Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

Transkrypt

1 Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + () (00) (c) + () (00) (d) (g) () (0) + (e) + (+) si (f) () (00) + () (00) + + l( + ) (h) () (00) () () Zadaie. Zbadać ci ag lość fukcji: (a) f( ) (c) f( ) + ( + ) cos +. ( l (b) f( ) ). dla 0 dla Zadaie. Cz uda siȩ dobrać sta le a b R tak ab poiższe fukcje b l ci ag le w swoich dziedziach? Jeśli tak to wzaczć owe sta le: (a) f( ) (b) f( ) π + tg() dla ( ) [ ( π 0) (0 π)] ( ) a + dla 0 i ( ) b dla ( ) (0 0). Zadaie. Obliczć pochode cz astkowe fukcji: (a) f( z) si arcsi e si z cos +arctg( ) dla ( z) R ( ) R (b) f( ) log0 ( ) dla > 0 i 0 (c) f( z) + arctg(e + si z) dla ( z) R si( ) (d) f( ) + (e) f( ) + dla ( ) (0 ) (f) f( ) +( ) 0 dla ( ) (0 ). Zadaie. Obliczć pochode cz astkowe f (0 0) oraz f (0 0) jeśli ( ) si f( ) +. dla 0 dla Zadaie 6. Wzaczć pochode cz astkowe rzȩdu drugiego astȩpuj acch fukcji. (a) f( ) + 8 (b) f( ) arctg dla 0.

2 Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść si( ) Zadaie 7. Daa jest fukcja f( ) +. (a) Wzaczć pochod a kierukow a w pukcie ( 0) w kieruku wektora (h h ). (b) Zbadać różiczkowalość fukcji f( ). p Zadaie 8. Niech f( ) + gdzie p R +. Pokazać że fukcja f jest ci ag la w swojej dziedziie p >. Zadaie 9. Zbadać różiczkowalość astȩpuj acch fukcji. + (a) f( ) + (b) f( ) +. Zadaie 0. Daa jest fukcja l( f( ) + ). Zbadać różiczkowalość fukcji f w zbiorze R. Zadaie. Wkazać że powierzchia o rówaiu z arcsi + stcz a w pukcie ( z 0 ). Napisać rówaie tej p laszczz. posiada p laszczzȩ Zadaie. Niech f : R R ma ci ag le pochode cz astkowe f oraz f. Obliczć (a) g (t) jeśli g f( ) oraz t l( + t ) e t (b) pochode cz astkowe fukcji h(s w) jeśli h f( ) e s cos w e s si w (c) pochode cz astkowe fukcji z(r p) f(r p r + p). Zadaie. Wzaczć ekstrema lokale fukcji (a) f( ) e ( ) (b) f( ) + (c) f( ) 8 + (d) z (e) f( ) (f) f( z) + +z ++z Zadaie. Zaleźć ajmiejsz a i ajwiȩksz a wartość fukcji (a) f( ) + w kole + (b) g( ) w trójk acie 0 +. Zadaie. Wzaczć ekstrema fukcji uwik laej () spe liaj acej rówaie (a) ++ 0 (b) (c) +. Zadaie 6. Da jest zbiór S ( ) R : e + + 0}. Dobrać wartości a i b tak ab pukt (0 a) i (b 0) ależa l do zbioru S. Stwierdzić cz możliwe jest w otoczeiu tch puktów rozwik laie zmieej wzglȩdem lub wzglȩdem. Jeśli tak to zaleźć wartości pochodch fukcji uwik lach w odpowiedich puktach.

3 Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaie 7. Wkazać że istieje otoczeie puktu 0 0 w którm określoa jest dok ladie jeda para fukcji różiczkowalch () i () spe liaj acch uk lad rówań Obliczć (0) oraz (0). 0 + e 0 oraz waruki (0) (0). Zadaie 8. Korzstaj ac z metod czików ieozaczoch Lagrage a wzaczć ekstrema globale fukcji f( z) + + z a zbiorze E ( ) R : + + z 00}. Zadaie 9. Zaleźć maksimum objȩtości prostopad lościau o ściaach prostopad lch do odpowiedich osi uk ladu wspó lrzȩdch wpisaego w elipsoidȩ + + z. a b c Zadaie 0. Da a liczbȩ a > 0 roz lożć a sumȩ trzech ieujemch sk ladików tak ab suma kwadratów tch sk ladików b la ajmiejsza. ODPOWIEDZI:. (a) 0 WSKAZÓWKA: 0 + (b) ie istieje: ( ) (0 ) (0 0) i 0 ( ỹ ) ( ) (0 0) i (c) ie istieje: (d) ie istieje: + +ỹ ( ) ( ) (0 0) i ( ỹ ) ( ) (0 0) i ỹ ( ) ( ± ) ( 0) i + (e) 0 WSKAZÓWKA: 0 ( + ) si + 0 ± + + ± (f) 0 WSKAZÓWKA: (g) 0 WSKAZÓWKA: Podstawiaj ac t + graicȩ sprowadzim do graic fukcji jedej zmieej t 0 + t l t któr a moża obliczć korzstaj ac z twierdzeia de l Hôspitala. (h) WSKAZÓWKA: Podstawiaj ac t graicȩ sprowadzim do graic ( ) fukcji jedej zmieej t 0 + l t t któr a moża obliczć korzstaj ac z tożsamości a b e b l a i z twierdzeia de l Hôspitala.. (a) Fukcja jest ci ag la a R WSKAZÓWKA: 0 + (b) Fukcja jest ci ag la jedie a R ( ) : }. Nie jest ci ag la w pukcie (0 0) bo ie istieje () (00) f( ): ( ) ( 0) (0 0) i f( ) 0 ( ỹ ) ( ) (0 0) i f( + ỹ ) (+). ++ Nie jest ci ag la w żadm pukcie ( 0 0 ) gdzie 0 0 bo ie istieje skończoa graica () (0 0 ) f( ) : ( ) ( ) ( 0 0 ) i f( ) (c) Fukcja jest ci ag la a R. WSKAZÓWKA: 0 ( + ) cos (a) Tak a π bo () (00 ) f( ) π+ () (00 ) si() π+ cos() 0 π + 0 f(0 0 ) a + 0. (b) Tak b bo

4 Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść. (a) f cos arcsi + e si z si f f z cos cos ze si z (b) f f l 0 (c) f e f z (d) f ( ) f ( ) (e) f ( ) (f) f ( ) f ( ) si + + l WSKAZÓWKA: f( ) e l l( ) l 0 l 0 [+(e +si z) ] f e [+arctg(e +si z)] [+(e +si z) ] [+arctg(e +si z)] cos z [+(e +si z) ] [+arctg(e +si z)] [( + ) cos( ) si( )] ( + ) ( + ) cos( ) si( ) ( + ) + ( ) dla dla 0 ie istieje dla 0 f ( ) + ( ) +( ) [ +( ) ] / dla ( ) (0 ) 0 dla ( ) (0 ) ( ) [ +( ) ] / dla ( ) (0 ) ie istieje dla ( ) (0 ). f (0 0) 0 f (0 0) ie istieje 6. (a) f ( ) f ( ) ( + 8 ) / dla ( ) (0 0) ( + 8 ) / f ( ) f ( ) (b) f 0 7 ( + 8 ) / f ( + ) 6 f ( + ) f ( + ) + 6 ( ) dla dla 0 ie istieje dla 0 7. (a) D (hh)( 0) 0 (b) Fukcja f jest różiczkowala a R. Jej różiczkowalość poza puktem (0 0) wika st ad że poza puktem (0 0) ma ci ag le pochode cz astkowe. Natomiast w pukcie (0 0) jest różiczkowala poieważ f(h h ) f(00) f (00)h f (00)h (hh) (00) h +h si(h h ) h h h h h +h 0 bo si(hh ) h h dla 0 9. (a) f ( ) 0 dla ( ) ( 0) ie istieje dla ( ) (0 ) i 0 f ( dla 0 ) 0 dla ( ) (0 ). ie istieje dla ( ) ( 0) i 0 si(h h ) h +h i hh hh h h +h h h 0. Fukcja ta jest różiczkowala w każdm pukcie postaci ( ) gdzie 0 bo pochode cz astkowe s a ci ag le w takim pukcie. Fukcja ie jest różiczkowala w puktach postaci ( 0) i (0 ) gdzie 0 i 0 bo w tch puktach ie istieje jeda z pochodch cz astkowch. Fukcja ie jest różiczkowala w pukcie (0 0) bo ie istieje graica (hh ) (00) f(h h ) f(00) f (00)h f (00)h h +h hh h. Ab +h

5 Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść pokazać że powższa graica ie istieje moża rozpatrzć ci agi ( 0) oraz ( ). (b) Fukcja ta jest różiczkowala a R. Wjaśieie: f ( + + ) ( + ) / dla ( ) (0 0) + f ( ) ( + ) /. Fukcja ta jest różiczkowala poza puktem (0 0) bo ma tam ci ag le pochode cz astkowe. Fukcja jest różiczkowala w pukcie (0 0) poieważ f(h h ) f(00) f (00)h f (00)h (hh) (00) h +h h (hh) (00)[ h + h 0. + h ] 0 bo h + h h h +h + h h + h h h 0. f jest różiczkowala a R \ (0 0)} i ie jest różiczkowala w pukcie (0 0)}.. Fukcja f( ) arcsi jest różiczkowala w pukcie ( ) bo ma w tm + pukcie ci ag le pochode cz astkowe: f ( ) arcsi + (+) f ( ( ) + ) Różiczkowalość fukcji f w pukcie ( ) ozacza że istieje (+). ( + ) p laszczza stcza do wkresu tej fukcji w pukcie ( π). 6 p laszczz stczej: ( π) + 6z 0.. (a) dg f dt (b) h f s h f w d + f d dt + f s + f w (c) z r f + f z p f + f f dt [l( + t ) + t ] f +t e t f s e s cos w + f e s si w f w e s si w + f e s cos w Rówaie szukaej. (a) (0 0) - brak ekstremum f mi ( ) e (b) ( 0) - brak ekstremum f mi ( ) (0 0) - brak ekstremum poieważ f(0 ) > f(0 0) 0 i f( ) ( ) < f(0 0) 0 (c) (0 0) - brak ekstremum f ma ( ) 60 (d) (0 0) ( 0) (0 6) - brak ekstremów z ma ( ) 6 (e) f mi ( ) f mi ( ) (0 0) - brak ekstremum poieważ f(0 ) > f(0 0) 0 i f( ) ( ) < f(0 0) (f) (0 0 ) - brak ekstremum f mi ( ) 69. (a) wartość ajwiȩksza 8 wartość ajmiejsza (b) wartość ajwiȩksza 7 wartość ajmiejsza 0. (a) mi ( 6 ) 6 (b) ma() mi (0) 0 (c) ma ( ) 6. a lub a + b. Rozwik laie wzglȩdem jest możliwe w otoczeiu puktów A (0 ) oraz B (0 + ) atomiast rozwik laie wzglȩdem jest możliwe w otoczeiu puktów A B i C ( 0). Pochoda dla rozwik laego w otoczeiu puktu A wosi (0) + dla rozwik laego w otoczeiu puktu B wosi (0) dla rozwik laego w otoczeiu puktu A wosi ( ) + dla rozwik laego w otoczeiu puktu B wosi ( + ) a dla rozwik laego w otoczeiu puktu C wosi (0) (0) 7 6 (0) 6 8. Wartość ajwiȩksza to 00 zaś ajmiejsza to abc 0. a a + a + a