Ekonomia matematyczna 2-2

Transkrypt

1 Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów wyików y R, takich,że procesy produkcji, y są techologiczie ekektywe, tz. odwzorowaie y :, y Z e gdzie Z e ozacza podzbiór przestrzei p-produkcyjej Z, składający się z procesów techologiczie efektyeych. Jeśli wartości efektywego przekształceia techologiczego są zbiorami jedopuktowymi, to moza mówić o fukcji produkcji. Defiicja Wektorową fukcją produkcji azywamy fukcję f : R R, która każdemu wektorowi akładów przyporządkowuje jedozaczie okresloy wektor wyików y f, taki,że proces produkcji,y jest techologiczie efektywy. Badaie własości wektorowej fukcji produkcji f : R R, f,...,f sprowadza się do badaia własości skalarych fukcjach produkcji f i : R R, f i f i,..., Stadardowe założeia o skalarych fukcjach produkcji f : R R (f) Fukcja f : R R jest ciągła i ma pochode cząstkowe rzędu II R R : i dla i,...,. (f) f (zerowe akłady dają zerowy wyik) (f3) Fukcja f jest rosąca w R (jest tak jeśli dla R j dla i kazdego i,...,).

2 (f) Fukcja f jest wklęsła w R (jest tak jeśli H j jest macierzą iedodatio okresloą dla R, tz. dla dowolego v v,...,v R mamy v i v j j ). i,j (f5) Fukcja f jest dodatio jedoroda stopia, tz. f f dla, R Defiicja Krańcowa produktywość i tego akładu przy akładach Defiicja Elastyczość produkcji względem i tego akładu przy akładach i f lim i f i i f Defiicja Elastyczość produkcji względem skali akładów przy akładach f lim f f Defiicja Krańcowa stopa substytucji i tego akładu przez j ty akład w produkcji f ij lim j j j Defiicja Izokwatą produkcji a poziomie y azwiemy poziomicę G y R : f y. Dla dwuargumetowej skalarej fukcji produkcji y f f, j, przy akładach, j takich,że f, j y, z twierdzeia o fukcji uwikłaej, wyika,że rówaie f, j y zadaje w pewym przedziale r, i r fukcję j g spełiającą rówaie f,g y, tz. okreslającą zależość j tego akładu od i tego akładu przy utzrymaiu produkcji a iezmieioym poziomie y. Poieważ

3 to i dg j d i, i dg d i j f ij. Powyższa rówość określa jaki wzrost j tego akładu odpowiada spadkowi i tego akładu przy utrzymaiu produkcji a tym samym poziomie. Defiicja Elastyczość substytucji i tego akładu przez j ty akład w produkcji przy akładach f ij lim j j j i j i j W ogólych rozważaiach rozpatruje się dwa akłady: k - kapitał z - praca i dwuargumetowe fukcje produkcji y f k, z. Defiicja Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał f zk k,z z k, z Defiicja Stosuek kapitału do pracy w procesie produkcji azywamy techiczym uzbrojeiem produkcji k u k z W przypadku gdy fukcja produkcji y f k,z jest dodatio jedoroda stopia (czyli k,z f k, z ), to od techiczego uzbrojeia pracy moża uzalezić przecietą wydajość pracy y z : y z z f k,z f k z, z z f u, w u, 3

4 a także przecietą efektywość kapitału y : k y k k f k,z f k k, k z f, u e u. Przykłady fukcji produkcji. Liiowa f k,z ak bz 6 z5 k 6 8

5 8 z k. Cobba-Douglasa y k.5 z.75 z 5 k 3 5 5

6 5 3 z 3 5 k 3. CES (costat elasticity of substitutio) y k.5 3z z k 3 5 6

7 5 z Elemety eoklasyczej teorii produkcji Zakładamy,że skalara fukcja produkcji f : R R spełiająca założeia (f) - (f5) opisuje produkcję przedsiebiorstwa. Załóżmy,że produkt y f jest sprzedaway po ceie p, atomiast akłady (surowce),..., są dostepe w ieograiczoych ilościach i są kupowae po ceach v v,...,v. Zadaie maksymalizacji zysku przedsiębiorstwa. Przyjmijmy,że celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja zysku, tz. wyzaczeie takiej produkcji (wektora akładów ), przy której maksimum osiąga fukcja: g pf,v pf,..., i v i i przy ograiczeiu. Przykład (dla fukcji jedoargumetowej fukcji produkcji f : R R Maksymalizować przy ograiczeiu. pf v d pf v d pf v f df d v p 7

8 a) f.5,p 3,v g g d 3.5 d , Solutio is: g d d g g b) f.5,p 3, v. g 3.5. Cadidate(s) for etrema:. 5, at

9 c) f.5,p 3,v g

10 a ) f,p 3,v f f f f a f a dla, R g d) f l,p 3,v g 3 l

11 d ) f l,p 3,v g 3 l a ) f.5,p 3, v g 3.5

12 Twierdzeie Załóżmy,że fukcja produkcji f : R R spełia waruki: (f) jest ciągła i ma pochode cząstkowe rzędu II dla i,...,. (f) f (f3) Fukcja f jest rosąca w R (f) Fukcja f jest wklęsła w R a poadto dla cey produktu p oraz ce akładów v mamy: ) p v i dla i,.., oraz dla brzegr j dla R R : i ) istieje M, takie,że dla R spełiających waruek M mamy p v i dla i,.., Wówczas istieje takie,że, M oraz Takie spełia rówaie tz. pf,v ma pf,v p v p v i dla i,..,. Jeśli f jest fukcjąściśle wklęsłą, to rozwiązaie jest jedozacze.

13 Zadaie miimalizacji kosztów produkcji Przyjmijmy,że celem przedsiębiorstwa jest miimalizacja kosztów produkcji a zakładaym poziomie y, tz. zalezieie wektora akładów, przy której miimum osiąga fukcja: k, v i v i i przy ograiczeiach: f y. Uwaga. Zadaie jest tej samej postaci, co zadaie miimalizacji wydatków kosumeta, przy zakładaej użyteczości koszyka Twierdzeie Załóżmy,że fukcja produkcji f : R R spełia waruki: (f) jest ciągła i ma pochode cząstkowe rzędu II dla i,...,. (f) f (f3) Fukcja f jest rosąca w R j dla R R : i (f) Fukcja f jestściśle wklęsła w R Wówczas jest rozwiązaiem zadaia miimalizacji kosztów produkcji wtedy i tyko wtedy gdy istieje takie,że v oraz f y, tz. v i dla i,.., Przykład f y.,v 3 5 mi f, y 3

14 Defiicja Fukcją kosztów produkcji azwiemy fukcję c : R R R, określoą wzorem c v,y v,y,v, gdzie v,y jest rozwiązaiem zadaia miimalizacji kosztu produkcji (przy ustaloym poziomie produkcji y oraz ceach akładów v). Twierdzeie Jeśli fukcja produkcji jest klasy C i jest rosąca, to fukcja kosztów produkcji ma astępujące własości: ) c v, ) c jest fukcją ciągłą, 3) przy ustaloych ceach v, fukcja y c v, y jest rosąca ) przy ustaloych poziomie produkcji y, fukcja v c v, y jest rosąca, wypukła i c tv,y tc v,y dla t Zadaie maksymalizacji zysku przy zaych kosztach produkcji produkcji Celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja zysku, tz. ustaleie wielkości produkcji y,przy której maksimum osiąga fukcja: y py c y przy ograiczeiu y i zaej fukcji kosztów produkcji y c y. Twierdzeie Poziom akładów jest rozwiązaiem zadaia maksymalizacji zysku:

15 g pf,v ma wtedy i tylko wtedy gdy wielkość produkcjiŷ f jest rozwiązaiem zadaia: y py c y ma Przykład c y 5 y y 3y 5 y. Cadidate(s) for etrema: , at y py 3y 5