Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Transkrypt

1 sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy uormowaą, jeśli jest określoa w iej fukcja o wartościach rzeczywistych, zwaa ormą, : X R, która spełia astępujące waruki:. f 0; f = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f = 0;. αf = α f ; 3. f + g f + g dla dowolych f, g X, α R. Przykład. W przestrzei fukcji ciągłych w ustaloym przedziale domkiętym [a, b], ozaczaej symbolem C[a, b], ormę fukcji f C[a, b] ozaczamy i określamy tak: f := max a x b f(x). Przykład.3 Niech p będzie fukcją wagową, tj. ciągłą w przedziale [a, b], dodatią w (a, b) i taką, że całki b a xk p(x) dx istieją dla wszystkich k = 0,,.... Symbolem C p [a, b] ozaczymy przestrzeń fukcji ciągłych w przedziale [a, b], z ormą b f := a p(x) f (x) dx. Ograiczamy się do aproksymacji za pomocą wielomiaów. Najważiejsze w teorii i praktyce są. aproksymacja jedostaja z błędem f w ; stosuje się ją do dowolych fukcji ciągłych w przedziale [a, b];. aproksymacja średiokwadratowa z błędem f w ; stosuje się ją do fukcji z przestrzei C p [a, b]. Dla daej fukcji f i daego N wprowadźmy wielkość (.) E (f) := if f w. w Π Wielomia w Π o własości f g = E (f) azywamy -tym wielomiaem optymalym dla f. Jeśli o istieje, to wielkość (.) azywamy -tym błędem aproksymacji optymalej.

2 Aproksymacja średiokwadratowa Defiicja. Przestrzeń liiową X ad ciałem R liczb rzeczywistych azywamy uitarą, jeśli w X X określoe jest odwzorowaie, zwae iloczyem skalarym, które każdej parze f, g X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą f, g i spełia waruki: (i) dla każdego f X jest f, f 0; f, f = 0 f = 0; (ii) dla każdych f, g X jest f, g = g, f, (iii) dla każdych f, g X i α R jest αf, g = α f, g, (iv) dla każdych f, g, h X jest f + g, h = f, h + g, h. Przykład. Moża sprawdzić, że wzór (.) f, g := b a p(x)f(x)g(x) dx defiiuje iloczy skalary w przestrzei C p [a, b]. Twierdzeie.3 Jeśli X jest przestrzeią uitarą, to f := f, f jest ormą w X. Defiicja.4 Elemety f, g przestrzei uitarej X azywamy ortogoalymi, jeśli iloczy f, g jest rówy zeru. Niepusty zbiór A X azywamy układem ortogoalym, gdy 0 A i gdy każde dwa elemety f, g A (f g) są ortogoale. Jeśli prócz tego f = dla każdego f A, to układ A azywamy ortoormalym. Twierdzeie.5 Jeśli A = {f, f,..., f m } jest układem ortoormalym w przestrzei uitarej X, to elemety f, f,..., f m są liiowo iezależe. Najczęstsze w praktyce zadaia aproksymacyje w przestrzeiach uitarych dotyczą przestrzei C p [a, b], a fukcjami przybliżającymi są przeważie wielomiay. Szczególie waże są więc układy ortogoale wielomiaów. Zajdują oe zastosowaie w wielu działach aalizy umeryczej. Defiicja.6 Ciąg {P k }, dla k = 0,,... P k jest wielomiaem stopia k-tego, azywamy ciągiem wielomiaów ortogoalych w przedziale [a, b] z wagą p, jeśli {P k } jest układem ortogoalym w przestrzei C p [a, b]. Twierdzeie.7 Wielomiay ortogoale P 0, P,..., P ( N) tworzą bazę przestrzei Π : Π = li{p 0, P,..., P }. Twierdzeie.8 Niech { P k } będzie ciągiem wielomiaów ortogoalych o współczyikach wiodących rówych : P k (x) = x k +... (k = 0,,... ). Zachodzi związek rekurecyjy P 0 (x) =, P (x) = x c, P k (x) = (x c k ) P k (x) d k Pk (x) (k =, 3,... ), c k = x P k, P k / P k, P k (k =,,... ), d k = P k, P k )/ P k, P k (k =, 3,... ). Dla pewych przedziałów [a, b] i fukcji wagowych p wielomiay ortogoale wyrażają się jawymi wzorami.

3 Twierdzeie.9 Niech f będzie fukcją ależącą do C p [a, b]. Jeśli ciąg {P k } jest ciągiem wielomiaów ortogoalych, to -ty wielomia optymaly w dla f istieje, jest określoy jedozaczie i wyraża się wzorem w f, P k = P k, P k P k, a -ty błąd aproksymacji optymalej fukcji f jest rówy f w = f f, P k P k, P k. 3 Aproksymacja jedostaja Aproksymacją jedostają azywamy aproksymację w przestrzei C(T ) fukcji rzeczywistych ciągłych a zbiorze domkiętym i ograiczoym T R, z ormą f f T := max x T f(x), zwaą ormą jedostają. Zasadicze zadaie aproksymacji jedostajej za pomocą wielomiaów brzmi astępująco. Dla ustaloej fukcji f z przestrzei C(T ) zaleźć taki wielomia w Π, że wielkość E (f) defiiujemy wzorem f w = E (f). E (f) E (f; T ) := if f w. w Π Wielomia w azywamy -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f a zbiorze T, a E (f) -tym błędem aproksymacji optymalej fukcji f a zbiorze T. Twierdzeie 3. Dla dowolej fukcji f C(T ) i dla dowolego N istieje dokładie jede -ty wielomia optymaly. Twierdzeie 3. (twierdzeie Czebyszewa o alterasie) Niech N i iech zbiór T zawiera co ajmiej + pukty. Na to, by wielomia w był -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f C(T ) potrzeba i wystarcza, żeby istiały takie pukty x 0, x,..., x + T (x 0 < x <... < x + ), że dla e := f w jest e (x k ) = e (x k ) (k = 0,,..., + ), e (x j ) = e T (j = 0,,..., + ). Zbiór puktów x 0, x,..., x +, w których różica e przyjmuje wartość e T = max x T e (x) z aprzemieymi zakami, azywamy -tym alterasem fukcji f (związaym ze zbiorem T ). Twierdzeie 3.3 Niech s będzie fukcją określoą w zbiorze T = {x 0, x,..., x + } ( x 0 < x <... < x + ) i taką, że s(x k ) = ( ) k (k = 0,,..., + ). -ty wielomia optymaly dla fukcji f a zbiorze T wyraża się wzorem w (x) = d(x 0 ) + d[x 0, x ](x x 0 ) d[x 0, x,..., x ](x x 0 )... (x x ), (Oczywiście jest ε = E (f; T ).) d := f εs, ε = f[x 0, x,..., x + ] s[x 0, x,..., x + ]. 3

4 Twierdzeie 3.4 -tym wielomiaem optymalym dla jedomiau x + w przedziale [, ] jest wielomia x + T + (x), a -ty błąd aproksymacji optymalej tej fukcji jest rówy. Spośród wszystkich wielomiaów postaci x + + a x a + (z dowolymi współczyikami a, a,..., a + ) ajmiejszą ormę [, ], rówą, ma wielomia T + := T +. Twierdzeie 3.5 (Weierstraß) Jeśli fukcja f jest ciągła a zbiorze domkiętym T, to. dla dowolego ε > 0 istieje wielomia w taki, że f w < ε,. istieje ciąg wielomiaów {W m } zbieży jedostajie do f a T, 3. zachodzi rówość lim E (f) = 0. Ze względu a trudości wyikające przy obliczaiu wielomiaów optymalych często z góry rezygujemy z ich, zadowalając się wielomiaami prawie optymalymi, które oblicza się łatwo. Przykładem wielomiau prawie optymalego jest wielomia a k [f] := π S (x) := a k [f] T k (x), f(x)t k (x)( x ) / dx (k = 0,,...), który pozaliśmy jako -ty wielomia optymaly w sesie aproksymacji w przestrzei L (,, ( x ) / ), z ormą ( / f = f (x)( x ) dx) /. Udowodioo, że dla dowolej liczby aturalej i dla każdej fukcji f ciągłej w przedziale [, ] jest f S K E (f), K := π k kπ tg +. Czyik K określa pogorszeie dokładości aproksymacji zachodzące wtedy, gdy zastępuje się wielomia optymaly w (taki, że f w = E (f)) wielomiaem S. Okazuje się, że K 4 π l ; p. K 5 =.96, K 0 = 3.3, K 0 = 3.494, K 00 = Aproksymując fukcję za pomocą wielomiau iterpolacyjego korzystamy często z astępującego twierdzeia: Twierdzeie 3.6 Jeśli fukcja f ma w przedziale [a, b] ciągłą ( + )-szą pochodą, a wielomia w Π spełia waruki iterpolacyje k= w(x k ) = f(x k ) (k = 0,,..., ), x 0, x,..., x [a, b], to (3.) f w ( + )! ω f (+), 4

5 ω(x) := (x x 0 )(x x )... (x x ), przy czym [a, b]. Jeśli [a, b] = [, ], to prawa stroa ierówości (3.) jest ajmiejsza i rówa ( + )! f (+) [, ] wtedy i tylko wtedy, gdy ω = T +, tj. gdy węzłami x 0, x,..., x są pukty (3.) (zera ( + )-go wielomiau Czebyszewa T + ). t +,k = cos k + π (k = 0,,..., ) + Wielomia iterpolacyjy I z węzłami (3.), o którym mówi ostatia część twierdzeia 3.6, wyraża się wzorami Moża wykazać, że I (x) = = + T +(x) + i=0 j+ si ( ) j + f(t +,j ) π x t j=0 +,j f(t +,j )T i (t +,j ) T i (x). j=0 f I L E (f), L := + + tg k + π l Zatem czyik L rośie wolo wraz z. Np. L 5 = 3.04, L 0 = 3.489, L 0 = 3.90, L 00 = Pozamy jeszcze metodę Remeza wyzaczaia -tego wielomiau optymalego z (teoretyczie) dowolie dobrą dokładością. Algorytm 3.7 (Remez) Dae są: zbiór domkięty T zawierający co ajmiej + pukty i fukcja f, która a T jest ciągła i ie jest tam wielomiaem klasy Π. Niech dla m = 0,,... będzie -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f a podzbiorze w (m) D m = {x m0, x m,..., x m,+ } (x m0 < x m <... < x m,+ ) zbioru T, określoym w astępujący sposób:. Podzbiór D 0 jest dowoly.. Niech m. Jeśli E (f; D m ) = f w (m ) T, to wielomia w (m ) jest -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f a zbiorze T ; w przeciwym wypadku podzbiór D m określamy tak, żeby (R) różice f(x mk ) w (m ) (x mk ) (k = 0,,..., +) są a przemia dodatie i ujeme, (R) f(x mk ) w (m ) (x mk ) E (f; D m ) (k = 0,,..., + ), (R3) max f(x mk) w (m ) (x mk ) = f w (m ) T. 0 k + Jeśli powyższy algorytm określa ciąg ieskończoy {w (m ) }, to jest o zbieży do -tego wielomiau optymalego w dla fukcji f a zbiorze T. Zauważmy, że wersje algorytmu Remeza mogą różić się krokiem, tj. sposobem wymiay puktów {x m,k } a {x mk }. Uproszczoy algorytm polega a wymiaie tylko jedego puktu zbioru D m. Peły algorytm wymaga wymiay wszystkich puktów tego zbioru a owe; przyspiesza to istotie zbieżość procesu. 5