Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Transkrypt

1 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = Stosujemy kryterium porówawcze: 0 a = = = 3 = b Nierówość jest prawdziwa dla dużych takich, że i czyli dla 4, po uwględieiu waruku a 0, dla 0 Szereg 3 jest zbieży, a więc szereg. Zbadać bezwzględą zbieżość szeregu Rozwiązaie: a = + 4 Badamy zbieżość szeregu a też jest zbieży. Jest to szereg o wyrazach ieujemych. a = + 4 Z kryterium porówawczego: = 0 dla dużych, 3 jest rozbieży, a więc z kryterium prówawczego a jest też rozbieży. Szereg a ie jest więc zbieży bezwzględie. Może być zbieży warukowo lub rozbieży. Sprawdzamy zbieżość tego szeregu: Szereg jest aprzemiey. Pokażemy jego zbieżość korzystając z kryterium Leibiza. a = b b = + 4 Trzeba pokazać, że ciąg b jest mootoiczy i zbieży do 0. Zbieżość do 0: lim + 4 = lim Mootoiczość: + 4 = + 0 = 0

2 Trzeba sprawdzić ierówość b + b. Wystarczy aby ta ierówość zachodziła dla dużych Nierówość tę moża sprawdzić możąc obie stroy przez miaowiki dodatie, pierwiastki a jedą stroę, podosząc do kwadratu uwaga a zaki redukując wyrazy podobe a potem jeszcze raz podosząc do kwadratu. x Moża też sprawdzić mootoiczość fukcji fx = x dla dużych x badając x + 4 zak pochodej. x x x + 4 x + x f x 4 x = x = x x x + 4 x x x x 0 x x x 4 Dla x 4 fukcja fx jest malejąca, a więc ciąg b = f jest malejący dla 4 Z kryterium Leibiza wyika zbieżość szeregu Szereg a jest rozbieży Szereg A więc szereg a jest zbieży a jest zbieży warukowo Zaleźć promień i obszar zbieżości szeregu potęgowego 4 x 3 zbadać zbieżość rówież a brzegu obszaru zbieżości: Rozwiązaie: Szereg potęgowy jest w postaci: a x x 0 początkowe ie jest istote - może być 0, lub dowola ia liczba aturala Widzimy, że: a = 4 ; x 0 = 3 Szukamy promieia zbieżości. q = lim R = q = 4 a = lim 4 = 4 Szereg zbieży jest dla x 3 < 4 czyli x, 7 Szereg jest rozbieży a zewątrz tego przedziału. Sprawdzamy zbieżość a brzegu.

3 a x = Po podstawieiu x = dostajemy szereg liczbowy: 4 3 = Zbieżość tego szeregu zbadamy badając szereg a = a też jest zbieży jest zbieży, a więc szereg Szereg potęgowy jest więc zbieży dla x = b x = = Szereg te jest zbieży Szereg potęgowy jest więc zbieży dla x = a Promień zbieżości R = 4. Obszar zbieżości: przedział <, 7 > 4. Rozwiąć fukcję fx = x l x w szereg Taylora wokół puktu x 0 =. Zaleźć obszar zbieżości tego szeregu bez badaia zbieżości a brzegu : Rozwiązaie: Postawiamy y = x x 0 = x Wtedy x = y + fy = y + ly + Szukamy rozwiięcia tej fukcji w szereg Taylora dla y 0 = 0 szereg Maclauria y + ly + = y ly + + ly + operacje dodawaia szeregów i możeia przez y są proste do wykoaia Zajmujemy się więc rozwiięciem prostszej fukcji gy = ly + Zmiast szukać rozwiięcia tej fukcji, łatwiej będzie rozwiąć jej pochodą operacje róziczkowaia i całkowaia szeregów są proste do wykoaia g y = y + Tę fukcję przekształcamy w jedą z fukcji podstawowych, dla których zamy rozwiięcia w szereg Maclauria: e x, si x, cos x,, + xα x g y = y + = y = + y + y y +... = y + y y y +... Szereg te jest zbieży dla y, czyli y, Całkujemy obie stroy całkowaie szeregu potęgowego ie zmieia promieia zbieżości szeregu

