D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)

Transkrypt

1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie przydziału (ZP). Ogólie przez ZP rozumiemy astępującą sytuację decyzyją. Dae jest celów i środków do ich realizacji. Z każdym skojarzeiem i-tego celu oraz j-tego środka związaa jest pewa korzyść c. Każdy cel musi być zrealizoway, a każdy ze środków może być użyty tylko jede raz. Ozaczmy zmieą decyzyją ZP przez dwie wartości: x. Zmiea taka może przybierać x 1 gdy i-ty cel jest realizoway za pomocą j-tego środka albo x 0 gdy i-ty cel ie jest realizoway za pomocą j-tego środka. Należy zaleźć takie skojarzeia wszystkich celów z środkami, aby łącza korzyść z takich skojarzeń była ajlepsza. Model decyzyjy ZP jest astępujący: (1) (2) (3) max (mi) U( x) i1 j1 x 1 i 12,,..., i1 x 1 j 12,,..., (4) j 1 c x (łącza korzyść) (bilase dla celów) (bilase dla środków) x 0, 1 i 12,,..., j 12,,..., Model decyzyjy ZP (1)-(4) ie jest zadaiem PL z uwagi a biare (ieliiowe) waruki (4).

2 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [2] Model decyzyjy ZP (1)-(4) moża uogólić poprzez rozważaie kojarzeia m celów z środkami, gdzie m iekoieczie musi rówać się. W modelu (1)-(4) zmieią się wówczas relacje w bilasach (2) i (3). Przy m, tj. w przypadku adwyżki środków ad celami (ie każdy środek będzie wykorzystay), zastosujemy model (1)-(2),(3 ),(4). m (1) (mi) U(x) i 1 j 1c x max (łącza korzyść) (2) j 1x 1 i 1,2,..., m (bilase dla celów) m (3 ) i 1x 1 j 1,2,..., (bilase dla środków) (4) x 0,1 i 1,2,..., m j 1,2,..., Przy m, tj. w przypadku adwyżki celów ad środkami (ie każdy cel będzie zrealizoway), zastosujemy model (1),(2 ),(3)-(4). m (1) (mi) U(x) i 1 j 1c x max (łącza korzyść) (2 ) j 1x 1 i 1,2,..., m (bilase dla celów) m (3) i 1x 1 j 1,2,..., (bilase dla środków) (4) x 0,1 i 1,2,..., m j 1,2,...,

3 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [3] ROZWIĄZYWANIE ZP Wykorzystaie KAT ( uciążliwe ) Zastąpmy waruek (4) w ZP (1)-(4) warukiem (4 ) postaci: (4 ) x 0 i 1,2,, j 1,2,, Wówczas model ZP staje się aalogiczy do modelu ZT. Wyrazy wole ograiczeń takiego ZT są liczbami całkowitymi (jedyki). ZP (1)-(4) możemy rozwiązać za pomocą KAT wykorzystując twierdzeie 2 dla ZT (wykład 4 s. 3) przy wyrazach wolych w ZT w postaci liczb całkowitych jego rozwiązaie optymale dae jest rówież w liczbach całkowitych. Wyika stąd, że KAT zastosoway do rozwiązaia ZP musi dać rozwiązaie optymale z wartościami 0 lub 1. Jedak używając KAT musimy liczyć się z wystąpieiem głębokiej degeeracji rozwiązaia bazowego (przy środkach i celach stopień degeeracji rozwiązaia bazowego ZT wyiesie +-1- = -1). Okoliczość ta staowi podstawowe utrudieie związae z wykorzystaiem KAT w rozwiązywaiu ZP. METODA WĘGIERSKA (Hugaria Method) Obecie powszechie stosowaą metodą rozwiązywaia ZP jest metoda azywaa węgierską (Hugaria Method) ie mająca ic wspólego z KAT. W odiesieiu do teorii PL jest oa ajbliższa dualizmowi w PL, choć powstała a długo przed rozwiięciem teorii PL. Metodę zawdzięczamy węgierskiemu matematykowi E.Egervary emu, który opublikował pierwotą wersję omawiaego dalej postępowaia już w 1931 roku. 1953, 1955 H. Kuh, tłumaczeie z węgierskiego i publikacja z użyciem azwy The Hugaria method J. Mukres rozwiął metodę węgierską a ogóly przypadek ZT.

4 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [4] Postępowaie w metodzie węgierskiej (a przykładzie) Tabela podaje koszty wykoaia usług (A, B, C, D i E) przez techików (T1, T2, T3, T4 i T5). Należy przydzielić każdego z techików do wykoaia jedej z usług tak, aby łączy koszt wykoaia wszystkich usług był miimaly. Cele to usługi, środki to techicy. c T1 T2 T3 T4 T5 A B C D E Model tego zagadieia ZP jest astępujący: K c x i j1 5 x j1 5 i1 x x 0,1 mi 1 1 i 1,...,5 j 1,...,5 i 1,...,5 j 1,...,5 UWAGA!!! Jeżeli problem ZP dotyczy maksymalizacji (poszukiwaie c wartości ajwiększej fukcji celu U), to ależy wszystkie parametry fukcji celu pomożyć przez (-1).

5 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [5] Etap wstępy (redukcja macierzy C) 1. Redukcja wierszy macierzy C c. Od każdego elemetu wiersza odejmujemy miimaly elemet w tym wierszu. C T1 T2 T3 T4 T5 miimum wiersza A B C D E ', 2. Redukcja kolum macierzy C c odejmujemy miimaly elemet w tej kolumie. C T1 T2 T3 T4 T5 A B C D E miimum kolumy Macierz zredukowaa C '' c,, C T1 T2 T3 T4 T5 A B C D E Od każdego elemetu kolumy

6 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [6] ITERACJA 1 1. Wykreślaie elemetów zerowych (wierszy i kolum zawierających zera) w macierzy zredukowaej C. Wykreśleia zer ależy dokoać za pomocą miimalej liczby liii (skreśleń). Skreślając wybieraj kolejo wiersze (kolumy) o ajwiększej liczbie zer. Często układ skreśleń ie jest jedozaczy. Natomiast miimala liczba skreśleń (liii) jest dla daej macierzy C k określoa jedozaczie. Jeżeli miimala liczba skreśleń jest rówa (tutaj =5), to kończymy postępowaie i przechodzimy do etapu końcowego. W tej iteracji udało się wykreślić zera za pomocą 4 skreśleń. Zatem ie kończymy postępowaia. Należy zredukować macierz C. C T1 T2 T3 T4 T5 A B C D E r skreśleia 2. Redukcja macierzy C. a. Wybór miimalego ieskreśloego elemetu h: h = mi {2,3,2,2,1,1,2,2,3} = 1 b. Odjęcie h od ieskreśloych elemetów. c. Dodaie h do podwójie skreśloych elemetów. Macierz zredukowaa C ''' c,,, C T1 T2 T3 T4 T5 A B C D E

7 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [7] ITERACJA 2 1. Wykreślaie elemetów zerowych (wierszy i kolum zawierających zera) w macierzy zredukowaej C. W tej iteracji udało się wykreślić zera za pomocą 5 skreśleń. Poieważ =5, to kończymy postępowaie. Pomamy krok 2 i przechodzimy do etapu końcowego. C T1 T2 T3 T4 T5 A B C D E r skreśleia Etap końcowy (realizacja optymalych skojarzeń) Wyczyść ze skreśleń macierz C i realizuj pukty a. oraz b. a. Spośród ieskreśloych wierszy i kolum wybierz wiersz (kolumę) z jedym zerem. Jeżeli ie ma takiego, to wybierz dowole zero (przypadek k rozwiązaia iejedozaczego). Niech wybraym zerem będzie rs 0 Jeżeli w macierzy ie ma już ieskreśloych zer, to koiec postępowaia - problem ZP został rozwiązay. b. Ozacz to skojarzeie (tj. przyjm x rs 1 o c. ); w tabeli stosowe zero ozacz gwiazdką. Wykreśl wiersz r oraz kolumę s i wróć do puktu a. C T1 T2 T3 T4 T5 Kolejość wyboru zer A 1 1 0* B 4 0* (iejedozaczość) C * 1 D * 1 4 E 0*

8 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [8] Rozwiązaie przykładowego ZP jest astępujące: Dae (przypomieie): c T1 T2 T3 T4 T5 A B C D E Optymale skojarzeia (tabelaryczie): 0 x T1 T2 T3 T4 T5 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 K mi = = 9 Optymale skojarzeia (macierzowo): o X x K mi 9 Waża uwaga do metody węgierskiej Moża uikąć kłopotów związaych z wykreślaiem zer za pomocą miimalej liczby skreśleń wykorzystując bardziej rozbudoway opis metody węgierskiej. Zaleźć go moża m. i. w pracy: D. Judi, E. Golsztej, Metody programowaia liiowego, WN-T, Warszawa, 1964, ss Wykorzystaj te opis jeżeli chcesz apisać własy program komputerowy (C++, itp.). Zwróć uwagę a to, że poday tam algorytm jest sformułoway dla ZP z fukcją celu typu max.