METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński

Transkrypt

1 Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński Pok. 151 Wykład /1

2 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład /

3 Aproksymacja fukcji jedej zmieej Daa jest fukcja jedej zmieej gdzie y f ( x) x[ a, b] Fukcja ta podaa jest w postaci wzoru aalityczego lub w postaci zbioru puktów f ( x ) y, f ( x ) y,..., f ( x ) y 1 1 Celem aproksymacji jest dobór takiej fukcji F( x, p,..., p ), x[ a, b] 0 aby w sesie przyjętego kryterium fukcja ta możliwie dokładie odtwarzała przebieg fukcji f (x). k Wykład /3

4 Aproksymacja fukcji jedej zmieej Jeżeli fukcja daa jest w postaci dyskretej (zbioru puktów) to aproksymację azywamy puktową, a jeżeli w postaci wzoru aalityczego, to mówimy o aproksymacji itegralej. Wykład /4

5 Aproksymacja fukcji jedej zmieej Kryteria aproksymacji puktowej dla fukcji jedej zmieej kostruuje się tak, aby zmiimalizować różice pomiędzy wartościami daej fukcji f (x) w puktach (x i, y i ), i = 1,,, a wartościami fukcji F (x, p 0,, p k ) w tych samych puktach. Wprowadzamy pojęcie odchyłki: F( x, p,..., p ) y mi, i 1,,..., i i 0 k i Należy tak dobrać parametry p 0,, p k wzoru empiryczego, aby spełioe było kryterium miimalizacji odchyłki. Wykład /5

6 Wykład /6 Aproksymacja fukcji jedej zmieej

7 Aproksymacja fukcji jedej zmieej W literaturze moża spotkać astępujące kryteria miimalizacji odchyłek metoda wybraych puktów, metoda średich, metoda sumowaia bezwzględych wartości, metoda ajmiejszych kwadratów. Wykład /7

8 Metoda ajmiejszych kwadratów Kryterium tej metody polega a takim doborze współczyików fukcji F (x, p 0,, p k ), aby 0 k i i 0 k i i1 i1 S( p,..., p ) F( x, p,..., p ) y mi Wykład /8

9 Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Rozpatrujemy zbiór puktów ( x, y ), ( x, y ),..., ( x, y ) 1 1 którego aproksymacją ma być fukcja liiowa y p p x 0 1 Zgodie z kryterium metody ajmiejszych kwadratów S( p, p ) p p xi yi mi i1 Wykład /9

10 Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Wykład /10 Warukiem koieczym dla istieia ekstremum fukcji dwóch zmieych jest zerowaie się odpowiedich pochodych cząstkowych: S( p0, p1) p0 S( p0, p1) p1 Otrzymujemy zatem astępujący układ rówań: S p0 p1xi yi 0 p0 i1 S p0 p1xi yi xi 0 p1 i1 0 0

11 Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Układ te moża zapisać w astępującej postaci: lub macierzowo: p0 p 1 xi yi i1 i1 p x p x x y 0 i 1 i i i i1 i1 i1 xi yi i1 p 0 i1 p 1 xi x i xi yi i1 i1 i1 Wykład /11

12 Aproksymacja liiowa fukcji jedej zmieej Rozwiązując układ rówań dowolą metodą moża obliczyć parametry p 0 i p 1 p.: 1 X P Y P X Y Wykład /1

13 Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Przykład 1: Dla zbioru puktów P( x, y ), i 1,,..., i i i dobrać wzór aproksymujący w postaci: y p p x p x 0 1 Wykład /13

14 Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Wykład /14 Wykorzystując kryterium metody ajmiejszych kwadratów i i i S( p, p, p ) p p x p x y = mi i1 możemy zapisać astępujący układ rówań: S p0 S p1 S p p 0 p1 xi p xi yi 1 0 i1 p 0 p1 xi p xi yi xi 0 i1 p0 p1 xi p xi yi xi 0 i1

15 Aproksymacja kwadratowa fukcji jedej zmieej Zapis macierzowy: x i xi yi i1 i1 i1 p 0 3 xi xi x i p 1 xi y i i1 i1 i1 i1 p 3 4 x i x i xi xi yi i1 i1 i1 i1 Z powyższego układu rówań wyzacza się p 0, p 1, p. Wykład /15

16 Aproksymacja fukcji jedej zmieej Przykład : Dla zbioru puktów P( x, y ), i 1,,..., i i i dobrać wzór aproksymujący w postaci: 1 y b0 b1 b x x Wykład /16

17 Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład /17 Wykorzystując kryterium metody ajmiejszych kwadratów 1 ( 0, 1, ) 0 1 i i = mi i1 xi S b b b b b b x y zapisujemy astępujący układ rówań: S 1 b0 b1 b xi yi1 0 b0 i1 xi S b0 b1 b xi yi b1 i1 xi xi S 1 b0 b1 b xi yi xi 0 b i1 xi

18 Aproksymacja fukcji jedej zmieej Zapis macierzowy: 1 x i yi i 1 x i i1 i1 b yi b 4 1 i 1 xi i 1 x i i1 x i b 4 xi xi xi yi i1 i1 i1 Z powyższego układu rówań wyzacza się b 0, b 1, b. Wykład /18

19 Metody Numerycze Iterpolacja fukcji jedej zmieej Wykład /19

20 Iterpolacja - defiicja Daa jest fukcja: y f x x x x ( ), 0, dla której zamy tablicę jej wartości f ( x ) y, f ( x ) y,..., f ( x ) y Wartości tworzące +1 par puktów ( x, y ),( x, y ),...,( x, y ) zwae są węzłami iterpolacji. Wykład /0

21 Iterpolacja - defiicja Celem iterpolacji jest wyzaczeie takiej fukcji W(x), aby: W( x ) y, W( x ) y,..., W( x ) y Fukcja ta azywaa jest wielomiaem iterpolacyjym i węzłach iterpolacji przyjmuje takie same wartości co fukcja y = f (x). Wykład /1

22 Iterpolacja - defiicja Wielomia iterpolacyjy defiiuje się jako kombiację liiową + 1 fukcji bazowych i współczyików a i W ( x) a ( x) i0 i i a i współczyiki wielomiau iterpolacyjego i (x) przyjęte fukcje bazowe Wykład /

23 Iterpolacja - defiicja Defiiując: Φ ( x), ( x), ( x),..., ( x) 0 1 X 0( x0 ) 1( x0 )... ( x0 ) 0( x1 ) 1( x1 )... ( x1 ) ( x ) 1( x )... ( x ) A a a a 0 1 Y y y y 0 1 wtedy: W( x) XA Y 1 X Y Wykład /3

24 Iterpolacja aturala Fukcje bazowe: ( x) x 1, ( x) x, ( x) x,..., ( x) x Postać wielomiau iterpolacyjego: W x a a x a x a x ( ) Wykład /4

25 Iterpolacja aturala Opierając się a waruku koieczym istieia iterpolacji: a a x a x... a x y a a x a x a x y moża zapisać, że a a x a x... a x y 0 1 AX Y X 1 x0... x 0 1 x1... x x... x a a A a 0 1 Y y y y 0 1 Wykład /5

26 Iterpolacja aturala Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (1,3) (,5) (4,7) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) Wykład /6

27 Iterpolacja aturala 0 1 x0 x0 x 0 a0 y x1 x1 x 1 a 1 y x x x a y a ( ) ( ) ( ) a a a a a 7 Wykład /7

28 Iterpolacja aturala 1 A X Y 1 1 a0 3, a1, a 3 3 W ( x) a a x a x W ( x) 3 x x 3 3 Wykład /8

29 Iterpolacja Lagrage a Fukcje bazowe: ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) i ( x) ( x x1 ) x x x xi 1 x xi 1 x x ( )...( )( )...( )... ( x) ( x x )( x x )( x x )...( x x ) Dla każdej i (x), i = 0, 1,..., brakuje składika (x - x i )!!! Wykład /9

30 Iterpolacja Lagrage a Postać wielomiau iterpolacyjego: W ( x) a ( x) a ( x)... a ( x) a ( x x )( x x )...( x x ) 0 1 a ( x x )( x x )...( x x ) a( x x0 )( x x1 )...( x x 1) Wykład /30

31 Iterpolacja Lagrage a Macierz X: X 0( x0) ( x1) ( x) ( x) Dla puktu x i wszystkie fukcje bazowe oprócz i (x) zerują się, bo występuje w ich składik (x - x i ) Wykład /31

32 Iterpolacja Lagrage a Poieważ macierz X ma tylko główą przekątą iezerową to: a a 0 1 y0 y0 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) y1 y1 ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) a y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x ) 1 1 Wykład /3

33 Iterpolacja Lagrage a Przykład Dla podaych węzłów zapisz: macierze układu rówań, z których wyzacza się współczyiki wielomiau iterpolacyjego dla iterpolacji wielomiaowej wielomia iterpolacyjy Węzły: (,3) (0,5) (, 3) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) Wykład /33

34 Iterpolacja Lagrage a (,3) (0,5) (, 3) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) W ( x) y y y ( )( ) ( )( ) ( )( ) x0 x1 x0 x x1 x0 x0 x x x0 x x1 ( x0)( x) x ( ) ( x ) x ( ) ( x 0) W( x) 3 5 ( 3) ( 0)( ) 0 ( ) (0 ) x ( ) ( 0) ( x 0)( x ) ( x )( x ) ( x )( x 0) W( x) ( 0)( ) (0 )(0 ) ( )( 0) Wykład /34