EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

Transkrypt

1 EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl zbigiew.tarapata.akcja.pl/p_ekoometria/ tel.: CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? Ekoometria jest zbiorem modeli i metod ekoomii, matematyki i wioskowaia statystyczego wykorzystywaych do aalizy zjawisk ekoomiczych. Podstawowym celem ekoometrii jest wyposażeie ekoomii w arzędzia aalizy jej zjawisk. Ekoometria dzieli się a dwa działy: teorie i jej zastosowaia. W ostatich latach obserwujemy szybki wzrost zastosowań ekoometrii główie dzięki gwałtowemu rozwojowi techiki komputerowej i iformatyki.

2 CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? x y z v Zjawisko ekoomicze Jaki jest związek wielkości wejściowych z wielkościami wyjściowymi? a b c g Ekoometria zajmuje się badaiem związków ilościowych i jakościowych pomiędzy wielkościami wejściowymi i wyjściowymi zjawisk ekoomiczych, przy założeiu, że zae są wartości kolejych pomiarów (x,y,z,...,v) oraz odpowiadających im (a,b,c,...,g). Związki te ajczęściej opisuje się w postaci rówań wektorowomacierzowych. 3 SCHEMAT EKONOMETRYCZNY CELE I PROCEDURA opis mechaizmu kształtowaia się zjawisk ekoomiczych (cel pozawczy) ekoometria w wąskim sesie przewidywaie dalszego w sesie czasowym przebiegu zjawisk ekoomiczych (cel predykcyjy) ekoometria sesu stricto sterowaie dalszym, w sesie czasowym, przebiegiem zjawisk ekoomiczych (cel decyzyjy) ekoometria sesu largo Procedura ekoometrycza: Specyfikacja zmieych Kostrukcja modelu Estymacja parametrów Weryfikacja modelu Zastosowaie modelu 4

3 PRZYKŁADY ZALEŻNOŚCI EKONOMETRYCZNYCH J.M. Keyes Ogóla teoria zatrudieia, procetu i pieiądza Dochody (Y) i wydatki a kosumpcję (C) ; f: R R, Cf (Y) Założeia i wioski: dc Spadek dochodów pociąga dy spadek kosumpcji d( C Krańcowa skłoość do kosumpcji jest dodatia i d( C miejsza od jedości dc Udział kosumpcji w dochodzie maleje wraz ze wzrostem dochodu Przykład fukcji f spełiającej waruki : C α 0 + αy dy (0,) / Y ) < 0 dy / Y ) ( dc / dy ) Y C < 0 dy Y < C Y 5 PRZYKŁADY ZALEŻNOŚCI EKONOMETRYCZNYCH J.M. Keyes dwurówaiowy model opisujący zależość między dochodami (Y), wydatkami a kosumpcję (C) i iwestycjami (I): Ct α0 + α Yt + α Ct + ζ t Y C + I t t gdzie: C t wydatki kosumpcyje w chwili t; Y t dochody w chwili t; I t iwestycje w chwili t; ζ t składik losowy. t 6

4 ROWNOWAŻNE POJĘCIA EKONOMETRYCZNE Zmiea C azywaa jest : Zmieą zależą Zmieą objaśiaą Regresatem (w teorii estymacji) Zmieą edogeiczą Zmiea Y azywaa jest Zmieą iezależą Zmieą objaśiającą Regresorem Zmieą egzogeiczą 7 SKŁADNIK LOSOWY Wykresy fukcji f pokazują iedopasowaie do fukcji liiowej: C α 0 + αy Propozycja : C f ( Y, ξ ) Rzeczywista zależość kosumpcji od dochodu ma charakter stochastyczy : Ct α0 + αy t + ξt, t,..., T Obserwacje a zmieych C, Y mają charakter szeregów czasowych 8

5 PRZYCZYNY LOSOWOŚCI Zachowaie ludzi (podmiotów ekoomiczych) cechuje idetermiizm przy tych samych warukach podejmowae są roże decyzje; Pomiar zjawisk jest iedokłady błędy obserwacji; Wadliwość modelu: brak zmieych objaśiających, zły typ fukcji f (p. powiy być skokowe a są ciągłe), modele jedej zmieej a powiy być wielu zmieych, modele ieliiowe związae z tym iterpolacje, problemy autokorelacji, współzależość rówań. 9 WPROWADZENIE DO MODELOWANIA EKONOMETRYCZNEGO Szukamy związku zmieej objaśiaej Y z wartościami zmieych objaśiających X i, i,...,m. Szukamy zatem związku f postaci: Y f (X,X,..., X m Gdyby założyć, że jest o liiowy, wtedy: Y a0 + ax + ax amxm ) + ξ gdzie ξ obrazuje am losowe odkształceie modelu liiowego. Oczywiście, ie musimy przyjmować modelu liiowego zależości zmieych objaśiaych od zmieych objaśiających. 0

6 WPROWADZENIE DO MODELOWANIA EKONOMETRYCZNEGO Typowe problemy powstające w trakcie budowy modelu ekoometryczego: jakie wartości mają parametry rówaia wiążącego zmieą Y od zmieych X i? (typowe zagadieie ekoometrycze) jak zweryfikować postać fukcji f? (typowe zagadieie ekoometrycze) zakładając przybliżeie fukcji f fukcją liiową, jak oceić jej przystawaie do rzeczywistości? (adekwatość modelu typowe zagadieie ekoometrycze) które zmiee objaśiające mamy przyjąć do modelu, a jakie odrzucić? (jest przecież ich olbrzymia liczba i a pewo ie ależy uwzględiać wszystkich) Zmiee objaśiające (wartości cech mierzalych) w modelu ekoometryczym z formalego puktu widzeia powiy się odzaczać astępującymi własościami:. Mieć odpowiedio wysoką zmieość,. Być silie skorelowae ze zmieą objaśiaą, 3. Być słabo skorelowae miedzy sobą, 4. Być silie skorelowae z iymi zmieymi ie pełiącymi roli zmieych objaśiających, które zmiee objaśiające reprezetują (chodzi o to, aby zmiee objaśiające były dobrymi reprezetatami zmieych, które weszły do zbioru zmieych objaśiających).

7 Elimiowaie zmieych quasi-stałych Niech: Xi Xti, i, m t średia z próby S t ( X Xi ), i, m i ti odchyleie stadardowe 3 Elimiowaie zmieych quasi-stałych, c.d. Poziom zmieości (miara): v S X i i, i, i m v * - krytycza wartość, v* 0, 0, 5 Zmiee X k uzajemy za quasi-stałe, gdy v k < v*, dla wybraych k z zakresu i, m i zmiee te elimiujemy ze zbioru potecjalych zmieych objaśiających. 4

8 WEKTORY I MACIERZE WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI Zmiee objaśiające muszą być silie skorelowae ze zmieą objaśiaą oraz słabo skorelowae między sobą. Jak to mierzyć? Współczyik korelacji między zmieymi objaśiającymi X i a zmieą objaśiaą Y (jeśli ie ma korelacji między pewymi zmieymi X i i Y, to od razu je wyrzućmy!): ( y y)( x X i ) t ri, i, m t ( y y) ( x X i ) t t t ti ti R 0 r ri r m 5 WEKTORY I MACIERZE WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI, c.d. Współczyik korelacji między zmieymi objaśiającymi: ( x X i )( x X j ) t rij, i, j, m ti ( x X i ) ( x X j ) ti t t tj tj współczyik korelacji między zmieymi objaśiającymi r r m r r m R rm rm macierz współczyików korelacji pomiędzy zmieymi objaśiającymi 6

9 Metoda Hellwiga Idea metody polega a tym, że spośród potecjalych zmieych objaśiających tworzy się wszystkie możliwe kombiacje tych zmieych, a astępie bada się tzw. itegralą pojemość iformacji jaką iesie za sobą zastosowaie każdej z możliwych kombiacji tych zmieych. 7 Metoda Hellwiga, c.d. Procedurę wyboru zmieych objaśiających do modelu według metody Hellwiga możemy zapisać astępująco:. Tworzymy wszystkie możliwe kombiacje potecjalych zmieych objaśiających, które moża utworzyć z m zmieych. Ich liczba jest rówa liczbie wszystkich możliwych podzbiorów zbioru m-elemetowego, czyli L m. Dla przykładu, jeżeli m, to moża utworzyć 3 kombiacje zmieych: K {X }, K {X }, K 3 {X, X }, gdzie K l -l-ta kombiacja zmieych, X i - i-ta potecjala zmiea objaśiająca. 8

