Ekonometria Mirosław Wójciak

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekonometria Mirosław Wójciak"

Transkrypt

1 Ekoometria Mirosław Wójciak Literatura obowiązkowa Barczak A, ST. Biolik J, Podstawy Ekoometrii, Wydawictwo AE Katowice, Katowice 1998 Dziechciarz J. Ekoometria Metody, przykłady, zadaia (wyd. ) Kukuła K (redaktor aukowy): Wprowadzeie do ekoometrii w przykładach i zadaiach, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 Jajuga K. : Ekoometria metody i aaliza problemów ekoomiczych Borkowski B, Dudek H, Szczęsy W. :Ekoometria wybrae zagadieia Ekoometria Jest uifikacją teorii ekoomii, statystyki i matematyki (Ragar Frish, 196) Zbigiew Pawłowski ekoometria jest auką o metodach badaia ilościowych prawidłowościach występujących w zjawiskach ekoomiczych za pomocą odpowiedie wyspecjalizowaego aparatu matematyczo statystyczego. Ekoometria jest auką i sztuką stosowaia metod statystyczych do mierzeia relacji ekoomiczych (Gregory C. Chow) Celem ekoometrii jest dokłade rozpozaie procesów gospodarczych oraz pomoc decydetom i działaczom gospodarczym w przewidywaiu procesów ekoomiczych i sterowaiu imi. Jak? Ile? Model ekoometryczy Model zawsze musi być lepszą lub gorszą kopią orygiału (Zdzisław Hellwig). Wady, zalety modeli: - z jedej stroy prostota modelu ułatwia jego zrozumieie - z drugiej stroy admiere upraszczaie rzeczywistości Modelem ekoometryczym azywać będziemy kostrukcję formalą, która za pomocą jedego rówaia bądź też wielu rówań odwzorowuje zasadicze powiązaia ilościowe zachodzące między badaymi zjawiskami (Zbigiew Pawłowski). Budowa tego modelu jest bardzo skomplikowaa Jedorówaiowy model ekoometryczy y t = f x 1t, x t,..., x k 1 ; t Gdzie: y t - zmiea objaśiaa iaczej edogeicza (zależa) x 1t,x t,..., x k 1 zmiee objaśiające iaczej zmiee egzogeicze (iezależe) - ksi - składik losowy f- postać aalitycza modelu, p.: postać liiowa, potęgowa Liiowa postać aalitycza modelu: 1

2 y t = 1 x 1t 1 x 1t... 1 x 1t 0 t część determiistycza część stochastycza Gdzie: i parametry strukturale modelu Elemety modelu ekoometryczego - Zmiee objaśiae elemety które są wyjaśiae przez poszczególe rówaia modelu - zmiee objaśiające zmiee użyte do opisu, wyjaśieie zmieych edogemiczych - składik losowy- - parametry strukturale są to wartości wyrażające ilościowy wpływ daej zmieej przy której występują a zmieą edogeiczą. - parametry struktury stochastyczej są to parametry składika losowego wariacja,autokorelacja Zmiee opóźioe lub jedego okresu Składik losowy w modelu wyika z koieczości uwzględiaia: - wpływu wszystkich zmieych, które wpływają a zmieą edogeiczą ie ujętych w modelu, - różic między przyjętą postacią aalityczą modelu, a istiejącą zależością w rzeczywistości, - błędy pomiarów zmieych - czyików losowych wpływających a zmieą edogeiczą. Specyfikacja modelu ekoometryczego to: - sprecyzowaie zmieych objaśiających - sprecyzowaie zmieych objaśiaych (edogeiczych) - podjęcie decyzji co do charakteru występujących w modelu związków pomiędzy zmieymi m. i. postać aalitycza. Specyfikacja modelu ekoometryczego opiera się a iformacjach a priori oraz iformacjach pochodzących z badań empiryczych. Przykład 1 Zbudujmy model ekoometryczy popytu a owe samochody segmetu B. Wyspecyfikujmy zmieą edogeiczą oraz zmiee objaśiające. y t x 1t - popyt a owe samochody segmetu B w szt - średia cea owego samochodu segmetu B w zł x t dochody ludości a osobą w zł x 3t cea bezyy (cey dóbr komplemetarych) w zł x 4t cea przejazdu publiczymi środkami lokomocji za 1 km w zł (cey dóbr substytucyjych) y t 1 popyt a owe samochody segmetu B w poprzedim roku w szt., t..- składik losowy f- postać aalitycza modelu p. postać potęgowa y t = x 1 xt... yt 1 5 1t e t Etapy budowy modelu ekoometryczego 1.Wyzaczeie celu i zakresu badaia Etap 1 specyfikacja modelu określeie zmieych ajtrudiejszy

3 Etap przygotowaie odpowiediej bazy daych (zbiór daych statystyczych)- a ich podstawie parametry Etap 3 estymacja parametrów modelu (zastosowaie ekoometrii) Etap 4 weryfikacja oszacowaego modelu pod względem formalym (czy są spełioe założeia) i merytoryczym Etap 5 praktycze wykorzystaie modelu ekoometryczego Klasyfikacja modeli ekoometryczych 1 Klasyfikacja modeli ekoometryczych ze względu a postać aalityczą - liiowe - ieliiowe sprowadzale do liiowych (potęgowe) - ieliiowe iesprowadzale do liiowych Ze względu a udział czyika czasu: - statycze - dyamicze to takie modele w którym występują zmiee opóźioe w czasie lub zmiea czasowa t 3 Ze względu a pozawcze cechy modelu: - modele przyczyowo-skutkowe opisowe, (p, wzrost cey - przyczya, spadek sprzedaży - skutek) - modele symptomatycze - modele tedecji rozwojowych (iaczej fukcje tredu) jedyą zmieą objaśiającą jest zmiea czasowa Dae statystycze w badaiach ekoometryczych Dae statystycze wykorzystae w modelowaiu ekoometryczym powiy charakteryzować się: - dokładością brak błędu powtarzalego, - wiarygodością muszą odzwierciedlać rzeczywisty sta, - porówywalością - kompletością brak braku daych Rodzaje daych statystyczych Dae statystycze typu: - makroekoomiczego - mikroekoomiczego Dae o charakterze: - dae przekrojowe y i - szeregi czasowe y t - dae przekrojowo czasowe y ti p w różych województwach od roku003 do 005 Liczba zmieych egzogeiczych: Czy powio się wprowadzić jak ajwięcej zmieych czy tez zbiór te ograiczyć do ajważiejszych cech? Wstępie ustaloy zbiór zmieych musi podlegać selekcji ze względu a: - kryteria ocey merytoryczo-formalych własości zmieych - kryteria wartości iformacyjej zmieych Pożądae własości zmieych objaśiających 3

4 Zmiee objaśiające powiy charakteryzować się astępującymi własościami: - zapewieie dostateczie dużej zmieości (czasowej lub przestrzeej) - są ieskorelowae lub co ajwyżej słabo skorelowae między sobą (postulat braku redudacji) - są silie skorelowae ze zmieą objaśiaą. Macierz R i R 0 Współczyiki korelacji między zmieymi objaśiającymi, a zmieą objaśiaą ozaczymy jako r 0j i tworzą oe wektor R 0 Współczyiki korelacji pomiędzy zmieymi objaśiającymi ozaczymy jako r ij i tworzą oe macierz R r1.. r 1q R 0 =[r r 0 r.. r 0q] R=[ r q ] r q1 r q.. 1 tu współczyiki powiy być a tu jak ajmiejsze jak ajwiększe, Zad. Dom I i II rozdział. Barczak Metoda Z. Hellwiga Nośikiem iformacji o zmieej edogeiczej jest potecjala zmiea objaśiająca. Pojemością idywidualego ośika iformacji jest wyrażeie: r 0j h kj = pk 1 r ij i=1 h kj 0;1 // od i =1 do?? Gdzie r oj współczyik korelacji liiowej między Y a x j r ij współczyik korelacji liiowej między x i a x j Pojemością itegralą k tej kombiacji potecjalych zmieych objaśiających jest wyrażeie: H k = pk h k j=1, dla k=1,,..., L, H k 0,1 Liczba możliwych kombiacji potecjalych zmieych objaśiających jest rówa: L= p 1 Pojemości itegrala staowi kryterium wyboru odpowiediego zestawu zmieych objaśiających. Wady metody Z. Hellwiga (optymalego wyboru predykat) - pracochłoości obliczeń p. przy 5 potecjalych zmieych objaśiających jest do sprawdzeia już 31 kombiacji Zalety metody optymalego wyboru predyktat 4

5 - metoda jedozaczie wskazuje a ajlepszą kombiacją spośród wszystkich możliwych kombiacji Dom rozdział 3 Barczak Uwagi wstępe KMNK Wyrażeia klasycza metoda ajmiejszych kwadratów KMNK będziemy używali w odiesieiu do metody szacowaia parametrów strukturalych modelu liiowego y i = 1 x 1i x i... k x ki 0 i ; i=1,,..., Będziemy używać astępujących ozaczeń: y i i ta obserwacja zmieej objaśiaej x ji i ta obserwacja j-tej zmieej objaśiającej x 6 to 6 obserwacja zmieej =[ y Y ] y 1 y.. X 1 =[ ].. =[ 1] x11 x 1 x... x k =[1 0].. k x1... xk1 1 x 1 x... x k Przy tych ozaczeiach jedorówaiowy liiowy model ekoometryczy może być zapisay jako: Y =X Założeia KMNK Zastosowaie KMNK wymaga przyjęcia astępujących założeń: 1.postać modelu jest liiowa względem parametrów (lub sprowadzala do liiowej),.zmiee objaśiające są wielkościami ielosowymi (z góry ustaloe musimy je zać) 3.zmiee objaśiające są iezależe i wole od współliiowości ie istieje między zmieymi dokłada zależość liiowa 4. r X =k (X- macierz obserwacji a zmieych objaśiających) waruek a liczebość i współliiowość próby, jeżeli 3 i 4 ie zostaie spełioe 5. E =0, czyli składiki losowe dla wszystkich obserwacji mają wartości oczekiwae rówe zero 6. E T = I, czyli składik losowy dla każdej obserwacji ma skończoą wariację, atomiast cov i, j =0 7. składik losowy ie jest skoreloway ze zmieymi objaśiającymi Estymacja parametrów modelu liiowego KMNK Część determiistycza modelu ekoometryczego wyzacza am wartości teoretyczą zmieej y. Zapiszmy model jako: IE 5

6 Y =X Y =X a S=Y Xa T Y Xa mi Trzeba wyzaczyć taki wektor a, dla którego powyższa fukcja osiągie miimum Otrzymujemy astępujący estymator wektora a: a= X T X 1 X T Y wektor a jest azyway wektorem oce parametrów Postać modelu moża zapisać jako: y i =a 1 x 1i a x i...a k x ki a 0 Lub y i =a 1 x 1i a x i...a k x ki a 0 u i gdzie u i = y i y i Wartość ocey a j - iterpretacja (parametry a iformują o ile zmiei się y jeżeli... Własości estymatora KMNK Przy spełioych założeiach estymatory liiowe uzyskae KMNK są: - zgode - wraz ze wzrostem próby maleje błąd szacuku - ieobciążoe estymator ie wykazuje błędów - ajefektywiejsze mają ajmiejszą wariację, są ajbardziej precyzyje Z macierzą wariacji i kowariacji daą wzorem: D a= X T X 1 Założeia KMNK a własości estymatora: - jeżeli zmiee objaśiające są współliiowe, to ie istieje estymator KMNK - jeżeli wariacja składika losowego ie jest stała to estymator ie jest ajefektywiejszy - jeżeli składik losowy jest zależy: cov t, t 0, a w zbiorze zmieych objaśiających ie ma Y t.. to estymator KMNK ie jest ajefektywiejszy - jeżeli składik losowy jest zależy: cov t, t 0, a w zbiorze zmieych objaśiających występuje Y t. To estymator KMNK ie jest zgody - jeżeli wariacja składika losowego jest fukcją zmieych objaśiających, to estymator KMNK ie jest zgody. Estymacja parametrów struktury stochastyczej Iymi słowy miary dopasowaia modelu do daych empiryczych. 1. ieobciążoym estymatorem wariacji składika losowego jest wariacja resztowa zdefiiowaa astępującym wzorem: 6

7 S u = 1 y k i y i = 1 u i=1 k i i =1 Lub wyrażoa wzorem macierzowym: S u = 1 k [Y T Y Y T X a ] Y T Y = y Y T X = X T Y T. odchyleie resztowe (odchyleie stadardowe składika losowego) zdefiiowae jako: S u =S u 3. współczyik zmieości przypadkowej (wyrazistości) zdefiioway jako: V u = S u y 100 iterpretacja... Jeśli wartość V u ie przekracza wartości V* (p. 10%), to przyjmuje się, że model jest dopuszczaly 4. współczyik zbieżości zdefiioway jako: = i =1 i =1 iterpretacja: y i y i y i y i 0;1 = k S u u = i S y y i y i 5. współczyik determiacji (jaką część moża wyjaśić) zdefiioway jako: R =1 R 0 ;1 6. Macierz wariacji i kowariacji oce parametrów szacuje się a podstawie: D a=s u X T X 1 W macierzy tej a główej przekątej są wariacje oce parametrów D a j Da j = D a j iterpretacja... I tu pewie był przykład 1 a szacowaie parametrów strukturalych modelu ekoometryczego //zał 1 str. 4 Ekoometria wykład /

8 Weryfikacja modelu 1. Testowaie istotości parametrów strukturalych - testowaie istotości parametrów testem t-studeta - testowaie istotości parametrów testem Fischera-Sedecora ( za pomocą współczyika korelacji wielorakiej). Aaliza własości reszt, - autokorelacja składika losowego - jedorodość wariacji składika losowego - ormalość składika losowego Test t-studeta a istotość parametrów Jeżeli spełioe są założeia KMNK to sprawdziaem hipotezy zerowej H 0 : j =0 wobec hipotezy alteratywej H 1 : j 0 // jest istoty jest statystyka t-studeta o -k stopiach swobody t j = a j j D a j ; j=1,,..., k gdzie a j - ocea parametru strukturalego j Da j - błąd szacuku parametru j jeżeli wartość statystyki: t j >= t, k gdzie t, k wartość krytycza odczytaa z tablic t-studeta to hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. jeżeli t j < t, k to brak podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Przyczyy ieistotości parametrów strukturalych: brak zależości pomiędzy X j i Y mała dokładość lub ieodpowiedia jakość daych statystyczych mało licza próba przyjęta iewłaściwa postać aalitycza modelu pomiięcie w modelu iych ważych zmieych objaśiających okoliczości przypadkowe, wyikające z losowości próby przykład 1 Zbadaj czy dochody ludości i średia cea owego samochodu istotie kształtują popyt a samochody? model z przykładu 1: y t =1,470 x 1t 0,69 x t,609u t gdzie y t popyt w tys, x 1 dochody w setkach, x średia cea samochodu tz: Sprawdź istotość parametrów stojących przy zmieych x 1 i x we wzorze są to 1 i. 8

9 badamy zatem parametr 1 ( dochody) H 0 : 1 =0 wobec hipotezy alteratywej obliczamy wartość statystyki t-studeta: t s = a j j D a j = 1, ,17 = 6,774 // skąd mamy 0,17?? ie mam tego przykładu t 0,05;1 3 =,6 wartość statystyki jest większa od wartości krytyczej 6,774 >,6 więc hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. co ozacza, że parametr jest statystyczie istoty a więc dochody ludości istotie kształtują popyt a samochody i aalogiczie -3,901 hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej, czyli parametr jest statystyczie istoty, a więc średia cea owego samochodu kształtuje popyt a samochody. Test Fischera-Sedecora istotości współczyika korelacji wielorakiej. H 0 : R w =0 H 1 : R w 0 współczyik jest istoty // > Sprawdziaem jest statystyka postaci: F = R 1 R. k k 1 Statystyka F ma rozkład F Fischera-Sedecora o (k-1) i (-k) stopiach swobody. Jeżeli wartość statystyki F F ;k 1, k gdzie F ;k 1, k wartość odczytaa z tablic dystrybuaty rozkładu F Fischera-Sedecora o (k-1) i (k) stopiach swobody oraz to hipotezę zerową odrzucamy a korzyść hipotezy alteratywej. Jeżeli F F ;k 1, k To ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Test F Fischera-Sedecora istotości współczyika korelacji wielorakiej przykład: Sprawdź czy model dostateczie opisuje sprzedaż samochodów. H 0 : R w =0 H 1 : R w 0 9

10 F = R 1 R. k k 1 = 0, , =77,318 F 0,05;;9 = 4,6 77,318>4,6 Hipotezę zerową odrzucamy a korzyść hipotezy alteratywej. Model statystyczie istotie opisuje sprzedaż samochodów Autokorelacja składika losowego Na ogół autokorelację moża wyrazić w postaci relacji: t = f t 1, t,..., t W związku z tym spełioa jest zależość T I W praktyce przyjmuje się a ogół fukcję liiową, a maksymale opóźieie czasowe wyosi jede lub dwa t = 1 t 1 t autokorelacja rzędu pierwszego Estymator współczyika autokorelacji rzędu day jest wzorem: r = u.u t t =1 u t t =1, r ależy <-1;1> // pierwszego rzędu to jest jede autokorelacja (...) - przyczyy 1. Błędy specyfikacji rówaia. pomiięcie ważej zmieej objaśiającej błąd specyfikacji statyczej pomiięcie właściwego opóźieia zmieej objaśiającej, a w szczególości zmieej objaśiaej błąd specyfikacji dyamiczej, iewłaściwa postać fukcyja rówaia. Badaie autokorelacji test Durbia-Watsoa Hipoteza zerowa H 0 : 1 =0 Hipoteza alteratywa: H 1 : 1 0 // lub 1 0 w zależości od d Sprawdziaem hipotezy zerowej jest statystyka u t u t 1 t = d =, d 0; 4 u t t=1 // dopiero po policzeiu wartości statystyki wybieramy hipotezę alteratywą!! jeżeli d> to hipoteza przyjmuje postać 1 0 i ależy obliczyć d' ze wzoru 10

11 d'=4-d bo tablice D-W są od 0 do jeżeli d< to hipoteza przyjmuje postać 1 0 wtedy d' ie liczymy Rozkład sprawdziau d przy założeiu, że H 0 jest prawdziwa i składiki losowe mają rozkład ormaly N 0, zależy od: -liczba obserwacji, K-liczba zmieych objaśiających!!!!//duże k Z tablic wartości krytyczych testu D-W odczytuje się d L i d U dwie wartości krytycze Kiedy d<, czyli hipoteza alteratywa przyjmuje postać 1 0 mamy możliwe sytuacji 1. d d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje. d L d d U to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie 3. d U d to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Kiedy d> czyli hipoteza alteratywa przyjmuje postać 1 0 mamy możliwe sytuacje: 4. d ' d L to hipotezę zerową odrzucamy, - korelacja występuje 5. d L d 'd U to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie 6. d U d ' to ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej Test Durbia-Watsoa jest testem trójstroym (posiada tzw. obszar iekokluzywości ie moża podjąć decyzji) Pomiędzy estymatorem r 1 a statystyką Durbia-Watsoa d zachodzi relacja: d 1 r 1 W przypadku stwierdzeia autokorelacji mamy możliwości: usuąć przyczyy autokorelacji zastosować procedury estymacji w warukach autokorelacji (p uogólioą metodę ajmiejszych kwadratów) pozostać przy metodzie ajmiejszych kwadratów godząc się z miejszą efektywością estymatorów Test D-W przykład Zbadaj czy występuje autokorelacja składika losowego w modelu sprzedaży samochodów po obliczeiu statystyki d=,741 d'=1,59 =1 i K= liczba zmieych objaśiających d L =0,81 d U = 1,579 XERO Kukuła s. 58 zrobić poieważ <d' < to ie moża podjąć decyzji czy autokorelacja jest istota czy ie (powiiśmy zastosować iy test a badaie autokorelacji) 11

12 oszacujemy estymator r 1 ze wzoru: r 1 = t = u t. u t 1 u t t=1 = 1,60 3,71 = 0,431 Jedorodość wariacji W związku z tym spełioa jest zależość // w związku z czym? T = i I i =k i. // rówe czy róże gdzie k i współczyiki wyrażeia zmieości wariacji składika losowego dla i-tej obserwacji (i=1,,... ) Jedorodość wariacji test Goldfelda-Quadta W teście tym próbę statystyczą dzieli się a dwie pod próby ( 1 i ) tak, że: 1. 1 = tz wszystkie obserwacje z próby statystyczej są uwzględioe lub. 1 (liczba pomiiętych obserwacji ie może przekraczać 1/3 obserwacji 0,33) //jeśli liczba jest parzystą to ie pomija się żadej?? //(a kolokwium poda jak ma być dzieloa próba) geeralie przyjmujemy że 1 = Dla obu pod prób szacowae są parametry strukturale modelu Dla tak oszacowaych modeli liczy się wariacje resztowe S u1 i S u // i stosujemy zwykły test Fischera-Stedeckora a rówość wariacji ( ie było?) W teście Goldfelda-Quadta weryfikujemy hipotezę: H 0 : 1 = H 1 : 1 wobec hipotezy alteratywej Jeżeli prawdziwa jest hipoteza zerowa wówczas stosuek wariacji reszt F = S u1 S u ma rozkład F Fischera-Sedecora o m 1 = k i m = 1 k stopiach swobody Jeżeli F F ;m1, m to hipotezę zerową odrzucamy a rzecz hipotezy alteratywej. Przykład 1 //zał do wykładu Próbę statystyczą podzieloo a 1 =5i =5 Dla obu pod prób oszacowao modele S u1 =0,338 S u =1,053 1

13 F= 3,115 F 0,05,5 1,5 3 =19,0 3,115 < 19 ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej, możemy przyjąć że wariacje w obu podpróbach 1 i są rówe. Ozacza to że wariacja jest jedoroda. Normalość Poprawa iterpretacja testu F i testu t czyli testów istotości zmieych objaśiających jest możliwa pod warukiem przyjęcia założeia stwierdzającego że rozkład składika losowego modelu jest rozkładem ormalym - N 0, w tym celu użyjemy testu asymetrii i kurtozy (kolejy momet cetraly) Normalość - test Jarque-Bera Testowae są hipotezy: H 0 : składik losowy ma rozkład ormaly przy hipotezie alteratywej H 1 : składik losowy modelu ie ma rozkładu ormalego Do oszacowaia wartości statystyki Jarque-Bera tego testu wyzaczamy ajpierw S= 1 u t t=1 Następie obliczamy : = B u 3 t asymetria t=1 S B = 1 t =1 u t 4 S 4 kurtoza statystyka Jarque-Bera ma postać: JB= B 1 6 B 3 4 JB rozkład chi-kwadrat z dwoma stopiami swobody. Krytyczą wartością testu a poziomie istotości =0,05 odczytaą z tablic wartości rozkładu jest liczba : 5,991 Jeżeli JB 5,991 to hipotezę H 0 o ormalości rozkładu składika losowego ależy odrzucić 13

14 Przykład: H 0 składik losowy modelu ma rozkład ormaly H 1 składik losowy modelu ie ma rozkładu ormalego robimy tabelkę w arkuszu u u u 3 u 4 // z którego przykładu?? sumy: 3,71-0,79 3,19 zatem S= 1 t=1 1 t=1 = u 3,71 t 1 =0,556 3 u 3 = 1 t S = 3 B 1 u S 3 t = 0,147 t=1 B = 1 4 u t t =1 S = 1 u S 4 t = t=1 1 0, ,19 =,78 ostateczie otrzymujemy JB= B 1 6 B 3 =0,318 4 Poieważ JB<5,991 ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy zerowej głoszącej o ormalości rozkładu składika losowego. Możemy przyjąć, że rozkład jest ormaly dotąd a 3+ :) Co to jest progozowaie Progozowaie to przewidywaie przyszłych zdarzeń, a jego celem jest zmiejszeie ryzyka w procesie podejmowaia decyzji. Fukcje progozowaia: tworzeie przesłaek do podejmowaia decyzji aktywizująca iformacyja przygotowuje as a zmiay Progozy muszą być wiarygode Dokładość progoz Wyróżiamy dwa rodzaje mierików dokładości predykcji, a miaowicie: mieriki dokładości ex ate (ocey błędu ex ate) mieriki dokładości ex post (błędy ex post) // mówią o dokładości modelu Zasada predykcji ieobciążoej Zasada predykcji ieobciążoej polega a tym, że: y T p =E Y T T-horyzot progozy Y T zmiea progozowaa p y T progoza zmieej Y T w okresie T E Y T wartość oczekiwaa rozkładu zmieej progozowaej Y T w okresie T 14

15 y p T =E Y T / f y t Własość zasady predykcji ieobciążoej daa jest wzorami: E Y T y p T =0 V =E Y T y p T mi Zasada predykcji oparta a przedziale ufości p.. moża sformułować w postaci astępującej reguły ależy wskazać taki przedział I T zachodziła rówość P y T I p T =1 ; 1 0,90 p gdzie I T przedział predykcji poziom istotości ( 1 wiarygodość predykcji) y T wartość zmieej progozowaej Y T w okresie T aby Progozowaie a podstawie klasyczych modeli tredu W szeregach czasowych moża wyróżić dwie składowe: składową systematyczą składową przypadkową (zwaą też składikiem losowym lub wahaiami przypadkowymi) Składowa systematycza może wystąpić w postaci 1. Tredu. Stałego (średiego) poziomu 3. Składowej periodyczej: wahaia cyklicze, p tygodiowe wahaia sezoowe (rocze) Model tedecji rozwojowej... moża zapisać ogólie y t = F [ f t, i t, t ] gdzie f(t) fukcja tredu i t wahaia periodycze, t wahaia przypadkowe Jeżeli powiązaia między składowymi szeregu czasowego są typu y t = f t i t t i=1 to model osi azwę modelu addytywego // mówi o bezwzględie stałych odchyleiach od modelu w przypadku y t = f t [1 i t ][1 t ] i=1 // mówimy wyższa o 10% - mówi o względie stałych odchyleiach od tredu 15

16 to model osi azwę modelu multiplikatywego Modele tedecji rozwojowej Najczęściej stosowae postacie aalitycze fukcji tredu fukcja liiowa y t = 1 t 0 t fukcja wykładicza y t =e 1 t 0 t lub y t = 0 1 t e 1 fukcja logistycza y t = e t t // wykres dochodzący Przykład zał do wykładu Progoza puktowa, tred liiowy. y T p =a 1 T a 0 (T=+1, +,...) Tred liiowy liczba studetów w szkole X progoza a 007 zatem po oszacowaiu otrzymujemy model y t =0,770 t10,67u t czyli z roku a rok ilość studetów rośie o 0,770 tysiąca (iterpretacja a 1 ) Czyli progoza puktowa a =1 (007) p y T =1 = 0, ,67 = 19,503 Spodziewaa liczba studetów w 007 roku wyosi 19,503 tysiąca osób Wahaia sezoowe model Kleia Y t = f t 1 V 1t V t... m V mt i - to wskaźiki sezoowości V - to zmiee przyjmujące wartości 0 a 1 w swoim okresie Dla addytywych wahań sezoowych zachodzi: m i=1 i =0 wtedy więc m 1 m = i i =1 Podstawiając do modelu wyjściowego otrzymujemy: Y T = f t 1 V 1t V mt V t V mt... m 1 V m 1t V mt t 16

17 w przypadku daych półroczych (wahań o długości cyklu ) cała procedura wygląda astępująco Y t = 1 t 1 V 1t V t 0 t dla modelu zachodzi relacja m 1 m = i tz = 1 i =1 Podstawiając relację do modelu otrzymujemy: Y t = 1 t 1 V 1t V t 0 t Model Kleia progozowaie Progoza puktowa Y T P =a 1 T b V 1T V T a 0 (T=+1, +,...) Błąd ex ate progozy * // jeszcze wróci V = X P T D a X P S u gdzie X p wektor wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym D a macierz wariacji i kowariacji estymatorów, S u wariacja resztowa Przykład 3 zał przedsiębiorstwo budowlae parametry przy t: iterpretacja Z półrocza a półrocze sprzedaż budowlaa przedsiębiorstwa rośie o 0,375 ml złotych przy czym w pierwszym półroczu sprzedaż budowlaa jest miejsza o 1,5 ml złotych a w drugim większa o 1,5 ml złotych iż by to wyikało z tredu Progoza a 006: Y I 006 =0, ,510,3 = 1,85 ml zł Y II 006 =0,375 11,510,3 = 16,5 ml zł czterookresowe są w xero też będą a kolokwium wykład ekoometria 3/ Predykcja a podstawie liiowego modelu jedorówaiowego y= X Progoza puktowa y T P =a 1 x 1T a x T...a k x kt a 0 gdzie x 1T, x T wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym Błąd ex ate progozy 17

18 V = X T P D a X P S u X P wektor wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym Względy błąd progozy wyosi V * = V y 100 P T V * Estymacja przedziałowa przedział ufości Przedział predykcji a okres lub momet T a podstawie omawiaego modelu ajczęściej buduje się symetryczie wokół progozy P y T P t ; k V y T y T P t ; k V =1 Wartości zmieych objaśiających Ustaleie wartości zmieych objaśiających w okresie progozowaym 1. Na poziomie plaowaym p wydatki a reklamę.. Poprzez zbudowaie odpowiedich fukcji tredu i ich ekstrapolacje. 3. Budowa osobego modelu ekoometryczego (przyczyowo-skutkowego) 4. Obliczeie zbioru progoz zmieej objaśiaej odpowiadającym różym praktyczie możliwym wartościom zmieych objaśiających w okresie T NP Y T =3,45 x 1t 1,55 x t 15u t gdzie x 1t - dochody ludości w setkach zł - cea przecięta telewizora x t Sprawdź czy progoza jest dopuszczala a poziomie 5% wiedząc że S U =1, // a we wzorze ma być S U :) a macierz wariacji i kowariacji estymatorów ma postać: 0,08 0,06 0,40 D a=[ ] 0,06 0,5 1,0 0,40 1,0,00 Progoza dla dochodów X P 1T =1,48e 0,1 14=6,00=6,00 Progoza dla cey: wzrost 10% więc X P T =7 1,1=7,7 Progoza dla y: y T P =3,45 6 1,55 7,715=3,765 18

19 Spodziewaa sprzedaż telewizorów w 006 roku wyiesie 3,765 tys. sztuk Błąd progozy ex ate V = X P T D a X P S u =[6,0 7,71][ D a] [ 6,0 7,7 1 ] 1, =1,96651,44=1,846 ^ tu wartości a okres progozoway!! V * = V 1, = 100 =7,8 P y T 3,765 Rzeczywista realizacja popytu a telewizory odchylać się będzie od postawioej progozy +_ 1,846 tys sztuk co staowi 7,8% zmieej progozowaej Nasza progoza ie jest dopuszczala. P 3,765,8 1,846 y T 3,765,8 1,846=1 0,05 P 19,65 y T 7,88=0,95 Z prawdopodobieństwem 95% przedział o końcach (19,65; 7,88) pokryje iezaą, rzeczywistą realizację popytu a telewizory w tys. sztuk. Elastyczość Niech będzie day model ekoometryczy y= f x 1, x,..., x k 1 Model te jest odzwierciedleiem relacji między procesami lub zdarzeiami gospodarczymi i społeczymi Iterpretacja parametrów modeli liiowych współczyiki proporcjoalości ieliiowych iformacja jak zmieia się szybkość reakcji w zależości od zmia zmieej objaśiającej Miary elastyczości są jedym ze sposobów wioskowaia a podstawie modeli ekoometryczych Elastyczość jest miarą względych zmia zmieej edogeiczej wywołaych określoymi, względymi zmiaami zmieej objaśiającej. Jak zmiei się wartość zmieej edogeiczej, przy założeiu względej zmiay zmieej objaśiającej, lub o ile powia zmieić się określoa zmiea egzogeicza, aby zmiea objaśiaa wzrosła o p procet. NP firma chce zwiększyć sprzedaż o 10% - o ile trzeba zwiększyć wydatki a marketig? W zależości od zaistiałej sytuacji lub waruków moża wykorzystać mierik elastyczości klasyczej, do 10% mierik elastyczości różicowej, powyżej 10% mierik elastyczości całkowitej, modele wielorówaiowe 19

20 Elastyczość klasycza: 1. Występują małe zmiay zmieej x tz X 0 X X 0,1. Zmiay wyróżioej zmieej objaśiającej ie wywołują zmia iych zmieych Elastyczość klasyczą zmieej edogeiczej y względem x i defiiujemy jako xi = y x i x i f x 1,..., x k 1 Elastyczość klasycza przyjmuje róże wartości w zależości od dziedziy modelu ekoometryczego zatem często azywa się ją jako elastyczość puktową Efekt względych zmia zmieej objaśiaej wywołaych określoą zmiaą wyróżioej zmieej objaśiającej moża wyzaczyć ze wzoru: y y = x i xi x i Łączy względy wpływ wszystkich zmieych moża zapisać jako y k 1 y = i =1 xi x i x i Przykład 1 str 5 załączik trzeba zać pukt dziedziy żeby wyzaczyć elastyczość w tym pukcie x1 wraz ze wzrostem dochodów ludości o 1% popyt wzrośie o 0,979% zakładając że dochody wyoszą 300 a cea 4000 zł (pukt dziedziy dla którego policzoe) x wraz ze wzrostem cey samochodów o 1% popyt spadie (zmaleje) o 0,559% zakładając - - Założeie: dochody wyoszą 300 a cea 4000: a) jeżeli dochody ludości wzrosą o % popyt wzrośie o 1,96% b) zmaleje o 5,17% c) zakładając zwiększeie dochodów o % aby sprzedaż wzrosła o 6% cea powia zmaleć przyajmiej o 7,3% Przykład str 7 zał wykładiki modelu potęgowego są elastyczościami, elastyczości te są stałe w całej dziedziie Wraz ze wzrostem wartości maszy i urządzeń o 1% wartość produkcji wzrośie o 0,61% przy założeiu że liczba zatrudioych ie ulegie zmiaie Wraz ze wzrostem liczby zatrudioych o 1% wartość produkcji wzrośie o 0,3% przy założeiu że wartość maszy i urządzeń ie ulegie zmiaie. Przykład iterpretacja: Jeżeli liczba zatrudioych spadie o 3% a wartość maszy i urządzeń wzrośie o 5% to wartość produkcji wzrośie o,09% Przykład 3 str 7 iterpretacja wzoru wydatki a rozrywkę mają miejsce gdy dochód przekroczy 713,41 zł 0

21 maksymaly poziom wydatków a rozrywkę wyosi 467,6 # Domek jeżeli dochody wzrosą o 1% przy poziomie 1000 to wydatki a rozrywkę wzrosą o 3,7% Jeżeli dochody wzrosą o 1% przy poziomie 3000 to wydatki a rozrywkę wzrosą o 0,86% Elastyczość ceowa, elastyczość dochodowa Jeżeli x i są to cea i dochód to mówimy: p = 1 to popyt a dae dobro jest popytem eutralym lub też określay jest jako popyt jedostkowy p 1 to popyt elastyczy p 1 to popyt azywamy popytem sztywym Przy wysokiej elastyczości dochodowej (dodatiej) rozwój gospodarczy jest czyikiem korzystym dla przedsiębiorstwa 1

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2. Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o

1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o 1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do laboratorium 1

Wprowadzenie do laboratorium 1 Wprowadzeie do laboratorium 1 Etymacja jedorówaiowego modelu popytu a bilety loticze Etapy budowy modelu ekoometryczego Specyfikacja modelu Zebraie daych tatytyczych Etymacja parametrów modelu Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału

Bardziej szczegółowo

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja

Podstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY

STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,

Bardziej szczegółowo

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Statystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie

Bardziej szczegółowo

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki

Bardziej szczegółowo

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871

COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym) Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)

Bardziej szczegółowo

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 + Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii. TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla

Bardziej szczegółowo

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Parametryczne Testy Istotności

Parametryczne Testy Istotności Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać

Bardziej szczegółowo

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7 Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8

Statystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8 Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś

STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś 1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna 2-2

Ekonomia matematyczna 2-2 Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia

Plan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk

Bardziej szczegółowo

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem

d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS

Analiza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska

Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska Statystyka Katarzya Chudy Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Celem aalizy statystyczej ie jest zwykle tylko opisaie (prezetacja) posiadaych daych, czyli tzw. próby statystyczej.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Model ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.

Model ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej. Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą EKONOMETRIA Tema wykładu: Liiowy model ekoomeryczy (regresji z jedą zmieą objaśiającą Prowadzący: dr iż. Zbigiew TARAPATA e-mail: Zbigiew.Tarapaa Tarapaa@isi.wa..wa.edu.pl hp:// zbigiew.arapaa.akcja.pl/p_ekoomeria/

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora

Analiza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia

Bardziej szczegółowo

Statystyka Wzory I. Analiza struktury

Statystyka Wzory I. Analiza struktury Uiwersytet Ekooiczy w Katowicach Wzory I. Aaliza struktury 1. Miary tedecji cetralej (średie, przecięte Średia arytetycza Dla sz. ważoego Dla sz. ważoego dla z. ciągłej Dla szeregu wyliczającego: dla zieej

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

a) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, )

a) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, ) PROGRAMOWANIE W JĘZYU OGII WPROWADZENIE OGIA PIERWSZEGO RZĘDU Symbole języka pierwszego rzędu dzielą się a: a symbole logicze (wspóle dla wszystkich języków zmiee przedmiotowe: x y z stałe logicze: symbole

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych Ocea dopasowaia modelu do dach empirczch Po oszacowaiu parametrów modelu ależ zbadać, cz zbudowa model dobrze opisuje badae zależości. Jeśli okaże się, że rozbieżość międz otrzmam modelem a dami empirczmi

Bardziej szczegółowo