Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

Transkrypt

1 Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej X wartość oczekiwaa, jeśli istieje, jest liczba określoa wzorem EX = x i p i, ) i w którym sumowaie obejmuje wszystkie wartości zmieej X; jeśli suma ) jest szeregiem ieskończoym, zakładamy, że jest o bezwzględie zbieży, to zaczy x i p i = g, gdzie g jest pewa liczba rzeczywista. i Uwaga Wartość oczekiwaa zmieej losowej azywaa jest literaturze także wartością średią zmieej losowej. Wartość oczekiwaa może być iterpretowaa jako "środek ciężkości" układu puktów materialych x, x 2,... o wagach p, p 2,... Własości wartości oczekiwaej Łatwo widać, że wartość oczekiwaa zmieej losowej Y = ax + b jest rówa EaX + b) = aex + b wartość oczekiwaa ma własość liiowości). Jeśli wartości oczekiwae zmieych losowych X i X 2 istieją i są rówe, odpowiedio, µ i µ 2, to EX + X 2 ) = µ + µ 2. Wariacja zmieej losowej Defiicja 2. Wariację zmieej losowej X określamy wzorem gdzie µ = EX. V arx = EX µ) 2,

2 Wariacja jest rówa wartości oczekiwaej kwadratu odchyleia wartości zmieej losowej od swojej wartości przeciętej. Uwaga: W defiicji tej ie zakładamy, że zmiea losowa X jest dyskreta. Zakładamy atomiast istieie wartości oczekiwaej EX µ) 2. Dla a > mamy: V arax + b) = a 2 V arx). Dla zmieej dyskretej X wariacja jest rówa V arx = i x i µ) 2 p i. Własości wariacji rozkładu Widzimy, że wariacja jest tym większa, im większa jest średia odległość puktów x i od środka ciężkości µ- wartości oczekiwaej. Jeśli wszystkie wartości x i są sobie rówe, wtedy wariacja jest rówa zeru. Odchyleie stadardowe Odchyleie stadardowe zmieej losowej X, ozaczae przez DX, defiiujemy jako pierwiastek kwadratowy wariacji X. Odchyleie stadardowe zmieej losowej X często jest też ozaczae grecką literą σ. Moża pokazać, że dla a : DaX + b) = adx. 2) Wartość oczekiwaa i wariacja zmieej o rozkladzie dwumiaowym Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie dwumiaowym z parametrami N i p, ). Moża pokazać, że: EX) = p, V arx) = p p). Wartość oczekiwaa i wariacja dla zmieych losowych typu ciagłego Wartość oczekiwaa zmieej losowej typu ciągłego X określoa jest wzorem EX) = przy założeiu, że całka 3) jest bezwzględie zbieża, to jest x gx)dx = h, xgx)dx, 3) gdzie h jest pewą liczbą rzeczywistą. Wariację zmieej losowej X typu ciągłego), przy założeiu, że oa istieje, moża wyrazić wzorem: V arx) = x µ) 2 gx)dx. 2

3 Wartość oczekiwaa i wariacja zmieej losowej o rozkładzie U, ) Niech X U, ). Fukcja gęstości g jest rówa a [, ]; poza tym przedziałem jest rówa. Mamy: oraz V arx) = EX) = = xgx)dx = x 2 )2 gx)dx = x [ x 3 2 )2 dx = 3 x2 2 + x 4 [ x 2 ] xdx = = 2 2 ] = = 2. Wartość oczekiwaa i wariacja zmieej losowej o rozkładzie ormalym Moża pokazać, że jeśli X Nµ, σ), to EX) = µ, V arx) = σ 2, DX) = σ. Wymaga to obliczeia całek trochę bardziej skomplikowaych iż dla przypadku odpowiadającego U, ). Niezależość zmieych losowych Defiicja 3. Mówimy, że zmiee losowe X i Y sa iezależe, jeżeli P X [a, b] Y [c, d]) = P X [a, b]) P Y [c, d]) dla dowolych przedziałów [a, b] i [c, d]. Ituicyjie: iezależe zmiee losowe odpowiadają realizacje liczbowe iezależych zmieych losowych. Cetrale Twierdzeie Graicze Twierdzeie. Jeżeli X, X 2,..., X sa iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie, EX ) = µ, DX ) = σ, to zmiea losowa X µ σ/, gdzie X = X +X X ), ma w przybliżeiu stadardowy rozkład ormaly N, ), tj. P a X µ ) σ/ b Φb) Φa) dla dowolych a i b, a < b 3

4 Iymi słowy, rozkład X jest w przybliżeiu rówy rozkładowi ormalemu Nµ, σ/ ). Niech X będzie zmieą losową o rozkładzie dwumiaowym z parametrami N i p, ). Z Cetralego Twierdzeia Graiczego wyika, że X ma w przybliżeiu rozkład a X ma w przybliżeiu rozkład N p, p p) ) N p, ) p p). Momety zmieych losowych Momet rzędu k rozkładu zmieej losowej X, gdzie k jest liczbą aturalą, defiiujemy wzorem M k = EX k ). Ozaczmy przez µ wartość oczekiwaą zmieej losowej X Momet cetraly rzędu k rozkładu zmieej losowej X, gdzie k jest liczbą aturalą większą lub rówą iż dwa, defiiujemy wzorem m k = EX µ) k. Momety próbkowe Niech X, X 2,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o wspólym rozkładzie. Niech x,..., x będą realizacjami zmieych losowych odpowiedio) X,..., X. Dobrym oszacowaiem mometu rzędu k wspólego rozkładu zmieych losowych X j, j =, 2,..., jest momet próbkowy rzędu k x k j. j= Dobrym oszacowaiem cetralego mometu rzędu k wspólego rozkładu zmieych losowych X j, j =, 2,..., jest cetraly momet próbkowy rzędu k gdzie x j x) k, j= x = x j. Dla k = 2 zamiast cetralego mometu próbkowego jako oszacowaie wariacji rozkładu czyli mometu cetralego rzędu dwa) wspólego rozkładu zmieych losowych X j, j =, 2,..., stosowae jest rówież oszacowaie s 2 określoe wzorem s 2 = j= x j x) 2. 4) j= 4

5 Zastosowaie do estymacji parametrów Załóżmy, że X, X 2,..., X są iezależymi zmieymi losowymi o wspólym rozkładzie ormalym z parametrami µ i σ >. Niech x,..., x będą realizacjami zmieych losowych odpowiedio) X,..., X. Dobrym oszacowaiem parametru µ jest x. Za oszacowaie σ moża przyjąć pierwiastek z wariacji próbkowej, zdefiiowaej wzorem 4), lub pierwiastek z mometu cetralego rzędu 2 dla daych x, x 2,..., x. Lektura uzupełiajaca T. Bedarski, Elemety matematyki w aukach ekoomiczych. Oficya ekoomicza. Kraków 24, str Koroacki, J., Mieliczuk, J. Statystyka dla studetów kieruków techiczych i przyrodiczych. WNT. Warszawa 2, podrozdział 2.2., str