Ekonometria Mirosław Wójciak

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekonometria Mirosław Wójciak"

Transkrypt

1 Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła K (redaktor aukowy): Wprowadzeie do ekoometrii w przykładach i zadaiach, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 Jajuga K. : Ekoometria metody i aaliza problemów ekoomiczych Borkowski B, Dudek H, Szczęsy W. :Ekoometria wybrae zagadieia Ekoometria Jest uifikacją teorii ekoomii, statystyki i matematyki (Ragar Frish, 196) Zbigiew Pawłowski ekoometria jest auką o metodach badaia ilościowych prawidłowościach występujących w zjawiskach ekoomiczych za pomocą odpowiedie wyspecjalizowaego aparatu matematyczo statystyczego. Ekoometria jest auką i sztuką stosowaia metod statystyczych do mierzeia relacji ekoomiczych (Gregory C. Chow) Celem ekoometrii jest dokłade rozpozaie procesów gospodarczych oraz pomoc decydetom i działaczom gospodarczym w przewidywaiu procesów ekoomiczych i sterowaiu imi. Jak? Ile? Model ekoometryczy Model zawsze musi być lepszą lub gorszą kopią orygiału (Zdzisław Hellwig). Wady, zalety modeli: - z jedej stroy prostota modelu ułatwia jego zrozumieie - z drugiej stroy admiere upraszczaie rzeczywistości Modelem ekoometryczym azywać będziemy kostrukcję formalą, która za pomocą jedego rówaia bądź też wielu rówań odwzorowuje zasadicze powiązaia ilościowe zachodzące między badaymi zjawiskami (Zbigiew Pawłowski). Budowa tego modelu jest bardzo skomplikowaa Jedorówaiowy model ekoometryczy y t = f x 1t, x t,..., x k 1 ; t Gdzie: y t - zmiea objaśiaa iaczej edogeicza (zależa) x 1t,x t,..., x k 1 zmiee objaśiające iaczej zmiee egzogeicze (iezależe) - ksi - składik losowy f- postać aalitycza modelu, p.: postać liiowa, potęgowa Liiowa postać aalitycza modelu: 1

2 y t = 1 x 1t 1 x 1t... 1 x 1t 0 t część determiistycza część stochastycza Gdzie: i parametry strukturale modelu Elemety modelu ekoometryczego - Zmiee objaśiae elemety które są wyjaśiae przez poszczególe rówaia modelu - zmiee objaśiające zmiee użyte do opisu, wyjaśieie zmieych edogemiczych - składik losowy- - parametry strukturale są to wartości wyrażające ilościowy wpływ daej zmieej przy której występują a zmieą edogeiczą. - parametry struktury stochastyczej są to parametry składika losowego wariacja,autokorelacja Zmiee opóźioe lub jedego okresu Składik losowy w modelu wyika z koieczości uwzględiaia: - wpływu wszystkich zmieych, które wpływają a zmieą edogeiczą ie ujętych w modelu, - różic między przyjętą postacią aalityczą modelu, a istiejącą zależością w rzeczywistości, - błędy pomiarów zmieych - czyików losowych wpływających a zmieą edogeiczą. Specyfikacja modelu ekoometryczego to: - sprecyzowaie zmieych objaśiających - sprecyzowaie zmieych objaśiaych (edogeiczych) - podjęcie decyzji co do charakteru występujących w modelu związków pomiędzy zmieymi m. i. postać aalitycza. Specyfikacja modelu ekoometryczego opiera się a iformacjach a priori oraz iformacjach pochodzących z badań empiryczych. Przykład 1 Zbudujmy model ekoometryczy popytu a owe samochody segmetu B. Wyspecyfikujmy zmieą edogeiczą oraz zmiee objaśiające. y t x 1t - popyt a owe samochody segmetu B w szt - średia cea owego samochodu segmetu B w zł x t dochody ludości a osobą w zł x 3t cea bezyy (cey dóbr komplemetarych) w zł x 4t cea przejazdu publiczymi środkami lokomocji za 1 km w zł (cey dóbr substytucyjych) y t 1 popyt a owe samochody segmetu B w poprzedim roku w szt., t..- składik losowy f- postać aalitycza modelu p. postać potęgowa y t = x 1 xt... yt 1 5 1t e t Etapy budowy modelu ekoometryczego 1.Wyzaczeie celu i zakresu badaia Etap 1 specyfikacja modelu określeie zmieych ajtrudiejszy

3 Etap przygotowaie odpowiediej bazy daych (zbiór daych statystyczych)- a ich podstawie parametry Etap 3 estymacja parametrów modelu (zastosowaie ekoometrii) Etap 4 weryfikacja oszacowaego modelu pod względem formalym (czy są spełioe założeia) i merytoryczym Etap 5 praktycze wykorzystaie modelu ekoometryczego Klasyfikacja modeli ekoometryczych 1 Klasyfikacja modeli ekoometryczych ze względu a postać aalityczą - liiowe - ieliiowe sprowadzale do liiowych (potęgowe) - ieliiowe iesprowadzale do liiowych Ze względu a udział czyika czasu: - statycze - dyamicze to takie modele w którym występują zmiee opóźioe w czasie lub zmiea czasowa t 3 Ze względu a pozawcze cechy modelu: - modele przyczyowo-skutkowe opisowe, (p, wzrost cey - przyczya, spadek sprzedaży - skutek) - modele symptomatycze - modele tedecji rozwojowych (iaczej fukcje tredu) jedyą zmieą objaśiającą jest zmiea czasowa Dae statystycze w badaiach ekoometryczych Dae statystycze wykorzystae w modelowaiu ekoometryczym powiy charakteryzować się: - dokładością brak błędu powtarzalego, - wiarygodością muszą odzwierciedlać rzeczywisty sta, - porówywalością - kompletością brak braku daych Rodzaje daych statystyczych Dae statystycze typu: - makroekoomiczego - mikroekoomiczego Dae o charakterze: - dae przekrojowe y i - szeregi czasowe y t - dae przekrojowo czasowe y ti p w różych województwach od roku003 do 005 Liczba zmieych egzogeiczych: Czy powio się wprowadzić jak ajwięcej zmieych czy tez zbiór te ograiczyć do ajważiejszych cech? Wstępie ustaloy zbiór zmieych musi podlegać selekcji ze względu a: - kryteria ocey merytoryczo-formalych własości zmieych - kryteria wartości iformacyjej zmieych Pożądae własości zmieych objaśiających 3

4 Zmiee objaśiające powiy charakteryzować się astępującymi własościami: - zapewieie dostateczie dużej zmieości (czasowej lub przestrzeej) - są ieskorelowae lub co ajwyżej słabo skorelowae między sobą (postulat braku redudacji) - są silie skorelowae ze zmieą objaśiaą. Macierz R i R 0 Współczyiki korelacji między zmieymi objaśiającymi, a zmieą objaśiaą ozaczymy jako r 0j i tworzą oe wektor R 0 Współczyiki korelacji pomiędzy zmieymi objaśiającymi ozaczymy jako r ij i tworzą oe macierz R r1.. r 1q R 0 =[r r 0 r.. r 0q] R=[ r q ] r q1 r q.. 1 tu współczyiki powiy być a tu jak ajmiejsze jak ajwiększe, Zad. Dom I i II rozdział. Barczak Metoda Z. Hellwiga Nośikiem iformacji o zmieej edogeiczej jest potecjala zmiea objaśiająca. Pojemością idywidualego ośika iformacji jest wyrażeie: r 0j h kj = pk 1 r ij i=1 h kj 0;1 // od i =1 do?? Gdzie r oj współczyik korelacji liiowej między Y a x j r ij współczyik korelacji liiowej między x i a x j Pojemością itegralą k tej kombiacji potecjalych zmieych objaśiających jest wyrażeie: H k = pk h k j=1, dla k=1,,..., L, H k 0,1 Liczba możliwych kombiacji potecjalych zmieych objaśiających jest rówa: L= p 1 Pojemości itegrala staowi kryterium wyboru odpowiediego zestawu zmieych objaśiających. Wady metody Z. Hellwiga (optymalego wyboru predykat) - pracochłoości obliczeń p. przy 5 potecjalych zmieych objaśiających jest do sprawdzeia już 31 kombiacji Zalety metody optymalego wyboru predyktat 4

5 - metoda jedozaczie wskazuje a ajlepszą kombiacją spośród wszystkich możliwych kombiacji Dom rozdział 3 Barczak Uwagi wstępe KMNK Wyrażeia klasycza metoda ajmiejszych kwadratów KMNK będziemy używali w odiesieiu do metody szacowaia parametrów strukturalych modelu liiowego y i = 1 x 1i x i... k x ki 0 i ; i=1,,..., Będziemy używać astępujących ozaczeń: y i i ta obserwacja zmieej objaśiaej x ji i ta obserwacja j-tej zmieej objaśiającej x 6 to 6 obserwacja zmieej =[ y Y ] y 1 y.. X 1 =[ ].. =[ 1] x11 x 1 x... x k =[1 0].. k x1... xk1 1 x 1 x... x k Przy tych ozaczeiach jedorówaiowy liiowy model ekoometryczy może być zapisay jako: Y =X Założeia KMNK Zastosowaie KMNK wymaga przyjęcia astępujących założeń: 1.postać modelu jest liiowa względem parametrów (lub sprowadzala do liiowej),.zmiee objaśiające są wielkościami ielosowymi (z góry ustaloe musimy je zać) 3.zmiee objaśiające są iezależe i wole od współliiowości ie istieje między zmieymi dokłada zależość liiowa 4. r X =k (X- macierz obserwacji a zmieych objaśiających) waruek a liczebość i współliiowość próby, jeżeli 3 i 4 ie zostaie spełioe 5. E =0, czyli składiki losowe dla wszystkich obserwacji mają wartości oczekiwae rówe zero 6. E T = I, czyli składik losowy dla każdej obserwacji ma skończoą wariację, atomiast cov i, j =0 7. składik losowy ie jest skoreloway ze zmieymi objaśiającymi Estymacja parametrów modelu liiowego KMNK Część determiistycza modelu ekoometryczego wyzacza am wartości teoretyczą zmieej y. Zapiszmy model jako: IE 5

6 Y =X Y =X a S=Y Xa T Y Xa mi Trzeba wyzaczyć taki wektor a, dla którego powyższa fukcja osiągie miimum Otrzymujemy astępujący estymator wektora a: a= X T X 1 X T Y wektor a jest azyway wektorem oce parametrów Postać modelu moża zapisać jako: y i =a 1 x 1i a x i...a k x ki a 0 Lub y i =a 1 x 1i a x i...a k x ki a 0 u i gdzie u i = y i y i Wartość ocey a j - iterpretacja (parametry a iformują o ile zmiei się y jeżeli... Własości estymatora KMNK Przy spełioych założeiach estymatory liiowe uzyskae KMNK są: - zgode - wraz ze wzrostem próby maleje błąd szacuku - ieobciążoe estymator ie wykazuje błędów - ajefektywiejsze mają ajmiejszą wariację, są ajbardziej precyzyje Z macierzą wariacji i kowariacji daą wzorem: D a= X T X 1 Założeia KMNK a własości estymatora: - jeżeli zmiee objaśiające są współliiowe, to ie istieje estymator KMNK - jeżeli wariacja składika losowego ie jest stała to estymator ie jest ajefektywiejszy - jeżeli składik losowy jest zależy: cov t, t 0, a w zbiorze zmieych objaśiających ie ma Y t.. to estymator KMNK ie jest ajefektywiejszy - jeżeli składik losowy jest zależy: cov t, t 0, a w zbiorze zmieych objaśiających występuje Y t. To estymator KMNK ie jest zgody - jeżeli wariacja składika losowego jest fukcją zmieych objaśiających, to estymator KMNK ie jest zgody. Estymacja parametrów struktury stochastyczej Iymi słowy miary dopasowaia modelu do daych empiryczych. 1. ieobciążoym estymatorem wariacji składika losowego jest wariacja resztowa zdefiiowaa astępującym wzorem: 6

7 S u = 1 y k i y i = 1 u i=1 k i i =1 Lub wyrażoa wzorem macierzowym: S u = 1 k [Y T Y Y T X a ] Y T Y = y Y T X = X T Y T. odchyleie resztowe (odchyleie stadardowe składika losowego) zdefiiowae jako: S u =S u 3. współczyik zmieości przypadkowej (wyrazistości) zdefiioway jako: V u = S u y 100 iterpretacja... Jeśli wartość V u ie przekracza wartości V* (p. 10%), to przyjmuje się, że model jest dopuszczaly 4. współczyik zbieżości zdefiioway jako: = i =1 i =1 iterpretacja: y i y i y i y i 0;1 = k S u u = i S y y i y i 5. współczyik determiacji (jaką część moża wyjaśić) zdefiioway jako: R =1 R 0 ;1 6. Macierz wariacji i kowariacji oce parametrów szacuje się a podstawie: D a=s u X T X 1 W macierzy tej a główej przekątej są wariacje oce parametrów D a j Da j = D a j iterpretacja... I tu pewie był przykład 1 a szacowaie parametrów strukturalych modelu ekoometryczego //zał 1 str. 4 Ekoometria wykład /

8 Weryfikacja modelu 1. Testowaie istotości parametrów strukturalych - testowaie istotości parametrów testem t-studeta - testowaie istotości parametrów testem Fischera-Sedecora ( za pomocą współczyika korelacji wielorakiej). Aaliza własości reszt, - autokorelacja składika losowego - jedorodość wariacji składika losowego - ormalość składika losowego Test t-studeta a istotość parametrów Jeżeli spełioe są założeia KMNK to sprawdziaem hipotezy zerowej H 0 : j =0 wobec hipotezy alteratywej H 1 : j 0 // jest istoty jest statystyka t-studeta o -k stopiach swobody t j = a j j D a j ; j=1,,..., k gdzie a j - ocea parametru strukturalego j Da j - błąd szacuku parametru j jeżeli wartość statystyki: t j >= t, k gdzie t, k wartość krytycza odczytaa z tablic t-studeta to hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. jeżeli t j < t, k to brak podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Przyczyy ieistotości parametrów strukturalych: brak zależości pomiędzy X j i Y mała dokładość lub ieodpowiedia jakość daych statystyczych mało licza próba przyjęta iewłaściwa postać aalitycza modelu pomiięcie w modelu iych ważych zmieych objaśiających okoliczości przypadkowe, wyikające z losowości próby przykład 1 Zbadaj czy dochody ludości i średia cea owego samochodu istotie kształtują popyt a samochody? model z przykładu 1: y t =1,470 x 1t 0,69 x t,609u t gdzie y t popyt w tys, x 1 dochody w setkach, x średia cea samochodu tz: Sprawdź istotość parametrów stojących przy zmieych x 1 i x we wzorze są to 1 i. 8

9 badamy zatem parametr 1 ( dochody) H 0 : 1 =0 wobec hipotezy alteratywej obliczamy wartość statystyki t-studeta: t s = a j j D a j = 1, ,17 = 6,774 // skąd mamy 0,17?? ie mam tego przykładu t 0,05;1 3 =,6 wartość statystyki jest większa od wartości krytyczej 6,774 >,6 więc hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. co ozacza, że parametr jest statystyczie istoty a więc dochody ludości istotie kształtują popyt a samochody i aalogiczie -3,901 hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej, czyli parametr jest statystyczie istoty, a więc średia cea owego samochodu kształtuje popyt a samochody. Test Fischera-Sedecora istotości współczyika korelacji wielorakiej. H 0 : R w =0 H 1 : R w 0 współczyik jest istoty // > Sprawdziaem jest statystyka postaci: F = R 1 R. k k 1 Statystyka F ma rozkład F Fischera-Sedecora o (k-1) i (-k) stopiach swobody. Jeżeli wartość statystyki F F ;k 1, k gdzie F ;k 1, k wartość odczytaa z tablic dystrybuaty rozkładu F Fischera-Sedecora o (k-1) i (k) stopiach swobody oraz to hipotezę zerową odrzucamy a korzyść hipotezy alteratywej. Jeżeli F F ;k 1, k To ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Test F Fischera-Sedecora istotości współczyika korelacji wielorakiej przykład: Sprawdź czy model dostateczie opisuje sprzedaż samochodów. H 0 : R w =0 H 1 : R w 0 9

10 F = R 1 R. k k 1 = 0, , =77,318 F 0,05;;9 = 4,6 77,318>4,6 Hipotezę zerową odrzucamy a korzyść hipotezy alteratywej. Model statystyczie istotie opisuje sprzedaż samochodów Autokorelacja składika losowego Na ogół autokorelację moża wyrazić w postaci relacji: t = f t 1, t,..., t W związku z tym spełioa jest zależość T I W praktyce przyjmuje się a ogół fukcję liiową, a maksymale opóźieie czasowe wyosi jede lub dwa t = 1 t 1 t autokorelacja rzędu pierwszego Estymator współczyika autokorelacji rzędu day jest wzorem: r = u.u t t =1 u t t =1, r ależy <-1;1> // pierwszego rzędu to jest jede autokorelacja (...) - przyczyy 1. Błędy specyfikacji rówaia. pomiięcie ważej zmieej objaśiającej błąd specyfikacji statyczej pomiięcie właściwego opóźieia zmieej objaśiającej, a w szczególości zmieej objaśiaej błąd specyfikacji dyamiczej, iewłaściwa postać fukcyja rówaia. Badaie autokorelacji test Durbia-Watsoa Hipoteza zerowa H 0 : 1 =0 Hipoteza alteratywa: H 1 : 1 0 // lub 1 0 w zależości od d Sprawdziaem hipotezy zerowej jest statystyka u t u t 1 t = d =, d 0; 4 u t t=1 // dopiero po policzeiu wartości statystyki wybieramy hipotezę alteratywą!! jeżeli d> to hipoteza przyjmuje postać 1 0 i ależy obliczyć d' ze wzoru 10

11 d'=4-d bo tablice D-W są od 0 do jeżeli d< to hipoteza przyjmuje postać 1 0 wtedy d' ie liczymy Rozkład sprawdziau d przy założeiu, że H 0 jest prawdziwa i składiki losowe mają rozkład ormaly N 0, zależy od: -liczba obserwacji, K-liczba zmieych objaśiających!!!!//duże k Z tablic wartości krytyczych testu D-W odczytuje się d L i d U dwie wartości krytycze Kiedy d<, czyli hipoteza alteratywa przyjmuje postać 1 0 mamy możliwe sytuacji 1. d d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje. d L d d U to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie 3. d U d to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Kiedy d> czyli hipoteza alteratywa przyjmuje postać 1 0 mamy możliwe sytuacje: 4. d ' d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje 5. d L d 'd U to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie 6. d U d ' to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Test Durbia-Watsoa jest testem trójstroym (posiada tzw. obszar iekokluzywości ie moża podjąć decyzji) Pomiędzy estymatorem r 1 a statystyką Durbia-Watsoa d zachodzi relacja: d 1 r 1 W przypadku stwierdzeia autokorelacji mamy możliwości: usuąć przyczyy autokorelacji zastosować procedury estymacji w warukach autokorelacji (p uogólioą metodę ajmiejszych kwadratów) pozostać przy metodzie ajmiejszych kwadratów godząc się z miejszą efektywością estymatorów Test D-W przykład Zbadaj czy występuje autokorelacja składika losowego w modelu sprzedaży samochodów po obliczeiu statystyki d=,741 d'=1,59 =1 i K= liczba zmieych objaśiających d L =0,81 d U = 1,579 XERO Kukuła s. 58 zrobić poieważ <d' < to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie (powiiśmy zastosować iy test a badaie autokorelacji) 11

12 oszacujemy estymator r 1 ze wzoru: r 1 = t = u t. u t 1 u t t=1 = 1,60 3,71 = 0,431 Jedorodość wariacji W związku z tym spełioa jest zależość // w związku z czym? T = i I i =k i. // rówe czy róże gdzie k i współczyiki wyrażeia zmieości wariacji składika losowego dla i-tej obserwacji (i=1,,... ) Jedorodość wariacji test Goldfelda-Quadta W teście tym próbę statystyczą dzieli się a dwie pod próby ( 1 i ) tak, że: 1. 1 = tz wszystkie obserwacje z próby statystyczej są uwzględioe lub. 1 (liczba pomiiętych obserwacji ie może przekraczać 1/3 obserwacji 0,33) //jeśli liczba jest parzystą to ie pomija się żadej?? //(a kolokwium poda jak ma być dzieloa próba) geeralie przyjmujemy że 1 = Dla obu pod prób szacowae są parametry strukturale modelu Dla tak oszacowaych modeli liczy się wariacje resztowe S u1 i S u // i stosujemy zwykły test Fischera-Stedeckora a rówość wariacji ( ie było?) W teście Goldfelda-Quadta weryfikujemy hipotezę: H 0 : 1 = H 1 : 1 wobec hipotezy alteratywej Jeżeli prawdziwa jest hipoteza zerowa wówczas stosuek wariacji reszt F = S u1 S u ma rozkład F Fischera-Sedecora o m 1 = k i m = 1 k stopiach swobody Jeżeli F F ;m1, m to hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. Przykład 1 //zał do wykładu Próbę statystyczą podzieloo a 1 =5i =5 Dla obu pod prób oszacowao modele S u1 =0,338 S u =1,053 1

13 F= 3,115 F 0,05,5 1,5 3 =19,0 3,115 < 19 ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej, możemy przyjąć że wariacje w obu podpróbach 1 i są rówe. Ozacza to że wariacja jest jedoroda. Normalość Poprawa iterpretacja testu F i testu t czyli testów istotości zmieych objaśiających jest możliwa pod warukiem przyjęcia założeia stwierdzającego że rozkład składika losowego modelu jest rozkładem ormalym - N 0, w tym celu użyjemy testu asymetrii i kurtozy (kolejy momet cetraly) Normalość - test Jarque-Bera Testowae są hipotezy: H 0 : składik losowy ma rozkład ormaly przy hipotezie alteratywej H 1 : składik losowy modelu ie ma rozkładu ormalego Do oszacowaia wartości statystyki Jarque-Bera tego testu wyzaczamy ajpierw S= 1 u t t=1 Następie obliczamy : = B u 3 t asymetria t=1 S B = 1 t =1 u t 4 S 4 kurtoza statystyka Jarque-Bera ma postać: JB= B 1 6 B 3 4 JB rozkład chi-kwadrat z dwoma stopiami swobody. Krytyczą wartością testu a poziomie istotości =0,05 odczytaą z tablic wartości rozkładu jest liczba : 5,991 Jeżeli JB 5,991 to hipotezę H 0 o ormalości rozkładu składika losowego ależy odrzucić 13

14 Przykład: H 0 składik losowy modelu ma rozkład ormaly H 1 składik losowy modelu ie ma rozkładu ormalego robimy tabelkę w arkuszu u u u 3 u 4 // z którego przykładu?? sumy: 3,71-0,79 3,19 zatem S= 1 t=1 1 t=1 = u 3,71 t 1 =0,556 3 u 3 = 1 t S = 3 B 1 u S 3 t = 0,147 t=1 B = 1 4 u t t =1 S = 1 u S 4 t = t=1 1 0, ,19 =,78 ostateczie otrzymujemy JB= B 1 6 B 3 =0,318 4 Poieważ JB<5,991 ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej głoszącej o ormalości rozkładu składika losowego. Możemy przyjąć, że rozkład jest ormaly dotąd a 3+ :) Co to jest progozowaie Progozowaie to przewidywaie przyszłych zdarzeń, a jego celem jest zmiejszeie ryzyka w procesie podejmowaia decyzji. Fukcje progozowaia: tworzeie przesłaek do podejmowaia decyzji aktywizująca iformacyja przygotowuje as a zmiay Progozy muszą być wiarygode Dokładość progoz Wyróżiamy dwa rodzaje mierików dokładości predykcji, a miaowicie: mieriki dokładości ex ate (ocey błędu ex ate) mieriki dokładości ex post (błędy ex post) // mówią o dokładości modelu Zasada predykcji ieobciążoej Zasada predykcji ieobciążoej polega a tym, że: y T p =E Y T T-horyzot progozy Y T zmiea progozowaa p y T progoza zmieej Y T w okresie T E Y T wartość oczekiwaa rozkładu zmieej progozowaej Y T w okresie T 14

15 y p T =E Y T / f y t Własość zasady predykcji ieobciążoej daa jest wzorami: E Y T y p T =0 V =E Y T y p T mi Zasada predykcji oparta a przedziale ufości p.. moża sformułować w postaci astępującej reguły ależy wskazać taki przedział I T zachodziła rówość P y T I p T =1 ; 1 0,90 p gdzie I T przedział predykcji poziom istotości ( 1 wiarygodość predykcji) y T wartość zmieej progozowaej Y T w okresie T aby Progozowaie a podstawie klasyczych modeli tredu W szeregach czasowych moża wyróżić dwie składowe: składową systematyczą składową przypadkową (zwaą też składikiem losowym lub wahaiami przypadkowymi) Składowa systematycza może wystąpić w postaci 1. Tredu. Stałego (średiego) poziomu 3. Składowej periodyczej: wahaia cyklicze, p tygodiowe wahaia sezoowe (rocze) Model tedecji rozwojowej... moża zapisać ogólie y t = F [ f t, i t, t ] gdzie f(t) fukcja tredu i t wahaia periodycze, t wahaia przypadkowe Jeżeli powiązaia między składowymi szeregu czasowego są typu y t = f t i t t i=1 to model osi azwę modelu addytywego // mówi o bezwzględie stałych odchyleiach od modelu w przypadku y t = f t [1 i t ][1 t ] i=1 // mówimy wyższa o 10% - mówi o względie stałych odchyleiach od tredu 15

16 to model osi azwę modelu multiplikatywego Modele tedecji rozwojowej Najczęściej stosowae postacie aalitycze fukcji tredu fukcja liiowa y t = 1 t 0 t fukcja wykładicza y t =e 1 t 0 t lub y t = 0 1 t e 1 fukcja logistycza y t = e t t // wykres dochodzący Przykład zał do wykładu Progoza puktowa, tred liiowy. y T p =a 1 T a 0 (T=+1, +,...) Tred liiowy liczba studetów w szkole X progoza a 007 zatem po oszacowaiu otrzymujemy model y t =0,770 t10,67u t czyli z roku a rok ilość studetów rośie o 0,770 tysiąca (iterpretacja a 1 ) Czyli progoza puktowa a =1 (007) p y T =1 = 0, ,67 = 19,503 Spodziewaa liczba studetów w 007 roku wyosi 19,503 tysiąca osób Wahaia sezoowe model Kleia Y t = f t 1 V 1t V t... m V mt i - to wskaźiki sezoowości V - to zmiee przyjmujące wartości 0 a 1 w swoim okresie Dla addytywych wahań sezoowych zachodzi: m i=1 i =0 wtedy więc m 1 m = i i =1 Podstawiając do modelu wyjściowego otrzymujemy: Y T = f t 1 V 1t V mt V t V mt... m 1 V m 1t V mt t 16

17 w przypadku daych półroczych (wahań o długości cyklu ) cała procedura wygląda astępująco Y t = 1 t 1 V 1t V t 0 t dla modelu zachodzi relacja m 1 m = i tz = 1 i =1 Podstawiając relację do modelu otrzymujemy: Y t = 1 t 1 V 1t V t 0 t Model Kleia progozowaie Progoza puktowa Y T P =a 1 T b V 1T V T a 0 (T=+1, +,...) Błąd ex ate progozy * // jeszcze wróci V = X P T D a X P S u gdzie X p wektor wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym D a macierz wariacji i kowariacji estymatorów, S u wariacja resztowa Przykład 3 zał przedsiębiorstwo budowlae parametry przy t: iterpretacja Z półrocza a półrocze sprzedaż budowlaa przedsiębiorstwa rośie o 0,375 ml złotych przy czym w pierwszym półroczu sprzedaż budowlaa jest miejsza o 1,5 ml złotych a w drugim większa o 1,5 ml złotych iż by to wyikało z tredu Progoza a 006: Y I 006 =0, ,510,3 = 1,85 ml zł Y II 006 =0,375 11,510,3 = 16,5 ml zł czterookresowe są w xero też będą a kolokwium wykład ekoometria 3/ Predykcja a podstawie liiowego modelu jedorówaiowego y= X Progoza puktowa y T P =a 1 x 1T a x T...a k x kt a 0 gdzie x 1T, x T wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym Błąd ex ate progozy 17

18 V = X T P D a X P S u X P wektor wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym Względy błąd progozy wyosi V * = V y 100 P T V * Estymacja przedziałowa przedział ufości Przedział predykcji a okres lub momet T a podstawie omawiaego modelu ajczęściej buduje się symetryczie wokół progozy P y T P t ; k V y T y T P t ; k V =1 Wartości zmieych objaśiających Ustaleie wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym 1. Na poziomie plaowaym p wydatki a reklamę.. Poprzez zbudowaie odpowiedich fukcji tredu i ich ekstrapolacje. 3. Budowa osobego modelu ekoometryczego (przyczyowo-skutkowego) 4. Obliczeie zbioru progoz zmieej objaśiaej odpowiadającym różym praktyczie możliwym wartościom zmieych objaśiających w okresie T NP Y T =3,45 x 1t 1,55 x t 15u t gdzie x 1t - dochody ludości w setkach zł - cea przecięta telewizora x t Sprawdź czy progoza jest dopuszczala a poziomie 5% wiedząc że S U =1, // a we wzorze ma być S U :) a macierz wariacji i kowariacji estymatorów ma postać: 0,08 0,06 0,40 D a=[ ] 0,06 0,5 1,0 0,40 1,0,00 Progoza dla dochodów X P 1T =1,48e 0,1 14=6,00=6,00 Progoza dla cey: wzrost 10% więc X P T =7 1,1=7,7 Progoza dla y: y T P =3,45 6 1,55 7,715=3,765 18

19 Spodziewaa sprzedaż telewizorów w 006 roku wyiesie 3,765 tys. sztuk Błąd progozy ex ate V = X P T D a X P S u =[6,0 7,71][ D a] [ 6,0 7,7 1 ] 1, =1,96651,44=1,846 ^ tu wartości a okres progozoway!! V * = V 1, = 100 =7,8 P y T 3,765 Rzeczywista realizacja popytu a telewizory odchylać się będzie od postawioej progozy +_ 1,846 tys sztuk co staowi 7,8% zmieej progozowaej Nasza progoza ie jest dopuszczala. P 3,765,8 1,846 y T 3,765,8 1,846=1 0,05 P 19,65 y T 7,88=0,95 Z prawdopodobieństwem 95% przedział o końcach (19,65; 7,88) pokryje iezaą, rzeczywistą realizację popytu a telewizory w tys. sztuk. Elastyczość Niech będzie day model ekoometryczy y= f x 1, x,..., x k 1 Model te jest odzwierciedleiem relacji między procesami lub zdarzeiami gospodarczymi i społeczymi Iterpretacja parametrów modeli liiowych współczyiki proporcjoalości ieliiowych iformacja jak zmieia się szybkość reakcji w zależości od zmia zmieej objaśiającej Miary elastyczości są jedym ze sposobów wioskowaia a podstawie modeli ekoometryczych Elastyczość jest miarą względych zmia zmieej edogeiczej wywołaych określoymi, względymi zmiaami zmieej objaśiającej. Jak zmiei się wartość zmieej edogeiczej, przy założeiu względej zmiay zmieej objaśiającej, lub o ile powia zmieić się określoa zmiea egzogeicza, aby zmiea objaśiaa wzrosła o p procet. NP firma chce zwiększyć sprzedaż o 10% - o ile trzeba zwiększyć wydatki a marketig? W zależości od zaistiałej sytuacji lub waruków moża wykorzystać mierik elastyczości klasyczej, do 10% mierik elastyczości różicowej, powyżej 10% mierik elastyczości całkowitej, modele wielorówaiowe 19

20 Elastyczość klasycza: 1. Występują małe zmiay zmieej x tz X 0 X X 0,1. Zmiay wyróżioej zmieej objaśiającej ie wywołują zmia iych zmieych Elastyczość klasyczą zmieej edogeiczej y względem x i defiiujemy jako xi = y x i x i f x 1,..., x k 1 Elastyczość klasycza przyjmuje róże wartości w zależości od dziedziy modelu ekoometryczego zatem często azywa się ją jako elastyczość puktową Efekt względych zmia zmieej objaśiaej wywołaych określoą zmiaą wyróżioej zmieej objaśiającej moża wyzaczyć ze wzoru: y y = x i xi x i Łączy względy wpływ wszystkich zmieych moża zapisać jako y k 1 y = i =1 xi x i x i Przykład 1 str 5 załączik trzeba zać pukt dziedziy żeby wyzaczyć elastyczość w tym pukcie x1 wraz ze wzrostem dochodów ludości o 1% popyt wzrośie o 0,979% zakładając że dochody wyoszą 300 a cea 4000 zł (pukt dziedziy dla którego policzoe) x wraz ze wzrostem cey samochodów o 1% popyt spadie (zmaleje) o 0,559% zakładając - - Założeie: dochody wyoszą 300 a cea 4000: a) jeżeli dochody ludości wzrosą o % popyt wzrośie o 1,96% b) zmaleje o 5,17% c) zakładając zwiększeie dochodów o % aby sprzedaż wzrosła o 6% cea powia zmaleć przyajmiej o 7,3% Przykład str 7 zał wykładiki modelu potęgowego są elastyczościami, elastyczości te są stałe w całej dziedziie Wraz ze wzrostem wartości maszy i urządzeń o 1% wartość produkcji wzrośie o 0,61% przy założeiu że liczba zatrudioych ie ulegie zmiaie Wraz ze wzrostem liczby zatrudioych o 1% wartość produkcji wzrośie o 0,3% przy założeiu że wartość maszy i urządzeń ie ulegie zmiaie. Przykład iterpretacja: Jeżeli liczba zatrudioych spadie o 3% a wartość maszy i urządzeń wzrośie o 5% to wartość produkcji wzrośie o,09% Przykład 3 str 7 iterpretacja wzoru wydatki a rozrywkę mają miejsce gdy dochód przekroczy 713,41 zł 0

21 maksymaly poziom wydatków a rozrywkę wyosi 467,6 # Domek jeżeli dochody wzrosą o 1% przy poziomie 1000 to wydatki a rozrywkę wzrosą o 3,7% Jeżeli dochody wzrosą o 1% przy poziomie 3000 to wydatki a rozrywkę wzrosą o 0,86% Elastyczość ceowa, elastyczość dochodowa Jeżeli x i są to cea i dochód to mówimy: p = 1 to popyt a dae dobro jest popytem eutralym lub też określay jest jako popyt jedostkowy p 1 to popyt elastyczy p 1 to popyt azywamy popytem sztywym Przy wysokiej elastyczości dochodowej (dodatiej) rozwój gospodarczy jest czyikiem korzystym dla przedsiębiorstwa 1

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA?

EKONOMETRIA. Temat wykładu: Co to jest model ekonometryczny? Dobór zmiennych objaśniających w modelu ekonometrycznym CZYM ZAJMUJE SIĘ EKONOMETRIA? EKONOMETRIA Temat wykładu: Co to jest model ekoometryczy? Dobór zmieych objaśiających w modelu ekoometryczym Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.edu.pl http://

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Podstawy ekonometrii. Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF

Podstawy ekonometrii. Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF Podstawy ekonometrii Opracował: dr hab. Eugeniusz Gatnar prof. WSBiF Cele przedmiotu: I. Ogólne informacje o przedmiocie. - Opanowanie podstaw teoretycznych, poznanie przykładów zastosowań metod modelowania

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo

Metody analizy długozasięgowej

Metody analizy długozasięgowej Copyright (c) 999-00 by Hugo Steihaus Ceter Metody aalizy długozasięgowej Adrzej Zacharewicz Warsztat aalizy zależości długotermiowej jest wciąż rozwijay i udoskoalay. Od czasów Hursta (95) i jego aalizy

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU

ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Łukasz WOJCIECHOWSKI, Tadeusz CISOWSKI, Piotr GRZEGORCZYK ALGORYTM OPTYMALIZACJI PARAMETRÓW EKSPLOATACYJNYCH ŚRODKÓW TRANSPORTU Streszczeie W artykule zaprezetowao algorytm wyzaczaia optymalych parametrów

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA NIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORT ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E13 BADANIE ELEMENTÓW

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM.

Ćwiczenie 5 ITERACYJNY ALGORYTM LS. IDENTYFIKACJA OBIEKTÓW NIESTACJONARNYCH ALGORYTM Z WYKŁADNICZYM ZAPOMINANIEM. Kompterowe Sstem Idetfikacji Laboratorim Ćwiczeie 5 IERACYJY ALGORY LS. IDEYFIKACJA OBIEKÓW IESACJOARYCH ALGORY Z WYKŁADICZY ZAPOIAIE. gr iż. Piotr Bros, bros@agh.ed.pl Kraków 26 Kompterowe Sstem Idetfikacji

Bardziej szczegółowo

Moment skrawania w procesie gwintowania PA6 a wybór medium obróbkowego DR HAB. INŻ. Ryszard Wójcik, PROF. PŁ, DR INŻ. Hieronim Korzeniewski,

Moment skrawania w procesie gwintowania PA6 a wybór medium obróbkowego DR HAB. INŻ. Ryszard Wójcik, PROF. PŁ, DR INŻ. Hieronim Korzeniewski, fot. Thikstock Momet skrawaia w procesie gwitowaia PA6 a wybór medium obróbkowego DR HAB. INŻ. Ryszard Wójcik, PROF. PŁ, DR INŻ. Hieroim Korzeiewski, INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN POLITECHNIKI

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych

1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych Iwetta Budzik-Nowodzińska SZACOWANIE WARTOŚCI DOCHODOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA STUDIUM PRZYPADKU Wprowadzeie Dochodowe metody wycey wartości przedsiębiorstw są postrzegae, jako ajbardziej efektywe sposoby określaia

Bardziej szczegółowo

Metoda badań terenów poprzemysłowych owych w celu weryfikacji hipotezy o zanieczyszczeniu terenu poprzemysłowego. owego.

Metoda badań terenów poprzemysłowych owych w celu weryfikacji hipotezy o zanieczyszczeniu terenu poprzemysłowego. owego. Metoda badań tereów poprzemysłowych owych w celu weryfikacji hipotezy o zaieczyszczeiu tereu poprzemysłowego owego Joachim Broder 009--9 Pla prezetacji. Prezetacja algorytmu badań tereów poprzemysłowych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM

ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Katarzya Zeug-Żebro Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Katedra Matematyki katarzya.zeug-zebro@ue.katowice.pl ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Wprowadzeie Zjawisko starzeia

Bardziej szczegółowo

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny.

OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE. Definicja: Popyt to ilość dobra, jaką nabywcy gotowi są zakupić przy różnych poziomach ceny. OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego

Analiza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut

Bardziej szczegółowo

Termodynamika defektów sieci krystalicznej

Termodynamika defektów sieci krystalicznej Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA CAŁKOWITOLICZBOWEGO W UTRZYMANIU POJAZDÓW I MASZYN. Paweł Mikołajczak

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA CAŁKOWITOLICZBOWEGO W UTRZYMANIU POJAZDÓW I MASZYN. Paweł Mikołajczak MOTROL, 007, 9, ZASTOSOWANE PROGRAMOWANA AŁKOWTOLZBOWEGO W UTRZMANU POJAZDÓW MASZN Katedra Budowy, Eksploatacji Pojazdów i Maszy Uiwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztyie Streszczeie. W artykule przedstawioo

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch

W wielu przypadkach zadanie teorii sprężystości daje się zredukować do dwóch Wykład 5 PŁASKI ZADANI TORII SPRĘŻYSTOŚCI Płaski sta arężeia W wielu rzyadkach zadaie teorii srężystości daje się zredukować do dwóch wymiarów Przykładem może być cieka tarcza obciążoa siłami działającymi

Bardziej szczegółowo

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0

µ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0 7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI

OKREŚLENIE CHARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Ćwiczeie 5 OKREŚLENIE CARAKTERYSTYK POMPY WIROWEJ I WYZNACZENIE PAGÓRKA SPRAWNOŚCI Wykaz ważiejszych ozaczeń c 1 rędkość bezwzględa cieczy a wlocie do wirika, m/s c rędkość bezwzględa cieczy a wylocie

Bardziej szczegółowo

Metody oceny projektów inwestycyjnych

Metody oceny projektów inwestycyjnych Metody ocey projektów iwestycyjych PRZEDMIIOT : EFEKTYWNOŚĆ SYSTEMÓW IINFORMATYCZNYCH Pla wykładu Temat: Metody ocey projektów iwestycyjych 5 FINANSOWE METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH... 4 5.1. WPROWADZENIE...

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

Obligacja i jej cena wewnętrzna

Obligacja i jej cena wewnętrzna Obligacja i jej cea wewęrza Obligacja jes o isrume fiasowy (papier warościowy), w kórym jeda sroa, zwaa emieem obligacji, swierdza, że jes dłużikiem drugiej sroy, zwaej obligaariuszem (jes o właściciel

Bardziej szczegółowo