WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW"

Transkrypt

1 WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka przede wszystkm emprycza Perwszym krokem do ustalea prawa fzyczego jest obserwacja zjawska Dla ustalea wyjaśea prawdłowośc fzyczej ależy wydzelć z welu poboczych wpływów ajbardzej charakterystycze, powtarzale zwązk przyczyowe, co osąga sę w celowo ustawoym dośwadczeu Dla otrzymaa loścowych wzajemych zależośc trzeba ustalć odpowede welkośc fzycze, które moża merzyć Defcje welkośc fzyczych muszą węc zawerać przeps a ch pomar Wdać stąd szczególą rolę eksperymetu pomarów Laboratorum z fzyk ma a celu zazajomee studetów z podstawowym przyrządam metodam pomarowym oraz praktycze zapozae z ektórym zjawskam prawam przyrody toteż w welu przypadkach dośwadczee będze służyło sprawdzeu zaego już prawa fzyczego Należy sobe zdawać sprawę z faktu, że każde prawo fzycze ustaloe a podstawe pomarów jest wydealzowaą zależoścą pomędzy mejszą lub wększą lczbą welkośc fzyczych, przy pomęcu welu ych czyków wpływających a przebeg dośwadczea Te fakt oraz szereg ych, zwązaych z samym przyrządem pomarowym eksperymetatorem, jest przyczyą, że każdy pomar obarczoy jest błędem (epewoścą) Zatem rzetele opracowae pomarów powo zawerać także oceę ch dokładośc warygodośc, tz, oceę epewośc pomarów Z prób rozwązaa tego problemu powstały różorode bardzo rozbudowae teore błędu, często trude do wzajemego porówaa Dlatego koeczoścą stało sę opracowae jedoltego, opartego a pewym kompromse, systemu ocey zapsu epewośc pomarowych W 995 r, po welu latach pracy, uzgodoo mędzyarodowe ormy dotyczące epewośc w pomarach Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja (ISO) opublkowała dokumet ( Przewodk, Mędzyarodowa Norma ), który po dokoau przekładu a język polsk przyjęcu odpowedej ustawy zobowązuje Polskę do stosowaa orm ISO w zakrese oblczaa podawaa we wszystkch publkacjach wyków epewośc pomarów zgode z tą Normą [] Nowośc dotyczą przede wszystkm odróżaa epewośc pomaru od błędu w potoczym tego słowa zaczeu, przyjęca uzgodoej termolog powszeche akceptowaej mary epewośc w pomarach, szerszego korzystaa z metod statystyczych oraz sposobu ocey oblczaa epewośc Szersze wprowadzee tych owych zasad oraz krytyczą dyskusję Normy moża zaleźć w publkacjach H Szydłowskego [] oraz A Zęby [3]

2 8 W skrypce zastosowao ektóre zalecea Mędzyarodowej Normy przy szacowau oblczau, a szczególe ozaczau epewośc w pomarach, zachowując pewe stosowae do tej pory sposoby aalzy oblczaa błędów pomarów [4, 5, 6, 7] BŁĘDY I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE Praca w laboratorum fzyczym polega a obserwacj zjawsk fzyczych, wykoywau pomarów ch terpretacj a podstawe pozaych teor praw fzyk Oprócz poprawego wykoaa pomarów, bardzo stota jest aalza końcowych wyków pod względem ch warygodośc dokładośc oraz przedstawee uzyskaych rezultatów w sposób umożlwający ch prawdłową terpretację, to jest jaso, przejrzyśce zgode z ogóle przyjętym zasadam Wskutek edokładośc aszych przyrządów pomarowych oraz edoskoałośc aszych zmysłów każdy, awet ajstaraej przygotoway wykoay pomar daje wyk obarczoy pewą epewoścą, róży od wartośc rzeczywstej Wartość epewośc może meć zasadcze zaczee przy formułowau różych praw fzyk często decyduje o przyjęcu lub odrzuceu jakejś teor Aalza błędów dokoaa przed przystąpeem do pomaru może wykazać jego zupełą ecelowość arzucć koeczość użyca ych przyrządów lub metod pomarowych Rozpatrzee całośc metody jakegoś pomaru oraz właścwa ocea popełoych błędów pozwala ustalć dokładość, z jaką ależy wykoać pomar, oraz a pomar jakej welkośc ależy zwrócć szczególa uwagę Stopeń dokładośc pomaru zależy od używaych przyrządów stosowaej metody pomarowej byłoby stratą czasu starać sę otrzymać wększą dokładość od tej, jaką określają zadae waruk pomarowe Mędzyarodowa Norma jako podstawę przyjmuje ową flozofę traktowaa zjawska błędu Na tej podstawe astępuje uścślee azewctwa, w szczególośc zaczea kluczowych słów błąd epewość Term błąd (pomaru) powe być używay w zaczeu jakoścowym albo ozaczać różcę: błąd pomaru = wartość zmerzoa wartość rzeczywsta = o () Wyk lczbowy wyrażea () e może być wylczoy, gdyż e jest zaa wartość rzeczywsta o Jest to realzacja pojedyczej zmeej losowej e może być wylczoa a pror, podobe jak e moża przewdzeć wyku rzutu kostką Tak zdefoway błąd pomaru e jest zatem przedmotem zateresowaa rachuku epewośc pomaru Sama azwa (błąd) tej wady pomarów sugeruje możlwość jej usuęca Rodzaje błędów pomarowych omówmy a prostym przykładze pomaru przyspeszea zemskego za pomocą wahadła matematyczego (ćw ) Wyobraźmy sobe, że zmerzylśmy klkakrote czas wahęć metalowej kulk przywązaej do końca c o długośc l Początkowe wychylee kulk wyosło 0 Oblczee przyspeszea zemskego przy użycu wzoru a okres wahań wahadła prostego

3 9 4 g T spowoduje otrzymae wyków systematycze zażoych w stosuku do wartośc rzeczywstej Przyczyą jest zastosowae przyblżoego wzoru a okres wahań wahadła słuszego tylko w przypadku małych wychyleń O tak otrzymaych wykach pomarów powemy, że są oe obarczoe błędem systematyczym Ią przyczyą powstaa tego typu błędów może być p użyce stopera, którego wskazówk z chwlą rozpoczęca pomarów e pokrywają sę z początkem skal lub stoper chodz za wolo albo za szybko, wywołując systematycze zażae lub zawyżae wartośc okresu wahań Przypuśćmy, że w ser pęcu pomarów czasu 50 wahęć, jede z pomarów został zakończoy po 45 wahęcach Pomar te da drastycze różą wartość przyspeszea zemskego Określmy go jako pomar obarczoy błędem grubym, czyl pomyłką Pomyłk powstają róweż wskutek fałszywego odczytaa wskazań przyrządów lub eprawdłowego zapsaa odczytu (p pomyłka w jedostkach) Pomyłk dają sę łatwo zauważyć, poeważ otrzymay wyk róż sę zacze od ych wyków pomarów tej samej welkośc (rys ) l błędy systematycze wartość rzeczywsta pomyłka 0 - wyk pomaru Rys Na rysuku pokazao serę pomarów welkośc X, obarczoej błędam systematyczym pomyłką, przy czym o jest wartoścą rzeczywstą welkośc X Błędy pomarowe, zarówo systematycze, jak grube, mają wspólą cechę Moża je wyelmować poprzez: a) użyce właścwe dzałających przyrządów, b) poprawe przeprowadzee pomarów, c) stosowae poprawek matematyczych do wzorów przyblżoych, d) usuęce z ser pomarów wyku obarczoego błędem grubym lub jego powtórzee, o le mamy taką możlwość W aszej praktyce laboratoryjej zakładamy, że wszystke błędy systematycze zostały rozpozae przez eksperymetatora uwzględoe w trakce pomarów, a wyk tych pomarów są wole od błędów systematyczych Wyelmowae błędów pomarowych jest zabegem koeczym, ale e prowadzącym do uzyskaa wyków jedozacze pokrywającym sę z rzeczywstą wartoścą welkośc merzoej Każdy bowem pomar jest obcążoy epewoścą pomarową Mędzyarodowa Norma wprowadza pojęce epewość pomaru jako ajważejszy a owo określoy term Zgode z Przewodkem : epewość jest zwązaym z rezultatem pomaru parametrem, charakteryzującym rozrzut wyków, który moża w uzasadoy sposób przypsać wartośc merzoej Takm przykładowym parametrem określającym epewość pomaru może być odchylee stadardowe oblczoe dla ser pomarów

4 0 Wśród epewośc pomarowych wyróżć moża epewośc przypadkowe epewośc systematycze Na ogół jedak któraś z wymeoych epewośc pomarowych domuje Jeżel dokładość przyrządu jest dostatecze duża, wówczas w ser pomarowej otrzymamy pewe rozrzut wyków Śwadczy to o przewadze epewośc przypadkowych ad systematyczym Źródłem występowaa epewośc przypadkowych może być merzoa welkość (mówmy wówczas o epewośc przypadkowej obektu) lub sam eksperymetator wraz z otoczeem przyrządam pomarowym (epewość przypadkowa metody) Np epewość przypadkowa obektu przy pomarze grubośc płytk ołowaej śrubą mkrometryczą będze mała swe źródło w różcach grubośc płytk merzoej w klku różych puktach Nepewość przypadkowa metody wykać może atomast z różc w docskau śruby w kolejych pomarach Na powstae epewośc przypadkowych akłada sę wele ezależych przyczy, co prowadz do tego, że wyk pomarów, w których domują epewośc przypadkowe, układają sę symetrycze wokół wartośc rzeczywstej (rys ) wartość rzeczywsta 0 - wyk pomaru Rys Natomast źródłem epewośc systematyczych są ograczoe możlwośc pomarowe zwązae z klasą (dokładoścą) użytego przyrządu oraz z możlwoścą odczytu jego wskazań przez obserwatora Przewaga epewośc systematyczych ad przypadkowym ujaw sę poprzez otrzymae detyczych bądź ezacze różących sę wyków w określoej ser pomarów Jak już wspomelśmy, całkowte usuęce epewośc e jest możlwe Moża je co ajwyżej zmejszyć poprzez stosowae dokładejszych przyrządów pomarowych oraz zwększee lczby pomarów Pojęce epewośc przypadkowej czy systematyczej jest rówoważe pojęcu błędu przypadkowego (losowego) lub błędu systematyczego, które to azwy są stosowae do tej pory w welu opracowaach dotyczących aalzy pomarów Poadto, stosowe do zaleceń Mędzyarodowej Normy, wprowadza sę astępujące termy o owym zaczeu: epewość stadardowa u(); jest to epewość pomaru odpowadająca odchyleu stadardowemu średej; ocea epewośc typu A; oparta a metodze określea epewośc pomaru drogą aalzy statystyczej ser wyków pomarów; ocea epewośc typu B; oparta a metodze określaa epewośc pomarów drogą ą ż w przypadku metody typu A (p a podstawe klasy przyrządu); złożoa epewość stadardowa u c (y); epewość wyków pomarów pośredch jest oblczaa z prawa przeoszea epewośc pomaru

5 Rozróżee metod oblczaa typu A B e ma c wspólego z dotychczasowym podzałem a błędy przypadkowe systematycze (Mędzyarodowa Norma e eguje zresztą tego tradycyjego rozróżea), lecz wskazuje a dwe róże drog ocey składków epewośc Obe metody ocey epewośc oparte są a rachuku prawdopodobeństwa, a loścową marą każdego ze składków jest odchylee stadardowe Nepewość stadardową typu A oblcza sę a podstawe rozkładu częstośc pojawaa sę określoego wyku pomaru, a węc operając sę a rozkładze ormalym (Gaussa), atomast epewość stadardową typu B oblcza sę (a raczej szacuje) a podstawe rozkładu prawdopodobeństwa przyjętego przez eksperymetatora (prawdopodobeństwo subektywe) Na ogół będze to rozkład jedostajy (prostokąty) W dalszej częśc opracowaa zostały opsae sposoby postępowaa, gdy w pomarze welkośc X przeważa epewość systematycza (pkt 3), bądź przypadkowa (pkt 4), a także wtedy, gdy epewośc przypadkowa systematycza dają porówywaly wkład do epewośc pomaru welkośc X (pkt 5) 3 NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE (MAKSYMALNE) OCENA TYPU B 3 Nepewośc systematycze pomarów bezpośredch Jak wspomao wcześej (pkt ), epewośc systematycze domują wtedy, gdy w ser pomarów welkośc X e występuje lub prawe e występuje rozrzut statystyczy wyków pomarów, czyl Na welkość epewośc systematyczej składają sę dwa przyczyk, jede pochodzący od użytego w pomarach przyrządu (dzałka elemetara, klasa przyrządu, dokładość odczytu) drug zwązay z wykoywaem czyośc pomarowej przez obserwatora (epewość eksperymetatora) Nepewość systematycza zwązaa z użytym przyrządem zależy od klasy dokładośc tego przyrządu wskazującej a jego odstępstwa od wzorca W dobrych przyrządach pomarowych podzałka skal zgadza sę zwykle z klasą daego przyrządu, która ozacza maksymalą epewość systematyczą woszoą przez sam przyrząd, p dla termometru pokojowego epewość systematycza t = C, ale dla termometru laboratoryjego może być awet lepsza ż 0,5C, marka mlmetrowa to l = mm, a śruba mkrometrycza to l = 0,0 mm Nepewość odczytu a podzałce ustala obserwator, uwzględając róże czyk wpływające a wyk pomaru Tak węc, jeśl wykoujemy pomar apęca woltomerzem klasy 0,5 o zakrese 300 V, to bezwzględa epewość systematycza wprowadzoa przez przyrząd będze wyosła,5 V Jeśl epewość położea wskazówk oceamy a,5 V, to całkowta epewość pomaru będze rówa 4 V; wyk pomaru zapszemy wtedy jako (39 4) V lub 39(4) V W ocee epewośc odczytu stote zaczee odgrywa róweż szerokość samej wskazówk oraz jej zachowae podczas pomaru (drżee, wahaa wokół ustaloego położea tp) Te sposób ocey epewośc systematyczej jest stosoway w przypadku przyrządów aalogowych, atomast w przypadku coraz częścej spotykaych w laboratorum przyrządów cyfrowych, epewość pomaru jest podawaa przez produceta w strukcj

6 obsług merka Staow oa ajczęścej sumę określoego ułamka wartośc zmerzoej ułamka zakresu z c z () c Nepewość maksymala przyrządu jest zatem a ogół wększa od dzałk elemetarej Np dla pewego typu omomerza c = 0,00, a c = 0,00 a zakrese 0 k przy pomarze oporu o wartośc 0 k otrzymujemy wartość R = 0,04 k, co staow rówowartość czterech dzałek elemetarych merka (dz = 0,0 k) W przypadku epewośc systematyczych zawsze zakładamy, że przyczyk pochodzące od przyrządów obserwatora e kompesują sę, ale dodają do sebe z jedakowym zakam Zatem całkowta epewość systematycza pomaru może być wyrażoa w postac sumy = d + k + o + e, (3) gdze deksy określają odpowede przyczyk do epewośc pomaru (d dzałka elemetara, k klasa przyrządu, o odczyt, e eksperymetator) Gdy domuje jede typ epewośc systematyczej, jak a przykład dzałka elemetara d l = mm w pomarze długośc l = 35 mm, wtedy przyczyek l woszoy przez te typ epewośc systematyczej jest jedyą marą maksymalej epewośc systematyczej = l Określoa w te sposób sumarycza epewość (wz (3)) azywa sę maksymalą epewoścą systematyczą Do tak określoej epewośc e moża zastosować rozważań takch jak dla epewośc przypadkowych, których aalza oparta jest a rozkładze Gaussa Musmy ją terpretować jako () _ - + Rys 3 połowę szerokośc przedzału od do +, który a pewo (z prawdopodobeństwem P = ) zawera wartość rzeczywstą Iterpretacja taka e precyzuje rozkładu prawdopodobeństwa wewątrz przedzału, ale zakładamy, że wszystke wartośc wewątrz tego przedzału są rówe prawdopodobe Ozacza to, że dla welkośc X przyjmujemy prostokąty rozkład prawdopodobeństwa przedstawoy a rys 3 Dla prostokątego (jedostajego) rozkładu fukcj (), epewość stadardowa u() zwązaa jest z maksymalą epewoścą systematyczą, oszacowaą metodą typu B, astępującym wzorem: u() (4) 3 Zgode z Mędzyarodową Normą relacja (4) pozwala a włączee epewośc systematyczej pomaru do prawa przeoszea epewośc dla welkośc złożoej Y (pkt 4), a także umożlwa określee epewośc stadardowej u() welkośc X, w której występuje zarówo składowa systematycza, jak przypadkowa (pkt 5)

7 Przykład Wykoao pomary atężea prądu płyącego przez uzwojee busol styczych (ćw 9) Pomary próbe wykazały ezaczy rozrzut wyków: I I I 3 0,80 A Ozacza to przewagę epewośc systematyczych pomaru ad epewoścam przypadkowym W pomarze użyto amperomerza klasy 0,5 o zakrese A ajmejszej dzałce 0,0A Wahaa wskazówk wg ocey eksperymetatora meścły sę w gracach jedej dzałk Łącze, zgode ze wzorem (3), maksymala epewość systematycza pomaru wyos: l = 0,005A + 0,0A + 0,005A = 0,0A Względa epewość systematycza pomaru: [%] = 3%, a wyk końcowy zgode z Normą zapsujemy w postac: I = (0,80 0,0)A lub I = 0,80()A 3 Nepewośc systematycze pomarów pośredch W wększośc dośwadczeń e merzymy bezpośredo teresującej as welkośc Y Merzymy atomast pewe welkośc perwote X, X, X 3, X oblczamy wartość welkośc Y jako fukcję tych welkośc I tak a przykład, objętość sześcau wyzaczamy merząc długość jego krawędz, przyspeszee zemske g wyzaczamy merząc okres wahań T długość l wahadła, ogskową soczewk możemy wyzaczyć merząc odległość przedmotu obrazu od soczewk Prawo przeoszea epewośc prowadz do astępującego sposobu postępowaa: chcąc wyzaczyć epewość systematyczą welkośc Y, której wartość y = f(,, ), musmy oblczyć zmaę y tej fukcj spowodowaą zmaam jej argumetów o,,, które to welkośc są epewoścam systematyczym merzoych bezpośredo welkośc X, X,X Rozpatrzmy ajperw prosty przypadek, w którym wyzaczaa przez as welkość Y jest fukcją tylko jedej zmeej obarczoej epewoścą pomarową, czyl Stosując rozwęce w szereg Taylora, mamy 3 y y = f( ) (5) df () ( ) d f () y y f () (6) d d Zaedbując w rozwęcu wyrazy, w których występują w wyższej potędze ż perwsza, jako bardzo małe, otrzymujemy Poeważ y = f(), węc możemy zapsać df () y y f () (7) d df () y (8) d

8 4 Bezwzględa epewość welkośc będącej fukcją jedej zmeej (której wartość merzymy) rówa jest bezwzględej epewośc welkośc merzoej pomożoej przez pochodą fukcj Uogólając te przypadek a fukcję welu zmeych y = f(,, ) postępując w te sam sposób, jak w przypadku fukcj jedej zmeej, otrzymujemy f f f y (9) Wyzaczoa w te sposób wartość y jest bezwzględą maksymalą epewoścą welkośc złożoej Y Nepewość względą y [%] otrzymamy, dzeląc wyrażee (9) przez wartość fukcj y = f(,, ) y y[%)] 00% (0) y Występujące we wzorze (9) symbole azywamy pochodym cząstkowym Oblcza sę je w tak sam sposób jak zwykłe pochode fukcj jedej zmeej przy założeu, że pozostałe zmee są welkoścam stałym Wyrażee określoe wzorem (9) przypoma różczkę zupełą, dlatego często te sposób oblczaa epewośc azywamy metodą różczk zupełej Przykład Ogskową soczewk metodą Bessela (ćw 7) wylczamy ze wzoru (e d ) f, 4e gdze: e odległość ekrau (obrazu) od przedmotu, d odległość mędzy dwoma położeam soczewk, przy których a ekrae otrzymujemy ostry, rzeczywsty obraz przedmotu Jede z pomarów dał astępujące wartośc: e = 85 cm, d = 4 cm Maksymalą epewość systematyczą obu pomarów eksperymetator oszacował a 0,5 cm Zgode ze wzorem (9) oblczamy epewość maksymalą welkośc złożoej Podstawając dae umerycze, otrzymujemy f f f e d, e d e d d f e d 4e e f 0,3 0,5 cm 0,47 0,5 cm 0,79 cm Oblczoa wartość ogskowej soczewk f = 6,06 cm Względy błąd f [%] pomaru ogskowej oblczamy ze wzoru (0), otrzymując wyk: f [ %] = %

9 5 Wyk końcowy pomaru wraz z epewoścą zapsujemy w postac f = (6,0 0,3) cm lub f = 6,0(3) cm, f [%] = % W przypadkach, gdy fukcja y = f(,, ) ma postać loczyową, wygode jest oblczać różczkę zupełą po uprzedm zlogarytmowau fukcj te sposób oblczaa epewośc pomarowej os azwę metody różczk logarytmczej W metodze tej wykorzystuje sę zaą własość fukcj logarytmczej, której różczka d d(l ), a węc przyrost fukcj rówy jest względemu przyrostow jej argumetu Zaprezetujemy tę metodę a przykładze fukcj złożoej, zapsaej rówaem gdze: A, a, a pewe welkośc stałe Po zlogarytmowau otrzymujemy ly y a a A () la a () l a l Różczkę zupełą tego wyrażea moża zapsać jako dy d d a a (3) y Podstawając w mejsce dy, d, d wartośc bezwzględych systematyczych epewośc pomarowych: y,,, możemy otrzymać wyrażee a maksymalą epewość względą welkośc złożoej Y: y y a a (4) Zauważmy, że metoda różczk logarytmczej daje bezpośredo epewość względą y, a po przemożeu przez wartość fukcj y = f(,, 3 ) otrzymujemy maksymalą epewość bezwzględą y Uogólając powyższe wyrażee a przypadek fukcj zmeych możemy zapsać: y A a, y a (5) y Metoda ta ma tę zaletę, że oprócz zaczego uproszczea oblczeń pozwala a szybką oceę, która z welkośc merzoych bezpośredo wos ajwększy przyczyek do epewośc welkośc końcowej, poeważ oblczoa tą metodą maksymala epewość

10 6 względa y/y jest sumą epewośc względych / poszczególych welkośc X, X,, X możoych przez współczyk a Przykład 3 Metodę różczk logarytmczej zaprezetujemy a przykładze wyzaczaa rówoważka elektrochemczego medz (k) za pomocą woltametru (ćw 6) Zgode z prawem Faradaya masa medz wydzeloa podczas elektrolzy a elektrodze określoa jest wyrażeem: m = k I t, a stąd wartość rówoważka elektrochemczego możemy wylczyć ze wzoru m k I t W trakce pomarów uzyskao astępujące wartośc wyków ch epewośc: I =,00()A, t = 800() s, m =,9() g Oblczoa wartość rówoważka elektrochemczego medz wyos k = 3, kg/c Stosując metodę różczk logarytmczej (wz (5)), oblczamy maksymalą epewość względą k m t I, k m t I a po podstaweu wartośc lczbowych k k 0,068 0,00 0,0 0,079 k k k oraz % 00% 3% Jak wdać z powyższych oblczeń, ajwększy wkład w epewość pomaru rówoważka elektrochemczego medz wos pomar masy (%) oraz pomar atężea prądu (%) zkomy zaś pomar czasu (0,%) Stąd wosek praktyczy: bardzo starae ależy wyzaczać masę medz wydzeloej a elektrodze, a merk atężea prądu wymeć a lepszy (o lepszej klase) Natomast maksymala, bezwzględa epewość systematycza w wyzaczau rówoważka elektrochemczego wyos k 7 k k 0,09 0 kg / C k ostateczy wyk zapsujemy w postac k = (3,3 0,09)0 7 kg/c lub 3,3(9)0 7 kg/c; k [%] = 3% Tak wyzaczoa bezwzględa epewość maksymala k określa am przedzał, w którym z prawdopodobeństwem 00% powa zajdować sę wartość rzeczywsta Porówując wyzaczoą w dośwadczeu wartość k z wartoścą tablcową k tab = 3,970 7 kg/c, wdzmy, że meśc sę oa w wyzaczoym przez as przedzale epewośc, a węc możemy stąd woskować o poprawośc zarówo zastosowaej przez as metody pomarowej, jak ocey epewośc Omawae w tym rozdzale metody różczk zupełej logarytmczej oblczaa epewośc pomarów welkośc złożoych stosowae są wówczas, gdy epewośc sys-

11 7 tematycze pomarów bezpośredch są zacze wększe od epewośc przypadkowych Zakładamy przy tym ajbardzej ekorzystą z puktu wdzea eksperymetatora sytuację, w której epewośc pomarów bezpośredch e kompesują sę awzajem dlatego w te sposób wyzaczamy maksymale, systematycze epewośc pomarowe (bezwzględą - y względą - y ) welkośc złożoej Y 4 NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE DUŻE W PORÓWNANIU Z SYSTEMATYCZNYMI OCENA TYPU A 4 Nepewośc przypadkowe pomarów bezpośredch Rozkład Gaussa Przewaga epewośc przypadkowych ad systematyczym ujawa sę poprzez otrzymae w ser pomarów pewej welkośc fzyczej, wyków różących sę mędzy sobą Te rozrzut wyków ma pewe określoe cechy, których występowaa e da sę ująć w żade zwązk przyczyowe, ale które podlegają pewym prawdłowoścom statystyczym (zob ćw) W wększośc dośwadczeń stwerdza sę, że rozkład częstośc występowaa epewośc przypadkowych moża opsać fukcją () w postac ( ) ( ) ep (6) Fukcja rozkładu () wyrażoa wzorem (6) opsuje zay w statystyce matematyczej rozkład ormaly, zway rozkładem Gaussa Fukcja ta zależy od dwóch parametrów oraz speła waruek ormalzacyjy ( )d (7) Waruek te wyka z właścwośc fukcj określa, że prawdopodobeństwo zalezea dowolego wyku pomaru w przedzale od do + jest rówe pewośc, czyl Parametry mają prostą terpretację aaltyczą Dla wartośc = fukcja () osąga maksmum Parametr ma atomast tę cechę, że wartośc + określają pukty przegęca krzywej Gaussa A węc wartość możemy traktować jako marę szerokośc rozkładu Natomast statystycza terpretacja parametrów wskazuje, że wartość, przy której fukcja Gaussa przyjmuje maksmum, jest wartoścą oczekwaą rozkładu (w praktyce wartoścą średą z pomarów), a parametr odchyleem stadardowym Z przedstawoych a rys 4 wykresów fukcj Gaussa dla różych wartośc parametru wdać, że ze wzrostem wartośc rozkłady stają sę coraz bardzej spłaszczoe, co moża terpretować jako wzrost lczby pomarów coraz bardzej różących sę od wartośc rzeczywstej o Wydaje sę oczywste, że epewość przypadkowa pojedyczego pomaru powa być określoa za pomocą welkośc będącej marą rozrzutu wyków wokół wartośc rzeczywstej Taką właśe welkoścą jest parametr (rys 4)

12 8 = Rys 4 Prawdopodobeństwo P() zalezea wyku pomaru w przedzale o określoej szerokośc wylcza sę z całk ozaczoej po fukcj rozkładu Gaussa () P () () d, (8) gdze grace całkowaa określają szerokość przedzału, w którym zajduje sę wyk pomaru Z tak oblczoych całek moża wycągąć astępujące wosk: w przedzale powo zajdować sę poad 68% wyków pomarów, w przedzale 95,4%, a w przedzale 3 poad 99% (rys 5) = % 954% 99% Rys 5

13 9 Rozkład Gaussa jest rozkładem cągłym, dobrze przyblżającym dośwadczaly rozkład wyków pomarów, w których domują epewośc przypadkowe Stomy teraz przed problemem oszacowaa parametrów tego rozkładu a podstawe skończoej lczby pomarów Wartość rzeczywstą o, którą zterpretowalśmy jako wartość oczekwaą rozkładu, ajlepej przyblży średa arytmetycza Jest to kosekwecja wykającej z rozkładu Gaussa metody ajmejszych kwadratów, tj waruku, aby suma kwadratów odchyleń wyków pomaru od wartośc rzeczywstej była mmala, tz y ( ) ( o ) m (9) Różczkując wyrażee (9) względem, otrzymujemy dy ( o ) 0, d ( ) 0, 0 o (0) Tak węc wartoścą ajbardzej prawdopodobą (wartoścą oczekwaą) welkośc o jest średa arytmetycza z pomarów: () Natomast parametr określający rozrzut wyków wokół wartośc rzeczywstej o przyblżamy welkoścą () oblczoą a podstawe wzoru ( o ) (), () gdze o jest wartoścą rzeczywstą, a wartoścą -tego pomaru Poeważ e zamy jedak wartośc rzeczywstej o, a jedye jej oszacowae przez średą arytmetyczą, posługujemy sę wzorem w postac S() ( ) (3) Tak zdefowaa epewość pomarowa os azwę odchylea stadardowego pojedyczego pomaru Różca mędzy wzoram () (3) polega e tylko a zastąpeu wartośc rzeczywstej o przez średą arytmetyczą, ale róweż a zamae maowka z a Wyka to z faktu, że w lczku, który jest sumą kwadratów odchyleń pomaru od średej arytmetyczej, mamy już tylko ezależych składków

14 0 Welkość S() określa am epewość przypadkową pojedyczego pomaru jej wartość e zależy od lczby pomarów, a tylko od właścwośc obektu merzoego waruków, w jakch jest wykoyway pomar, poeważ tylko te czyk decydują o szerokośc rozkładu prawdopodobeństwa Dla eksperymetatora wykoującego pomarów daej welkośc ajstotejsza jest ocea, o le z jakm prawdopodobeństwem wyzaczoa wartość średa róż sę od wartośc rzeczywstej 0 Welkoścą pozwalającą a taką oceę jest odchylee stadardowe wartośc średej, które zgode z Mędzyarodową Normą os azwę epewośc stadardowej u() zdefowaej wzorem (ocea typu A) S() u() ( ) (4) ( ) Nepewość stadardowa u(), określoa wzorem (4) jest sumaryczą marą epewośc pochodzących od wszystkch możlwych typów epewośc przypadkowych występujących w pomarach jej wartość maleje ze wzrostem lczby pomarów Wartość u() określa am welkość przedzału wokół wartośc średej, w którym z prawdopodobeństwem 68% moża oczekwać wartośc rzeczywstej Wzęce przedzału rówego u() 3u() powoduje wzrost tego prawdopodobeństwa do odpowedo 95,4% 99,7% A węc podając przedzał epewośc przypadkowej, ależy rówolegle podać wartość prawdopodobeństwa Należy tu zazaczyć, że ym gaussowskm (tz opartym a założeu, że pomary daej welkośc mają rozkład Gaussa) maram epewośc przypadkowej mogą być tzw epewość przecęta epewość prawdopodoba, wyzaczające grace zalezea rzeczywstej wartośc z prawdopodobeństwem odpowedo 57% 50% Np epewość przecętą defujemy wzorem s p, (5) przy czym zależość mędzy epewoścą przecętą a epewoścą stadardową u() daje zwązek u(),5 (6) sp Przykład 4 Wykoao 0 pomarów długośc wałka stalowego przy użycu suwmark, której ajmejsza dzałka wyos 0, mm Uzyskao astępujące wyk: 35,6; 35,8; 35,7; 35,5; 35,6; 35,9; 35,7; 35,8; 35,9; 35,4 (mm) Zgode ze wzorem () wartość średa długośc wyos l = 35,69 mm, atomast epewość stadardowa u(l) zgode ze wzorem (4) ma wartość u(l) = 0,053 mm Wyk końcowy pomaru ależy zapsać w postac: l = 35,69(5) mm, lub l = (35,69 0,05) mm oraz l [%] = 0,% Zauważmy, że wartość epewośc stadardowej u(l) jest porówywala z epewoścą maksymalą l, której wartość jest e mejsza ż 0, mm! (patrz pkt 5)

