laboratorum fzcze L a portalu WIKMP CMF PŁ cmf.edu.p.lodz.pl Klkam odośk Laboratorum fzk Właścwą strukcję ależ pobrać ze stro Pracow zazajomć sę z jej treścą przed zajęcam!!! grupa I grupa II edzela
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I stopień ZESTAW ZADAŃ
Stattka ZADAIA STATYSTYKA I topeń ZESTAW ZADAŃ dr Adam Sojda. Aalza truktur jedowmarowego rozkładu emprczego..... Badae wpółzależośc w dwuwmarowm rozkładze emprczm. 8 3. Aalza zeregów czaowch.... 4. Aalza
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE
OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowodev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?
Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych
Bardziej szczegółowoPROGNOZY I SYMULACJE
orecasig is he ar of saig wha will happe, ad he explaiig wh i did. Ch. Chafield (986 PROGNOZY I YMULACJE Kaarza Chud Laskowska kosulacje: p. 400A środa -4 czwarek -4 sroa iereowa: hp://kc.sd.prz.edu.pl/
Bardziej szczegółowoAKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE
AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2. r s. ( i. REGRESJA (jedna zmienna) e s = + Y b b X. x x x n x. cov( (kowariancja) = (współczynnik korelacji) = +
REGRESJA jda zma + prota rgrj zmj wzgldm. przlo wartoc paramtrów trukturalch cov r waga: a c cov kowaracja d r cov wpółczk korlacj Waracja rztowa. Nch gdz + wtd czl ozacza rd tadardow odchl od protj rgrj.
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów
Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoPomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym
Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI
STATYSTYKA MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI Mara Borowsa STATYSTYKA MATERIAŁY POMOCNICZE DLA STUDENTÓW DO NAUKI STATYSTYKI "Ale t, Pae wszsto pod marą lczbą, wagą urządzłeś" (Ks.
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowox, y środek ciężkości zbioru
Y ANALIZA REGRESJI I KORELACJI zwązek stochastyczy (losowy), probablstyczy Y X KAŻDEJ WARTOŚCI x ODPOWIADA CAŁY ZBIÓR WARTOŚCI y TWORZĄCYCH OKREŚLONY ROZKŁAD zwązek statystyczy ŷ a a x ŷ średa rozkładu
Bardziej szczegółowoRACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU
Mędznarodowa Norma Ocen Nepewnośc Pomaru(Gude to Epresson of Uncertant n Measurements - Mędznarodowa Organzacja Normalzacjna ISO) RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.nst./gov/uncertant POMIARU Wrażane Nepewnośc
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoWiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności
BOGALECKA Magda 1 Wek statku a prawdopodobeństwo wstąpea wpadku a morzu aalza współzależośc WSTĘP Obserwowa od blsko weku tesw rozwój trasportu morskego, oprócz lądowego powetrzego, jest kosekwecją wzmożoej
Bardziej szczegółowoOcena dopasowania modelu do danych empirycznych
Ocea dopasowaia modelu do dach empirczch Po oszacowaiu parametrów modelu ależ zbadać, cz zbudowa model dobrze opisuje badae zależości. Jeśli okaże się, że rozbieżość międz otrzmam modelem a dami empirczmi
Bardziej szczegółowo= n = = i i. Sprawdzenie istotności współczynnika korelacji ρ dla populacji na podstawie współczynnika r
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB V I VI. Pla laboatoum V VI Koelacja współczk koelacj Peasoa testowae stotośc współczka koelacj Regesja lowa egesja posta, ocea dopasowaa, testowae stotośc współczków egesj
Bardziej szczegółowoStrona: 1 1. CEL ĆWICZENIA
Katedra Podstaw Sstemów Techczch - Podstaw metrolog - Ćwczee 4. Wzaczae charakterstk regulacjej slka prądu stałego Stroa:. CEL ĆWICZENIA Celem ćwczea jest pozae zasad dzałaa udow slka prądu stałego, zadae
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa. (metoda najmniejszych kwadratów, metoda wyrównawcza, metoda Gaussa)
Regresj low (metod jmejszch kwdrtów, metod wrówwcz, metod Guss) stot metod postult Guss współczk prostej kostrukcj prostej teoretczej trsformcj fukcj elowch przkłd Regresj low czm poleg? Jeśl merzoe dwe
Bardziej szczegółowo(liniowy model popytu), a > 0; b < 0
MODELE EKONOMERYCZNE Model eoomercz o ops sochasczej zależośc adaego zjawsa eoomczego od czów szałującch go, wrażo w posac rówośc lu uładu rówośc. Jeśl p. rozparujem zjawso popu a oreślo owar lu grupę
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowoMonika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Bardziej szczegółowo