4 gy = y y + y3 y C Aby wyliczyć stałą C podstawiamy y = 0 l0 + = C Czyli C = 0 gy = y y + y3 y Podstawiając do fukcji f fy = y y y + y3 y y y + y3 y Grupujemy wyrazy z takimi samymi potęgami fy = y + y y y fy = y + y 3 y y y y, Wracamy do starej zmieej x y x l x = x + x 3 x x x Szereg te jest zbieży dla: x 0, 5. Rozwiąć fukcję fx = x3 + 4 w szereg Maclauria. Zaleźć obszar zbieżości x + x tego szeregu bez badaia zbieżości a brzegu : Rozwiązaie: Fukcja jest fukcją wymierą. Przekształcamy ją do prostszej postaci: rozkładamy a ułamki proste. Najpierw dzielimy: x x = x + x + x x + x Rozkładamy miaowik a czyiki: x + x = x + 4x Rozkład a ułamki proste: x x + 4x = 0 x x Mamy więc: fx = x + 0 x x 0 Rozwijamy w szereg fukcję x + 4 korzystając z rozwiięcia fukcji x

5 0 x + 4 = 0 4 x 4 = x 4 + x 4 x3 4 + x 4 + x 4 + x x = x Szereg te jest zbieży dla x, czyli x 4, 4 4 Rozwijamy w szereg fukcję x x = x = + x + x + x x +... = + x + x + x x Szereg te jest zbieży dla x, czyli x, Mamy więc szukae rozwiięcie: fx = x + 5 x 4 + x 4 x3 x x + x + x x Szereg te jest zbieży dla x, Część wspóla obszarów zbieżości szeregów Grupujemy wyrazy przy tych samych potęgach x fx = 5 x + 4 x x +... dla x, 6. Rozwiąć fukcję fx = 4, x < 0, π > w szereg siusów. Do jakiej fukcji zbieży jest te szereg? Rozwiązaie: Aby rozwiąć fukcję fx a przedziale < 0, π > w szereg siusów, przedłużamy ją ieparzyście a przedział < π, π > i rozwijamy w szereg Fouriera fukcję przedłużoą f fx = Czyli { fx x < 0, π > f x x < π, 0 fx = { 4 x < 0, π > 4 x < π, 0 Szereg Fouriera: S F x = a 0 + a cos x + b si x Współczyiki a, b dae są wzorami: a = π fx cos x dx, = 0,,, 3,... π π

6 b = π π fx si x dx, =,, 3,... Poieważ f jest ieparzysta więc współczyiki a = 0 dla wszystkich, a współczyiki b b = π b = π π 0 fx si x dx = π 4 si x dx = π 0 [ cos x fx si x dx Szereg siusów dla fukcji fx: S F x = π si x S F x = π si x + si 3x + π 3π 5π si 5x +... = k=0 ] π + si x + si x + π 3π 0 = cos π + = π π + si 3x + si 4x +... = 4π 6 sik + x k + π Szereg te jest zbieży w puktach ciągłości fukcji f do tej fukcji, a w puktach ieciągłości do średiej arytmetyczej graic fukcji. W puktach π i π podobie. Fukcja f jest ciągła a przedziale 0, π a więc dla x 0, π szereg jest zbieży do fx = fx = 4. W x = 0 f jest ieciągła a więc szereg jest zbieży do: S F 0 = f0 + f0 + = f0+ + f0 + W x = π szereg jest zbieży do: S F π = fπ + f π + = fπ fpi Czyli szereg siusów jest zbieży do: { 4 x 0, π S F x = 0 x = 0 lub π = = 4 4 = 0 = 0