10 Metoda Hellwiga, c.d.. Następie dla każdej j-tej potecjalej zmieej objaśiającej, w każdej kombiacji l-tej ( l, L) oblicza się idywidualą pojemość iformacji h lj tej zmieej w kombiacji według wzoru: h lj i rj r I l ij gdzie: I - zbiór ideksów zmieych wchodzących w skład l { i : X i Kl} l-tej kombiacji, tj. kombiacji K l ; h lj - idywiduala pojemość j-tej zmieej w l-tej kombiacji; r j -współczyik korelacji j-tej potecjalej zmieej objaśiającej ze zmieą edogeiczą (objaśiaą); - suma bezwzględych wartości współczyików korelacji j- r ij tej potecjalej zmieej objaśiającej z pozostałymi, i I l występującymi w daej kombiacji K l. 9 Metoda Hellwiga, c.d. 3. Kolejym krokiem jest obliczeie itegralej pojemości potecjalych zmieych objaśiających (H l ) jako sumy pojemości idywidualych w ramach każdej kombiacji, według wzoru: H l h lj, l, L j I l 4. Jako zmiee objaśiające wybieramy zmiee ależące do tej kombiacji l *, której odpowiada ajwiększa wartość H l, tz. H l * max H l {,..., L} l 0

11 Metoda Hellwiga przykład obliczeiowy Przykład Na wartości pewej zmieej objaśiaej Y mają wpływ wartości dwóch zmieych X i X. Na podstawie zebraych daych (5-tu) oszacowao macierz R 0 współczyików korelacji zmieej objaśiaej Y ze zmieymi X i X oraz pomiędzy zmieymi X i X (macierz R): Dokoać wyboru zmieych objaśiających do modelu według metody Hellwiga. r R r R 0 r r r 0.7 r Metoda Hellwiga przykład obliczeiowy Tworzymy wszystkie możliwe kombiacje zmieych: K {X }, K {X }, K 3 {X, X } Stąd: I {}, I {}, I 3 {, } Dla każdej j-tej zmieej w każdej l-tej kombiacji musimy policzyć idywiduale pojemości iformacji h lj tej zmieej w kombiacji oraz itegralą pojemość iformacji H l. Dla kombiacji K mamy: oraz r r h ri r i I H h

12 Metoda Hellwiga przykład obliczeiowy Dla kombiacji K mamy: h Dla kombiacji K 3 mamy: oraz r r ri r.0 i I oraz r r 0.49 h ri r + r i I 3 r r 0.09 h ri r + r i I H 3 3 h3 + h h 0.09 Największą wartość itegralej pojemości iformacji (H 0.49) otrzymao dla kombiacji K {X }, stąd optymale jest przyjęcie za zmieą objaśiającą jedyie zmieej X. H 3 Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych Metoda ta polega a budowie grafu powiązań korelacyjych pomiędzy potecjalymi zmieymi objaśiającymi charakteryzującymi się statystyczie istotymi wartościami współczyików korelacji pomiędzy sobą. Następie, poprzez odpowiedią aalizę grafu, wybiera się te zmiee, które powiy być zmieymi objaśiającymi. 4

13 Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych, c.d.. Przeprowadzamy weryfikację istotości współczyików korelacji pomiędzy zmieymi, tz. musimy sprawdzić hipotezę: H : rij 0 dla i 0 j W tym celu obliczamy wartość krytyczą współczyika korelacji r * według wzoru: r * tα, v + tα, v gdzie jest liczbą obserwacji, a podstawie których obliczoo współczyiki korelacji, a t α,v jest wartością krytyczą rozkładu t-studeta dla przyjętego poziomu istotości α i v- stopi swobody, odczytywaą z tablic statystyczych. 5 Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych, c.d. [ ] m. Tworzymy macierz R" r '' ij, gdzie elemetami tej macierzy m są astępujące liczby: " ij r 0, gdy r r * ij dla i j rij, w przeciwym przypadku 3. Na podstawie macierzy R" budujemy graf G powiązań pomiędzy zmieymi. Wierzchołkami grafu są poszczególe zmiee, atomiast krawędzie łączą te pary wierzchołków (zmieych), którym w macierzy R" odpowiadają iezerowe wartości. Formalie możemy graf G zdefiiować astępująco: G W, U gdzie: W - zbiór wierzchołków grafu, W{,...,m}; U -zbiór krawędzi grafu, U W W i, j W W : r " 0. { } } ij 6

14 Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych, c.d. 4. Sposób wyboru zmieych objaśiających do modelu jest astępujący: Z każdej składowej spójości [] grafu wybieramy te wierzchołki (zmiee), które mają ajwiększy stopień []. Jeżeli w składowej spójości zajduje się kilka wierzchołków, które mają te sam stopień, to wybieramy taki, że zmiea z im związaa jest ajsiliej skorelowaa ze zmieą objaśiaą spośród wszystkich pozostałych wierzchołków o tym samym stopiu. Jeśli mimo to wartości współczyików korelacji są rówe dla kilku zmieych (wierzchołków) o tym samym stopiu, to wszystkie oe wchodzą do zbioru zmieych objaśiających. [] Składowa spójości grafu G jest to taki maksymaly (ze względu a liczbę wierzchołków) podgraf grafu G, który jest grafem spójym, tz. między każdą parą wierzchołków w tym podgrafie istieje marszruta (możliwość przejścia z jedego wierzchołka do drugiego w sposób bezpośredi lub pośredi (poprzez ie wierzchołki i gałęzie je łączące)). Przypomiamy rówież, że podgraf grafu tworzymy w te sposób, że wybieramy dowole wierzchołki grafu G i wszystkie gałęzie, które między tymi wierzchołkami istiały w grafie G. W kosekwecji - maksymaly podgraf spójy jest to taki podgraf grafu G, że ie moża już dodać żadego iego wierzchołka do tego podgrafu, aby owy podgraf, który w te sposób by powstał był adal grafem spójym. [] Stopień wierzchołka grafu jest to liczba wszystkich gałęzi icydetych z tym wierzchołkiem, tz. jest to suma łuków "wchodzących" do daego wierzchołka, łuków "wychodzących" z daego wierzchołka, krawędzi dochodzących do wierzchołka i pętli zajdujących się przy tym wierzchołku. 7.0 R Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych przykład obliczeiowy Przykład Na podstawie 5-tu obserwacji dotyczących zmieej edogeiczej i 7-miu potecjalych zmieych objaśiających obliczoo współczyiki korelacji, które zestawioo w macierzy R i R 0. Stosując metodę aalizy grafu powiązań korelacyjych, wybrać optymalą kombiację zmieych objaśiających do modelu ekoometryczego. Weryfikację istotości współczyików korelacji przeprowadzić a poziomie istotości α R

15 Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych przykład obliczeiowy, c.d.. Z tablic rozkładu t-studeta obliczamy wartość krytyczą t α,v dla v5-3 stopi swobody i α0.05 otrzymując t α,v0.05,3.60. Wyliczamy wartość krytyczą współczyika korelacji r * : r * Tworzymy macierz R zgodie z puktem procedury: R" tα, v + t α, v Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych przykład obliczeiowy, c.d. Zgodie z puktem 3 procedury budujemy graf G powiązań korelacyjych:

16 Metoda aalizy grafu powiązań korelacyjych przykład obliczeiowy, c.d. Zauważmy, że w grafie G mamy dwie składowe spójości: pierwsza tworzoa jest przez pojedyczy wierzchołek, tz. S {}, atomiast drugą tworzy podgraf zbudoway a pozostałych wierzchołkach, tz. S {, 3, 4, 5, 6, 7}. Wobec tego, zgodie z puktem 4 procedury, jedą ze zmieych objaśiających będzie zmiea r. Koleje zmiee wybieramy poprzez aalizę składowej spójości S. Poieważ w grafie G mamy 4 wierzchołki o tym samym, maksymalym stopiu rówym (tz. wierzchołki:, 3, 5, 6), wobec tego musimy sprawdzić, która ze zmieych skojarzoych z tymi wierzchołkami jest siliej skorelowaa ze zmieą objaśiaą. Z macierzy R 0 mamy, że : r 0.6, r 3 0.7, r 5 0.8, r Z tego wyika, że zmiea X 5 jest ajsiliej skorelowaa ze zmieą objaśiaą i to oa zostaie wybraa ze składowej S do zbioru zmieych objaśiających. Otrzymujemy zatem, że zmieymi objaśiającymi w modelu będą zmiee X i X 5. 3