Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne."

Transkrypt

1 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest bezartoścoy. Dlatego też zykle obok yku pomaru podaje sę elkość błędu pomaroego, yrażoą jedostkach elkośc merzoej. Błędem pomaroym azyamy ezgodość yku pomaru z rzeczystą artoścą elkośc merzoej. Wszystke błędy pomaroe możemy podzelć a systematycze, przypadkoe grube. Błąd systematyczy pozostaje stały co do artośc bezzględej zaku czase ykoyaa elu pomaró tej samej elkośc tych samych arukach pomaroych. Błąd te zmea sę raz ze zmaą arukó pomaru, p. zmaą cśea, temperatury otoczea, lgotośc, tp. Częstym przyczyam ystępoaa błędu systematyczego są błędy zorcoaa mary /lub błędy kalbracj przyrządu (toru) pomaroego, błąd paralaksy, błąd zązay z zastosoaem ełaścej metody pomaroej, td. Wększość błędó systematyczych moża yelmoać stosując coraz dokładejsze przyrządy pomaroe, stosując sę do zaleceń produceta oraz proadzając automatyzację pomaró. Przyczyy postaaa błędó przypadkoych e są zazyczaj zae możle do ustalea. Merząc elokrote tą samą elkość pomaroą aet ajdokładejszym przyrządem za każdym razem otrzymamy eco y yk, poeaż każdy z takch pomaró obarczoy jest błędem przypadkoym. Błędó tych e moża zazyczaj yelmoać, ale moża określć ch pły a ostateczy yk elkośc merzoej. Błędy grube ykają głóe z estaraośc lub edostateczej edzy osoby ykoującej pomar. Są oe stosukoo łate do zauażea yelmoaa. Ich przyczyam ajczęścej są: błędy odczytu yku, pomyłk zapse (przestaee kropk dzesętej), zamaa jedostek, przyjęce złego zakresu pomaroego, tp. Ze zględu a sposób zapsu elkośc błędu rozróża sę błędy bezzględe zględe. Błąd bezzględy ozacza odchylee yku pomaru od artośc rzeczystej podaay jest jedostkach elkośc merzoej, p. t ± t (,56 ± 0,08) s. Błąd zględy yrażay jest stosukem błędu bezzględego do elkośc merzoej δ () Zykle oprócz yku pomaru podaje sę błąd procetoy, czyl błąd zględy ażoy procetach, p. a (6,3 ± 0,4) ms -, δ,5% Z pomarem elkośc prostej mamy do czyea óczas, gdy marę elkośc fzyczej otrzymujemy poprzez bezpośred pomar jedym przyrządem, p. pomar apęca za pomocą oltomerza lub oporu za pomocą omomerza. Z kole pomary elkośc złożoych ymagają pomaró elu elkośc prostych p. oblczee oporu a podstae pomaró apęca atężea prądu płyącego przez odbork.. BŁĄD POMIARU WIELKOŚCI PROSTEJ Dokładość przyrządu pomaroego określa mmalą artość błędu systematyczego, który popełamy ykoując pomary tym przyrządem. Dlatego też dla ększośc przyrządó pomaroych proadzoo pojęce tz. klasy, a przyrządy są kostruoae tak sposób, by yk pomaró e różły sę od artośc rzeczystej o ęcej ż o artość odpoadającą klase przyrządu. Zatem klasa merka to błąd procetoy odpoadający maksymalemu skazau merka a daym zakrese (maksymalej artośc stosoaego zakresu pomaroego). Iaczej móąc jest to maksymaly błąd zględy dla daego zakresu. Dokładość skal (podzałk) merka jest uzależoa od klasy przyrządu. Najmejsza artość pojedyczej dzałk a skal przyrządu azya sę dokładoścą odczytu lub rozdzelczoścą. W peych przypadkach dopuszcza sę stosoae dokładośc odczytu ększej ż dokładość podzałk, p. tedy

2 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: gdy teresuje as różca skazań jedego przyrządu, a podzałk skal są ystarczająco odległe. Wóczas za błąd pomaru przyjmuje sę artość ½ lub ¼ artośc podzałk... ANALOGOWE MIERNIKI ELEKTRYCZNE Dokładość merkó aalogoych określaa jest przez błąd procetoy odpoadający maksymalemu ychyleu skazók (górej gracy zakresu). Zatem błąd bezzględy pomaru określa sę astępująco: klasa zakres X () 00 Błąd bezzględy e zależy ęc od artośc elkośc merzoej, atomast błąd zględy będze zększał sę przy spadku elkośc merzoej. Błąd zględy określoy jest zorem: Przykład X klasa zakres δ X [%] (3) ychylee ychylee Watomerzem klasy dla zakresu prądoego 0,5 A apęcoego 00 V zmerzoo moc żarók P 45,3 W. Oblczyć błędy pomaru. Błąd bezzględy pomaru yos ( 0,5 00) P 0, 5 W, 00 atomast błąd zględy yos ( 0,5 00) δ, %. 45,3 Zatem ostatecze moża zapsać: P (45,3 ± 0,5) W, δ, %.. MIERNIKI ELEKTRONICZNE CYFROWE Klasa ększośc merkó cyfroych yos 0,5, a ęc błąd bezzględy elkośc merzoej yos: X 0,5 skazae ± + 00 aga ostatej cyfry (4) Waga ostatej cyfry zależy od stosoaego zakresu yos p. ; 0,; 0,0; 0,00 jedostek elkośc merzoej. Jedak przypadku ększośc merkó uersalych yk pomaró obarczoe są zdecydoae ększym błędem ż to yka ze zoru, dlatego też celu oblczea błędu pomaroego zasze ależy korzystać ze skazóek zaartych strukcj obsług merka. Przykład Merkem cyfroym typu AVIDSEN 0750 zmerzoo apęce stałe U,47 V (a zakrese 0 V) oraz atężee prądu płyącego przez odbork I 5, ma (a zakrese 0 ma). Określć błąd bezzględy zględy obu pomaró.

3 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 3 Korzystając z strukcj obsług określamy dokładość pomaró dla użytych zakresó pomaroych: ) błąd pomaru: ± 0,5% ±D, rozdzelczość 0 mv ) błąd pomaru: ± % ±D, rozdzelczość 0 µa astępe określamy błędy bezzględe ykoaych pomaró 0,5,47 ) X ± + 0,0 ± 0,0835 V ± 0, 08 V 00 5, ) X ± + 0,0 ± 0,7 ma ± 0, ma 00 oraz błędy zględe 0,08 ) δ 0,64%,47 0, ) δ,3% 5, zapsujemy yk pomaró ) U (,47 ±0,08) V, δ 0,64% ) I (5, ±0,) ma, δ,3%. 3. UŚREDNIANIE WARTOŚCI POMIAROWYCH 3.. WARTOŚĆ ŚREDNIA, JEJ BŁĄD ORAZ ODCHYLENIE STANDARDOWE W elu przypadkach ykouje sę klkukrote pomary tej samej elkośc fzyczej, celu uzyskaa jak ajdokładejszego yku pomaru. Błąd pojedyczego pomaru e jest marą dokładośc daej metody pomaroej. Jeśl ykoujemy serę pomaró, to każdy z tych pomaró obarczoy jest ym błędem. Wartość średa ser pomaroej zdefoaa jest jako: (5) atomast odchylee stadardoe pojedyczego pomaru: σ lm (6) ( ) W przypadku skończoej, ezbyt dużej lczby pomaró dobre oszacoae odchylea stadardoego daje astępujący zór: σ (7) ( ) W arukach rzeczystych mamy do czyea zaróo z błędam przypadkoym σ jak systematyczym o. Błąd całkoty defuje sę jako średą geometryczą. błędó: + o σ (8)

4 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 4 Oblczając odchylee stadardoe średej ależy uzględć częścoe kompesoae sę odchyłek ujemych dodatch. Stąd błąd śred kadratoy oblczamy g zoru: σ ( ) ( ) (9) skąd po podstaeu yrażea opsującego średą arytmetyczą otrzymamy: σ ( ) (0) Przykład 3 Pomar czasu realzacj doolego zdarzea ykoao 0-krote, a yk pomaru zestaoo pożej. Oblczyć czas śred zdarzea oraz śred błąd kadratoy. Lp. t t 5, 3,04 4,5 0,5 3 4,8 9,04 4 5, ,3 34,09 6 4,9,0 7 5, 8,0 8 5, 3,04 9 5, ,8 9,04 49,8 44,5 Wartość średa yos t 4,98 s 5,0 Błąd śred kadratoy artośc średej oblczoy g zoru (0) yos σ 44,5 (49,8) 0 0,7578 0, ( ) Zatem czas śred yos t (5 ± 0,) s 0(0 ) s

5 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: ŚREDNIA WAŻONA Metodę średej ażoej stosujemy óczas, gdy chcemy oblczyć artość średą klku ezależych pomaró tej samej elkośc fzyczej ykoaych z różą dokładoścą. Oczyste jest, że pomar dokładejszy jest lepszy od pomaru mej dokładego, zatem róże pomary będą mały róży pły a yk oblczeń. W celu ykoaa oblczeń metodą średej ażoej ależy proadzć pojęce ag - określoej zorem (), przy czym stałą a ależy dobrać tak sposób by artośc ag były dogode dla dalszych oblczeń. a () ( ) Średa ażoa yrażoa jest zorem: a błąd maksymaly średej: Gdy szystke pomary obarczoe są takm samym błędem lub prae takm samym to zór () staje sę yrażeem opsującym średą arytmetyczą. W przypadku, gdy ag są odrote proporcjoale do kadratu odchyleń stadardoych artośc średch z ser pomaroych, ależy oblczyć błąd śred kadratoy (odchylee stadardoe) średej ażoej g zoru: gdze Przykład 4 () (3) ε σ (5) ( ) ε (6) Oblczyć średą ażoą jej błąd z astępujących trzech ezależych ykó pomaró: ) M (,5 ± 0,) A ) M (,68 ± 0,8) A 3) M (,48 ± 0,6) A Przyjmujemy artość stałej a. Średą ażoą jej błąd maksymaly oblczamy ze zoró () (3). Schemat oblczeń przedstaoo tabelce.,5 0, 69,4 74,9 8,33,68 0,8 30,9 8,8 5,56 3,48 0,6 39,0 96,7 6, ,3 354,4 0,3

6 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 6 Średa ażoa yos 354,4 M,54 39,3 Błąd maksymaly średej ażoej 0,3 M 0,4 39,3 Zatem ostateczy yk yos M (,54 ± 0,4) A 4. WYZNACZANIE BŁĘDÓW WELKOŚCI ZŁOŻONEJ W praktyce pomaroej bardzo często mamy do czyea z koeczoścą yzaczea artośc elkośc fzyczej, która jest fukcją elu zmeych. Wartośc tych zmeych yzacza sę p. czase pojedyczych lub klkukrotych pomaró laboratoryjych, a astępe yk podstaa sę do yrażea ogólego. Jedak każdy z pomaró prostych obarczoy jest peym błędem, uzależoym od dokładośc użytego przyrządu pomaroego. Naszym zadaem jest określee błędu oblczoej elkośc złożoej. 4.. METODA POCHODNEJ LOGARYTMICZNEJ Metodę pochodej logarytmczej stosuje sę óczas, gdy aalzoae złożoe yrażee jest loczyem elkośc prostych yrażoych doolych potęgach a : y A a (6) Po zlogarytmoau oraz zróżczkoau róaa (6) otrzymamy: l y l A + dy y d a a l (7) Jeżel poszczególe różczk róau (7) potraktoać jako błędy maksymale oraz uzględmy ajbardzej ekorzystą sytuację tz. zsumujemy szystke błędy borąc ch bezzględe artośc to błąd zględy yzaczea elkośc złożoej moża oblczyć sposób astępujący: y y a (8) Jeżel zaś poszczególe elkośc proste merzylśmy elokrote oblczalśmy odchylea stadardoe od artośc średej to błąd zględy ależy oblczyć ze zoru (9): S y S a (9) y

7 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 7 Przykład 5 Pomar rezystacj oporka ęgloego przeproadzoo metodą techczą przy zastosoau merka cyfroego MASTECH MY 67. Mlamperomerzem dokoao pomaró atężea prądu (DC) a zakrese 400 ma, którego artość yosła 50 ma, z kole pomar apęca ykazał 6,8 V a zakrese 40 V. Stosując prao Ohma yzaczyć rezystację oporka oraz oblczyć błąd yzaczea tej elkośc. Z praa Ohma oblczamy rezystację U 6,8 R 7, Ω 3 I 50 0 Korzystając z strukcj obsług merka oblczamy błędy bezzględe elkośc merzoych prostych. Odczytujemy sposób yzaczea błędu dla mlamperomerza: ±,% W ± D; D 0, ma oblczamy błąd pomaru atężea:, 50 I ± + 0, ± 3, ma 00 Odczytujemy sposób yzaczea błędu dla oltomerza: ± 0,5% W ± D; D 0 mv oblczamy błąd pomaru apęca: 0,5 6,8 U ± + 0,0 ± 0,054 V ± 0, 06 V 00 Stosując zór (8) oblczamy artość błędu zględego: U I + R U I 0,06 3, + 0, ,08 0,06 (~,6%) R 6,8 50 oraz błędu bezzględego 7, 0,06 0,5875 0, 6Ω zapsujemy yk końcoy: R ( 7, ± 0, 6)Ω 4.. METODA RÓŻNICZKI ZUPEŁNEJ Metodę różczk zupełej moża stosoać praktycze każdym przypadku yzaczaa błędu maksymalego (lub odchylea stadardoego) elkośc złożoej. Jeśl przyjąć, że szukaa elkość jest fukcją klku zmeych: to różczka zupeła tej fukcj przyjme postać: y f,,..., ) (0) ( dy d + d d () a po zastąpeu różczek przyrostam skończoym otrzymamy: y ()

8 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 8 Przyrostom skończoym (podobe jak poprzedo) ależy przypsać ses fzyczy błędó. Uzględając regułę dodaaa błędó otrzymamy ostatecze: y (3) lub aczej y (,,..., ) (4) Jeżel zaś poszczególe elkośc proste chodzące skład aszej fukcj złożoej merzylśmy elokrote oblczalśmy odchylea stadardoe od artośc średej to odchylee stadardoe średej arytmetyczej elkośc złożoej ależy oblczyć ze zoru: S y (,,..., ) S (5) Przykład 6 Dla daych jak przykładze 5 oblczyć rezystację oporka oraz yzaczyć jej błąd metodą różczk zupełej. Rezystacja oporka oraz błędy pomaró elkośc prostych (patrz przykład 5) yoszą: U R 7, Ω ; I ±3, ma ; U ±0, 06 V I Korzystając ze zoru (3) lub (4) yzaczamy różczkę zupełą: d U d U U + I du I di I U I U + I I 0,06 6,8 0, ,588 0,6 Ω 0,5 (0,5) zapsujemy yk końcoy: R ( 7, ± 0, 6)Ω LITERATURA []. Respodosk R.: Laboratorum z fzyk. Skrypt Poltechk Śląskej r 834. Glce 994. []. Poprask R., Salejda W.: Ćczea laboratoryje z fzyk. Część. Zasady opracoaa ykó pomaró. Ofcya ydacza PWr, Wrocła 999.

9 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 9 DODATKI Tablca. Uchyby pomaroe merka cyfroego typu MASTECH model MY67 Fukcja Zakres Rozdz. Błąd pomaru Uag Pomar apęca stałego DC, V Pomar apęca przemeego AC, V Pomar atężea prądu DC, A Pomar atężea prądu AC, A Pomar rezystacj R, Ω 400 mv 4 V 40 V 400 V 000 V 400 mv 4 V 40 V 400 V 750 V 0, mv mv 0 mv 0, V V 0, mv mv 0 mv 0, V V ± 0,8% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,6% W ± 0,% Z ± 3D ± 0,6% W ± 0,% Z ± 3D ± 0,6% W ± 0,% Z ± 3D ±,% W ± 3D użyteczy zakres częstotlośc pomaroej od 40 Hz do 400 Hz 400 µa 0,µA ± 0,8% W ± D 4 ma µa ± 0,8% W ± D 40 ma 0 µa ± 0,8% W ± D 400 ma 0, ma ±,% W ± D 0 A 0 ma ±,0% W ± 5D 400 (0-00) µa 400 (0-300) µa 400 (30-400) µa 4 ma 40 ma 400 ma 0 A 400 Ω 4 kω 40 kω 400 kω 4 MΩ 40 MΩ 0,µA 0,µA 0,µA µa 0 µa 0, ma 0 ma 0, Ω Ω 0 Ω 00 Ω kω 0 kω ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ±,5% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 0,4% Z ± 3D ±,% W ± 0,4% Z ± 3D ± 3,0% W ± 0,4% Z ± 3D ± 0,8% W ± 3D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ±,% W ± D ma. 000 V ma. 750 V rms ma. 500 ma maks. 0 A ma. 500 ma rms ma. 0 A rms W skazae merka D aga ostatej cyfry yśetlacza (rozdzelczość) Z zakres

10 Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa: 0 Tablca. Uchyby pomaroe merka cyfroego typu AVIDSEN model 0750 Fukcja Zakres Rozdz. Błąd pomaru Uag Pomar apęca stałego DC, V Pomar apęca przemeego AC, V Pomar atężea prądu DC, A Pomar rezystacj R, Ω 0, V V 0 V 00 V 000 V 00 V 750 V 0, mv mv 0,0 V 0, V V 00 mv V ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ± 0,5% W ± D ±,% W ± 0 D ±,% W ± 0 D użyteczy zakres częstotlośc pomaroej od 45 Hz do 450 Hz 0, ma 0, µa ± % W ± D ma µa ± % W ± D 0 ma 0 µa ± % W ± D 00 ma 00 µa ±,% W ± D 0 A 00 ma ± % W ± D 00 Ω 000 Ω 0 kω 00 kω 000 kω 0, Ω Ω 0 Ω 0, kω kω ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± 0,8% W ± D ± % W ± D ma. 0 V ma. 750 V ma. 750 V ma. 750 V ma. 0 V ma. 750 V rms ma. 750 V rms ma. 00 ma ma. 00 ma ma. 00 ma ma. 00 ma brak bezpeczka W skazae merka D aga ostatej cyfry yśetlacza (rozdzelczość)

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z zajęć laboratoryjnych: Fizyka dla elektroników 2

Sprawozdanie z zajęć laboratoryjnych: Fizyka dla elektroników 2 Łukasz Przywarty 171018 Data wykonania pomiarów: 0.10.009 r. Sala: 4.3 Prowadząca: dr inż. Ewa Oleszkiewicz Sprawozdanie z zajęć laboratoryjnych: Fizyka dla elektroników Temat: Wyznaczanie gęstości ciał

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Katedra Podstaw Sstemów Techczch - Podstaw metrolog - Ćwczee 4. Wzaczae charakterstk regulacjej slka prądu stałego Stroa:. CEL ĆWICZENIA Celem ćwczea jest pozae zasad dzałaa udow slka prądu stałego, zadae

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

Fizyka (Biotechnologia)

Fizyka (Biotechnologia) Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 10. Pomiar rezystancji metodą techniczną. Celem ćwiczenia jest praktyczne zapoznanie się z różnymi metodami pomiaru rezystancji.

Ćwiczenie nr 10. Pomiar rezystancji metodą techniczną. Celem ćwiczenia jest praktyczne zapoznanie się z różnymi metodami pomiaru rezystancji. Ćwiczenie nr 10 Pomiar rezystancji metodą techniczną. 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest praktyczne zapoznanie się z różnymi metodami pomiaru rezystancji. 2. Dane znamionowe Przed przystąpieniem do

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko (e mail) Grupa:

Imię i nazwisko (e mail) Grupa: Wydział: EAIiE Kierunek: Imię i nazwisko (e mail) Rok: Grupa: Zespół: Data wykonania: LABORATORIUM METROLOGII Ćw. 12: Przetworniki analogowo cyfrowe i cyfrowo analogowe budowa i zastosowanie. Ocena: Podpis

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII RODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW OLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA RACOWNIA DETEKCJI ROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Ć W I C Z E N I E N R J-6 BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI OMIARÓW

Bardziej szczegółowo

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i. c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W TARNOWIE INSTYTUT POLITECHNICZNY LABORATORIUM METROLOGII. Instrukcja do wykonania ćwiczenia laboratoryjnego:

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W TARNOWIE INSTYTUT POLITECHNICZNY LABORATORIUM METROLOGII. Instrukcja do wykonania ćwiczenia laboratoryjnego: PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W TARNOWIE INSTYTUT POLITECHNICZNY LABORATORIUM METROLOGII Instrukcja do wykonania ćwiczenia laboratoryjnego: "Pomiary rezystancji metody techniczne i mostkowe" Tarnów

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności BOGALECKA Magda 1 Wek statku a prawdopodobeństwo wstąpea wpadku a morzu aalza współzależośc WSTĘP Obserwowa od blsko weku tesw rozwój trasportu morskego, oprócz lądowego powetrzego, jest kosekwecją wzmożoej

Bardziej szczegółowo

Spalanie. 1. Skład paliw. 1.1. Paliwa gazowe (1) kmol C. kmol H 2. gdzie: H. , itd. udziały molowe składników paliwa w gazie. suchym. kmol.

Spalanie. 1. Skład paliw. 1.1. Paliwa gazowe (1) kmol C. kmol H 2. gdzie: H. , itd. udziały molowe składników paliwa w gazie. suchym. kmol. Salae / 1 Salae Salae jet zybko rzebegającym roceem utleaa ołączoym z ydzelaem ę ceła. Salau z reguły toarzyzy emja śatła. Podtaoym eratkam alym alach ą ęgel odór. W ale moża yróżć część alą ealy balat.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE W S E i Z W WASZAWE WYDZAŁ.. LABOATOUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 10 Temat: POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ. PAWO OHMA Warszawa 2009 Prawo Ohma POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ Uporządkowany ruch elektronów nazywa się

Bardziej szczegółowo

napięcia i prądu przemiennego, montaż tablicowy 20 DGP 96 napięcia i prądu przemiennego, montaż tablicowy 21 DGQ 96

napięcia i prądu przemiennego, montaż tablicowy 20 DGP 96 napięcia i prądu przemiennego, montaż tablicowy 21 DGQ 96 amperomierze MIERNIKI CYFROWE na prąd stały napięcia i prądu przemiennego, montaż tablicowy 20 DGP 96 napięcia i prądu przemiennego, montaż tablicowy 21 DGQ 96 mierniki częstotliwości, montaż tablicowy

Bardziej szczegółowo

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00 Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury

Bardziej szczegółowo

ZAKŁAD ELEKTRYCZNY Laboratorium Wielkości Elektrycznych Małej Częstotliwości Robert Rzepakowski

ZAKŁAD ELEKTRYCZNY Laboratorium Wielkości Elektrycznych Małej Częstotliwości Robert Rzepakowski ZAKŁAD ELEKTRYCZNY Laboratorium Wielkości Elektrycznych Małej Częstotliwości Kierownik Robert Rzepakowski tel.: (22) 8 9 faks: (22) 8 9 99 e-mail: electricity@gum.gov.pl e-mail: LFquantities@gum.gov.pl;

Bardziej szczegółowo

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych:

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych: UZUPEŁNIAJĄCE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DLA UCZNIÓW TECHNIKUM MECHANICZNEGO PRZYGOTOWUJĄCYCH SIĘ DO ZEWNĘTRZNEGO EGZAMINU KWALIFIKACYJNEGO METROLOGIA TECHNICZNA (materały wybrae) Materały zebrał : mgr ż. Aatol

Bardziej szczegółowo

Ćw. 1&2: Wprowadzenie do obsługi przyrządów pomiarowych oraz analiza błędów i niepewności pomiarowych

Ćw. 1&2: Wprowadzenie do obsługi przyrządów pomiarowych oraz analiza błędów i niepewności pomiarowych Wydział: EAIiE Kierunek: Imię i nazwisko (e mail): Rok:. (2011/2012) Grupa: Zespół: Data wykonania: Zaliczenie: Podpis prowadzącego: Uwagi: LABORATORIUM METROLOGII Ćw. 1&2: Wprowadzenie do obsługi przyrządów

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA. Ops teoretyczny do ćwczena zameszczony jest na strone www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

ZAKRES AKREDYTACJI LABORATORIUM WZORCUJĄCEGO Nr AP 096

ZAKRES AKREDYTACJI LABORATORIUM WZORCUJĄCEGO Nr AP 096 ZAKRES AKREDYTACJI LABORATORIUM WZORCUJĄCEGO Nr AP 096 wydany przez POLSKIE CENTRUM AKREDYTACJI 01-382 Warszawa, ul. Szczotkarska 42 Wydanie nr 11 Data wydania: 6 kwietnia 2016 r. Nazwa i adres AP 096

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

KOMPUTEROWY SYSTEM DO SPRAWDZANIA CZĘSTOŚCIOMIERZY CYFROWYCH

KOMPUTEROWY SYSTEM DO SPRAWDZANIA CZĘSTOŚCIOMIERZY CYFROWYCH MWK'2003 KOMPUTEROWY SYSTEM DO SPRAWDZANIA CZĘSTOŚCIOMIERZY CYFROWYCH dr ż. Elgusz Pałosk STRESZCZENIE W pracy przedstaa sę schemat blokoy układu pomaroego oraz sposób przetarzaa daych umożlające spradzae

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie

PRACOWNIA ELEKTRYCZNA I ELEKTRONICZNA. Zespół Szkół Technicznych w Skarżysku-Kamiennej. Sprawozdanie Zespół Szkół Tehizyh w Skarżysku-Kamieej Sprawozdaie PRCOWN ELEKTRYCZN ELEKTRONCZN imię i azwisko z ćwizeia r 1 Temat ćwizeia: UKŁDY REGULCJ NTĘŻEN PRĄDU rok szkoly klasa grupa data wykoaia. Cel ćwizeia:

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI

STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XII/, 0, tr. 3 STATYSTYKA MORANA W ANALIZIE ROZKŁADU CEN NIERUCHOMOŚCI Dorota Kozoł-Kaczorek Katedra Ekoomk Rolcta Mędzyarodoych Stoukó Gopodarczych Szkoła

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO. Instrukcja wykonawcza

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO. Instrukcja wykonawcza ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Instrukcja wykonawcza 1 Wykaz przyrządów a. Generator AG 1022F. b. Woltomierz napięcia przemiennego. c. Miliamperomierz prądu przemiennego. d. Zestaw składający

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta

Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej. Jacek Pawlyta Wprowadzenie do rachunku niepewności pomiarowej Jacek Pawlyta Fizyka Teorie Obserwacje Doświadczenia Fizyka Teorie Przykłady Obserwacje Przykłady Doświadczenia Przykłady Fizyka Potwierdzanie bądź obalanie

Bardziej szczegółowo

ZASADY DOKUMENTACJI procesu pomiarowego

ZASADY DOKUMENTACJI procesu pomiarowego Laboratorium Podstaw Miernictwa Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Pomiarów ZASADY DOKUMENTACJI procesu pomiarowego Przykład PROTOKÓŁU POMIAROWEGO Opracowali : dr inż. Jacek Dusza mgr inż. Sławomir

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów

Bardziej szczegółowo

Pomiar rezystancji metodą techniczną

Pomiar rezystancji metodą techniczną Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarów

Niepewności pomiarów Niepewności pomiarów Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w roku 1995 opublikowała normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności pomiarów [1]. W roku 1999 normy zostały opublikowane

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI

ĆWICZENIE 10 OPTYMALIZACJA STRUKTURY CZUJKI TEMPERATURY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI ĆWICZENIE 0 OPTYMALIZACJA STUKTUY CZUJKI TEMPEATUY W ASPEKCIE NIEZWODNOŚCI Cel ćwczea: zapozae z metodam optymalzac wewętrze struktury mozakowe czuk temperatury stosowae w systemach sygalzac pożaru; wyzaczee

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo