P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +"

Transkrypt

1 Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch Markowa X, X,..., a przestrzei staów {,, } o macierzy przejścia P =, gdzie P i,j = P(X + = j X = i) dla i, j =,,. Załóżmy, że rozkład początkowy łańcucha jest wektorem π = ( 9, 9, ), gdzie π i = P(X = i) dla i =,,. Oblicz p = P(X = X X ) Odp: B-> 8. Rozwiązaie. Najpierw zauważmy, że rozkład π jest rozkładem stacjoarym. Obliczamy P(X = X X ) = P(X X X = )P(X = ). P(X X ) Oczywiście P(X = ) = π = 9, adto P(X X X = ) = P(X =, X = X = ) = P (, )P (, ) = = 8. Obliczamy P(X X ) = P(X =, X = ) + P(X =, X = ) = P (, )π + P (, )π = = 9 + = Stąd P(X = X X ) = 8.. (Eg 5/9) Rozważamy łańcuch Markowa X, X,..., a przestrzei staów {,, } o macierzy przejścia P = gdzie P i,j = P(X + = j X = i) dla i, j =,,. Niech Z, Z,..., Z,... będzie ciągiem zmieych losowych o wartościach w zbiorze {, } iezależych od siebie awzajem i od zmieych X, X,..., X,... o jedakowym rozkładzie prawdopodobieństwa:, P(Z i = ) = i P(Z i = ) =. Niech Y i = Z i X i. Wtedy lim P(Y > Y + ) jest rówa Odp: E->. Rozwiązaie. Wyzaczamy rozkład stacjoary łańcucha X, X,..., dostajemy π = ( 7, 8 7, 9 7 ). Przechodząc do graicy otrzymamy lim P(Y > Y + ) = P(Z > Z X X = )π + P(Z > Z X X = )π + + P(Z > Z X X = )π = P(Z = )P(Z = )P(X = X = )π + P(Z = )P(Z = )π + + P(Z = )P(Z = )P(X {, } X = )π + P(Z = )P(Z = )π = = 9 6

2 . (Eg 5/6) Załóżmy, że X, X,...X są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym, ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa, mającymi momety rzędu, i. Zamy µ = E(X i ) i σ = Var(X i ). Niech f(x) ozacza gęstość rozkładu pojedyczej zmieej X i. Wiemy, że rozkład jest symetryczy w tym sesie, że f(µ + x) = f(µ x) dla każdego x. Oblicz trzeci momet sumy E(S ), gdzie S = X X. Odp: C-> µ(µ + σ ). Rozwiązaie. Z faktu symetrii wyika, że EX i = µ, E(X i µ) = σ, E(X i µ) =. Stąd rówież E(S µ) =, E(S µ) = σ, E(S µ) =. Pozostaje obliczyć E(S ) = E(S µ + µ) = µσ + µ = µ(µ + σ ).. (Eg 5/) Niech X, X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o gęstości f θ (x) = exp( x θ ). Niech T = X [,5]:, gdzie [x] ozacza część całkowitą liczby x. Które z poiższych stwierdzeń jest prawdziwe? Odp: A-> lim P(((T θ) > ) =,. Rozwiązaie. Zmiee X i mają rozkład o dystrybuacie { F (θ + t) = ( e (t θ) ) t θ e (θ t) t < θ Przypomijmy, że P(T t) jest takie same jak to, że zmiea S (t) z rozkładu Beroulliego B(, F (t)) będzie miała co ajmiej [, 5] sukcesów. Obliczamy dla zmieej S = S (θ + ) Pozostaje obliczyć P(((T θ) > ) = P(T > θ + ) = P(S < [, 5]) = = P( S F (θ + ) F (θ + )( F (θ + )) lim Z drugiej stroy z CTG wyika, że ( e ) [, 5] ( e )e < [, 5] ( e ) )e ( e =. S F (θ + ) Z, F (θ + )( F (θ + )) gdzie Z ma rozkład N (, ). Otrzymujemy wyik P(Z < ),. ).

3 5. (Eg 5/7) Niech X, X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie ormalym N (m, ). Parametr m jest iezay i jest realizacją zmieej losowej o rozkładzie ormalym N (, ). Wyzaczamy estymator bayesowski parametru m przy fukcji straty LINEX daej wzorem L(m, a) = e m a (m a), gdzie a ozacza wartość estymatora. Załóżmy, że w wyiku doświadczeia uzyskao próbkę losową taką, że i= X i = 5. Wtedy estymator bayesowski przyjmuje wartość Odp: E-> 9 6. Rozwiązaie. W teorii decyzji statystyczej mamy do czyieia z regułami decyzyjymi δ : X A, dalej z fukcjami starty L : Θ A R oraz fukcjami ryzyka R(θ, δ) = E θ (θ, δ(x)). W przypadku reguł bayesowskich mamy zaday rozkład a priori ν a przestrzei parametrów Θ. Dzięki temu moża zdefiiować r(ν, δ) = R(θ, δ)ν(dθ). Dyspoując powyższym fukcjoałem defiiujemy optymalą regułę bayesowską δ µ jako argumet miimum fukcji r(µ, δ). Wyzaczeie optymalej reguły bayesowskiej polega a skorzystaiu ze wzoru Fubiiego L(θ, δ(x))µ θ (dx)ν(dθ) = L(θ, δ)ν x (dθ)µ(dx), Θ X gdzie miara µ θ jest rozkładem X a X przy prawdopodobieństwie P θ, adto miary µ i ν x (θ) wyzacza się ze wzoru µ θ (dx)ν(dθ) = ν x (dθ)µ(dx). Rozkład µ x azywa się rozkładem a posteriori. Dla każdego x X wybieramy wartość δ µ (x) jako argumet miimum fukcji f : A R f(δ) = L(θ, δ)ν x (dθ). Θ Dla L(θ, a) = (θ a) estymatorem bayesowski jest wartość oczekiwaa względem ν x, adto dla L(θ, a) = θ a tym estymatorem jest mediaa ν x. W przypadku fukcji LINEX L(m, a) = e m a (m a) obliczamy f (δ) = e m δ ν x (dm) Czyli δ(x) = log e m ν x (dm). R Należy zatem wyzaczyć rozkład a posteriori ν x. Mamy Θ µ m (dx) = (π) exp( X Θ (x i m) )dx...dx i= dalej ν(dm) = (π) exp( 6 (m ) ).

4 Stąd µ m (dx)ν(dm) jest rozkładem Gaussowskim, a zatem rówież ν x ma rozkład Gaussowski, co atychmiast pozwala wyzaczyć jego postać N ( + i= xi +, + ). Rozkład µ też jest Gaussowski i moża wyzaczyć jego postać, ie ma to jedak zaczeia dla tego zadaia. Pozostaje wyzaczyć e m ν x (dm) = exp( + i= x i + + ( + ) ). Stąd R δ(x) = + i= x i + + Podstawiając = oraz i= X i = dostajemy ( + ) = i= x i. ( + ) δ(x) = (Eg 5/6) O zmieych X, X,..., X o tej samej wartości oczekiwaej rówej µ oraz tej samej wariacji rówej µ oraz tej samej wariacji rówej σ zakładamy, iż: Cov(X i, X j ) = ρσ dla i j. Zmiee losowe ε, ε,..., ε są awzajem iezależe oraz iezależe od zmieych losowych X, X,..., X i mają rozkłady prawdopodobieństwa postaci: P(ε = ) = P(ε i = ) = P(ε i = ) =. Wariacja zmieej losowej S = i= ε ix i jest rówa. Odp: A-> (5σ + µ + ( )ρσ ). Rozwiązaie. Obliczamy wariację Var(S) = i= Var(ε i X i ) + i j Cov(ε i X i, ε j X j ) = = [ 5 (µ + σ ) µ ] + ( )[ ρσ ] = = (5σ + µ + ( )ρσ ). 7. (Eg 55/) Niech X i Y będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach wykładiczych, przy czym EX =, EY = 6. Rozważmy zmieą Z = Y X+Y. Wtedy Odp: B-> mediaa rozkładu Z jest rówa,. Rozwiązaie. Poszukujemy C takiego, że stąd Y P( X + Y > C) =. = P(( C)Y > CX) = EP(( C)Y > CX X)) = Czyli ( C) = C, zatem C =, 6. Cx e 6( C) e x dx = + C. ( C)

5 8. (Eg 56/8) Cyfry,,,..., 9 ustawiamy losowo a miejscach o umerach,,,..., 9. Niech Xbędzie zmieą losową rówą liczbie cyfr stojących a miejscach o umerach rówych cyfrom. Wariacja zmieej X jest rówa Odp: B->. Rozwiązaie. Warto zapamiętać, że graicza liczba koicydecji jest zmieą Poissoa z parametrem, a więc i wariację rówą. W przypadku skończoym tego zadaia korzystamy ze zmieych włączeiowych X = X X 9, gdzie X i przyjmuje wartość jeśli i-ta cyfra stoi a swoim miejscu i w przeciwym przypadku. Jest jase, że P(X i = ) = 9 oraz P(X i =, X j = ) = 9 8 zatem Stąd VarX i = 8 9 9, Cov(X i, X j ) = Var(X) = 9VarX + 9 8Cov(X, X ) = =. 9. (Eg 57/) Niech X, X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale (, θ), gdzie θ > jest iezaym parametrem. Rozważamy estymator parametru θ postaci T = ( + ) mi{x, X..., X }. Jeśli θ =, to dla każdego ε (, ) graica lim P( T > ε) jest rówa Odp: B-> e ε e ε. Rozwiązaie. Najpierw wyzaczamy rozkład T, dla < t < + Stąd dla T o rozkładzie wykładiczym P(T > t) = ( t + ) e t. lim P( T > ε) = P( T > ε) = P(T > + ε) + P(T < ε) = = e ε + e ε.. (Eg 57/9) Zmiee losowe X, X,..., X,... są iezależymi o jedakowym rozkładzie P(X = ) = P(X = ) = P(X = ) = P(X = ) =. Niech Y = oraz iech dla =,,,... zachodzi { gdy X = Y = mi(y, X ) gdy X < Oblicz lim P(Y ) Odp: B->. Rozwiązaie. Nietrudo zauważyć, że (Y ) = jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia P = 5

6 Obliczamy rozkład graiczy ze wzoru π = πp, zachodzi π = (, 6,, ). Zatem lim P(Y ) = π + + π + π =.. (Eg 58/) Niech X, X,..., X,... będą zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie ujemym dwumiaowym P θ (X i = k) = (k + )θ ( θ) k, k =,,,..., i =,,..., +, gdzie θ (, ) jest iezaym parametrem. Zmiee X, X,..., X, X + są warukowo iezależe przy daym θ. Załóżmy, że rozkład a priori parametru θ jest rozkładem o gęstości π(θ) = θ ( θ), gdy θ (, ). Na podstawie próby losowej X, X,..., X wyzaczamy predyktor bayesowski. zmieej X + przy kwadratowej fukcji straty. Wariacja tego predykatora jest rówa Odp: D-> 8 +. Rozwiązaie. Podstawową wiedzą z teorii warukowych wartości oczekiwaych jest, że przy kwadratowej fukcji straty ajlepszym estymatorem X + jest E(X + X,..., X ), gdzie wartość oczekiwaa ozacza całkowaie względem miary P θ µ(dθ). Oczywiście z warukowej iezależości X,.., X pod warukiem Θ = θ dostajemy E(X + X,..., X ) = E(E(X + Θ, X,..., X ) X,..., X ) = = E( Θ Θ X,..., X ). Musimy wyzaczyć rozkład warukowy Θ pod warukiem X = k,..., X = k. Najpierw wyprowadzamy gęstość rozkładu łączego f(θ, k) = θ (+) ( θ) + i= ki i= (k i + ). Pozostaje wyzaczyć, gęstość f(θ k). Nietrudo zauważyć, że jest rozkład Beta(+, + i= k i). Dla zmieej Z z rozkładu Beta(α, β) oraz α > wartość EZ = α+β α, EZ = (α+β )(α+β ) (α )(α ). Stąd E( Θ Θ X,..., X ) = + i= X i =: T. ( + ) Nadto X X pod warukiem Θ = θ ma rozkład ujemy dwumiaowy B (, θ). Zatem Z własości rozkładu ujemego dwumiaowego oraz VarT = EVar(T Θ) + VarE(T Θ). E(T Θ) = + Θ Var(T Θ) = Korzystając z własości rozkładu Beta(, ) obliczamy ( ) + 8 ( + ) Θ Θ. VarE(T Θ) = 8 ( + ) 6

7 adto EVar(T Θ) = 8 ( + ) Podsumowując VarT = (Eg 58/8) Załóżmy, że W, W,..., W,... jest ciągiem zmieych losowych takim, że zmiea W ma rozkład jedostajy a przedziale (, ), dla każdej liczby aturalej zmiea losowa W + warukowo przy daych W, W,..., W ma gęstość { gdy w, 5 f(w + w,..., w ) = x gdyw >, 5 dla w + (, ). Wtedy lim P(W >, 5) jest rówa Odp: B-> 5 6. Rozwiązaie. Nietrudo zauważyć, że mamy do czyieia z jedorodym łańcuchem Markowa zdaym przez fukcję przejścia P (x, A) = A x + y dy x>. A Poszukujemy rozkładu stacjoarego π a [, ] takiego, że π(a) = A π([, ]) + y dyπ((, ]) Stąd atychmiast wyika, że π jest absolutie ciągłą względem miary Lebsegue a której gęstość f spełia waruek f(x) = π([, ]) x + π(, ])x x. Współczyiki a = π([, ]), b = π((, ]) wyzaczamy ze wzorów { a = a + b 8 = a + b Stąd a = b oraz a = 5, b = 5. Obliczamy A lim P(W > ) = π((, ]) = = ( 6 ) = = 75 8 = (Eg 59/) Dyspoujemy dwiema urami. W urie I mamy dwie kule białe i jedą czarą, w urie II mamy trzy kule białe i trzy czare. Powtarzamy razy eksperymet polegający a tym, że losujemy jedą kulę z ury I, ie oglądając jej wkładamy ją do ury II, astępie losujemy jedą kulę z ury II i ie oglądając jej wkładamy ją do ury I. Niech X ozacza zmieą losową rówą liczbie kul białych w urie I po doświadczeiach. Wtedy lim E(X X + ) jest rówa Odp: C-> 65. Rozwiązaie. Poowie korzystamy z teorii łańcuchów Markowa. Pod długim czasie rozkład kul będzie się stabilizował, aby wyzaczyć rozkład graiczy piszemy macierz przejścia dla liczby kul 7

8 w I urie Rozwiązujemy układ rówań S P = π = 7 π + π π = 5 7 π + π + 6 π π = π + 7 π = π + π + π + π którego rozwiązaiem jest π =, π = 5, π =, π = 5. Zatem Czyli lim E(X X + ) = E π (X X ) = k= l= klp (k, l)π k. lim E(X X + ) = = 65.. (Eg 6/) Niech X, X,..., X, >, będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Pareto o gęstości f(x) = ( + x) x>. Niech U = mi{x, X, X,..., X }. Wtedy Cov(U, X ) jest rówa Odp: C-> (+)(+). Rozwiązaie. Niech X ma rozkład taki jak X, X, X,..., X. Mamy P(X > t) = Stąd EX = P(X > t)dt =. Nadto P(U > t) = ( + t), t., t. ( + t) Zatem EU = P(X > t)dt = +. Pozostaje obliczyć X EUX = EX E(U X ) = EX dt = ( + t) = EX ( ( + X ) ) = ( ) t dt. ( + t) + Do policzeia występujących powyżej wartości oczekiwaych ajprościej użyć podstawieia x = +t t dt = ( + t) + ( + )( + ). x ( x)dx = Γ( + )Γ() Γ( + ) = 8

9 Zatem Cov(U, X ) = ( ( + )( + ) ) ( + ) = 9 = ( + )(9 ) = ( + )( + ). 5. (Eg 6/) Niech zmiea losowa S będzie liczbą sukcesów w ( > ) próbach Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. O zdarzeiu losowym A wiemy, że P(A S = k) = a k dla k =,,,...,, gdzie a jest zaą liczbą < a. Oblicz E(S A). Odp: A-> p + p. Rozwiązaie. Obliczamy P(A) = P(A S = k)p(s = k) = k= Zatem korzystając z własości rozkładu Beroulliego E(S A) = P(A) = (ap) k= a k ( k k= a k k= kp({s = k} A) = (ap) ) p k ( p) k = ( p) + p. ( ) p k ( p) k = ap. k k= kp(a S = k)p(s = k) = 9

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

1 Warunkowe wartości oczekiwane

1 Warunkowe wartości oczekiwane Warunkowe wartości oczekiwane W tej serii zadań rozwiążemy różne zadania związane z problemem warunkowania.. (Eg 48/) Załóżmy, że X, X, X 3, X 4 są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory

Kurs Prawdopodobieństwo Wzory Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =. Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji

Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 2 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Metody estymacji ML Zad. 1 Pojawianie się spamu opisane jest zmienną losową x o rozkładzie dwupunktowym

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:

oznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że: Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt?

1. Dany odcinek podzielić dwoma punktami na trzy części. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych części da się zbudować trójkąt? 1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Estymatory nieobciążone

Estymatory nieobciążone Estymatory nieobciążone Zadanie 1. Pobieramy próbkę X 1,..., X n niezależnych obserwacji z rozkładu Poissona o nieznanym parametrze λ. Szacujemy p 0 = e λ za pomocą estymatora ˆp 0 = e X, gdzie X jest

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 5 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Metoda największej wiarygodności

Metoda największej wiarygodności Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n

Zadania z RP 2. seria Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n Zadania z RP 2. seria 1. 1. Dla x R n, niech δ x oznacza miarę Diraca, skupioną w punkcie x. Wykazać, że dla dowolnego ciągu x n R n zachodzi δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x. 2. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Grupę n dzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Grupę n dzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8 Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA Elemetarym pojęciem w rachuku prawdopodobieostwa jest zdarzeie elemetare tz. możliwy wyik pewego doświadczeia p. rzut moetą: wyrzuceie orła lub reszki arodziy człowieka: urodzeie

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Ćwiczenia lista zadań nr 7 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Przykładowe problemy Klasyfikacja binarna Dla obrazu x zaproponowano dwie cechy φ(x) = (φ 1 (x) φ 2 (x)) T. Na obrazie

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.

P ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1. Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne.

Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne twierdzenie graniczne. Rachuek prawopoobieństwa MA5 Wyział Elektroiki, rok aka 20/2, sem leti Wykłaowca: r hab A Jurlewicz Wykła 8: Zbieżość weług rozkłau Cetrale twierzeie graicze Zbieżości ciągu zmieych losowych weług rozkłau

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne

Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Wojciech Niemiro Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń i Uniwersytet Warszawski Statystyka Matematyczna Wisła, grudzień 2010 Wykład 1 1 Co to jest MCMC? 2

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu

Bardziej szczegółowo

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna. Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Podstawowe rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych skokowych Rozkład zero-jedynkowy Rozpatrujemy doświadczenie, którego rezultatem może

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o 1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo