Lista 6. Estymacja punktowa

Transkrypt

1 Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody? Rozwiązaie. Niech X będzie zmieą o rozkładzie jedostajym w przedziale [a, a +. Gęstość rozkładu zmieej X ma postać, dla x [a, a + i 0 poza tym. Pierwszy i drugi momet wyoszą odpowiedio m = E [X = a+ a x dx = a + 2, m 2 = E [ X 2 = a+ a x 2 dx = a 2 + a + 3 oraz wariacja σ 2 = D 2 [X = E [ X 2 E [X 2 = 2 Dalej wykorzystamy tylko momet pierwszy. Niech X, X 2,..., X będzie próbą prostą z rozkładu zmieej X. Na podstawie prawa wielkich liczb zmieą X = X + X X możemy przyjąć jako estymator E [X, w kosekwecji jako estymator parametru a przyjmujemy â ω = X ω 2. Jest to estymator ieobciążoy, bo Poadto E [â = E [ X 2 = a, [ σ 2 = D 2 [â = D 2 X = D [ 2 2 X = 2 2 σ2 = 2. Korzystaliśmy z własości wariacji = : D 2 [X c = D 2 [X, dla dowolego c 2 = : D 2 [X + X X = D 2 [X + D 2 [X D 2 [X dla iezależych zmieych losowych X, X 2, X 3,..., X. Jest to rówież estymator zgody, bo dla dowolego ɛ > 0 stosując ierówość Czebyszewa dostajemy gdy. Pr â a > ɛ ɛ 2 D2 [â = 2ɛ 2 0, W przypadku realizacji x, x 2,..., x próby prostej X, X 2,..., X jako przybliżoą wartość parametru a przyjmujemy x 2 = x + x x 2 a Model 2 metoda mometów, rozkład dyskrety.

2 Zadaie 2. Zaleźć metodą mometów estymator prawdopodobieństwa sukcesu p w pojedyczym doświadczeiu. Następie korzystając z iego oszacować p dla = 00 iezależych i jedakowych doświadczeń, w których otrzymao m = 65 sukcesów. Rozwiązaie. Niech X = będzie zmieą losową w modelu matematyczym doświadczeia losowego. Rozkład mieej X: PrX = = p, PrX = 0 = p. Z określeia X wyika, że P X = x = p x p x, gdzie x = lub 0. Pierwszy i drugi momet wyoszą odpowiedio m = E [X = p, m 2 = E [ X 2 = p oraz wariacja σ 2 = D 2 [X = E [ X 2 E [X 2 = p p Dalej wykorzystamy tylko pierwszy momet. Niech X, X 2,..., X będzie próbą prostą z rozkładu zmieej X. Na podstawie prawa wielkich liczb zmieą X = X + X X możemy przyjąć jako estymator E [X, w kosekwecji jako estymator p przyjmujemy ˆp ω = X ω. Jest to estymator ieobciążoy, bo E [ˆp = E [ X = p, Poadto zauważamy, że σ 2 = D 2 [ˆp = D 2 [ X = D 2 [ X = 2 σ2 = σ2. Jest to rówież estymator zgody, bo dla dowolego ɛ > 0 mamy gdy. P ˆp p > ɛ ɛ 2 D2ˆp = ɛ 2 σ2 0, W przypadku realizacji x, x 2,..., x próby prostej X, X 2,..., X jako przybliżoą wartość parametru p przyjmujemy x = x + x x p W daych z zadaia = 00 i wśród x, x 2,..., x 00 jest m = 65 sukcesów, co daje x 00 = p. Model 3 metoda ajwiększej wiarogodości, rozkład dyskrety Zadaie 3. Zaleźć metodą ajwiększej wiarogodości estymator prawdopodobieństwa sukcesu p w pojedyczym doświadczeiu. Następie korzystając z iego oszacować p dla = 00 iezależych i jedakowych doświadczeń, w których otrzymao m = 65 sukcesów. Rozwiązaie Jak w przykładzie poprzedim, iech X, X 2,..., X będzie próbą prostą z rozkładu zmieej X i x, x 2,..., x jej realizacją. Rozkład zmieej X moża opisać astępująco: PrX = x = p x p x, gdzie x = 0 lub. Tworzymy fukcję ajwiększej wiarogodości Lx, x 2,..., x ; p = PrX = x PrX 2 = x 2... PrX = x = p x p x p x 2 p x 2... p x p x = p x +x 2 + +x p x +x 2 + +x

3 Naszym celem jest wyzaczeie takiej wartości parametru p, że Lx, x 2,..., x ; p osiąga ajwiększą wartość. W tym celu wygodie jest rozważyć rówoważie l Lx, x 2,..., x ; p = x + x x l p + x + x x l p. Poszukiwae p zajdziemy rozwiązując rówaie 0 = p l Lx, x 2,..., x ; p = x + x x p x + x x p. Po rozwiązaiu otrzymujemy p = x + x x. Stąd jako estymator przyjmujemy ˆp = X + X X = X. Model 4 metoda ajwiększej wiarogodości, rozkład ciągły Zadaie 4. Metodą ajwiększej wiarogodości wyzaczyć estymator parametru c w rozkładzie o gęstości Rozwiązaie { 0 dla x < c dla x. x c+ Niech X będzie zmieą losową, której rozkład ma gęstość fx. Niech X, X 2,..., X będzie próbą prostą z rozkładu zmieej X, a x, x 2,..., x jej realizacją. Tworzymy fukcję ajwiększej wiarygodości { c x Lx, x 2,..., x ; c = fx fx 2... fx = x 2...x dla mi{x c+, x 2,... x } 0 poza tym Wyzaczamy wartość parametru c, dla której Lx, x 2,..., x ; c osiąga ajwiększą wartość. W tym celu wygodie jest rozważyć rówoważie l Lx, x 2,..., x ; p = l c c + lx x 2... x. Poszukiwae c zajdziemy rozwiązując rówaie 0 = c l Lx, x 2,..., x ; c = c lx x 2... x. Po rozwiązaiu otrzymujemy c = /l x + l x l x. Stąd jako estymator przyjmujemy ĉ = /l X + l X l X. Zadaie 5. Metodą ajwiększej wiarogodości wyzaczyć estymatory: a parametru p w rozkładzie geometryczym, b parametrów m i σ 2 w rozkładzie ormalym Nm, σ. Zadaie 6. Zbadać ieobciążoość i zgodość estymatorów otrzymaych metodą ajwiększej wiarogodości: a dla parametru λ w rozkładzie Poissoa, b dla parametrów m i σ 2 w rozkladzie ormalym Nm, σ. Zadaie 7. Metodą mometów wyzaczyć estymatory parametrów dla rozkładów podaych w Zadaiu 5 i porówać z estymatorami otrzymaymi metodą ajwiększej wiarogodości.

4 Zadaie 8. Wyzaczyć metodą mometów i metodą ajwiększej wiarogodości estymator parametru a w rozkładzie o gęstości { 2x/a dla 0 < x < a, 0 dla pozostałych x. Zadaie 9. Niech fukcja f określoa wzorem { βa x dla x a, 0 dla pozostałych x. będzie gęstością zmieej losowej. Obliczyć α jako fukcję β. Zaleźć rówaie, którego rozwiązaiem jest estymator parametru β otrzymay metodą ajwiększej wiarogodości. Zadaie 0. Niech fukcja f określoa wzorem { B dla x > 0, +Ax 2 0 dla pozostałych x. będzie gęstością zmieej losowej. Ułożyć rówaie dla estymatora parametru A metodą ajwiększej wiarogodości. Zadaie. Niech { Ax B dla x >, 0 dla pozostałych x. będzie gęstością pewej zmieej losowej, gdzie B > 2. Obliczyć B jako fukcję A. Zaleźć metodą mometów estymator parametru A. Zadaie 2. Niech PrX = k = αβ k, k = 0,, 2,.... Wyraź parametr α w fukcji β, astępie metodą mometów i metodą ajwiększej wiarogodości zajdź estymatory parametru β. Zadaie 3. Niech X, X 2,..., X będzie próbą prostą z rozkładu jedostajego a odciku [0, θ oraz iech Z = maxx, X 2,..., X. a Uzasadić, że dystrybuata statystyki Z wyraża się wzorem 0 dla x 0, F x = x dla 0 < x θ, θ dla x > θ. b Wyzaczyć gęstość zmieej losowej Z. c Wykazać, że estymator T = + Z jest estymatorem ieobciążoym i zgodym parametru θ. Przedziały ufości dla wartości oczekiwaej Model. Niech X,..., X będzie próbą prostą z rozkładu ormalego Nm, σ o iezaym m i zaym σ.

5 Wiadomo, że wtedy statystyka X = X + X X ma rozkład Nm, σ/, atomiast zmiea losowa U = X m σ/ ma rozkład N0,. Dla daego α 0, moża zaleźć u α takie, że Wówczas P u α < U < u α = Φu α Φ u α = α. P u α < X m σ/ < u α = α Stąd przedział ufości dla m a poziomie α ma postać σ m X u α, X σ + u α, a jego długość wyosi l = 2u α σ/. Realizacja przedziału ufości a podstawie wyików losowaia x, x 2, x 3,..., x ma postać σ σ m x u α, x + u α, Zadaie 4. Dla daych 0., 0.5, 0., 0.05, oszacować a poziomie ufości α = 0.9 wartość oczekiwaą przyjmując, że rozkład jest ormaly oraz σ = 0.. Zadaie 5. Z populacji o rozkładzie ormalym Nm, / 20 pobrao próbę pięcioelemetową: 2.5, 2.08, 2.7,.95, 2.5. Zaleźć przedział ufości dla wartości oczekiwaej, a poziomie ufości α = 0.9. Uzasadić odpowiedź. Model 2. Niech X,..., X będzie próbą prostą z rozkładu Nm, σ przy iezaych m i σ. Wtedy wiadomo, że zmiea losowa t = X m, gdzie S 2 S = X i X 2, ma rozkład t-studeta o stopiach swobody. Niech t α ozacza liczbę zajdujemy ją w tablicach rozkładu studeta taką, że i= P t α < t < t α = α, Wówczas Stąd przedział P t α < X m S < t α = α. S m X t α, X S + t α jest przedziałem ufości, dla którego prawdopodobieństwo pokrycia iezaego m wyosi α, a jego długość wyosi S l = 2t α.

6 Realizacja przedziału ufości a podstawie wyików losowaia x, x 2, x 3,..., x ma postać s s m x t α, x + t α Zadaie 6. Wytrzymałość pewego materiału budowlaego ma rozkład ormaly Nm, σ. Próba = 5 elemetowa wylosowaych sztuk tego materiału dała wyiki: x = 208 N/ cm 2, s = 2.8 N/cm 2. Na poziomie ufości 0.99 zbudować przedział ufości dla średiej m. Zadaie 7. Zbadao czas świeceia 26 żarówek i uzyskao: x = 22h i s = 432h. Zakładając, że czas świeceia żarówek ma rozkład ormaly, oszacować metodą przedziałową średi czas świeceia żarówek. Przyjąć poziom ufości Zadaie 8. Dokoao = 7 pomiarów ciśieia w komorze spalaia pewego typu silika rakietowego i otrzymao astępujące wyiki w N/cm 2 : 38.5, 33.6, 303.2, 309.0, 37.0, 324.0, Wiadomo, że ciśieie to ma rozkład ormaly. Metodą przedziałową oszacować średie ciśieie w komorze spalaia tego silika, przyjmując poziom ufości α = Model 3 duża liczość próby. Niech X będzie dowolą zmieą losową o iezaych EX = m i D 2 X = σ 2 > 0. Niech daa będzie próba prosta o dużej liczości p. > 00 składająca się z obserwacji zmieej X. Z twierdzeia Lideberga-Levy ego wyika, że zmiea losowa U = X m σ/ ma w przybliżeiu rozkład N0,. Poieważ S 2 = X i X 2 jest estymatorem σ 2, więc dla dużych moża zastąpić iezay parametr σ 2 statystyką S 2 i dalej postępować podobie jak w modelu. W efekcie otrzymamy przedział ufości, który ma postać S m X u α, X S + u α. a poziomie ufości w przybliżeiu rówym α. Zadaie 9. Próba pobraa z dużej partii lamp elektryczych zawiera 00 lamp. Średia z próby długości czasu bezawaryjej pracy lampy wyosi 000 godzi. Na poziomie ufości α = 0.95 wyzaczyć przedział ufości dla średiej długości czasu bezawaryjej pracy lampy z całej partii, jeśli wiadomo, że średie odchyleie stadardowe długości czasu bezawaryjej pracy lampy wyosi σ = 40 godzi. Zadaie 20. W celu oszacowaia średiego czasu poświęcoego tygodiowo przez studetów a aukę, wylosowao próbę = 32 studetów i otrzymao w iej astępujące wyiki: Czas auki w godz Liczba studetów Przyjmując poziom ufości 0.90 oszacować metoda przedziałowa średi tygodiowy czas auki studetów. i=

7 Przedziały ufości dla wariacji Model. Niech X, X 2,..., X będzie próbą prostą z rozkładu Nm, σ, gdzie m i σ są iezae. Zmiea losowa χ 2 = S2 σ 2 ma rozkład chi-kwadrat o stopiach swobody. Jeżeli ozaczymy przez χ 2 p, kwatyl rzędu p tego rozkładu, tz. P χ 2 < χ 2 p, = p wyzaczamy z tablic, to otrzymamy P χ 2 α/2, < S2 < χ 2 α/2, = α. σ 2 Stąd α 00% przedział ufości dla σ 2 ma postać σ 2 S 2 χ 2 α/2,, S 2 χ 2 α/2, a dla odchyleia stadardowego σ σ χ 2 α/2, S, χ 2 α/2, S. Przykład. Klasa przyrządu jest związaa z odchyleiem stadardowym wykoywaych im pomiarów. W celu zbadaia klasy przyrządu, służącego do pomiaru rezystacji, wykoao im = 2 pomiarów rezystacji tego samego oporika. Otrzymao astępujqce wyiki [mω: 275, 273, 279, 267, 276, 272, 27, 269, 270, 265, 268, 277 Przy założeiu, że wyiki pomiarów mają rozkład ormaly o iezaych m i σ m jest prawdziwą rezystacją oporika, atomiast σ 2 jest wariacją błędu pomiaru, ależy wyzaczyć 90% α = 0.9 realizację przedziału ufości dla σ. W wyiku obliczeń otrzymujemy X = 27.8 i S = 4.2. Z tablic zajdujemy χ 2 α/2, = oraz χ 2 α/2, = Po uwzględieiu powyższego, otrzymujemy 90% realizację przedziału ufości dla wariacji σ 2 : oraz dla odchyleia stadardowego σ: σ , σ 3.22, 6.67.,