PODSTAWOWE ZAGADNIENIA METODOLOGICZNE

Transkrypt

1 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA METODOLOGICZNE. Wprowadzeie W ekoomii i aukach o zarządzaiu obserwuje się tedecję do ilościowego opisu zależości miedzy zjawiskami ekoomiczymi. Umożliwia to - zobiektywizowaie i usprawieie procesu podejmowaia ajlepszych decyzji (podejście aktywe), - wykrywaie współzależości i stawiaie progoz (podejście pasywe), a szczeblu - mikro (przedsiębiorstwo), - makro (gospodarka, gałąź). Ekoometria zajmuje się poszukiwaiem zależości ilościowych wykorzystaiu metod aalizy statystyczej i stawiaiem progoz. w życiu gospodarczym przy Badaia operacyje : dziedzia wiedzy zajmująca się poszukiwaiem sposobów podejmowaia ajlepszych (optymalych) decyzji.. Etapy podejmowaia decyzji W sformalizowaym podejściu do podejmowaia decyzji wyróżia się astępujące etapy : a) sformułowaie problemu, b) budowa modelu matematyczego, c) wyzaczeie rozwiązaia, d) ocea rozwiązaia, e) podjęcie decyzji. Ad. a). Opisujemy w sposób werbaly sytuację decyzyją : określamy cel aalizy i waruki w jakich działamy. Dokoujemy jakościowego opisu uwzględiając : - cel badaia, - wiedzę teoretyczą o przebiegu zjawisk gospodarczych, - możliwości zebraia materiału statystyczego, - koszty aalizy, wymagaia dot. czasu i dokładości uzyskaia wyików, itp. Ad. b). Dokoujemy 'przetłumaczeia' opisu słowego problemu decyzyjego a język matematyki kostruując model matematyczy sytuacji decyzyjej. Nie może być oo całkowicie wiere. Model ie może być zbyt duży (wielkość modelu mierzy się ilością zmieych i waruków ograiczających) a zależości występujące w modelu zbyt skomplikowae. Budując model musimy zaleźć kompromis pomiędzy wierością opisu a złożoością modelu. Abstrahujemy więc od - związków, które uzajemy za ieistote, - zbyt skomplikowaych zależości. Otrzymujemy problem programowaia matematyczego (PPM). Ad. c). Wyzaczamy rozwiązaie optymale bądź przybliżoe. Ad. d). Kofrotujemy model z rzeczywistością - porówując p. dotychczas podejmowae decyzje z decyzjami sugerowaymi przez model. Najczęściej iezbęda jest przebudowa modelu (uwzględieie pomiiętych zależości, bardziej realistycze modelowaie skomplikowaych związków itp.). Ad. e). Podejmujemy decyzję i dokoujemy jej wdrożeia.

2 3. Wybrae elemety aalizy decyzyjej Sytuacja decyzyja sytuacja w której istieje więcej iż jede sposób postępowaia. Decydet : osoba lub grupa osób podejmujących decyzję. W pierwszym przypadku mówimy o decydecie idywidualym, drugim zbiorowym (kolegialym). Każdy decydet działając w pewych warukach stawia sobie jakieś cele. Waruki te ograiczają swobodę działaia decydeta dlatego oszą azwę waruków ograiczających. Decyzja spełiająca te waruki azywa się decyzją dopuszczalą. Ze względu a postawioy cele jede decyzje są lepsze, ie gorsze. Decyzję ajpełiej realizującą postawioy cel azywamy decyzją optymalą. Waruki ograiczające przedstawiać będziemy w postaci układu rówań/ierówości. Preferecje (cele) decydeta przedstawiamy w postaci pewej fukcji liczbowej azywaej fukcją celu lub kryterium optymalizacji. Wyika z tego, ze ograiczamy się do przypadku, kiedy zarówo cele i waruki ograiczające są kwatyfikowale. Wielkości a które decydet może wpływać azywamy zmieymi decyzyjymi, a wielkości które pozostają poza kotrolą decydeta parametrami. Podejmowaie decyzji od stroy formalej sprowadza się do adaia zmieym decyzyjym pewych wartości. Decydet maksymalie realizuje cel adając zmieym decyzyjym wartości maksymalizujące bądź miimalizujące fukcję celu, spełiające waruki ograiczające. 4. Model matematyczy sytuacji decyzyjej Każda z decyzji jest określoa przez wektor x = [ x,..., x ], gdzie x j wartość przyjmowaa przez j tą zmieą. Ozaczmy przez D zbiór decyzji dopuszczalych. Stopień realizacji celu day jest przez fukcję liczbową f x,..., x ), krótko f (x). T ( Problem wyboru Wyzaczyć takie x dla którego f (x) osiąga ekstremum, tj. zaleźć x *, x* D, dla którego : () f ( x*) = max{ f ( x)} lub f ( x*) = mi{ f ( x)} : x D x D azywamy rozwiązaiem dopuszczalym, a x * optymalym. Zbiór D wyzacza się - eumeracyjie, podając wszystkie jego elemety, - określa się defiiując zależości fukcyje, jakie muszą spełiać x D. x D Pierwszy sposób jest mało praktyczy (zbyt liczy zbiór D), lub iestosowaly (zbiór ieskończoy).

3 Problem wyboru możemy przedstawić w postaci problemu programowaia matematyczego (PPM). Ograiczymy się do aalizy przypadku, gdy fukcja celu i waruki ograiczające są liiowymi fukcjami zmieych. Problem programowaia matematyczego przybiera wówczas postać problemu programowaia liiowego (PL), azywaego także liiowym zadaiem decyzyjym (LZD). 5. Liiowe zadaie decyzyje Problem programowaia liiowego w postaci ogólej przybiera postać: () c j x j max (3) a x b, i,..., m, ij j i = (4) a x b, i = m,..., p, ij j i + (5) a x = b, i = p,..., r, ij j i + (6) 0, j =,...,. x j, Parametrami są a ij, c j, bi, a zmiee to x j : c j azywa się wagami, a b i ograiczeiami prawych stro. Zbiór D jest określoy przez waruki (3) - (6). Problem () (6) jest problemem poszukiwaia ekstremum warukowego. Niekiedy, ze względów iterpretacyjych, jest o azyway zadaiem LZD (liiowym zadaiem decyzyjym). Problemem programowaia liiowego w postaci stadardowej azywamy problem : (7) c j x j max (8) a x b, i,..., m, ij j i = (9) x j 0, j =,...,, a w postaci kaoiczej problem : c j x j max aij x j = bi, i =,..., m, x j 0, j =,...,. 3

4 Zbór rozwiązań zadaia PL jest zbiorem wypukłym. Zbiór te może być - ograiczoy, - ieograiczoy, - pusty. 6. Własości zadań programowaia liiowego Jeżeli zbiór D jest pusty, to mówimy, że problem jest sprzeczy. W przeciwym przypadku problem jest iesprzeczy. Niesprzeczy problem PL może mieć - jedo rozwiązaie optymale, - ieskończeie wiele rozwiązań optymalych, - może ie mieć skończoego rozwiązaia. Problem ie ma skończoego rozwiązaia, jeżeli fukcja celu ie jest ograiczoa z góry (z dołu). Rozwiązaie optymale problemu PL jest puktem brzegowym (w szczególości wierzchołkowym) zbioru D. Waruek i ty azywamy - istotym, gdy jego usuięcie zmieia zbiór D, - ieistotym, gdy jego usuięcie ie powoduje takiej zmiay. Pomiięcie waruków ieistotych, zmiejszając rozmiar zadaia, ułatwia jego rozwiązaie. Waruek i ty azywamy wiążącym ze względu a rozwiązaie optymale, gdy jego pomiięcie powoduje zmiaę rozwiązaia optymalego. W przeciwym przypadku waruek azywamy iewiążącym. Jeżeli PL będący modelem problemu decyzyjego jest sprzeczy, świadczy to o uwzględieiu zbyt wielu ograiczeń. Nieograiczoość fukcji celu świadczy o ieuwzględieiu istotych ograiczeń. 7. Formułowaie zadań - zagadieie wyboru optymalego asortymetu produkcji. Sformułowaie problemu w postaci werbalej Przedsiębiorstwo wytwarza wyrobów zużywając m surowców. Na podstawie badań marketigowych i daych z ewidecji księgowej i orm techiczych określoo cey zbytu wyrobów, ormy zużycia surowców oraz ich możliwości przerobu w rozpatrywaym okresie. Wyzaczyć asortymet produkcji maksymalizujący przychód.. Sformułowaie problemu w postaci problemu programowaia liiowego Wprowadźmy astępujące ozaczeia : - - ilość wyrobów, - m - ilość surowców, - a ij - akład i-tego surowca iezbędy do wytworzeia jedostki j -tego wyrobu, - b i - możliwości przerobu i-tego surowca w okresie plaistyczym, - c j - cea zbytu j - tego wyrobu, - x j - wielkość produkcji wyrobu j. 4

5 T Asortymet produkcji określa wektor x = [ x,..., x ]. Pozostałe wielkości są parametrami. Przy przyjętych ozaczeiach postulat maksymalizacji przychodu moża skwatyfikować przy pomocy (7), a ograiczeia możliwości przerobu surowców a wyroby przez (8). Zatem (7) - (9) jest modelem matematyczym sytuacji decyzyjej. Formułując model przyjęto astępujące założeia: - cea zbytu ie zależy od wielkości sprzedaży (co jest prawdą tylko w przypadku małego przedsiębiorstwa), - zużycie surowca jest proporcjoale do wielkości produkcji. Uzasadieiem ekoomiczym dla maksymalizacji przychodu może być chęć zdobycia ryku. Poadto, maagemet firmy jest często wyagradzay w zależości ie od zysku, ale wielkości sprzedaży. Wybór fukcji celu ie jest oczywisty. Właściciele mogą być zaiteresowai maksymalizacją zysku (p. gdy firma jest spółką akcyją). Pracowicy mogą być zaiteresowai asortymetem produkcji maksymalizującym liczbę przepracowaych godzi. Wybór celu oraz postępowaie w przypadku istieia wielu celów staowi przedmiot zaiteresowań programowaia wielokryterialego. Wyzaczeie wartości parametrów w rozsądym czasie i przy rozsądych kosztach decyduje o możliwości praktyczego wykorzystaia modelu. Skłoość do sprowadzaia problemów decyzyjych do zadań PL wyika z - łatwości wyzaczeia rozwiązaia optymalego zadań PL, - powszechej dostępości iezbędych pakietów obliczeiowych (tzw. solverów). 3. Wyzaczaie rozwiązaia optymalego problemy wyboru optymalego asortymetu produkcji Rozważmy zadaie, w którym występują dwa wyroby i dwa surowce. Powiedzmy, że cey zbytu wyrobów wyoszą zł za jedostkę, możliwości przerobu surowców w okresie plaistyczym 8 i 4 t, a jedostkowe akłady surowców iezbęde do wytworzeia wyrobów podaje tabela (kg/jedostke) : 6 A = Zadaie PL przyjmuje astępującą postać : x 6x 3x + x + 4x x, x + 4x 0 max 4 8 Zadaie z dwiema zmieymi moża rozwiązać metodą geometryczą. 8. Metoda geometrycza. Obrazem geometryczym ierówości ieostrej (ostrej) jest półpłaszczyza z brzegiem (bez brzegu). Zbiór D staowi wspólą część półpłaszczyz. Zbiór puktów, dla których fukcja przyjmuje tą samą wartość, azywamy izokwatą (warstwicą). Jeżeli fukcja jest fukcją liiową, to izokwata jest prostą. W celu wyzaczeia optimum zadaia PL ależy wyzaczyć izokwatę, dla której fukcja celu przyjmuje maksymalą (miimalą) wartość, mającą pukt (pukty) wspóle ze zbiorem D. 5