AGH, Wydział Elektrotechniki, Automatyki Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki METODY OPTYMALIZACJI. Wojciech Grega

Transkrypt

1 AGH, Wydział Elektrotechiki, Automatyki Iformatyki i Elektroiki Katedra Automatyki METODY OPTYMALIZACJI Wojciech Grega Kraków, 6

2 . Wykład I. Problemy optymalizacji: formułowaie, klasyfikacja, przykłady. Wprowadzeie Z problemem poszukiwaia optymalego rozwiązaia spotykamy się w liczych dziedziach współczesej auki, techiki i ekoomii. Iżyier budowictwa optymalizuje strukturę budyku i parametry materiałów budowlaych tak, aby uzyskać kostrukcję bezpieczą i taią. Doradca fiasowy spośród różych możliwości zaiwestowaia kapitału swojego klieta, wybiera te, które maksymalizują zysk, utrzymując ryzyko strat poiżej akceptowalego poziomu. Programista maipulatora przemysłowego ustala trajektorię ruchu jego końcówki, tak aby osiągęła oa swój cel w ajkrótszym czasie, omijając przy tym przeszkody. Badacz poszukuje fukcji matematyczej, która w ajlepszy sposób przybliża zebrae podczas eksperymetu dae. Każdy z tych problemów moża (a ogół) sformułować w sposób ścisły jako zadaie optymalizacji, jeśli tylko potrafimy sprecyzować trzy elemety: model zjawiska z wyróżioymi zmieymi decyzyjymi, fukcję celu zwaą też kryterium jakości - oraz ograiczeia. Motywację do rozwiązywaia metod optymalizacji ajlepiej podsumowuje poiższy cytat: Dążeie człowieka do perfekcji zajduje swój wyraz w optymalizacji. Zajmuje się oa tym, jak opisać i osiągąć Najlepsze, gdy wiemy już jak mierzyć i zmieiać Dobre i Złe. (Beightler, Philips, 979: Foudatios of Optimizatio) W roku 997 w czasopismach matematyczych odotowao roczicę - lat owożytej teorii optymalizacji, w związku z rozwiązaiem tzw. problemu brachistochroy i iymi pioierskimi pracami matematyków i fizyków XVII wieku. Jedak problematyka optymalizacji jest iemal tak stara jak historia cywilizacji. Poiżej przedstawioo krótkie zestawieie ajważiejszych wydarzeń istotych dla rozwoju tej dziedziy wiedzy oraz azwiska uczoych, których wkład w rozwój tej dziedziy jest uważay za waży. Wergiliusz (poeta rzymski 7-9 p.. Chr.) w poemacie Eeida opisuje historię założeia Kartagiy (85 p..chr.). Wśród waruków postawioych przez bogów założycielom miasta, zalazł się i taki: zaleźć optymalą krzywą zarys murów miasta o ograiczoej długości - która zawrze maksymalą powierzchię miasta. Wykład I - -

3 W roku 697 Joha Beroulli ogłosił kokurs a rozwiązaie problemu brachistochroy (gr.): zaleźć krzywą a płaszczyźie, łączącą dwa pukty A i B ie leżące w pioie, wzdłuż której pukt materialy poruszający się pod działaiem siły ciężkości przebywa drogę w ajkrótszym czasie. Na kokurs wpłyęło sześć prawidłowych rozwiązań od astępujących matematyków i fizyków: Leibitza, Johaa Beroulliego, Jakub Beroulliego, Newtoa, l Hopitala, Tschirhausa. A? B Rys.. Problem brachistochroy (Rozwiązaie: łuk cykloidy) Początki rachuku wariacyjego związae sa z takimi azwiskami, jak: Lagrage (76-8), Hamilto (85-865), Weierstrass (85-897), Potryagi, Od roku 99 datują się współczese metody optymalizacji. Ich rozwój był stymuloway problemami logistyki związaymi z plaowaiem wielkich operacji trasportowych i desatowych w czasie II wojy światowej. Zaistiała wtedy dziedzia badań operacyjych, a wśród, jak programowaie liiowe (Datzig), programowaie całkowitoliczbowe (optymaly wybór spośród skończoej liczby decyzji: Cabot, Balas), i po wojie rozwój teorii programowaia ieliiowego (Kuh,Tucker,Geoffrio), W latach pięćdziesiątych rozwój obliczeń komputerowych spowodował wzrost zaiteresowaia algorytmami umeryczymi (Powell, Rose, Fletcher), w tym także tzw. programowaiem dyamiczym, co było efektem zaiteresowaia procesami z pamięcią (Bellma, Riccati). Badaia kosmicze i rywalizacja w tej dziedziie pomiędzy USA i ZSRR stały się silą motywacją dla rozwoju metod optymalizacji. Było to związae z optymalizacją kostrukcji rakiet oraz problemami sterowaia lotem w stratosferze i w przestrzei kosmiczej. W wielu przypadkach rozwiązaie zadaia optymalego sterowaia ciągiem silików, było jedyym sposobem połączeia obiektów a orbicie, przy ograiczeiach ciągu i zasobów paliwa. Dążeie do optymalizacja procesów ekoomiczych, takich jak problemy alokacji produkcji, optymaly skład portfela iwestycyjego, problemy wielkich (ag. large scale) orgaizmów ekoomiczych stały się motywacja do rozwoju metod dekompozycji (Lasdo, Fideise, 97-8)) Wykład I - -

4 W roku 975 Joh Hollad a Uiersytecie w Michiga opublikował pracę Adaptatio i Natural ad Artifical Systems. Praca ta, przez pewie czas zapomiaa, w latach dziewięćdziesiątych została uzaa za początek ewolucji podejścia do rozwiązywaia problemów optymalizacji ( softcomputig ). Podsumowując rozwój tej dziedziy wiedzy moża wyróżić: Okres I: Aalitycze metody klasycze, czyli metody górskiej wspiaczki : modele stworzoe przez matematyków XVII-XIX wieku: ieskażoy świat kwadratowych fukcji celu i wszechobecych pochodych. Dawały możliwości ścisłego rozwiązywaia problemów akademickich. Okres II: Oddzieleie się dziedziy optymalizacji i jej podział a zagadieia szczegółowe. Rozwój obliczeń komputerowych: modyfikacje metod klasyczych oraz algorytmizacja obliczeń umożliwiały zastosowaie do praktyczych problemów auki i techiki, w tym do fukcji ieaalityczych. Okres III: Softcomputig, czyli metody odpore a złożoość modelu procesu: algorytmy ewolucyje, geetycze, sieci euroowe (rys..)..x.y F = e π si( 4x) e π si( y) x,π y, π.5 maksimum globale Rys.. Przykład zadaia wymagającego podejścia odporego. Bibliografia i ie źródła Spis literatury jest poday a końcu iiejszego opracowaia. Zawiera o w pierwszej kolejości podręcziki akademickie, związae z materiałem zawartym w tej książce. Bogatym źródłem materiałów, w tym oprogramowaia wspomagającego rozwiązywaie zadań optymalizacji, jest Iteret (rys..). Wykład I - 4 -

5 Rys.. Przykład stroy www poświęcoej optymalizacji ( Ie dostępe w roku 6 i warte odwiedzeia miejsca w Iterecie: NEOS Optimizatio Serer Optimizatio Olie Mathematical Programmig Glossary Decisio Tree for Optimizatio Software Wykład I - 5 -

6 . Formułowaie zadań optymalizacji Elemetare zadaie optymalizacji ilustruje rysuek.4. Poszukujemy puktów ekstremalych fukcji celu F ( x, y), traktując x, y jako zmiee decyzyje, które mogą zmieiać się w określoym zbiorze dopuszczalym. Ogóliej, zadaie optymalizacji będzie zawierało (rys..5): maks F(x) y zbiór rozwiązań dopuszczalych x mi Rys..4 Podstawowe pytaie optymalizacji: Jak realizować proces w ajlepszy sposób?, (x) F - ocea jakości, x,y zmiee decyzyje Wykład I - 6 -

7 Proces Model x F,X, algorytm xˆ Rys..5 Formułowaie i rozwiązywaie zadaia optymalizacji Model: opis matematyczy procesu, którym może być: zjawisko fizycze, proces techologiczy, system ekoomiczy, system produkcji, trasportu, układ regulacji itp... Model wiie być sformułoway w specyficzy sposób, zawierając i precyzując: x - zmiee decyzyje ("maipulacyje"), F (x) - oceę jakości (fukcję (-e) celu, kryterium jakości..), X - zbiór rozwiązań dopuszczalych, X - przestrzeń rozwiązań i pozwalając w wyiku zastosowaia odpowiediej procedury (algorytmu umeryczego) uzyskać: xˆ - rozwiązaie, czyli optymalą w sesie przyjętego kryterium wartość zmieej decyzyjej. W dalszym ciągu będziemy się zajmowali problemami optymalizacji, które moża przedstawić jako zadaie stadardowe: mi{ F( x)} (.) x X X Jak będzie pokazae późiej, zadaia poszukiwaia maksimum moża sprowadzić do zadaia miimalizacji poprzez zmiaę zaku fukcji celu. Wykład I - 7 -

8 .4 Przegląd zadań i algorytmów optymalizacji Dążąc do klasyfikacji ajpierw zadań, a potem algorytmów optymalizacji, moża to uczyić ze względu a astępujące kategorie (rys..6, Tab..): Jaki problem (model procesu) jest dla as iteresujący: statyczy, dyamiczy, z ograiczeiami czy bez ograiczeń? Ile fukcji celu bierzemy pod uwagę (jedą, czy więcej)? Ile zmieych decyzyjych mamy do dyspozycji i w jakiej przestrzei rozwiązań są oe defiiowae (zmiee rzeczywiste, całkowitoliczbowe, biare)? Jakich daych o procesie może używać zastosowaa procedura (algorytm) optymalizacji: tylko wartości fukcji celu, gradietu fukcji (pierwszy rząd), pochodych drugiego rzędu? JEDNOKRYTERIALNE POLIOPTYMALIZCJA Optymalizacja globala Zadaia optymalizacji Statyczej Przekształceie do zadań rówoważych Dyamiczej Aproksymacja Bez ograiczeń Przekształceie do zadań rówoważych Z ograiczeiami Rówaia ieliiowe Optymalizacja sieci i grafów Programowaie liiowe R Z R :a kieruku Z Programowaie dyskrete R :a kieruku R Programowaie kwadratowe Rys..6 Podział zadań optymalizacji Wykład I - 8 -

9 Tab. Klasyfikacja algorytmów programowaia ieliiowego Rząd algorytmu Zerowego rzędu Pierwszego rzędu Drugiego rzędu Algorytmy programowaia ieliiowego Dla zadań bez Dla zadań z ograiczeiami ograiczeń Poszukiwaie -D Poszukiwaie - D Metody prymale złoty podział Mote Carlo Mote Carlo Gauss-Seidel Algorytmy geetycze Metoda Powella Metoda simplex Neldera - Meada Iterpolacja Najszybszy Metody kwadratowa spadek kieruków Metoda Newtoa Gradiet sprzężoy Metody quasi Newtoa BFGS, DFP Metoda Newtoa Gradiet sprzężoy (Hestees) dopuszczalych Gradiet zredukoway Metody fukcji kary Przekształceie do ciągu rówoważych zadań bez ograiczeń SQP Sequetial Quadratic programmig, SLP - Sequetial Liear programmig Metody duale Przekształceie do pary zadań (prymalego i dualego) rozwiązywaych a przemia Metody Lagrage a SQP SLP SQP- quasi- Newto SQP- Newto Dla zadaia stadardowego (.) moża określić poszczególe kategorie zadań optymalizacji, poprzez zdefiiowaie F ( x), X, X. A. Optymalizacja statycza A. Ciągłe zadaia programowaia (ZPN) A.. Bez ograiczeń F( x) : R R x X X X = X = R specjaly przypadek: poszukiwaie jedowymiarowe ( = ): Wykład I - 9 -

10 X = R Y = R F ( x) : R R A.. Z ograiczeiami X = g( x ) : { x : g( x ) =, h( x ) } R R m, h( x ) : R R p specjaly przypadek: ograiczeia proste (kostkowe): a x b A... Zadaia programowaia liiowego (PL). Samodziely kieruek badań operacyjych, z liczymi zastosowaiami w ekoomii i zarządzaiu. X = R Y = R F( x) = C X = T x { x : Ax b, x } A. Dyskrete zadaia programowaia (całkowitoliczbowe) X = Z Y = R R F( x) : Z R X = X (bez ograiczeń) lub X X (z ograiczeiami) specjaly przypadek programowaie biare: X = B Z B. Optymalizacja dyamicza, związaa z zastosowaiami w mechaice i automatyce X = H (przestrzeń fukcyja) Y = R F [ x( t) ]: H R X -więzy (fukcjoał) Dla każdego z wymieioych zadań moża sformułować zadaie optymalizacji wielokryterialej. Polioptymalizacja (zadaie p-kryteriale, optymalizacja statycza): Wykład I - -

11 X = R Y = R p F( x) : R R p = X R lub X X X = ograiczeiami)). (odpowiedio: zadaie polioptmalizacji bez ograiczeń (z.5 Oprogramowaie wspierające rozwiązywaie przykładów OPTIMIZATION TOOLBOX [xx] zawiera algorytmy optymalizacji fukcji liiowych i ieliiowych oraz ich zastosowaia takie, jak metoda ajmiejszych kwadratów lub rozwiązywaie układów rówań ieliiowych. Algorytmy te są dostarczae w formie 4 fukcji biblioteczych. Realizacja procedury obliczeiowej wymaga zdefiiowaia m-pliku (-ów) zawierających: wywołaie procedury (adrzędy) defiicję fukcji celu i ograiczeń ustaleie parametrów procedury obliczeiowej.6 Przykłady zadań optymalizacji Przykład.: Optymalizacja kostrukcji Trasport m chemikaliów musi być zrealizoway w szczelych, prostopadłościeych pojemikach (Rys..7). Góra A B B A x Do x x Rys..7 Pojemik a chemikalia Waruki kostrukcji pojemika są astępujące: - materiał a górą powierzchię kosztuje $/m, Wykład I - -

12 boki A kosztują $/m, - boki B i Do muszą być wykoae z odpadów, które ic ie kosztują, ale moża je użyć tylko w ilości m a pojemik, - trasport kosztuje $ od pojemika. Celem optymalizacji jest miimalizacja kosztów trasportu. Sformułowaie problemu Koszt jedego pojemika wyosi: + x x + x x Liczba pojemików wyosi: z = x x x Ogóly koszt wysyłki wyosi: Ograiczeia: xx x x x x, x + x x x x, x, Zadaie optymalizacji moża sformułować w sposób astępujący: mi xx x ( x x x ) X x x = { x, x, x : x, x, x, x x + x x, X R } Klasyfikacja zadaia: zadaie ieliiowe optymalizacji statyczej. Poiżej podao przykład kodu MATLABA rozwiązującego zadaie.. %Optymalizacja kształtu koteera % ustaleie parametrów algorytmu op=foptios; op()=; op()=.; op()=.; op xpocz=[6 6 ] % ograiczeia proste dogr=[...] gogr=[ ] % procedura adrzęda x=costr('koteer',xpocz,op,dogr,gogr) Wykład I - -

13 % defiicja fukcji celu i ograicze fuctio [f,g]=koteer(x) %fukcja celu; f=/(x()*x()*x())+4/x()+/x(); %ograiczeie g()=*x()*x()+x()*x()-; Wykład I - -

14 Przykład.: Optymalizacja portfela iwestycyjego Doradca iwestycyjy musi podjąć decyzje w co iwestować tak, aby stopa zwroty wyosiła przyajmiej procet i zmiimalizować ryzyko straty. Przez ostatie 6 lat tak się stopa zwrotu z czterech główych typów iwestycji przedstawiała się jak w tabeli.. Tabela.. Dae historycze dotyczące stopy zwrotu iwestycji Typ iwestycji Rocza stopa zwrotu Rok średia Akcję Blue chip Sektor paliwowy Nieruchomości Obligacje Sformułowaie problemu: Zmiee decyzyje przyjęto astępująco: x - procet kapitału zaiwestoway w akcje Blue chip, x - procet kapitału zaiwestoway w Paliwa, x - procet kapitału zaiwestoway w Nieruchomości, x 4 - procet kapitału zaiwestoway w Obligację. Celem jest osiągięcie określoego zysku przy zmiimalizowaiu ryzyka strat. Miarą ryzyka jest wielkość odchyleia stopy zwrotu od średiej wartości. Wariację iwestycji zdefiiowao astępująco: = ( jj r jk k= µ ) j gdzie: liczba obserwacji, r jk stopa zwrotu j-tej iwestycji dla k-tej obserwacji (w tym przypadku rok), µ j średia wartość j-tej iwestycji. Z defiicji wyika, że wariacja mierzy ryzyko tylko w obrębie jedego typu iwestycji. Aby zmierzyć ryzyko pomiędzy różymi iwestycjami, wprowadzamy kowariację pomiędzy iwestycjami i-tą a j-tą iwestycją: Wykład I - 4 -

15 ij = ik i jk µ j k= ( r µ )( r ) Zgodie z powyższymi defiicjami wyliczamy wartości i zapisujemy w postaci macierzy kowariacji. V = = Korzystając z macierzy kowariacji ryzyko iwestycji zapisujemy w astępujący sposób: Ryzyko = x T Vx = [ x x x x ] x x x.597 x Ograiczeia zadaia formułujemy astępująco. W związku z tym, iż zmiee optymalizacji przedstawiają procet iwestycji ich suma musi być rówa jede: x + x + x + x. 4 = Iwestor chce osiągąć średi zysk miimum procet:.648x +.98x + 8.4x x4. Dodatkowo wszystkie zmiee decyzyje muszą być ieujeme: x, x, x, x. 4 Ostateczie, zadaie zapiszemy jako: mi x T Vx przy ograiczeiach : x + x + x + x4 =.648x.98x 8.4x 8.67x4 x x x x 4 Fukcja celu jest forma kwadratową, ograiczeia są liiowe. 4. Wykład I - 5 -

16 Przykład.: Zwalczaie szkodików (alokacja zasobów) Zadaie polega a rozmieszczeiu pojemików ze środkiem owadobójczym pośród giazd os a platacji w kształcie kwadratu o boku m (Rys..8), tak aby wytępić maksymalą liczbę os. Każde giazdo os ma określoe położeie za pomocą współrzędych (Wx i, Wy i ) i szacukową liczbę os, określoą przez wartość W i. Każdy pojemik posiada swoje współrzęde położeia (Cx i, Cy i ), tab.. Położeie giazd Tab.. Liczba Położeie giazd y x 5 Rys..8 Rozmieszczeie giazd os os W i Wx i Wy i Sformułowaie problemu Jako zmiee decyzyje przyjęto współrzęde pojemików Cx i, Cy i, i=... Fukcja celu jest określoa jako: gdzie: F ( C xi, C yi ) i= = i= K W i i k + k + k, gdy k + k + k < W i K i = i=,,.., W i, w przeciwymprzypadku gdzie: k j - liczba os wytępioych za pomocą pojemika j=,, jest określoa jako: Wykład I - 6 -

17 k j = Wx Cx i j W i Wy Cy i j +. Ograiczeia tworzą rozmiary platacji, czyli dopuszczale położeia pojemików : Cx j, Cy j. Klasyfikacja zadaia: zadaie programowaia ieliiowego z ograiczeiami, X =. 6 X R Przykład.4: Optymalizacja produkcji. Fabryka wytwarza dwa rodzaje produktów, w dwóch procesach produkcyjych (I i II a Rys..), składających się z cykli produkcyjych. Wykorzystuje się przy tym dwa rodzaje surowców: A i B. Efektywość poszczególych procesów przedstawioo w Tab..4 A B pr.i pr.ii X Y zysk Rys..9 Schemat produkcji Tab..4 Opis procesu produkcji Wejście Wyjście Zysk Proces surowiec A surowiec B produkt X produkt Y I II 6 Ograiczeia: Ilość dostępego surowca A ie przekracza 6 [jedostek]. Ilość dostępego surowca B ie przekracza 9 [j]. Aaliza ryku wykazała, że są zamówieia a co ajmiej [j] jedostek produktu X i [j] produktu Y. Jak sterować produkcją, aby maksymalizować zysk? Wykład I - 7 -

18 Sformułowaie problemu: Zmiee decyzyje: x - liczba cykli produkcyjych procesu I, x - liczba cykli produkcyjych procesu II. Ograiczeia produkcji: Waruki sprzedaży: Zysk: x x x x + x + 6x + x + x 6 9 F ( x + x, x ) = x Klasyfikacja zadaia: zadaie programowaia liiowego, całkowitoliczbowe, X =. X Z Przykład.5: Aaliza daych pomiarowych W wyiku przeprowadzoego eksperymetu uzyskao dae pomiarowe, jak a Tab..5. Tab..5 Wyiki eksperymetu i x y wyik Wyiki ależy przybliżyć je w sposób optymaly krzywą aalityczą o postaci: Zmieymi decyzyjymi są: c, c, c. ( x, y) = c x + c y + c xy. g Wykład I - 8 -

19 Fukcja celu jest w postaci: F( c, c, c ) = [ g( x, y ) data ], co dla daych z tabeli.5 daje zadaie poszukiwaia miimum fukcji celu: c + 4.7c 65.58c cc + mi F ( x) = mi + 84c 4.4c cc + cc c Klasyfikacja zadaia: zadaie programowaia ieliiowego, bez ograiczeń, i i i i X = R. Jest to przykład prostego problemu aalizy regresyjej dopasowaia powierzchi g( x, y) do daych pomiarowych. Przykład.6: Sterowaie apędem DC Laboratoryjy serwomechaizm składa się z silika DC z obciążeiem (hamulec wiroprądowy) i układu pomiarowego prędkości i położeia (Rys..). Dla układu moża formułować zadaia optymalego sterowaia w układzie otwartym lub optymalego adążaia za zadaym w czasie położeiem wału serwomechaizmu. hamulec wiroprądowy silik DC przekładia x tachoprądica DC u ekoder x R ref x Rys.. Schemat serwomechaizm DC Sformułowaie problemu: Więzy systemu (liowy model dyamiki systemu): Wykład I - 9 -

20 p x X = { x : x& = Ax + Bu, x() = x, y = Cx} u U = C [, TK C, T ] - przestrzeń fukcji ciągłych, T ]. [ K gdzie: [ K A B K CS = s = C = T S T S,,, gdzie: x oraz x są odpowiedio położeiem i prędkością kątową wału silika, T s,k s, C s są parametrami serwomechaizmu. Fukcjoał jakości dla tego zadaia zadao w postaci: J ( u ) = x(tk ) + x(tk ) + u ( t )Ru( t )] dt Dla zmierzoego stau początkowego x ), () ależy zaleźć sterowaie u( t) U, ( x sprowadzające sta systemu do zera, które miimalizuje fukcjoał jakości a odciku czasu [, T K ], a rówocześie zapewia spełieie: x X. Jest to zatem zadaie optymalizacji dyamiczej, z kwadratowym fukcjoałem. Zadaie takie moża zrealizować w układzie otwartym, jeśli tylko są dobrze zidetyfikowae parametry modelu apędu. Zdaie to moża sprowadzić do zadaia optymalizacji statyczej, tak jak pokazao to w rozdziale xxxx. ] T K T Przykład.7: Optymalizacja parametrycza regulatora stabilizującego d y E - K r T i s T d s ( + std / K d ) G ( s) y Rys.. Stabilizujące sprzężeie zwrote z regulatorem PID Wykład I - -

21 Dla przykładu.6 zastosowao stabilizujące sprzężeie zwrote od położeia wału, z regulatorem PID (rys..). W rozważaym przykładzie model serwomechaizmu przeformułowao do postaci trasmitacji: Y(s) G(s) = U(s) G (s) = = C ( G (s) si - A) - c K s (c /c ) K s s (T s+) s (T s+) B = s = c s = c K K s s T s+ T s+ s s C s K s s (T s s+) K s T s s+ y (t) K = r K =.4 r t Rys.. Symulacja działaia regulatora PID dla serwomechaizmu DC Do stabilizacji serwomechaizmu zastosowao regulator PID o trasmitacji daej a rys..6, a jakość regulacji oceiao poprzez kwadratowy fukcjoał, o postaci: J(K,T,T ) = e dt, r i d gdzie d K,T, T są parametrami regulatora PID, e t) = y ( t) y ( ). Zadaie optymalizacji r i d parametryczej może być sformułowae teraz jako mi e ( t ) dt, Kr,T i,t d przy ograiczeiu wyikającym z dyamiki systemu ( t E ( s) G( s) = =, d Y ( s) + G ( s) G ( s) oraz dostępego zakresu astaw regulatora PID: K mi r r max r mi i i r max i mi d d max d K K, T T T, T T T. Wykład I - -

22 Przy wykorzystaiu twierdzeia Parseala, wartość fukcji celu moża wyliczyć bez przechodzeia a postać czasową, jako T ( - K K T ) J(K,T,T ) = e (t) dt = i s r s r i d, K K [T +T (K K T - )] s r s i r s d co sprowadza zadaie do statyczego problemu ieliiowego z ograiczeiami. Rys.. pokazuje wpływ wzmocieia regulatora PID a przebieg sygału wyjściowego modelu układu stabilizacji z Rys... Przykłady.6 i.7 pokazują, iż dla modelu systemu dyamiczego moża formułować zadaia zarówo sterowaia optymalego (przykład.6) ale także zadaia optymalizacji parametryczej (przykład.7). Wykład I - -