15 4 Nepewośc przypadkowe pomarów pośredch W praktyce laboratoryjej ajczęścej wykoujemy pomary pośrede, a welkość fzyczą wyzaczoą w eksperymece oblcza sę, operając sę a określoym prawe fzyczym wykającym z tego prawa wzorze Jeżel welkośc X, X, X 3, X bezpośredo merzoe e są skorelowae, tz każdą welkość merzy sę w ym ezależym dośwadczeu, to dla daej fukcj y = f(,, 3 ), (7) epewość stadardową u c (y) fukcj złożoej oblczamy jako sumę geometryczą różczek cząstkowych: y y uc (y) u() u( ), (8) gdze w rozwęcu w szereg Taylora uwzględa sę tylko wyrazy perwszego rzędu, a u( ), u( ), u( ), są wartoścam epewośc stadardowych welkośc X, X, X, bezpośredo merzoych w pomarze, lczoych z wzoru (4) Natomast wartość końcową welkośc Y oblczamy ze wzoru (7), przyjmując wartośc średe welkośc wyzaczoych bezpośredo w eksperymece: y = f (,, ) (9) Jeżel złożoa welkość fzycza Y wyraża sę wzorem w postac loczyowej welkośc bezpośredo wyzaczaych w eksperymece: a y A, (30) gdze A a stałe, to oblczae wyrażea a epewość stadardową u c (y) welkośc Y, wyrażoej wzorem (30), zacze upraszcza sę, przyjmując postać u c (y) y u (y) y c a u( ),, (3) a u() a u( ) gdze: y średa wartość welkośc Y, wylczoa ze średch wartośc podstawoych do wzoru (30) Wzory (8) (3) defują tzw prawo przeoszea epewośc stadardowych w sytuacj, gdy epewośc stadardowe welkośc bezpośredo merzoych są oblczae metodą typu A

16 Przykład 5 Wyzaczamy objętość wałka z przykładu 4, którego długość ma wartość: l = 35,69(5) mm Pomary średcy wykoao suwmarką, powtarzając 0-krote uzyskując wyk: d = 4,89() mm oraz d [%] = 0,4% Nepewość stadardową u(d) = 0,0 mm wyzaczoo w sposób aalogczy jak w przykładze 4, tz ze wzoru (4) Objętość wałka wylczoa ze wzoru d l V = 669,93 mm 3, 4 a epewość stadardową welkośc złożoej u c (V) wylczamy z prawa przeoszea epewośc (wz (8)) u (V) c V u(d) d V u(l) l dl u(d) d 4 u(l) 3 5,56 mm Wyk końcowy pomaru zapszemy w postac V = 670(6) mm 3 lub (670 6) mm 3 ; v [%] = 0,9% 5 NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE PORÓWNYWALNE Z PRZYPADKOWYMI W poprzedch dwóch puktach rozpatrzoo oblczae epewośc pomarowych w przypadkach skrajych: gdy epewośc systematycze wszystkch welkośc bezpośredo wyzaczaych w pomarach domują ad epewoścam przypadkowym (ocea typu B pkt 3) oraz w sytuacj odwrotej, gdy epewośc przypadkowe welkośc prostych przeważają ad epewoścam systematyczym (ocea typu A pkt 4) Chocaż są to przypadk skraje, zdarzają sę oe w aszej praktyce laboratoryjej bardzo często Nemej jedak możlwe są sytuacje, w których część welkośc prostych, służących do wyzaczea welkośc złożoej, wykazuje przewagę epewośc systematyczych, a pozostała przypadkowych Spotykamy róweż przypadk, w których epewośc systematycze welkośc bezpośredo wyzaczaej w pomarze są porówywale z epewoścam przypadkowym tej welkośc Powstały problem moża rozwązać dwojako Na podstawe rozkładu epewośc przypadkowych wyzaczyć moża epewość maksymalą (dobrą oceą będze tu potrojoa wartość epewośc stadardowej u()) dodając do tego epewośc systematycze, polczyć maksymalą epewość welkośc złożoej metodą różczk zupełej lub logarytmczej Jest to metoda, która prowadz do zaczego zawyżea epewośc pomarowej Właścwą metodą zalecaą przez Przewodk jest skorzystae z relacj mędzy maksymalą epewoścą systematyczą a epewoścą stadardową u() wz (4) wprowadzee tak oszacowaej epewośc systematyczej do prawa przeoszea epewośc stadardowych wz (8) (3)

17 3 Tak węc zgode z pkt 3 epewość stadardowa u() wąże sę z maksymalą epewoścą systematyczą (ocea typu B) relacją u() 3 Uwzględając zarówo epewośc systematycze, jak epewośc przypadkowe, epewość stadardową u() ależy lczyć a podstawe wzoru: u() [u()], (3) 3 gdze: u( ) epewość stadardowa określająca epewość przypadkową ser pomarów welkośc X (ocea typu A) Natomast epewość stadardowa u c (y) welkośc złożoej będze określoa dość skomplkowaym, ogólym wyrażeem, wykającym bezpośredo z prawa przeoszea m f ( ) j u c (y) [u( )], (33) j 3 gdze: m lczba epewośc systematyczych, jakm obarczoe są welkośc X bezpośredo dostępe w pomarze, atomast lczba zmeych fukcj y = f(,, ) Przykład 6 W dośwadczeu wyzaczao średcę d cekego drucka metodą ugęca śwatła laserowego Na ekrae w odległośc l od drucka uzyskao obraz dyfrakcyjy, w którym odległośc mędzy środkam mmów dyfrakcyjych wyoszą Średcę drucka wylczamy z wzoru l d, gdze: długość fal śwatła laserowego ( = 63 m) W dośwadczeu l = 0 cm, a epewość systematyczą pomaru odległośc oszacowao a 0,5 cm Odległośc mędzy mmam dyfrakcyjym zmerzoo przymarem mlmetrowym, oceając epewość systematyczą tego pomaru a = 0,5 mm Uzyskao astępujące wyk 0 pomarów odległośc : 0,0; 9,5; 8,5; 9,0; 9,5; 8,0; 9,0; 9,5; 0,0; 9,0; 9,0; 9,5; 9,0; 9,5; 0,0; 9,0; 8,5; 9,5; 9,0 mm Średa odległość = 9, mm, atomast epewość stadardowa wylczoa z wz (4) u() = 0,5 mm Tak węc wkłady obu epewośc są porówywale: u()! Zatem epewość stadardową u() pomaru odległośc ależy oblczyć ze wzoru (3), atomast złożoą epewość u c (d) końcowego wyku oblczamy zatem ze wzoru (33), uwzględając zarówo przyczyek systematyczy jak przypadkowy Odpowede oblczea prowadzą do astępującego wzoru

18 4 u (d) c d (u l () ) (u()) 3 3 d l l 3 l 3 po podstaweu wartośc lczbowych epewość stadardowa wyku złożoego jest rówa: 6 6 u (d) 9, ,800 0,040 5,680 mm c Średa wartość średcy drucka l d = 0,086 mm, a wyk końcowy pomaru zapsujemy w postac: d = (0,083 0,06) mm lub d = 0,083(6) mm oraz d [%] = 30% Jak wyka z wartośc lczbowych wyrażea pod perwastkem, ajwększy wpływ a stosukowo dużą epewość stadardową welkośc złożoej (~30%) ma epewość systematycza wyzaczea odległośc mędzy mmam dyfrakcyjym (drug czło) Należy zatem zmeć metodę pomaru odległośc mędzy mmam dyfrakcyjym (), poprawając zacze jej dokładość METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Bardzo często w praktyce laboratoryjej zachodz koeczość grafczego przedstawea wyków pomarów w postac lowej zależośc y = a + b Należy wówczas przez zbór puktów: ( y ), ( y ), ( y ) wraz z ch epewoścam y poprowadzć ajlepej dopasowaą prostą Isteje jedak pewa procedura rachukowa, zwaa metodą ajmejszych kwadratów, prowadząca do oblczea parametrów prostej (a, b) dla zboru par lczb y Nazwa berze sę od podstawowego założea metody takego doboru parametrów a b, aby suma kwadratów różc wartośc eksperymetalych y oblczoych a + b była jak ajmejsza (rys 6) Utwórzmy zatem fukcję parametrów prostej S(a,b) taką, że: y (a b) S (a,b,) = m (34) Rys 6 Kryterum określoe wzorem (34) wyprowadza

19 5 sę przy założeu, że tak zdefowae odchylea mają rozkład ormaly (Gaussa) Warukem koeczym a stee ekstremum wyrażea (34) jest zerowae sę pochodych cząstkowych względem a b: 0 a S 0 b S, co prowadz do układu dwóch rówań lowych z dwema ewadomym (a b): y b a, y b a (35) Rozwązując powyższy układ rówań, otrzymujemy wzory określające parametry prostej a b: y y b, y y a (36) Zastosowae praw statystyk matematyczej pozwala róweż wyprowadzć odpowede wyrażea a epewośc stadardowe u(a) u(b) parametrów prostej u(a) u(b), b) (a y u(a) (37) Wyrażea (36) (37) wydają sę eco skomplkowae, ale moża uzyskać zacze wygodejszą w oblczeach postać, wykorzystując defcje wartośc średch:, y y y y, y y

20 6 Wówczas rówaa (36) (37) przyjmą postać y y a b y a, (38) y ay by u(a), () (39) w którym ( ) u(b) u(a), jest kwadratem wartośc średej zmeych ezależych Metoda ajmejszych kwadratów e zapewa samoczyej elmacj puktów pomarowych, zacze odbegających od prostej Dlatego też wykres y = f() umożlwający wzualą oceę daych pomarowych ależy wykoać przed przystąpeem do oblczeń, a ajlepej jeszcze w czase pomarów Moża wówczas albo powtórzyć pomar, który zacze odbega od prostej, albo w ostateczośc tak wyk pomaru wyelmować z oblczeń parametrów prostej Oblczoe w te sposób parametry a b pozwalają jawe zapsać rówae y = a + b wrysować tak wylczoą prostą w układ puktów pomarowych ( y ) przedstawoych a wykrese zależośc y = f() Częstym przypadkem w pomarach laboratoryjych jest epełe rówae lowe (b = 0), które chcemy poddać aalze metodą ajmejszych kwadratów Dla fukcj y = a z kryterum ajmejszych kwadratów y a S (a) = m (40) po oblczeu pochodej, otrzymujemy tylko jedo rówae, z którego możemy oblczyć parametr a: gdze y a a y y 0, y, zgode z defcją są wartoścam średm y y Natomast wyrażee a epewość stadardową parametru a przyjme postać (4)

21 czyl gdze a y y u (a), 7 y u (a) a, (4) y y, atomast a jest parametrem prostej wylczoej ze wzoru (4) Rówaa y = a + b y = a azywamy rówaam regresj lowej welkośc fzyczej Y względem welkośc X Marą tego, jak sla jest badaa współzależość, jest współczyk korelacj lowej r y y (43) () y (y) Współczyk korelacj zawera sę w przedzale r, przy czym korelacja jest tym slejsza, m wększą wartość osąga r Tablce statystycze podają gracze wartośc r gr (w zależośc od lczby pomarów ), od których wzwyż moża woskować o steu stotej współzależośc pomędzy badaym welkoścam fzyczym Występujące w rówau regresj parametry mają często określoy ses fzyczy metoda ajmejszych kwadratów pozwala a ch ajbardzej warygodą oceę W welu przypadkach, jeżel zależość mędzy y e jest lowa, możemy aszą fukcję sprowadzć do postac lowej poprzez odpowedą zamaę zmeych Do postac lowej łatwo jest sprowadzć fukcje wykładczą typu: z = c e a Po zlogarytmowau otrzymujemy l z = l c + a Po podstaweu y = l z, b = l c, otrzymujemy fukcję lową y = a + b W podoby sposób moża do postac lowej sprowadzć fukcję potęgową: z = ct a, podstawając y = log z, b = log c, = log t, otrzymujemy: W przypadku fukcj typu hperbolczego y = a + b a y b t postać lową otrzymujemy przez podstawee = /t: y = a +b

22 8 Jako przykład zastosowaa metody ajmejszych kwadratów do zajdowaa rówaa regresj lowej oraz ocey jej parametrów wykorzystamy pomary pochłaaa promeowaa () w zależośc od grubośc warstwy absorbeta (ćw 37) Przykład 7 Zależość lczby zlczeń, która jest proporcjoala do lczby kwatów wysyłaych przez źródło, od grubośc warstwy absorbeta wyraża sę wzorem: N() = N o ep( ), gdze: N 0 lczba zlczeń pochodząca od kwatów, przy braku materału osłabającego (Poeważ promeowau towarzyszy promeowae lub, pomar bez absorbeta daje am lczbę zlczeń wyższą od N 0 ), współczyk osłabea promeowaa [ cm ], grubość absorbeta [cm] W tabel zameszczoo wyk pomarów po uwzględeu promeowaa tła N t = 36 mp/m, atomast a rys 7 przedstawoo zależość N = f() Tabela Grubość absorbeta [cm],,4 3,6 4,8 6,0 7, 8,4 9,6 lczba zlczeń N () [mp/m] Rys 7 W celu wyzaczea parametrów N 0 posłużymy sę metodą ajmejszych kwadratów, sprowadzając uprzedo zagadee do postac lowej Po zlogarytmowau stroam wyrażee a N() przyjmuje postać l N = l N 0 Wprowadzając ozaczea: a =, b = l N 0, y = l N, otrzymujemy rówae prostej y = b + a

23 9 Przed przystąpeem do oblczeń parametrów prostej tworzymy bardzo pożyteczą tabelkę pomocczą: Lp (cm) l N = y y (cm) (cm ) y 8,,4 9,6 8,3069 8,638 6,7487 9,9684 9,55 64,788,44 5,76 9,6 69,006 66,640 45,546 średa = 5,4 y = 7,5083 y = 39,037 = 36,7 y = 56,678 dodatkowo oblczamy ( ) = (5,4 cm) = 9,6 (cm) Wykorzystując ostat wersz tabelk oraz układ rówań (38) (39), oblczamy parametry prostej (a b) oraz ch epewośc u(a) u(b): a = 0,99 cm ; u(a) = 0,008 cm ; b = 8,58; u(b) = 0,05, atomast ze wzoru (43), jako marę współzależośc oblczamy współczyk korelacj, którego wartość wyos r = 0,995 Tak węc szukae rówae prostej ma ostatecze postać: y = 8,59(5) 0,99(8) Współczyk osłabea promeowaa wyzaczoy w tym dośwadczeu jest węc rówy = (0,99 0,008) cm, a jego epewość względa [%] = 4% Natomast początkowa lczba zlczeń N 0 = ( ) mp/m epewość względa N [%] = 5% Rezultaty oblczeń metodą ajmejszych kwadratów oraz dae dośwadczale przedstawoo a rysuku 8 Rys 8

24 30 7 PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW Wyzaczoą welkość fzyczą musmy przedstawć z odpowedą precyzją wraz z przedzałem epewośc wykłej z metody pomarowej, użytych przyrządów czy też właścwośc obektu merzoego Sposoby określea epewośc pomarowych zostały omówoe wcześej, w tym mejscu podamy pewe ogóle zasady prezetacj wyków końcowych Wyk pomarów, bezpośred lub będący wykem oblczeń, jeśl wyzaczamy welkość złożoą, podajemy wraz z epewoścą stadardową bezwzględą u() względą Bezwzględa epewość stadardowa u() (ocea typy A) lub epewość maksymala (ocea typu B) określa, o le wyk pomaru może różć sę od rzeczywstej wartośc o Ne zamy rzeczywstej wartośc, ale uważamy, że meśc sę oa z określoym prawdopodobeństwem w przedzale u() o + u(); ocea typu A, o + ; ocea typu B, dlatego wyk końcowy zapsujemy w postac o = u() lub o = Mędzyarodowa Norma uzaje róweż y sposób podaa wyku końcowego, p: o = (u()) lub o = oraz u() Jako przykład zapsu końcowego przytoczmy wyk pomaru przyspeszea grawtacyjego: g = 9,78 m/ s, u(g) = 0,076 m/s, lub g = 9,78(76) m/s, lub g = (9,78 0,076) m/s Prawdopodobeństwo, z jakm rzeczywsta wartość meśc sę w określoym przez as przedzale, jest bardzo stotą formacją, którą ależy podać oprócz wartośc epewośc pomarowej Ocea epewośc typu A oparta jest a rozkładze ormalym (Gaussa), stąd przyjęce szerokośc przedzału epewośc: u(), u() czy 3u() określa wartość tego prawdopodobeństwa odpowedo a: 68,% 95,4% 99,7% Natomast epewość maksymala (ocea typu B) oparta jest a rozkładze prostokątym (jedostajym) stąd prawdopodobeństwo, że wartość rzeczywsta meśc sę w przedzale jest rówe pewośc (00%) Nepewość względą określamy jako stosuek epewośc bezwzględej u() (lub ) do otrzymaego wyku pomaru podajemy zazwyczaj w procetach u() % 00%

25 3 Stosowae epewośc względej ma stote zaczee dla określea dokładośc pomarów Jeśl merzymy długość ołówka (~0 cm) z dokładoścą do mm, to taka dokładość (epewość względa ~%) wydaje sę wystarczająca rozsąda Natomast pomar długośc boków pokoju (~5 m) z taką samą epewoścą bezwzględą jest już pomarem bardzo dokładym (epewość względa ~0,0%) zupełe epotrzebym, który zresztą trudo byłoby am przeprowadzć Dlatego podae epewośc bezwzględej ewele am mów o rzeczywstej dokładośc pomaru jeśl e zestawmy tej epewośc z wartoścą merzoej welkośc Z tego puktu wdzea welkość epewośc względej daje am pojęce o dokładośc pomarów umożlwa porówae dokładośc różych metod różych welkośc Poadto w przypadku epewośc złożoej (opartej a prawe przeoszea epewośc) pozwala oceć wkład epewośc pomarów bezpośredch do całkowtej epewośc wyku końcowego Końcowe rezultaty ależy podawać we właścwe dobraych jedostkach z odpowedą precyzją O precyzj zapsu daej lczby śwadczy lość zawartych w ej cyfr zaczących Cyfram zaczącym są cyfry od do 9, p lczba 3 ma 3 cyfry zaczące (lub mejsca zaczące) Zero jest cyfrą zaczącą tylko w przypadku, gdy zajduje sę medzy dwoma cyfram e będącym zeram, albo a dowolym mejscu po cyfrze e będącej zerem ale zawartej w lczbe z przeckem Na przykład lczbę 500 możemy zapsać jako przedstawa węc oa jedo mejsce zaczące Jeśl chcemy zazaczyć, że posada oa trzy cyfry zaczące, ależy przedstawć ją w postac 5,00 0 Zer będących mejscam zaczącym e ależy opuszczać W ułamkach dzesętych lość mejsc zaczących odpowada lośc cyfr po ostatm zerze, przed którym e ma cyfr zaczących, p lczba 0,000 ma 3 mejsca zaczące Ułamk dzesęte wygode jest zapsywać w postac lczby ebędącej zerem, możoej przez 0 w odpowedej potędze, p 0,000 =,0 0 3, =,0 0 6 tp Względą epewość pomaru, wyrażoą w procetach, podajemy z dokładoścą do jedego mejsca zaczącego (p 0,%; 0,8%; 3%; 6%), lub dwóch mejsc zaczących, jeżel [%] > 0% (p 3%, 8%, 0% td) Procetowa wartość epewośc względej ogracza lość mejsc zaczących wyku końcowego pomaru jego epewośc bezwzględej Wyk pomaru welkośc prostej lub złożoej zaokrąglamy zawsze do tego samego mejsca dzesętego, do którego zaokrąglalśmy epewość pomarową, bo tylko wtedy odzwercedla o rzeczywstą dokładość pomarową Obe te welkośc zapsujemy w jedoltej postac, tz jeśl wyk zapsujemy jako lczbę możoą przez 0 do dowolej potęg, to bezwzględa epewość pomarowa mus być róweż lczbą pomożoą przez 0 do tej samej potęg W przecwym przypadku zaps trac swoją przejrzystość Jako przykład lustrujący powyższe uwag posłuży am oblczee rówoważka elektrochemczego (k) jego epewośc maksymalej (k) dla pewych joów metalu Z oblczeń uzyskalśmy astępujące lczby: k =, kg/c; epewość bezwzględa k = 0, kg/c epewość względa k k 0, % 00% 4% k % 6, kg / C kg / C

26 3 Wyk końcowy zapsujemy w postac k = (,0 0,04) 0 6 kg/c lub k =,0(4) 0 6 kg/c; [%] = 4% Zauważmy, że zero w wyku końcowym jest lczbą zaczącą Z podaych powyżej zasad wyka, że powśmy dokoywać oblczeń z dokładoścą o co ajmej jedo mejsce zaczące wększą, ż dokładość z jaką podajemy wyk końcowy Uwaga ta przy coraz powszechejszym używau kalkulatorów e jest zbyt stota, pragemy jedak przestrzec przed bezkrytyczym przepsywaem uzyskaych a tej drodze oblczeń przedstawaem ch jako wyków końcowych Na zakończee tych uwag podajemy jeszcze klka ych przykładów poprawego zapsywaa wyków końcowych: m = (9,3 0,) 0 3 kg; [%] = %, I =,7(8) 0 3 A; [%] = 6%, g = 9,78(76) m/s ; [%] = 0,7%, T = (93 )K; [%] = 0,3%, h = 6,59(5) 0 34 J s; [%] = 4% td W trakce pracy w laboratorum fzyczym spotykamy sę często z koeczoścą przedstawea wyków pomarów w postac grafczej, dlatego chcelbyśmy przypomeć pewe ogóle zasady sporządzaa wykresów Wartośc zmeej ezależej odkładamy a os pozomej, a zmeej zależej a os poowej y Obe ose powy być ozaczoe symbolem lub azwą zmeej wraz z azwą lub symbolem jedostk w jakej jest oa wyrażoa Skale obu os powy być tak dobrae, aby krzywa wykresu przebegała możlwe przez całą jego powerzchę Ozacza to, że e muszą oe zaczyać sę od zera tylko od wartośc eco mejszej od ajmejszej zmerzoej wartośc Podzałk skal powy być wyraźe zazaczoe tak dobrae, aby umożlwały łatwe odczytae jakegokolwek puktu a wykrese, z dokładoścą rówą co ajmej dokładośc przeprowadzoych pomarów 3 Pukty dośwadczale powy być przedstawoe w wyraźy sposób kółkam lub krzyżykam tak, aby były wdocze a tle przeprowadzoej krzywej 4 Na wykrese ależy zazaczyć epewośc pomarowe reprezetowae przez poszczególe pukty Jeśl tylko jeda welkość jest obarczoa epewoścą, p zmea zależa Y, to zazaczamy to poową kreską o długośc y, której środek przypada w daym pukce W przypadku, gdy obe zmee obarczoe są epewoścam pomarowym, zazaczamy to w postac krzyżyka o ramoach y, a przecęcu których zajduje sę pukt reprezetujący wyk pomaru 5 Prowadząc krzywą, mającą określć charakter przebegu puktów dośwadczalych, ależy przede wszystkm zwrócć uwagę a welkośc epewośc pomarowych Pukty wytyczające krzywą e muszą a ej leżeć, a powy być raczej rówomere rozmeszczoe powyżej pożej krzywej Należy jedak dbać o to, by krzywa meścła sę w gracach zazaczoych epewośc pomarowych Poprowadzoa krzywa e powa meć ostrych załamań ależy prowadzć ją w sposób możlwe cągły W poblżu zauważoych maksmów lub mmów zagęszczee puktów dośwad-

27 opór ( ) I(A) 33 czalych powo być wększe Pukty wyraźe odbegające od krzywej wypośrodkowaej zwykle są wykem błędów 0 grubych w zwązku z tym odrzu- camy je Przykładem tego sposobu prowadzea krzywej są wykresy charakterystyk 0 prądowo-apęcowych dla różych elemetów elektroczych (rys 9) 6 Gdy dyspoujemy teorą pozwalającą oblczyć krzywą w sposób ezależy od U(V) położea puktów dośwadczalych, to wykres składa sę z tych puktów wraz z Rys 9 ch epewoścam krzywej teoretyczej (rys 0) Krzywa dośwadczala e jest potrzeba 7 Zamy z teor typ fukcj (p wemy, że jest to zależość lowa), ale e zamy jej parametrów (p parametry a b prostej) Korzystając z regresj lowej (pkt 6), wylczamy parametry a b Na wykres aosmy pukty dośwadczale wraz z epewoścam, a prostą wrysowujemy w układ puktów, zgode z rówaem: y = a + b (rys ) 008 (rad) (T-T 0 )/T (stop) temperatura ( oc) Rys 0 Rys Uwag końcowe Przed przystąpeem do wykoywaa ćwczea laboratoryjego ależy sę odpowedo do tego przygotować Przygotowae polega m a zrozumeu badaego zjawska jego teor oraz zapozau sę z plaem ćwczeń, metodą pomaru oraz zestawem przyrządów Ngdy e ależy przystępować do wykoaa ćwczea, jeżel e jest oo dostatecze jase Nezrozumee celu wykoywaych czyośc e tylko e daje żadych korzyśc pozawczych, lecz prowadzć może do uszkodzea często kosztowego przyrządu, lub do wypadku Przed pomaram ależy też przeprowadzć ogólą dyskusję błędu pomaru

28 34 welkośc złożoej Otrzymać z ej moża cee wskazówk, przy pomarze jakch welkośc ależy zwracać szczególą uwagę a dokładość pomarów Z przyrządam ależy obchodzć sę bardzo ostroże Ne zaczyać p łączyć obwodów elektryczych od źródła prądu W każdym przypadku bezwzględe ależy stosować sę do wskazówek podaych w strukcj do każdego ćwczea, do regulamu ogólego, mówącego o zachowau sę w sal laboratoryjej oraz do bezpośredch wskazówek prowadzącego ćwczea Właścwe przygotowae do wykoywaa ćwczeń wymaga róweż pogłębea wadomośc o odpowedch zjawskach a podstawe wykazu lteratury umeszczoego a końcu skryptu Wyboru lteratury dokoao operając sę a klku ogóle dostępych (Bbloteka Główa PG) możlwe owych podręczkach z zakresu fzyk ogólej Na zakończee tych wstępych ogólych uwag chcelbyśmy udzelć jeszcze jedej rady Często welkośc wyzaczae w trakce pracy z laboratorum są welkoścam wyzaczoym uprzedo z dużą dokładoścą łatwo dostępym w tablcach fzyczych Dobrze jest asze końcowe wyk skofrotować z zameszczoym tam daym będze to dodatkowym sprawdzaem zarówo poprawośc aszych oblczeń, jak metody pomarowej oraz sposobu określea epewośc pomarowych LITERATURA [] Gude to Epresso of Ucertaty Measuremets, ISO 995, Swtzerlad Tłumaczee: Wyrażae epewośc pomaru Przewodk Warszawa: Główy Urząd Mar 999 [] Szydłowsk H: Postępy fzyk 5, 9 (000) [3] Zęba A: Postępy fzyk 5, 38 (00) [4] Szydłowsk H: Pracowa fzycza Warszawa: PWN 999 [5] Pracowa fzycza Wydzału Fzyk Techk Jądrowej AGH (Red A Zęba) Skrypt r 59 Kraków: Wydawctwo AGH 998 [6] Laboratorum podstaw fzyk Poltechk Warszawskej (Red J Hrabowska, L Tykarsk) Warszawa: Wydawctwo PW 985

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10) Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym. Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2

Bardziej szczegółowo

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.

Bardziej szczegółowo

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą. Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII RODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW OLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA RACOWNIA DETEKCJI ROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Ć W I C Z E N I E N R J-6 BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI OMIARÓW

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas

Analiza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1

Bardziej szczegółowo

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym) Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli

Bardziej szczegółowo

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X

Bardziej szczegółowo

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych:

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych: UZUPEŁNIAJĄCE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DLA UCZNIÓW TECHNIKUM MECHANICZNEGO PRZYGOTOWUJĄCYCH SIĘ DO ZEWNĘTRZNEGO EGZAMINU KWALIFIKACYJNEGO METROLOGIA TECHNICZNA (materały wybrae) Materały zebrał : mgr ż. Aatol

Bardziej szczegółowo

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU

WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU Fzyka cała stałeo WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU 1. Ops teoretyczy do ćwczea zameszczoy jest a stroe www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomaroweo

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności BOGALECKA Magda 1 Wek statku a prawdopodobeństwo wstąpea wpadku a morzu aalza współzależośc WSTĘP Obserwowa od blsko weku tesw rozwój trasportu morskego, oprócz lądowego powetrzego, jest kosekwecją wzmożoej

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA

SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA Załączk r do Regulamu I kokursu GIS PROGRAM PRIORYTETOWY: SOWA - ENERGOOSZCZĘDNE OŚWIETLENIE ULICZNE METODYKA. Cel opracowaa Celem opracowaa jest spója metodyka oblczaa efektu ograczaa emsj gazów ceplaraych,

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote

Bardziej szczegółowo

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH

ZARYS METODY OCENY TRWAŁOSCI I NIEZAWODNOSCI OBIEKTU Z UWZGLEDNIENIEM CZYNNIKA LUDZKIEGO I PŁASZCZYZNY LICZB ZESPOLONYCH Zdzsław IDZIASZEK 1 Mechatrocs ad Avato Faculty Mltary Uversty of Techology, 00-908 Warsaw 49, Kalskego street r zdzaszek@wat.edu.pl Norbert GRZESIK Avato Faculty Polsh Ar Force Academy, 08-51 Dębl, Dywzjou

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.

R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i. c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo