Ekonomia matematyczna - 2.1

Transkrypt

1 Ekoomia matematycza Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway przez wektor x,y x 1,...,x, y 1,...,y R R, gdzie: x j jest ilością j tego towaru zużywaą w procesie produkcji, y j jest ilością j tego towaru wytwarzaą w procesie produkcji x - wektor akładów, y - wektor wyików. Uwaga. Gdy x j 0, y j 0, j ty towar jest zużyway i wytwarzay (p. eergia w elektrowi). Gdy x j 0, y j 0, j ty towar jest tylko zużyway (p. eergia w piekari). Gdy x j 0,y j 0, j ty towar jest tylko wytwarzay (p. chleb w piekari). Defiicja. Przestrzeią p-produkcyją azwiemy podzbiór Z R R, wszystkich techologiczie dopuszczalych procesów produkcji x,y (z ormą x, y max i x i, y i ). Przestrzeią c-produkcyją azwiemy podzbiór C y x : x,y Z R, wszystkich wektorów czystej produkcji c y x (z ormą c 1 max i q i ). Przykład. W klasyczym modelu Leotiewa proces produkcji w gospodarce sektorowej (zamkiętej) jest scharakteryzoway przez macierz A wymiaru, azywaą macierzą akładów-wyików i opisującą produkcję rówaiem x Ay, podającym jakie akłady x potrzebe są a wyik brutto y. 1

2 A a ij a ij 0 - ilość i-tego towaru zużywaa w produkcji 1 jedostki j-tego towaru; x i j 1 a ij y j - ilość i-tego towaru zużywaa w produkcji wektora towarów y y 1,...,y. W tym przypadku wyik etto ( czysta produkcja ) to y Ay. Podstawowe rówaie w modelu Leotiewa I A y y Ay c gdzie c 0 jest popytem kosumpcyjym. Problem wyjściowy: dla jakich macierzy A, przy dowolym c 0 istieje y 0 spełiające powyższe rówaie? Macierz A opisuje wtedy gospodarkę produktywą. Przestrzeie: Z Ay,y : y 0, C y Ay : y 0 są wypukłymi stożkami wielościeymi. Problem wyjściowy formułuje się jako pytaie czy C R I A p v W ogólej teorii o przestrzei p-produkcyjej zakłada się,że spełia iektóre z poiższych aksjomatów: 1) prawo proporcjoalych przychodów : Z x, y : x, y Z Z; 0 2) prawo malejących przychodów : Z Z 0 1 3) prawo rosących przychodów : 4) addytywość: 1 Z Z; 1 Z Z Z Z; 0 1 x,y, u,v Z x u, y v Z; 2

3 5) brak rogu obfitości : 6) ieodwracalość: 7) możliwość marotrawstwa: 8) domkiętość (ciągłość): 0, y Z y 0 x,y Z x y y, x Z; x,y Z x u,v y u,v Z; zbiór Z jest domkięty w R R Ćwiczeie. Wykazać,że jeśli Z spełia aksjomaty 1) i 4) to jest stożkiem wypukłym w R R. Ćwiczeie. Podać rówoważe sformułowaia aksjomatów 1) - 8) dla przestrzei c-produkcyjej C. Procesy techologiczie efektywe Defiicja. Proces x,y Z azwiemy bardziej techologiczie efektywym iż proces u, v Z gdy u,v x,y. Proces x,y Z azwiemy techologiczie efektywym, gdy ie istieje proces u,v Z, u,v x,y bardziej techologiczie efektywy iż proces x,y, tz. u,v Z u,v x,y x, y u, v. Aalogicza defiicja dla procesów czystej produkcji: Defiicja. Proces c y x C, azwiemy bardziej techologiczie efektywym iż proces b C gdy b c. Proces c C, azwiemy techologiczie efektywym, gdy ie istieje proces b C, b c bardziej techologiczie efektywy iż proces c C, tz. 3

4 b C b c c b. Ćwiczeie. Niech c y x C. Czy c jest techologiczie efektywy, wtedy i tylko wtedy gdy x, y Z jest techologiczie efektywy? Koleje twierdzeia wiążą pojęcie techologiczej efektywości procesu czystej produkcji z pojęciem retowości takiego procesu - w tym sesie,że przy pewej wyceie towarów techologiczie efektywy proces czystej produkcji jest procesem ajbardziej opłacalym. Twierdzeie. Niech C R będzie przestrzeią c-produkcyją i iech c C. 1) Jeśli istieje wektor ce p R, p 0 taki,że c,p C p : max b,p : b C, to c jest procesem techologiczie efektywym. 2) Załóżmy dodatkowo,że C jest zbiorem wypukłym. Jeśli c jest procesem techologiczie efektywym, to istieje wektor ce p R \ 0, p 0 taki,że c,p C p : max b,p : b C. Dowód. 1) Przypuścmy, ze c ie jest procesem techologiczie efektywym, tz. istieje proces d C taki,że c d. Poieważ p 0, to wtedy c,p i 1 c i p i i 1 d i p i d,p, sprzeczość z założeiem,że c,p max b, p : b C. 2) Niech D C c b c : b C. Zbiór D jest wypukły oraz a mocy założeia,że proces c jest efektywy mamy D R 0. Na mocy twierdzeia o oddzielaiu zbiorów wypukłych, istieje wektor (fukcjoał) p 0 taki,że D d : d,p 0 oraz R d : d, p 0. W szczególości dla każdego wektora e i R z bazy stadartowej w R mamy e i,p p i 0, a zatem p 0. Jeśli teraz b C, to b c D, więc b c,p 0, a zatem b, p c,p dla b C. 4

5 Uwaga. W części 2) powyższego twierdzeia mamy zagwaratowaą jedyie własość p 0 dla wektora wycey procesu techologiczie efektywego. Własość p 0 moża zagwaratować przyjmując siliejsze założeia o przestrzei c-produkcyjej. Moża udowodić p. astępujące twierdzeie. Twierdzeie. Niech C R będzie przestrzeią c-produkcyją i iech c C. Jeśli C jest wielościeym stożkiem wypukłym, a c jest procesem techologiczie efektywym, to istieje wektor ce p R, p 0 taki,że c,p max b,p : b C 0. Uwaga. Brak rogu obfitości ozacza,że proces 0 C jest techologiczie efektywy. Dla przestrzei p-produkcyjej mamy astępujące odpowiediki powyższych twierdzeń. Twierdzeie. Niech Z R R będzie przestrzeią p-produkcyją i iech x,y Z 1) Jeśli istieją wektory ce p R,q R p 0,q 0 odpowiedio dla akładów i wyików takie,że y,q x, p max v,q u,p : u, v Z, to x, y Z jest procesem techologiczie efektywym. 2) Załóżmy dodatkowo,że Z jest zbiorem wypukłym. Jeśli x,y Z jest procesem techologiczie efektywym, to istieją wektory ce p 0,q 0 odpowiedio dla akładów i wyików takie,że y,q x, p max v,q u,p : u, v Z. Twierdzeie. Niech Z R R będzie przestrzeią p-produkcyją i iech x,y Z. Jeśli Z jest wielościeym stożkiem wypukłym, a x,y Z jest procesem techologiczie efektywym, to istieją wektory ce p 0, q 0 odpowiedio dla akładów i wyików takie,że y,q x,p max v,q u,p : u, v Z 0. 5