BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI"

Transkrypt

1 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki; StatSoft Polska Sp. z o.o. Wprowadzeie Przy podejmowaiu decyzji o zaiwestowaiu kapitału iwestor zawsze stara się odpowiedzieć a pytaie, jakiego dochodu może oczekiwać z daej iwestycji oraz jakim ryzykiem jest oa obarczoa. Określeie przyszłego dochodu ie jest jedak zadaiem prostym, poieważ wymaga odwołaia się m. i. do poziomu iflacji, stóp procetowych, podatków oraz wydarzeń gospodarczych, które będą miały miejsce w przyszłości. Stąd aalitycy fiasowi wykorzystują rozkłady prawdopodobieństwa w celu progozowaia dochodu z iwestycji. Niiejsza praca poświęcoa jest zastosowaiu aalizy rozkładów w przewidywaiu dochodu i ryzyka iwestycji. W pierwszej części zdefiiowae zostały metody szacowaia dochodu, miary ryzyka oraz pojęcie portfela iwestora. W drugiej części zamieszczoy został przykład budowy portfela o miimalym ryzyku. Metody szacowaia dochodu Podstawową miarą dochodu z iwestycji jest stopa zwrotu w okresie iwestowaia (ag. simple retur) wykorzystująca zasadę kapitalizacji okresowej, wyrażaa jako udział dochodu w początkowej wartości kapitału (por. K. Jajuga, T. Jajuga, 996): P P0 r =, () P r stopa zwrotu; P wartość końcowa (zmiea losowa); P 0 wartość początkowa (zaa). 0 7

2 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Ze względu a własości statystycze w aalizie fiasowej wykorzystywaa jest rówież logarytmicza stopa zwrotu (ag. log retur, cotiuously compouded retur): r = l P l P 0 () Odpowiada oa kapitalizacji ciągłej, co jest bardziej zgode z zasadami iwestowaia, poieważ po sprzedaży jedych istrumetów środki fiasowe mogą być prawie atychmiast iwestowae w ie. Poadto, w przeciwieństwie do zwykłych stóp, stopy logarytmicze mają charakter addytywy, co pozwala a wykorzystaie rozkładu ormalego. Cea aktywów ie może być miejsza od zera, dlatego zwykłe stopy zwrotu przyjmują wartości w przedziale od mius jede (-00%) do plus ieskończoości. Logarytmicze stopy zwrotu mogą przyjmować dowole wartości. Oczekiwaa stopa zwrotu Załóżmy, że cea istrumetu (a zatem i stopa zwrotu) jest zmieą losową dyskretą. Rozkład stopy zwrotu day jest wówczas w postaci możliwych stóp zwrotu oraz prawdopodobieństw ich zrealizowaia: r, r,..., r p, p m,..., p r i i-ta możliwa do zrealizowaia stopa zwrotu, p i prawdopodobieństwo zrealizowaia i-tej możliwej stopy zwrotu i m liczba możliwych stóp zwrotu. Zachodzi wówczas zależość: m p i i= m, (3) =. (4) Sytetyczą miarą dochodu, którą wyzacza się a podstawie rozkładu stopy zwrotu, jest tzw. oczekiwaa stopa zwrotu (expected retur), określoa za pomocą wzoru: r = m i= p i r i, (5) r oczekiwaa stopa zwrotu; r i i-ta możliwa do osiągięcia wartość stopy zwrotu; p i prawdopodobieństwo osiągięcia i-tej możliwości wartości stopy zwrotu; m liczba możliwych do osiągięcia wartości stopy zwrotu. 8

3 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Oczekiwaa stopa zwrotu jest tutaj średią ważoą możliwych stóp zwrotu, przy czym wagami są prawdopodobieństwa ich zrealizowaia. Moża ją iterpretować jako stopę zwrotu, jakiej ależy się spodziewać przy zrealizowaiu się przeciętego sceariusza. Pozostałe miary oczekiwaej stopy zwrotu to: moda, mediaa i średia geometrycza stopy zwrotu. Moda jest wartością ajczęściej obserwowaą spośród aalizowaych daych. Mediaa to wartość środkowa: wyzacza się ją z iemalejącego ciągu stóp zwrotu. Miara ta wykorzystywaa jest w zastosowaiach rozkładów, które ie posiadają określoej wariacji i odchyleia stadardowego. W celu określeia średiego poziomu wzrostu zwrotu z istrumetu wykorzystujemy średią geometryczą: Przykład r ( + r )... ( + r ). (6) g = m Na podstawie kursów zamkięcia akcji spółki BPH PBK obliczoo dziee logarytmicze stopy zwrotu za okresy oraz Korzystając z modułu Statystyki podstawowe w programie STATISTICA, wyzaczoo wymieioe wyżej miary średiej oczekiwaej stopy zwrotu. Dla okresu otrzymao astępujące wyiki: x g = 0,0078 x = 0,0077 Me = 0,008, atomiast dla okresu : x g = 0,00 x = 0,00 Me = 0,0000. Pomiar ryzyka Pomiar, ryzyka rozumiaego jako zmieość stopy zwrotu z aktywu fiasowego, może się odbywać poprzez zastosowaie dowolej miary zmieości rozkładu stopy zwrotu. Statystycze miary zmieości dzielą się a bezwzględe (absolute) i względe (relatywe). Do miar bezwzględych zalicza się: rozstęp, rozstęp kwartylowy lub decylowy, odchyleie przecięte, odchyleie ćwiartkowe (międzykwartylowe), wariację oraz odchyleie stadardowe. Względą miarą dyspersji jest współczyik zmieości. W przypadku rozkładów o zaej i skończoej wariacji ajczęściej stosowaą miarą zmieości jest odchyleie stadardowe stopy zwrotu. Im większe odchyleia możliwych stóp zwrotu od oczekiwaej stopy zwrotu, tym większa wartość odchyleia stadardowego stopy, a co za tym idzie, tym wyższe ryzyko iwestycji. Odchyleie stadardowe przyjmuje wartości ieujeme. Wartość zerowa ozacza brak iepewości co do przyszłej stopy zwrotu. Gdy zamy rozkład stopy zwrotu, tz. wiemy, jakie są możliwe do osiągięcia stay stopy zwrotu daego aktywu i prawdopodobieństwa ich osiągięcia, odchyleie stadardowe stopy zwrotu moża obliczyć a podstawie poiższego wzoru. 9

4 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, σ st = ( rt r). (7) t = Gdy ie ma możliwości uzyskaia iformacji a temat rozkładu stopy zwrotu, do oszacowaia wariacji i odchyleia stadardowego ależy wykorzystać dae historycze, pamiętając o tym, że powiy dotyczyć takiego samego okresu jak horyzot iwestycyjy iwestora. Wtedy wartością oczekiwaą jest średia arytmetycza stopa zwrotu, daa wzorem: E ( r) = r = r t, (8) t = liczba okresów, z których pochodzą dae, r t stopa zwrotu aktywu zrealizowaa w t-tym okresie. Natomiast do obliczeia tzw. odchyleia stadardowego z próby stosuje się astępujący wzór: ( r t r). s = (9) t = W celu określeia ryzyka istrumetu, którego rozkład stóp zwrotu ma ieskończoą wariację lub ie moża jej wyzaczyć, stosowae jest odchyleie ćwiartkowe. Jest oo rówe połowie różicy między kwartylami górym i dolym: Q = ( Q 3 Q ), (0) Q odchyleie ćwiartkowe, Q 3 kwartyl trzeci (góry), czyli ta spośród wartości stóp zwrotu, która dzieli zbiór możliwych stóp zwrotu w te sposób, że 75% stóp zwrotu jest ie wyższa, a 5% ie iższa od tej wartości, Q kwartyl pierwszy (doly), czyli ta spośród wartości stóp zwrotu, która dzieli zbiór możliwych stóp zwrotu w te sposób, że 5% stóp zwrotu jest ie wyższa, a 75% ie iższa od tej wartości. Odchyleie ćwiartkowe określa zróżicowaie tylko 50% wartości stóp zwrotu położoych cetralie, zawartych między dwoma kwartylami. Na wartość odchyleia ćwiartkowego ie mają wpływu wartości jedostek miejszych od kwartyla dolego oraz większych od kwartyla górego, chociaż zajmują oe zaczą część obszaru zmieości. Tak więc odchyleie ćwiartkowe wosi iepełą iformację o zróżicowaiu zbioru stóp zwrotu. Ma 0

5 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, jedak ważą zaletę: jest odpore a obserwacje ietypowe. Jako mierik ryzyka stosoway jest rówież rozstęp ćwiartkowy (kwartylowy), obliczay jako różica między trzecim i pierwszy kwartylem. Posiada o takie same własości jak odchyleie ćwiartkowe. Przykład Dla daych wykorzystaych w przykładzie pierwszym obliczoo wartości odchyleia ćwiartkowego, rozstępu ćwiartkowego i odchyleia stadardowego. Dla okresu otrzymao: Q o = 0,0089 Q = 0,078 s = 0,039, r oraz dla okresu : Q o = 0,00 Q = 0,06 s = 0,004. r Do rzadziej stosowaych bezwzględych miar dyspersji ależy odchyleie przecięte stóp zwrotu, które rówież charakteryzuje się odporością a występowaie obserwacji ietypowych. Jest oo rówe średiej arytmetyczej bezwzględych wartości odchyleń możliwych wartości stopy zwrotu od średiej stopy zwrotu: D = r i r, () i= D odchyleie przecięte. Jeśli za miarę dochodu przyjmiemy mediaę stóp zwrotu, wtedy miarą zmieości (ryzyka), obok odchyleia ćwiartkowego, jest średia arytmetycza bezwzględych odchyleń stóp zwrotu od mediay tych stóp zwrotu i wyraża się oa astępującym wzorem: s Me = ri Me, () i= me mediaa stóp zwrotu. Jeśli atomiast miarą dochodu jest średia z dwóch wartości: maksymalej i miimalej stopy zwrotu, ozaczoa jako m r : m r =,5 ( r max + r ), (3) 0 mi wtedy miarą zmieości jest połowa rozstępu: =,5 ( r max r ). (4) s r 0 mi Najprostszą miarą ryzyka względego jest współczyik zmieości stopy zwrotu (ag. coefficiet of variatio), określoy za pomocą poiższego wzoru.

6 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, S V =. (5) r Ze wzoru (5) wyika, że współczyik zmieości jest wielkością iemiaowaą. Określa o, jakie ryzyko (mierzoe odchyleiem stadardowym stopy zwrotu) przypada a jedostkę dochodu (mierzoego oczekiwaą stopą zwrotu). Moża go wyrazić procetowo przez przemożeie ilorazu odchyleia stadardowego i średiej arytmetyczej przez 00%. Do obliczeia współczyika zmieości stosuje się rówież odchyleie przecięte zamiast odchyleia stadardowego. Własości rozkładów w zastosowaiach fiasowych W podejmowaiu decyzji iwestycyjych ajważiejsze jest określeie przyszłej stopy zwrotu. Do opisu iepewości stosuje się podejście wyikające z rachuku prawdopodobieństwa. Polega oo a wykorzystaiu historyczych daych w celu uzyskaia rozkładu stopy zwrotu. Zajomość rozkładu prawdopodobieństwa stopy zysku iteresującego as istrumetu fiasowego lub portfela umożliwia oszacowaie przyszłego dochodu oraz ryzyka z im związaego. Oszacowaia tak uzyskaych parametrów rozkładu ekstrapoluje się a aalizoway okres. Z puktu widzeia zastosowań fiasowych waże jest, aby aalizowae rozkłady miały astępujące własości: stacjoarość, skończoą wariację. Stacjoarość ozacza, że parametry rozkładu prawdopodobieństwa są iezmiee w czasie. W aalizie fiasowej główy acisk często położoy jest a cey papierów wartościowych i iych istrumetów. Jedakże rozkłady prawdopodobieństwa ce mają iewielkie zaczeie w aalizie statystyczej, poieważ są zwykle iestacjoare. Przyczyą tego są ciągłe zmiay ce w czasie. W szczególości cey obligacji stale rosą. Dlatego też ich średia cea i odchyleie stadardowe, które są parametrami rozkładu ormalego, będą wyższe z każdym rokiem. Poieważ, teoretyczie, cey te mogą rosąć do ieskończoości, atomiast ie mogą być miejsze iż zero, to wraz z ich stałym wzrostem w czasie moża zaobserwować tedecję do zwiększaia się prawostroej skośości rozkładów. Podobie rozkład prawdopodobieństwa zmia ce ie jest stacjoary, poieważ wielkość bezwzględej zmiay ce istrumetów fiasowych rówież podlega zmiaom, tak jak sama cea. Zmieymi iezależymi od poziomu ce są: procetowa zmiaa cey i procetowa stopa zwrotu. Stacjoary rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu pozwala aalitykowi a oszacowaie przyszłej stopy zwrotu. Poadto parametry rozkładu uzyskaego z historyczych wartości wykorzystuje się do szacowaia iepewości związaej z przyszłym dochodem i są oe podstawą do pomiaru przyszłego ryzyka. Aby przekształcić efektywe estymatory parametrów rozkładów uzyskae a podstawie daych historyczych, czyli z próby, w parametry całej populacji, czyli rówież przyszłych

7 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, wartości, potrzeba, aby wariacja była skończoa. Waruek te musi być rówież spełioy, aby obliczyć odchyleie stadardowe. W jakich warukach wariacja może ie być skończoa? Obecość liczych wartości ekstremalych może prowadzić do sytuacji, w której koleje oszacowaia tego parametru z próby różią się istotie w zależości od badaej próby. Niektórzy autorzy (por. T. Watsham, K. Parramore, 997) zwracają uwagę a stabilość jako pożądaą własość rozkładów w aalizie fiasowej. Stabilymi określa się takie rozkłady, których liiowa kombiacja jest rozkładem tego samego typu. Np. dodaie dwóch iezależych rozkładów ormalych powio geerować rozkład ormaly, chociaż z iymi parametrami iż dwa poprzedie. Własość tę moża zilustrować astępującym przykładem: rozważmy rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu z akcji spółki A w dwóch odrębych jedodiowych okresach. Korzyste jest, aby rozkład stopy zwrotu z dwóch di łączie tej samej spółki był tego samego typu. W trakcie modelowaia stóp zwrotu z iektórych istrumetów fiasowych spotykamy się z dwoma ważymi pytaiami. Pierwsze wiąże się z założeiem o iezależości poszczególych obserwacji w rozkładzie ormalym i log-ormalym. W rzeczywistości poszczególe stopy zwrotu są ze sobą powiązae i wykazują autokorelację. Drugie stawiae często pytaie dotyczy prawdopodobieństwa wystąpieia wartości ekstremalych są oe obserwowae dużo częściej iż sugeruje to fukcja gęstości rozkładu ormalego. Te dwa problemy, związae z rozkładem ormalym, wskazują a potrzebę wykorzystaia w pewych sytuacjach takiego rozkładu prawdopodobieństwa, którego fukcja gęstości jest bardziej leptokurtycza (wysmukła) w kosekwecji występowaia autokorelacji i który posiada grubsze ogoy, co jest spowodowae częstszym występowaiem daych odstających. Najlepszym rozwiązaiem jest zastosowaie takiego rozkładu, który umożliwia dostosowaie kształtu do istiejących daych. Tę własość posiada rodzia rozkładów stabilych, poieważ ich kształt moża modelować za pomocą czterech parametrów: α, który określa grubość ogoów; β, który określa skośość rozkładu; δ, który określa rozproszeie rozkładu; µ, który określa położeie rozkładu. Dla rozkładów stabilych parametr α przyjmuje wartości z przedziału (0;] i maksymalą wartość osiąga dla rozkładu ormalego. Praktycze zastosowaia pokazują jedak, że w przypadku modelowaia logarytmiczych stóp zwrotu, ajważiejsze są rozkłady, dla których α ależy do przedziału (;], przy czym im miejsza wartość ideksu, tym grubsze są ogoy rozkładu. Aby uzyskać rozkład symetryczy, parametr β powiie być rówy zeru; dla rozkładu lewostroie skośego β < 0, a dla prawostroie skośego β > 0. Parametr β przyjmuje wartości z przedziału [-;]. Rodzia rozkładów stabilych jest uogólieiem rozkładu ormalego. W szczególości rozkład ormaly jest rozkładem stabilym. W rodziie tej charakteryzuje się ajmiejszą 3

8 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, leptokurtozą i ogoami o ajmiejszej grubości. Poszczególe rozkłady moża uzyskać poprzez kombiacje iych rozkładów (możąc kombiacje liiowe fukcji charakterystyczych). Jest to bardzo atrakcyja formuła uzyskiwaia rozkładów o odpowiedich własościach. Niestety ie moża explicite podać wzoru a fukcję gęstości tak otrzymaego rozkładu, poza trzema szczególymi przypadkami (rozkład ormaly, Cauchy ego i Levy ego), co utrudia zaczie wioskowaie statystycze. Poadto wiąże się to z obliczaiem wartości prawdopodobieństw dla poszczególych zmieych losowych (przyszłych stóp zwrotu) dla każdego owego rozkładu. Dodatkowym utrudieiem jest ieskończoa wariacja, która charakteryzuje wszystkie rozkłady stabile poza ormalym. W aalizie fiasowej ajczęściej wykorzystywae są astępujące rozkłady (K. Jajuga, 000): rozkład dwumiaowy (Beroulliego), rozkład ormaly (stadaryzoway), rozkład log-ormaly, rozkład Cauchy ego. Portfel iwestora Ryzyko portfela ie może być mierzoe jako średia ważoa wariacji stopy zwrotu każdego z walorów. Nie jesteśmy bowiem tutaj zaiteresowai zmieością stóp zwrotu poszczególych papierów wartościowych, ale stopiem, w jakim papiery składające się a portfel podlegają takim samym fluktuacjom. Iaczej mówiąc, poszukujemy stopia iterakcji lub też współzmieości. Odpowiedią miarą jest kowariacja lub korelacja stóp zwrotu. W przypadku portfela składającego się z akcji dwóch spółek o udziałach w i w oczekiwaa stopa zwrotu z portfela ma postać: R p = w R + (6), wr R p oczekiwaa stopa zwrotu z portfela. Z kolei wariacja stopy zwrotu z portfela (wariacja portfela) akcji dwóch spółek daa jest wzorem: V w s w s w w s s, p = + + (7) ρ V p wariacja portfela, s, s odpowiedio odchyleia stadardowe stóp zwrotu akcji, ρ współczyik korelacji. 4

9 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Odchyleie stadardowe stopy zwrotu portfela (odchyleie stadardowe portfela) akcji dwóch spółek jest pierwiastkiem z wariacji portfela: 0,5 s = ( ), (8) p V p s p odchyleie stadardowe portfela. W przypadku portfela akcji dwóch spółek możemy mówić o portfelu o miimalej wariacji (MVP, miimum variace portfolio). Moża dowieść, że portfel o miimalym ryzyku osiągay jest dla ieujemych udziałów w portfelu, gdy zachodzi ierówość: ρ < s /. (9) s Wówczas miimale ryzyko portfela akcji dwóch spółek osiągae jest dla astępujących udziałów akcji w portfelu (K. Jajuga, T. Jajuga, 996): w = ( s ss ρ ) /( s + s ss ρ ), (0) w = s s s ρ ) /( s + s s s ), () ( ρ gdzie w i w ozacza udział poszczególych walorów w portfelu. Przykład W celu zaprezetowaia budowy portfela składającego się z dwóch walorów wybrao dwie spółki giełdy warszawskiej (WGPW) Żywiec S.A. i BPH PBK. W przykładzie wykorzystao kursy dziee z okresu od do i a ich podstawie wyzaczoo dziee logarytmicze stopy zwrotu. Tabela zawiera statystyki opisowe otrzymaych szeregów dla obydwóch spółek, atomiast tabela współczyik korelacji. Tabela. Tabela. 5

10 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Korzystając z (9) mamy: s /s = 0.048/0.07 = 0.68 > 0.07 = r, stąd a podstawie (0) i () wyzaczamy optymale wagi spółek w portfelu o miimalej wariacji: w = 0.3 (BPH) i w = 0.7 (Żywiec). Dla tak skostruowaego portfela otrzymujemy portfel o astępujących parametrach: x = r 0,0008 Me = 0,0004 s = 0,09 Q = 0,0045. W tabeli 3 zostały przedstawioe wartości wymieioych parametrów dla różych wag walorów w portfelu. Tabela 3. Nr Waga BPH PBK Waga Żywca x Me s Q r 0,0,0 0, , ,0484 0,0359 0, 0,9 0, ,000 0,0376 0, , 0,8 0,0008 0, ,0308 0, ,3 0,7 0, , ,085 0, ,4 0,6 0, , ,030 0, ,5 0,5 0,0006 0, ,038 0, ,6 0,4 0, , ,049 0, ,7 0,3 0, , ,063 0, ,8 0, 0,0004 0, ,0797 0, ,9 0, 0, ,0009 0,0980 0,064,0 0,0 0,0008 0, ,758 0,037 Warto zwrócić uwagę, że kostruując portfel o miimalej wariacji, optymalizujemy ryzyko mierzoe za pomocą odchyleia stadardowego. Dlatego średia oczekiwaa stopa zwrotu dla takiego portfela ie jest ajwyższa, atomiast miimalą wartość przyjmuje odchyleie stadardowe. W celu maksymalizacji średiej oczekiwaej stopy zwrotu ( x lub Me) moża zastosować jedą z metod optymalizacyjych, p. metodę simplex, możików Lagrage a lub graficzą. Poiżej został przedstawioy wykres typu dochód-ryzyko dla aalizowaego portfela (rys.). Dla portfela składającego się z dowolej liczby spółek mamy odpowiedio: = p i= R w R, () i i V = w s + w w s s ρ, (3) p i= i i i i= j= i+ j i j ij s = ( ), (4) p V p 0,5 6

11 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, liczba spółek, s i odchyleie stadardowe (ryzyko) akcji i-tej spółki, w i udział akcji i-tej spółki w portfelu, ρ ij współczyik korelacji stóp zwrotu akcji i-tej spółki oraz j-tej spółki. W celu optymalizacji wybraych parametrów rozkładu stóp zwrotu portfela wieloskładikowego wykorzystywae są wymieioe wyżej metody liiowe oraz bardziej efektywe metody ieliiowe. 0,000 0,0009 0, Dochód (średia arytm.) 0,0007 0,0006 0, , ,0003 0,000 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,0 0,0 0,03 Ryzyko (Odchyleie std.) Rys.. Wykres typu dochód-ryzyko dla portfela dwuskładikowego Literatura. Jajuga K., Jajuga T., Iwestycje, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa Metody ekoometrycze i statystycze w aalizie ryku kapitałowego, pod red. K. Jajugi, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej im. Oskara Lagego we Wrocławiu, Wrocław Watsham T., Parramore K., Quatitative Methods i Fiace, Iteratioal Thomso Busiess Press, Lodo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk

Statystyka powtórzenie (I semestr) Rafał M. Frąk Statystyka powtórzeie (I semestr) Rafał M. Frąk TEORIA Statystyka Statystyka zajmuje się badaiem procesu zbieraia oraz iterpretacji daych liczbowych lub jakościowych. Przedmiotem statystyki są metody badaia

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Wykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu

Wykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu Wykład r 2 Statystyka opisowa część 2 Pla wykładu 1. Uwagi wstępe 2. Miary tedecji cetralej 2.1. Wartości średie 2.2. Miary pozycyje 2.3. Domiata 3. Miary rozproszeia 4. Miary asymetrii 5. Miary kocetracji

Bardziej szczegółowo

Ekonometria Mirosław Wójciak

Ekonometria Mirosław Wójciak Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Projekt ze statystyki

Projekt ze statystyki Projekt ze statystyki Opracowaie: - - Spis treści Treść zaia... Problem I. Obliczeia i wioski... 4 Samochó I... 4 Miary położeia... 4 Miary zmieości... 5 Miary asymetrii... 6 Samochó II... 8 Miary położeia:...

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE FINANSAMI

ZARZĄDZANIE FINANSAMI STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ WIELKOPOLSKI W POZNANIU ZARZĄDZANIE FINANSAMI WYBRANE ZAGADNIENIA (1/2) DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - 1 SPIS TREŚCI 1. RYZYKO W ZARZĄDZANIU FINANSAMI... 4 1.1.

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

Metody analizy długozasięgowej

Metody analizy długozasięgowej Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna.

Obserwacje odstające mają duży wpływ na średnią średnia nie jest odporna. Wykład 8. Przedziały ufości dla średiej Średia a mediaa Mediaa dzieli powierzchię histogramu a połowy. Jest odpora ie mają a ią wpływu obserwacje odstające. Obserwacje odstające mają duży wpływ a średią

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Zestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g.

Zestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g. Zadaia przykładowe z rozwiązaiami Zadaie Dokoao pomiaru masy ciała 8 szczurów laboratoryjych. Uzyskao astępujące wyiki w gramach: 70, 80, 60, 90, 0, 00, 85, 95. Wyzaczyć przeciętą masę ciała wśród zbadaych

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych

Okresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych Ekoomia Meedżerska 2009, r 5, s. 45 62 Marek Łukasz Michalski* Okresy i stopy zwrotu akładów iwestycyjych w oceie efektywości iwestycji rzeczowych 1. Wprowadzeie Podstawowym celem przedsiębiorstwa, w długim

Bardziej szczegółowo

Andrzej Pogorzelski Materiały pomocnicze do studiowania przedmiotu FINANSE PRZEDSIEBIORSTWA

Andrzej Pogorzelski Materiały pomocnicze do studiowania przedmiotu FINANSE PRZEDSIEBIORSTWA . CHARAKTERYSTYKA PIENIĄDZA JAKO TWORZYWA FINANSÓW.. Fukcje pieiądza Najwygodiejszym sposobem defiiowaia pieiądza jest wymieieie jego główych, klasyczych fukcji. I tak pieiądz jest: mierikiem wartości

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja inwestycji materialnych ze względu na ich cel:

Klasyfikacja inwestycji materialnych ze względu na ich cel: Metodologia obliczeia powyższych wartości Klasyfikacja iwestycji materialych ze względu a ich cel: mające a celu odtworzeie środków trwałych lub ich wymiaę w celu obiżeia kosztów produkcji, rozwojowe:

Bardziej szczegółowo

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje:

2.2 Funkcje wyceny. Wśród autorów przeważa pogląd, iż wycenie można przypisać cztery podstawowe funkcje: . Cele wycey przedsiębiorstw. Przedsiębiorstwa w rozwiiętej gospodarce rykowej są powszechie przedmiotem różorakich trasakcji hadlowych co implikuje potrzebę uzyskaia szacuków ich wartości przy pomocy

Bardziej szczegółowo

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb!

Materiał pomocniczy dla nauczycieli kształcących w zawodzieb! Projekt wsp,ł.iasoway ze 4rodk,w Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał pomociczy dla auczycieli kształcących w zawodzieb "#$%&'( ")*+,"+(' -'#.,('#. przygotoway w ramach projektu

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Metody oceny projektów inwestycyjnych

Metody oceny projektów inwestycyjnych Metody ocey projektów iwestycyjych PRZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFORMATYCZNYCH Pla wykładu Temat: Metody ocey projektów iwestycyjych 5 FINANSOWE METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH... 4 5.1. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

Składka ubezpieczeniowa

Składka ubezpieczeniowa Przychody zakładów ubezpieczeń Przychody i wydatki zakładów ubezpieczeń Składka ubezpieczeiowa 60-95 % Przychody z lokat 5-15 % Przychody z reasekuracji 5-30 % Wydatki zakładów ubezpieczeń Odszkodowaia

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA

ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA SYSTEMY WSPOMAGANIA W INŻYNIERII PRODUKCJI Środowisko i Bezpieczeństwo w Iżyierii Produkcji 2013 5 ANALIZA SKORELOWANIA WYNIKÓW POMIAROWYCH W OCENACH STANU ZAGROŻEŃ HAŁASOWYCH ŚRODOWISKA 5.1 WPROWADZENIE

Bardziej szczegółowo

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych

Analiza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo