MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum"

Transkrypt

1 MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu klasy pierwszej i drugiej liceum a poziomie podstawowym. Test zbudoway jest w oparciu o podstawę programową z matematyki dla szkół poadgimazjalych z uwzględieiem stadardów wymagań egzamiacyjych. Do testu dołączoy jest model odpowiedzi i schemat oceiaia. Czas pracy: 0 miut Maksymala liczba puktów: 50 Zadaie. (3 pkt) Rozwiąż ierówość ( x 3) x 5. Zbiór rozwiązań tej ierówości zapisz w postaci x a + b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi. Podaj ajmiejszą liczbę całkowitą ie spełiającą tej ierówości. Zadaie. ( 3 pkt) Daa jest fukcja f : R R określoa wzorem f ( x) = (m + ) x + (3m ) a) Wyzacz wartość m, dla której miejscem zerowym fukcji f jest liczba (-). b) Wyzacz wartość m, dla której prosta będąca wykresem fukcji f tworzy z osią OX kąt rozwarty. c) Wyzacz wartość m, dla której fukcja f jest rosąca. Zadaie 3. (5 pkt) Dae są zbiory liczb A = x : x R x + 3 < 5 { } { x : x R x } B = x Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory A, B, A B, A B, B\A. Zadaie 4. (3 pkt) Fukcja kwadratowa f ( x) = x + bx + c jest malejąca w przedziale (, 3 i rosąca w przedziale 3, + ). Wierzchołek paraboli będącej wykresem fukcji f ależy do prostej k: y + x 5 = 0 a) Wyzacz współczyiki b i c. b) Oblicz miejsca zerowe fukcji f. Zadaie 5. (4 pkt) 3 Day jest wielomia W ( x) = x + kx + 4x 8, x R a) Wyzacz wartość parametru k tak, aby reszta z dzieleia wielomiau W(x) przez dwumia (x+) była rówa (-6). b) Dla wyzaczoej wartości k rozłóż wielomia a czyiki liiowe. c) Rozwiąż ierówość W ( x) > 0.

2 Zadaie 6. (4 pkt) Daa jest fukcja określoa wzorem f ( x) =, x R \ {} 0. x a) Oblicz wartość fukcji f dla argumetu 5. b) Oblicz dla jakich argumetów fukcji f osiąga wartości większe od. c) Podaj wzór fukcji g(x) = f(x-3) i określ jej dziedzię. Zadaie 7. (6 pkt) Prosta k: 3 x y 3 = 0 przecia parabolę y = x x + 3 w puktach A i B. a) Wyzacz współrzęde puktów A i B. b) Oblicz odległość wierzchołka paraboli od prostej k. c) Napisz rówaie okręgu, którego średicą jest odciek AB. Zadaie 8. (3 pkt) W baku A kapitalizacja odsetek astępuje co kwartał i lokaty oprocetowae są w wysokości 0% w stosuku roczym, zaś w baku B kapitalizacja odsetek astępuje dopiero po roku, ale lokata jest oprocetowaa w wysokości % w stosuku roczym. Wybierz bak, w którym korzystiej moża lokować kapitał a jede rok. Zadaie 9. (6 pkt) Liczby 5, 8, są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetyczego ( ) a) Podaj wzór ogóly ciągu ( a ). b) Określ, które wyrazy ciągu ( a ) ależą do przedziału (63, 74. c) Dla jakiej wartości x wyrazy a, x, a 0 są trzema kolejymi wyrazami rosącego ciągu geometryczego? a. Zadaie 0. (4 pkt) Szklarz ma oszklić oko, którego szyba ma kształt i wymiary przedstawioe a rysuku obok. Szybę tą wycięto z prostokątej tafli szkła o wymiarach,m 0, 6m. Oblicz powierzchię szyby i podaj jaki procet staowią odpady szkła przy jej wyciaiu. Wyik podaj w metrach kwadratowych z dokładością do 0,. Zadaie. (9 pkt) W trapezie opisaym a okręgu kąty między wysokością a ramioami trapezu mają miary 30 0 i 60 0, a długość wysokości tego trapezu jest rówa 6. Sporządź odpowiedi rysuek i ozacz jego elemety. Oblicz długości podstaw, obwód i pole tego trapezu.

3 MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA. Numer zadaia Numer czyości Etapy rozwiązaia zadaia Liczba puktów Rozwiązaie ierówości: x. Zapisaie zbioru rozwiązań ierówości w żądaej postaci: x.3 Zapisaie ajmiejszej liczby całkowitej ie spełiającej daej ierówości: szukaą liczbą jest (-). Wyzaczeie wartości m, dla której miejscem zerowym fukcji f jest liczba (-): m=3 Wyzaczeie wartości m, dla której prosta będąca wykresem fukcji f tworzy z osią OX kąt rozwarty:. m, Wyzaczeie wartości m, dla której fukcja f jest.3 rosąca: m, + Rozwiązaie ierówości z wartością bezwzględą 3. i zapisaie rozwiązaia w postaci przedziału liczbowego: A=(-8,) 3. Rozwiązaie ierówości kwadratowej i zapisaie zbioru B w postaci przedziału liczbowego: B=, Wyzaczeie sumy zbiorów A i B: ( 8, Wyzaczeie iloczyu zbiorów A i B:, ) 3.5 Wyzaczeie różicy B\A:, 3 4. Wyzaczeie współrzędych wierzchołka paraboli: W=(3,-) 4. Zapisaie wzoru trójmiau w postaci kaoiczej, przekształceie do postaci ogólej i odczytaie współczyików b i c: b=-6, c=8 4.3 Obliczeie miejsc zerowych fukcji kwadratowej: x =, x =4 5. Zapisaie waruku W(-)=-6 5. Rozwiązaie powyższego waruku: k=4 5.3 Rozłożeie wielomiau W a czyiki liiowe: W ( x) = ( x )( x + )( x ) Rozwiązaie ierówości wielomiaowej: x (, ) (,) 5.4 3

4 Obliczeie wartości fukcji f dla x= : 5 f ( ) = Zapisaie i rozwiązaie ierówości > : x ( 0,) x 6.3 Zapisaie wzoru fukcji g: g ( x) = x Wyzaczeie dziedziy fukcji g: D g = R \ {} 3 7. Wyzaczeie puktów wspólych prostej i paraboli: A=(-6,-), B=(,0) 7. Wyzaczeie współrzędych wierzchołka paraboli: W=(-, 4) 7.3 Obliczeie odległości puktu od prostej: d(w,k)= Wyzaczeie współrzędych środka odcika AB: S=(-,5;-0,5) Obliczeie długości promieia szukaego okręgu: r = AB = 0 Zapisaie rówaia okręgu: ( x + ) + ( y + ) = 4 Zapisaie prawidłowego algorytmu do wyzaczeia 8. wysokości lokaty w przypadku oferty baku A:,55065K 0 Zapisaie prawidłowego algorytmu do wyzaczeia 8. wysokości lokaty w przypadku oferty baku B:,K Wybraie korzystiejszej oferty: oferta baku A Wyzaczeie pierwszego wyrazu i różicy ciągu 9. arytmetyczego oraz wyzaczeie wzoru a a : a =5, r=3, a = 3+ Ułożeie i rozwiązaie układu ierówości > 63, 0, Sformułowaie odpowiedzi: a, a, a 3, a Wyzaczeie wyrazów ciągu: a =8, a 0 =3 Wykorzystaie defiicji lub własości ciągu 9.5 geometryczego do zapisaia rówaia z jedą iewiadomą. 9.6 Rozwiązaie rówaia i podaie odpowiedzi: x=6 0. Obliczeie powierzchi szyby: P sz = 0,5m 0. Obliczeie pola iewykorzystaej części materiału: P o = 0,m Obliczeie jaki procet tafli szkła staowią odpady 0.3 i zaokrągleie wyiku do 0,: 4,5% 4

5 .. Sporządzeie rysuku z odpowiedimi ozaczeiami.. Obliczeie długości ramio trapezu: c= 4 3, d=.3 Obliczeie długości rzutów prostokątych ramio trapezu a dłuższą podstawę trapezu: x = 3, y = Obliczeie długości podstaw trapezu: a = , b = Obliczeie obwodu trapezu: Obw = 8 ( 3 + 3).6 Obliczeie pola trapezu: P=(3+ 3) Za prawidłowe rozwiązaie każdego z zadań ią metodą od przedstawioej w schemacie przyzajemy maksymalą liczbę puktów. Literatura:. Matura w owej formule z matematyki praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliy Nahorskiej.. Matematyka - zbiór zadań dla liceów i techików, klasa II K. Kłaczkow, M. Kurczak, E. Świda. 5

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzoy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocicze dla ucziów i auczycieli Cetrala Komisja Egzamiacyja 05 Zadaia 5 Zadaia Liczby rzeczywiste i wyrażeia algebraicze Rówaia i

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz puktowaia

Bardziej szczegółowo

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony). Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

NOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w

NOWA MATURA 2005 ( ) ( ) Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązania zadań. 9 maja = + i zapisz ją w NOWA MATURA 005 Matematyka Arkusz II treści zadań i rozwiązaia zadań 9 maja 005 ZADANIE ( pkt) Wyzacz dziedzię fukcji f ( x) log ( x x x ) postaci sumy przedziałów liczbowych = + i zapisz ją w x ROZWIĄZANIE

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Ozaczeia: *OZNACZONE ZOSTAŁY TEMATY REALIZOWANE NA OZIOMIE ROZSZERZONYM wymagaia koiecze; wymagaia podstawowe; R wymagaia rozszerzające; D wymagaia dopełiające; W wymagaia wykraczające Temat lekcji Zakres

Bardziej szczegółowo

Poradnik maturzysty matematyka

Poradnik maturzysty matematyka Barbara Kaim-Gwier, Zdzisława Hojacka Poradik maturzysty matematyka stara matura Umiejętości wymagae a pisemym egzamiie dojrzałości z matematyki dla wszystkich profili poza matematyczo-fizyczym (zestawy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa:

Skrypt 12. Funkcja kwadratowa: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 12 Funkcja kwadratowa: 8.

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń: Wymagaia kl. 2 Zakres podstawowy i rozszerzoy Temat lekcji Zakres treści Osiągięcia uczia 1. WIELOMIANY 1. Stopień i defiicja jedomiau, dwumiau, wielomiau współczyiki pojęcie stopia jedomiau i stopia wielomiau

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Przedmiotowy system oceiaia wraz z określeiem wymagań edukacyjych (zakres rozszerzoy) Wymagaia koiecze (K) dotyczą zagadień elemetarych, staowiących swego rodzaju podstawę, zatem powiy być opaowae przez

Bardziej szczegółowo

Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 06/07 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zasady oceiaia rozwiązań zadań Copyright by Nowa Era Sp z oo Próby egzami maturaly z Nową Erą Uwaga: Akceptowae są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP

Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP Matura z matematyki?- MATURALNIE, Ŝe ZDAM! Zadania treningowe klasa I III ETAP I Zadania zamknięte (pkt) Zadanie Liczba - jest miejscem zerowym funkcji liniowej = x + B. f ( x) = x C. f ( x) = x + D. f

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Elżbieta Świda, Marcin Kurczab Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie (matura maj 009) Ciąg ( 3, + 3, 6 +, ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich.

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA ODBIERZ KOD DO GIEŁDY MATURALNEJ Zobacz klucz odpowiedzi Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy CZERWIEC 2014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie Uzupełnia zdający PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY DATA: 25 stycznia 2017 r. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 minut MaturoBranie LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

V. SZCZEGÓŁOWY OPIS STANDARDÓW EGZAMINACYJNYCH

V. SZCZEGÓŁOWY OPIS STANDARDÓW EGZAMINACYJNYCH V. SZCZEGÓŁOWY OPIS STANDARDÓW EGZAMINACYJNYCH Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Zdający potrafi: odczytać informację

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2005

EGZAMIN MATURALNY 2005 EGZAMIN MATURALNY 005 Biulety OKE r.9/004 Iformacje po próbym egzamiie maturalym z matematyki Kraków, sierpień 004 Spis treści: stroa. Zamiast wstępu. Iformacja o wyikach próbego egzamiu z matematyki 5

Bardziej szczegółowo

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zdi Odpowiedzi Pukty Bde umiejętości Obszr stdrdu. B 0 pluje i wykouje obliczei liczbch rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 5508 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 03 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron (zadania 30).. Arkusz zawiera 0 zadań zamkniętych i 0 zadań

Bardziej szczegółowo

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu

Prace semestralne luty 2011 czerwiec Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Prace semestralne luty 2011 czerwiec 2011 Z każdej pracy wybieramy jeden poziom i robimy zadania TYLKO z tego poziomu Praca semestralna nr 1a Semestr II Funkcje, funkcja liniowa. Zadania na ocenę dopuszczającą:

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 3 CZERWCA 2016 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury. Matematyka

Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury. Matematyka Zadania powtórzeniowe przygotowujące do matury Matematyka Spis treści 1 Ciągi liczbowe 3 1.1 Zadania o sposobach opisywania ciągów................... 3 1.2 Zadania o granicach ciągów liczbowych....................

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z NOWINAMI POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z NOWINAMI POZIOM PODSTAWOWY UZUPEŁNIA ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z NOWINAMI POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo