Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Transkrypt

1 Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak

2 Rozwiązywaie rówań rekurecyjych

3 Jedorode liiowe rówaia rekurecyje

4 Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech (*) ozacza zależość rekurecyją między wyrazami ciągu {a()}: (*) a( k) D k- a( k -) D a( D a( ) D a() k 0 k - )... gdzie D 0,..., D k- są ustaloymi liczbami zespoloymi oraz iech a(0), a(),...,a(k-) będą warukami początkowymi.

5 Twierdzeie Każdy ciąg {a()} spełiający dla 0 zależość (*) jest postaci a() i gdzie m ozacza liczbę różych pierwiastków wielomiau charakterystyczego m W i P() k D k k D k k... D D 0

6 Twierdzeie Ozaczmy te pierwiastki przez z,... z m zaś ich krotości przez k,... k m odpowiedio. Wtedy W i ma postać: W i (z i ) (C 0 C... C p p C p p ) gdzie p=k i -, zaś C 0,..., C p-, C p są ustaloymi liczbami zespoloymi.

7 Przykład Rozważmy astępujące jedorode liiowe rówaie rekurecyje a(0) 0, a(), a(), a( 3) a( ) 7 4 a( ) a()

8 Przykład Wtedy wielomia charakterystyczy tego rówaia ma postać P() 3 7 4

9 Przykład Poieważ P() ( ) to pierwiastkami są =-/, =-/, 3 =

10 Przykład Zatem a() (C C ) C 3

11 Przykład Brakujące współczyiki wyzaczamy z układu trzech rówań liiowych C (C (C C C C ) C ) 4C dla a(0)=0, a()=, a()= 3 a(0) 3 3 a() a()

12 Przykład Ostateczie C =4/5, C =-9/5, C 3 =9/5 a z tego rozwiązaiem rozważaego rówaia jest a() 4 ( 5 9 ) 5 9 5

13 Niejedorode liiowe rówaia rekurecyje

14 Redukcja do rówań jedorodych Rozważmy astępującą zależość rekurecyją a( k) Dk a( k -)... Da( ) D0a() Zauważmy, że B a( k ) Dk a( k)... Da( ) D0a( ) B

15 Redukcja do rówań jedorodych Odejmując stroami oba rówaia dostajemy D (D k a( k ) - a( k) a( k) (D - D )a( k -)... - D )a( ) k (D 0 k - D )a( ) D a() 0

16 Redukcja do rówań jedorodych Stąd (D k (D )a( k) (D - D )a( ) a( k ) k (D 0 - D k )a( k -)... - D )a( ) D a() 0

17 Redukcja do rówań jedorodych Zatem iejedorode liiowe rówaie rekurecyje sprowadziliśmy do jedorodego rówaia rekurecyjego, którego rozwiązaie opisuje wielomia charakterystyczy P() k (D k ) k (D k - D k ) k-... (D - D ) (D 0 - D ) D 0

18 Przykład Rozważmy astępujące iejedorode liiowe rówaie rekurecyje a(0), a( ) a() 7 4, a( ) a() 3 4 a()

19 Przykład Wówczas Po odjęciu stroami dostajemy a() ) - a( 4 7 ) a( 4 7 3) a( ) a( ) a( 4 7 3) a( a() ) a( 4 7 ) a(

20 Przykład Wielomia charakterystyczy tego rówaia ma postać P()

21 Przykład Poieważ P() ( 4 )( ) to pierwiastkami są =-/4, =, =

22 Przykład Zatem a() C C C 3 4

23 Przykład Brakujące współczyiki wyzaczamy z układu trzech rówań liiowych dla a(0)=, a()=, a()=3/4 a() 4C C C 4 a() C C C 4 a(0) C C C 3 3 3

24 Przykład Ostateczie C =4/5, C =-4/5, C 3 = a z tego rozwiązaiem rozważaego rówaia jest a()

25 Fukcje tworzące

26 Defiicja Rozważmy ciąg liczbowy {a()}. Wówczas f() 0 a() azywamy zwykłą fukcją tworzącą lub krótko fukcją tworzącą.

27 Uwagi Fukcje tworzące mają zatem postać szeregów potęgowych. Dla każdego takiego szeregu istieje liczba rzeczywista R0, zwaa promieiem zbieżości, taka że jeśli <R, to jest o absolutie zbieży, a poadto moża go różiczkować i całkować wyraz po wyrazie dowolą liczbę razy.

28 Wzór Taylora Zachodzi też wtedy wzór Taylora a() f ()! (0), 0,,...

29 Uwagi Niestety, gdy liczby a() są zbyt duże, wówczas R=0 i fukcje tworzące stają się bezużytecze. Tak jest a przykład, gdy a()=!. Nietrudo zauważyć, że szereg 0! jest rozbieży dla każdego >0.

30 Wykładicza fukcja tworząca Aby omiąć te problem, wprowadza się wykładiczą fukcję tworzącą f() 0 a()! której promień zbieżości jest zwykle dodati.

31 Uwagi Na przykład, jeśli a() jest liczbą wszystkich fukcji ze zbioru -elemetowego w siebie, czyli a()=, to szereg jest rozbieży dla każdego >0,

32 Uwagi ale szereg! jest zbieży dla wszystkich </e, poieważ <!e.

33 Uwagi Wykładicze fukcje tworzące stosuje się a ogół w przypadkach, o których wiemy lub spodziewamy się, że a() rośie szybciej iż wykładiczo. Od tej pory będziemy zakładać, że <R.

34 Przykład Rozważmy ciąg:,,4,8,6, a()=, =0,,... Wówczas fukcja tworząca ciągu { } daa jest wzorem: 0 () f() 0 () ()

35 Przykład Rozważmy ciąg:,,3,4,5, a()=+, =0,,... Wówczas fukcja tworząca ciągu {+} daa jest wzorem: ' ' )' ( ) ( f()

36 Przykład 3 Rozważmy ciąg: Fukcja tworząca tego ciągu jest skończoą sumą i ma postać k 0 ) ( k f() 0,,..., k a()..., 3 k, k, k, 0 k

37 Przykład 3 Iymi słowy, dwumia Newtoa (+) k jest zwykłą fukcją tworzącą ciągu k określającego liczbę -wyrazowych kombiacji zbioru k-elemetowego.

38 Przykład 4 Z drugiej stroy ( ) k k 0 k! (k )!! Tak więc (+) k jest jedocześie wykładiczą fukcją tworzącą ciągu określającego liczbę -wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru k-elemetowego.

39 Przykład 5 Fukcja f() 0 k! e jest wykładiczą fukcją tworzącą dla liczby -wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru k-elemetowego

40 Zastosowaia

41 Rozwiązywaie rówań rekurecyjych. Postać rekurecyja ciągu. Fukcja tworząca ciągu 3. Postać zwarta fukcji tworzącej 4. Rozwiięcie fukcji tworzącej w szereg Taylora 5. Postać jawa ciągu (współczyiki rozwiięcia fukcji tworzącej w szereg to koleje wyrazy ciągu)

42 Proste a płaszczyźie

43 Proste a płaszczyźie Na ile spójych obszarów dzieli płaszczyzę prostych, z których żade dwie ie są rówoległe i żade trzy ie przeciają się w jedym pukcie?

44 Proste a płaszczyźie. Układamy zależość rekurecyją Ozaczmy szukaą liczbę przez a(). Mamy a(0)= i a()=. Prowadząc -tą prostą przetiemy wszystkie - poprzedie, a to ozacza, że przetiemy a dwie części obszarów spójych, zwiększając tym samym liczbę obszarów o.

45 Proste a płaszczyźie Zatem a()=a(-)+ dla. Określamy fukcję tworzącą Niech f() będzie fukcją tworzącą tego ciągu. Wtedy f() 0 a() a(0) 0 (a( ) )

46 Proste a płaszczyźie 3. Zajdujemy postać zwartą )' ( a() a() ) a( ) ) (a( a(0) f()

47 Proste a płaszczyźie Stąd f() f() f() ( 0 ( )' )'

48 Proste a płaszczyźie Zatem czyli f() f() f()(- ) f() (- ) 3

49 Proste a płaszczyźie 0 f() 0 0 f() 0 0 f() 4. Rozwijamy fukcję tworzącą w szereg

50 Proste a płaszczyźie 5. Wyzaczamy postać jawą ciągu Ostateczie a()

51 Proste a płaszczyźie Skorzystaliśmy tutaj z rozwiięcia Taylora ( ) r 0 r gdzie dla dowolej liczby rzeczywistej r r r(r )...(r! )

52 W szczególości stąd Proste a płaszczyźie ) (! ) ( ) ( ) ( -3 ) (

53 Wieża Haoi

54 Wieża Haoi Niech a() będzie miimalą liczbą ruchów iezbędą do przeiesieia wieży składającej się z krążków.. Układamy zależość rekurecyją a()=a(-)+ oraz a()=

55 Wieża Haoi. Określamy fukcję tworzącą ) a( ) ) (a( a() a() f()

56 Wieża Haoi f() a() ) a( f() - 3. Zajdujemy postać zwartą

57 Wieża Haoi Stąd f() f() f()(- ) f() ( )( - )

58 Wieża Haoi 4. Rozwijamy fukcję tworzącą w szereg f() (- ) ( )( - ) ( )

59 Wieża Haoi 5. Wyzaczamy postać jawą ciągu a()= -

60 Podzbiory bez sąsiadów

61 Podzbiory bez sąsiadów Ile podzbiorów zbioru []={,,...,}, wliczając zbiór pusty, ie zawiera sąsiedich liczb?

62 Podzbiory bez sąsiadów. Układamy zależość rekurecyją Ozaczmy szukaą liczbę przez a() i podzielmy wszystkie podzbiory tego typu a dwie klasy: te do których ie ależy liczba, i te do których ależy. Tych pierwszych jest tyle, ile podzbiorów bez sąsiadów zbioru {,...,}, a więc a(-). Tych drugich jest tyle, ile podzbiorów bez sąsiadów zbioru {3,...,}, a więc a(-).

63 Podzbiory bez sąsiadów Zatem a()=a(-)+a(-) przy warukach początkowych a(0)= i a()=

64 Podzbiory bez sąsiadów. Określamy fukcję tworzącą Dla a(0)=a()= fukcja tworząca ciągu Fiboacciego przyjmuje postać a(0) a() f() 0 a() (a( ) a( )) (a( ) a( ))

65 Podzbiory bez sąsiadów f() f() a() a() a() a() a() a() ) a( ) a( )) a( ) (a( f() Zajdujemy postać zwartą

66 Podzbiory bez sąsiadów Stąd gdzie a 5 a a 5 a f() 5 a i 5 a

67 Podzbiory bez sąsiadów f() 4. Rozwijamy fukcję tworzącą w szereg 5. Wyzaczamy postać jawą ciągu a()

68 Twierdzeie o rekursji uiwersalej

69 Twierdzeie o rekursji uiwersalej Niech a, b> będą stałymi, f:nr + {0} pewą fukcją i iech T() będzie rówaiem rekurecyjym postaci T()=aT(/b)+f(), gdzie /b tratujemy jako /b albo /b wtedy

70 Twierdzeie o rekursji uiwersalej jeżeli f()=o( log[b]a- ) dla pewej stałej >0, to T()=( log[b]a ) jeżeli f()=( log[b]a ) dla pewej stałej >0, to T()=( log[b]a lg) jeżeli f()=( log[b]a+ ) dla pewej stałej >0, to T()=(f()) pod warukiem, że af(/b)cf() dla pewej stałej c< i wszystkich dostateczie dużych.

71 Przykład Rozważmy rówaie T()=3T(/3) Wówczas a=3, b=3, f()= 3 +. Zauważmy, że f() = ( + ) dla =. Zatem T()=(f())=( 3 +) Przyjmujemy, że c=/3: 3f(/3)= 3 /9+ /3( 3 +)=/3f().

72 Zadaia

73 Zadaie Wyzaczyć liczbę a() ciągów biarych długości, w których żade dwa zera ie występują obok siebie.

74 Zadaie a()= ciągi ; 0 a()=3 ciągi 0; 0; a(3)=??

75 Zadaie a()= ciągi ; 0 a()=3 ciągi 0; 0; a(3)=5 ciągi 0; 0; ; 00; 0 a()=a(-)+a(-) dla >

76 Zadaie Wielomia charakterystyczy tego rówaia ma postać P() Pierwiastkami tego wielomiau są 5 oraz 5

77 Zadaie Zatem a() C 5 C 5

78 Zadaie Brakujące współczyiki wyzaczamy z układu dwóch rówań liiowych dla a()=, a()=3 a() 5 C 5 C a() 5 C 5 C

79 Zadaie Ostateczie a z tego rozwiązaiem rozważaego rówaia jest a() C oraz C

80 Zadaie Wyzaczyć liczbę a() ciągów terarych (złożoych z cyfr 0,,) długości, w których żade dwie jedyki ie występują obok siebie.

81 Zadaie a()=3 ciągi ; ; 0 a()=8 ciągi 00; 0; 0; 0; ; 0; ; a(3)=??

82 Zadaie a()=3 ciągi ; ; 0 a()=8 ciągi 00; 0; 0; 0; ; 0; ; a(3)= ciągi 000; 00; 00; 00; 0; 00; 0; 0; 00; 0; 0; 0; ; 0; ; ; 0; 0; 00; ; ; 0

83 Zadaie a()=a(-)+a(-) dla >

84 Zadaie Wielomia charakterystyczy tego rówaia ma postać P() Pierwiastkami tego wielomiau są 3 oraz 3

85 Zadaie Zatem a() C 3 C 3

86 Zadaie Brakujące współczyiki wyzaczamy z układu dwóch rówań liiowych C C 3 C 3 3 C 3 a() a() dla a()=3, a()=8

87 Zadaie Ostateczie a z tego rozwiązaiem rozważaego rówaia jest C oraz C a()

88 Zadaie 3 Zaleźć postać jawą ciągu (rozwiązaie zagadieia wieży Haoi) a()=a(-)+ oraz a()=, a()=3

89 Zadaie 3 Wyzaczamy a(+)=a()+ a(+)=a(+)+ i odejmujemy stroami otrzymując a(+)-a(+)=a(+)-a()+- czyli a(+) =3a(+)-a()

90 Zadaie 3 Wielomia charakterystyczy tego rówaia ma postać P() 3 Pierwiastkami tego wielomiau są Zatem a() oraz C C C C

91 Zadaie 3 Brakujące współczyiki wyzaczamy z układu dwóch rówań liiowych C C C C a() a() dla a()=, a()=3

92 Zadaie 3 Ostateczie C oraz C a z tego rozwiązaiem rozważaego rówaia jest a()