PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE"

Transkrypt

1 Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka 0, godza 7:0

2 Statystyka jest bardzej sposobem myślea lub woskowaa Ŝ pęczkem recept a młócee daych w celu odsłoęca odpowedz - Calyampud Radhakrsha Rao Podręczk: PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE publkoway jest w częścach podaych poŝej Nr I. Wprowadzee II. III. IV. Statystyka opsowa Tytuł Rachuek prawdopodobeństwa Statystyka matematycza V. Przykłady zastosowań w formatyce VI. VII. Wybrae twerdzea z dowodam Tablce statystycze Autorzy proszą o przesyłae wszelkch uwag propozycj dotyczących zawartośc podręczka z wykorzystaem formularza kotaktowego zameszczoego w portalu Publkowae częśc będą a beŝąco poprawae, w kaŝdej będze podawaa data ostatej aktualzacj. Podręczk udostępa sę a waruku lcecj Creatve Commos (CC): Uzae Autorstwa UŜyce Nekomercyje Bez Utworów ZaleŜych (CC-BY-NC-ND),co ozacza: Uzae Autorstwa (ag. Attrbuto - BY): zezwala sę a kopowae, dystrybucję, wyśwetlae uŝytkowae dzeła wszelkch jego pochodych pod warukem umeszczea formacj o twórcy. UŜyce Nekomercyje (ag. Nocommercal - NC): zezwala sę a kopowae, dystrybucję, wyśwetlae uŝytkowae dzeła wszelkch jego pochodych tylko w celach ekomercyjych.. Bez Utworów ZaleŜych (ag. No Dervatve Works - ND): zezwala sę a kopowae, dystrybucję, wyśwetlae tylko dokładych (dosłowych) kop dzeła, edozwoloe jest jego zmeae tworzee a jego baze pochodych. Podręczk skoreloway z m portal, są w peł powszeche dostępe, staową węc Otwarte Zasoby Edukacyje - OZE (ag. Ope Educatoal Resources OER).

3 STATYSTYKA OPISOWA SPIS TREŚCI. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE UWAGI WSTĘPNE CHARAKTERYSTYKI POŁOśENIA Średa arytmetycza daych statystyczych Domata daych statystyczych Średa waŝoa daych statystyczych Średa ucaa daych statystyczych Średa geometrycza daych statystyczych Średa harmocza daych statystyczych Średa kwadratowa daych statystyczych CHARAKTERYSTYKI ROZPROSZENIA Waracja daych statystyczych Odchylee stadardowe daych statystyczych Współczyk zmeośc daych statystyczych Rozstęp daych Przedzał typowych jedostek populacj Kwatyle Wskaźk struktury CHARAKTERYSTYKI ASYMETRII Współczyk asymetr Iterpretacja symetr w przypadku rozkładu jedomodalego Iterpretacja asymetr za pomocą wykresu szeregu rozdzelczego CHARAKTERYSTYKI SPŁASZCZENIA PODSUMOWANIE Wybrae charakterystyk lczbowe w postac grafczej MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w zaleŝośc od skal MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w arkuszu Excel PRZYKŁADY ANALIZY STATYSTYCZNEJ DANYCH ANALIZA DANYCH PRZEDSTAWIONYCH W POSTACI SZEREGU ROZDZIELCZEGO PRZEDZIAŁOWEGO Prezetacja daych statystyczych Charakterystyk lczbowe BADANIE ZALEśNOŚCI CECH POPULACJI WPROWADZENIE Dae statystycze dwóch cech populacj Prezetacja daych statystyczych pary cech populacj ZALEśNOŚĆ CECH POPULACJI ZaleŜość fukcyja cech populacj ZaleŜość stochastycza (statystycza) cech populacj ZaleŜość korelacyja cech populacj CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE DWÓCH CECH Charakterystyk lczbowe dwóch cech, gdy dae przedstawoe są w szeregu statystyczym Własośc współczyka korelacj Iterpretacja współczyka korelacj Współczyk korelacj Spearmaa

4 STATYSTYKA OPISOWA 3.4. REGRESJA Pojęce regresj I rodzaju Pojęce regresj II rodzaju Lowa regresja II rodzaju...5 4

5 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.. Uwag wstępe. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE Nech x, x,..., x będą wartoścam cechy X wszystkch elemetów populacj albo próby. Są to tzw. dae statystycze. Charakterystyk lczbowe (opsowe) są to lczby charakteryzujące rozkład cechy populacj. Charakterystyk lczbowe cechy X, podobe jak parametry rozkładu zmeej losowej, dzelmy a Charakterystyk połoŝea (średa, medaa, domata); Charakterystyk rozproszea (waracja, odchylee stadardowe, współczyk zmeośc, odchylee przecęte, rozstęp); Charakterystyk asymetr (współczyk asymetr, wskaźk asymetr); Charakterystyk spłaszczea (kurtoza)... Charakterystyk połoŝea Ie azwy charakterystyk połoŝea to: charakterystyk/mary przecęte, średe, tedecj cetralej... Średa arytmetycza daych statystyczych x = x = Przykład. Z pewego egzamu uzyskao astępujące ocey: 3, 4, 5,, 3, 4, 3, 4,, 5. NaleŜy oblczyć ch średa arytmetyczą x = = 3,5 0 Średą arytmetyczą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA wpsując wcześej dae w komórk A:J. 5

6 STATYSTYKA OPISOWA Własośc średej arytmetyczej daych statystyczych (x, x,..., x ). xm x x max. 3. (x x) = 0 = (x x) = (x x ) zwraca sę uwagę, Ŝe w awasach są wartośc dodate x > x x < x 4. WyraŜee (x c) ma wartość ajmejszą gdy c= x =... Medaa daych statystyczych Uporządkujmy dae statystycze od ajmejszej do ajwększej: x (), x (),..., x () Medaa daych statystyczych jest to lczba x gdy jest lczbą eparzystą + me = x + x + gdy jest lczbą parzystą Przykład. Wyzaczymy medaę dla daych statystyczych w dwóch przypadkach a) 3, 0,,, 6, 7, 4,, 5 b) 3, 0,,, 6, 7, 4, Rozwązae a) Porządkujemy dae statystycze od ajmejszej do ajwększej 0,,,, 3, 4, 5, 6, 7. PoewaŜ lczba daych statystyczych jest = 9 ( lczba eparzysta}, węc m = x = x = 3 e + (5) b) Porządkujemy dae statystycze od ajmejszej do ajwększej 0,,,, 3, 4, 6, 7 PoewaŜ lczba daych statystyczych jest = 8 (lczba parzysta}, węc m e = x + x + = x(4) + x (5) = [ + 3] =, 5 ( ) ( ) Medaę moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co dla perwszego przypadku lustruje poŝszy rysuek. Patrz pukt 9.. częśc VII Wybrae twerdzea z dowodam 6

7 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Wykorzystao fukcję statystyczą MEDIANA wpsując wcześej dae w komórk a3: Domata daych statystyczych Jest to ajczęścej występująca daa statystycza (o le steje), ozacza sę ltera d. Domata jest takŝe azywaa modą. Przykład.3 Wyzaczymy domatę dla daych statystyczych w dwóch przypadkach: a) 4, 0, 4,, 4, 7, 0, b) 3, 0,,, 6, 7, 4,,, 4,, Rozwązae a) Najczęścej występującą daą statystyczą jest lczba 4 (występuje 3 razy), zatem d = 4. b) Ne ma daej statystyczej występującej ajczęścej. Domata tych daych e steje. Domatę moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co dla perwszego przypadku lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą WYST.NAJCZESCIEJ wpsując dae w komórk a3:9 7

8 STATYSTYKA OPISOWA Iterpretacja charakterystyk połoŝea Średa arytmetycza, medaa domata są przykładam tzw. charakterystyk połoŝea, czyl welkośc formujących o przecętej welkośc cechy populacj. Wokół tych welkośc skupają sę a ogół wartośc cechy populacj. Iaczej wyraŝamy to mówąc, Ŝe pozae charakterystyk są maram tedecj cetralej wartośc cechy populacj. Średa arytmetycza jest lczbą formującą o tym, jaką wartość cechy powy meć elemety populacj, gdyby wszystke dae statystycze były sobe rówe suma tych wartośc byłaby taka sama ( podzał welkośc a rówych częśc). Medaa dzel zbór daych statystyczych a dwa rówolcze podzbory: do jedego z ch aleŝą dae mejsze lub rówe medae, zaś do drugego dae wększe lub rówe medae. Domata jest ajbardzej typową daą statystyczą. Przykład.4 Jak określać przecęty pozom cechy W pewej frme postaowoo przeaalzować zarobk pracowków. Dae w tys. zł. dotyczące wszystkch 50 pracowków przedstawa poŝsza tabela: Zarobk Razem Lczba pracowków Tabelę otrzymao zlczając take same zarobk w aalzowaych daych przy pomocy fukcj statystyczej Występowae le razy arkusza Excel tak samo postąpoo w kolejych przykładach. Iym sposobem jest wykorzystae arzędza aalzy Hstogram z paketu Aalza daych - Aalyss ToolPak arkusza Excel otrzymuje sę od razu lczby pracowków dla wszystkch pozomów zarobków. 8

9 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Ilustracja grafcza otrzymae przy pomocy modułu Mcrosoft Graph Wyk otrzymae przy pomocy fukcj statystyczych arkusza Excel 6,5 Średa 5 Medaa 4 Domata Chcemy określć przecęte wyagrodzee w frme. Średa arytmetycza wyos 65 zł, a 80 pracowków, czyl 7% otrzymuje wyagrodzea poŝej średej arytmetyczej. W tym przypadku jako przecęte wyagrodzee aleŝy przyjąć medaę, która w tym przypadku wyos 5 tys. zł. Zwraca sę uwagę, Ŝe ajczęścej występującym wyagrodzeem, czyl domatą, jest pesja w wysokośc 4 tys. zł. Przykład.5 Wykładowca postaowł przeaalzować wyk testu z Metod probablstyczych. Dae dotyczące lczby zdobytych puktów przez 50 studetów przedstawa poŝsza tabela. Lczba puktów Lczba studetów Razem Ilustracja grafcza otrzymae przy pomocy modułu Mcrosoft Graph Wyk otrzymae przy pomocy fukcj statystyczych arkusza Excel 73,8 Średa 90 Medaa 00 Domata 9

10 STATYSTYKA OPISOWA Średa arytmetycza wyków testu wyos 73,8 czyl dotyczy jedye 3 wyków - spowodowae jest to tym, Ŝe 5 studetów tz. 0% wypadło bardzo słabo otrzymując 0, 5 lub 0 puktów. Stąd jako przecęty wyk testu aleŝy przyjąć medaę, która jest rówa 90 puktów. Zwraca sę uwagę, Ŝe ajczęścej występującym wykem, czyl domatą, jest maksymala lczba puktów rówa 00. Przykład.6 W pewej uczel postaowoo przeaalzować wek studetów a specjalośc bazy daych w sume 50 studetów. Dae przedstawa poŝsza tabela: Wek Razem Lczba studetów Ilustracja grafcza otrzymae przy pomocy modułu Mcrosoft Graph Wyk otrzymae przy pomocy fukcj statystyczych arkusza Excel Średa 8 Medaa 34 Domata Średa arytmetycza weku studetów jest rówa 8. ZauwaŜmy, Ŝe e ma a jedego studeta o takm weku, a takŝe weku zblŝoego (brak studetów o weku 6, 7, 8, 9 30). W tym przypadku dla określea przecętego weku studetów aleŝy podać dwa ajczęścej występujące pozomy weku: 34 być moŝe dotyczą oe przecętego weku studetów studów stacjoarych estacjoarych. W tym przypadku podae średej arytmetyczej meday jest mylące. Podsumowae jak określać przecęty pozom cechy Średa arytmetycza - jeŝel rozkład jest symetryczy z jedą modą Medaa - jeŝel rozkład jest esymetryczy z jedą modą Moda jeŝel rozkład jest welo modaly, podając ją dla kaŝdego obszaru zmeośc 0

11 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Ie charakterystyk połoŝea..4. Średa waŝoa daych statystyczych z odoszącym sę do ch eujemym wagam w, w,..., w z których co ajmej jeda jest dodata, jest określoa przez: x w w x + w x w x = = = w + w w W te sposób dae którym przypsao wększe wag mają wększy udzał w określeu średej waŝoej Ŝ dae, którym przypsao mejsze wag. Jeśl wszystke wag są rówe, wówczas średa waŝoa jest rówa średej arytmetyczej. Przykład.7 W pewej uczel oceę ukończea studów staow suma: 0,6 średej wszystkch oce x z egzamów zalczeń - cały okres studów 0, ocey x pracy dyplomowej, 0, ocey x 3 egzamu dyplomowego. Jest to przykład średej waŝoej: = w x 0,6x + 0,x + 0, x x = = 0,6x + 0,x + 0,x 0,6 + 0, + 0, 3 w 3 Nech x=3,5 x=4,5 x3=4,0. Wtedy x w = 0,6 3,5 + 0, 4,5 + 0, 4,0 =,+ 0,9 + 0,8 = 3,8 Średą waŝoą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. w Wykorzystao fukcję matematyczą SUMA.ILOCZYNÓW wpsując wcześej dae w komórk a:a3 oraz b:b3. W ogólym przypadku (kedy suma wag jest róŝa od ) wyk aleŝy podzelć przez sumę wag, którą moŝa oblczyć z wykorzystaem fukcj matematyczej SUMA.

12 STATYSTYKA OPISOWA..5. Średa ucaa daych statystyczych Ie azwy to: średa obcęta lub średa trymowaa. Jest ych średch, mody meday jedą z mar statystyczych tedecj cetralej. Najprostszym przykładem jest sędzowae zawodów sportowych przez 5 sędzów. Odrzuca sę ajŝszą ajwyŝszą oceę, a pozostałe sumuje sę. Przy oblczau średej ucaej obserwacje porządkuje sę od ajmejszej do ajwększej, odrzuca sę mały procet ajbardzej ekstremalych obserwacj a obu krańcach (wartośc ajmejsze oraz ajwększe w próbce), a ogół rówej lczośc, a astępe oblcza sę średą z pozostałych obserwacj. Na ogół odrzuca sę mmum maksmum z próbk lub wartośc poŝej 5 cetyla powyŝej 75 cetyla. Wartośc poŝej 5 cetyla Wartośc poŝej 50 cetyla Wartośc poŝej 75 cetyla Wartośc poŝej 00 cetyla Odrzucae Oblczae średej Odrzucae Rysuek.. Średa ucaa jest charakterystyką mało wraŝlwą a wartośc odstające. Średa ucaa wykorzystywaa jest do ocey zawodków w róŝych kokurecjach, odrzuca sę wtedy oceę ajwyŝszą ajŝszą, a astępe z pozostałych oblcza sę średą arytmetyczą. Przykład.8 Pęcu sędzów oceło skok do wody pewego zawodka wystawając ocey: 3, 4, 4, 5, 4. Oblczyć średą oce po odrzuceu ocey ajŝszej ajwyŝszej. Rozwązae Ocea ajŝsza to 3, a ocea ajwyŝsza 5. Pozostałe ocey to 4, zatem ch średa wyos 4. Średą ucaą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA.WEWN wpsując wcześej dae w komórk a3:e3 oraz określając, Ŝe 40% daych ma być odrzucoych (0% ajmejszych 0% ajwększych).

13 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE..6. Średa geometrycza daych statystyczych g = = = x x x x x Średa geometrycza zajduje zastosowae w badau średego tempa zma zjawsk, których rozwój jest przedstawoy w postac szeregów dyamczych, p. do uśredaa deksów łańcuchowych. Przykład.9 Roczy procetowy przyrost przychodów pewej frmy formatyczej w kolejych czterech latach wyosł: 0%, 0%, 5%, 5%. Jak był śred przyrost w tym okrese? 4 4 xg =,,,05,5 =,5939 =,5939 =,65 =,36 Średa geometrycza powyŝszych daych wyos,5%. Średą geometryczą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA wpsując wcześej dae w komórk a9:d Średa harmocza daych statystyczych x = = x x h = = Tak węc jest średa harmocza (dla daych statystyczych róŝych od zera) jest odwrotoścą średej arytmetyczej odwrotośc daych statystyczych. Średą harmoczą stosuje sę w przypadku gdy wartośc zmeej podae są w jedostkach względych (p. m/s, cm/osoba). Ideks łańcuchowy - loraz pozomu zjawska w okrese badaym, do pozomu zjawska w okrese poprzedzającym okres baday. 3

14 STATYSTYKA OPISOWA Przykład.0 Odległość z masta A do B rowerzysta przejeŝdŝa z prędkoścą 0 km/godz, z powrotem jedze z prędkoścą 5 km/godz. Jaka była prędkość średa rowerzysty? Średa arytmetycza x = = 7,5 0 Średa harmocza xh = = = = 6, ZałóŜmy, Ŝe odległość pomędzy mastam wyos 0 km. Zatem czas przejazdu z A do B wyos godz., a powrotem godz. Sumarycza odległość wyos 0 km, sumaryczy czas przejazdu 3 godz., zatem średa prędkość wyos 0/3 = 6,67 km/godz pokrywa sę ze średą harmoczą. Średą harmoczą moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą ŚREDNIA.HARMONICZNA wpsując wcześej dae w komórk A:B...8. Średa kwadratowa daych statystyczych x k = x = MoŜa wykazać prawdzwość zaleŝośc pomędzy elemetam próby (x, x,..., x ) 3 : x x x = = = = x Zwraca sę uwagę, Ŝe elemety powyŝszej zaleŝośc lczoe od lewej to: średa harmocza, średa geometrycza, średa arytmetycza średa kwadratowa. 3 Patrz pukt 9.. częśc VI Wybrae twerdzea z dowodam 4

15 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.3. Charakterystyk rozproszea Ie azwy charakterystyk rozproszea to: charakterystyk/mary zróŝcowaa, dyspersj.3.. Waracja daych statystyczych s (x x) x = = Warację moŝa wyzaczyć ze wzoru 4 s = (x x ) = x ( x ) = x ( x) x k = = = Wzór te umoŝlwa oblczee waracj w jedym przebegu. Przykład. Oblczyć warację wyków egzamu podaych w przykładze. 5. Perwszy etap oblczeń zgode z powyŝszym wzorem przedstawoo w poŝszej tabel Suma Suma/0 x ,5 x ,3 Zatem ( ) x k s = x x = 3,3 3,5 = 3,3, 5 =, 05 Warację moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą WARIANCJA wpsując wcześej dae w komórk A:A0. 4 Patrz pukt 9.3. częśc VII Wybrae twerdzea z dowodam 5 Rekomeduje sę przeprowadzee oblczeń z wykorzystaem arkusza Excel 5

16 STATYSTYKA OPISOWA Zwraca sę uwagę a róŝcę w wykach. Spowodowae jest to tym, Ŝe w arkuszu Excel we wzorze według którego oblczaa jest waracja zamast występuje po to, aby zapewć eobcąŝoość waracj, pojęce zostae wyjaśoe w statystyce matematyczej. Powody zostaą wyjaśoe przy omawau Statystyk matematyczej..3.. Odchylee stadardowe daych statystyczych Odchylee stadardowe wyzaczae jest jako perwastek z waracj. Przykład. s x = Oblczyć odchylee stadardowe wyków egzamu podaych w przykładze.. Odchylee moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustruje poŝszy rysuek. s x Wykorzystao fukcję statystyczą ODCH.STANDARDOWE wpsując wcześej dae w komórk A:A Współczyk zmeośc daych statystyczych s v x x = 00% x przy załoŝeu, Ŝe x Rozstęp daych r0 = x max xm gdze: x m ajmejsza daa statystycza, x max ajwększa daa statystycza. Rozstęp moŝa wyzaczyć jako róŝcę wyków uzyskwaych za pomocą dwóch fukcj statystyczych arkusza Excel: MAX MIN Przedzał typowych jedostek populacj x s ; x + s x x 6

17 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Iterpretacja charakterystyk rozproszea Waracja, odchylee stadardowe, współczyk zmeośc rozstęp są przykładam charakterystyk rozproszea (zmeośc, zróŝcowaa). KaŜda z tych charakterystyk ma wartość rówą zeru tylko w przypadku rówych wszystkch daych statystyczych (e ma wtedy zróŝcowaa daych) ma coraz wększą wartość, gdy dae są bardzej zróŝcowae. Waracja odchylee stadardowe merzą rozproszee daych statystyczych od ch średej arytmetyczej. Jeśl dae statystycze są wyraŝoe w pewych jedostkach, to waracja jest wyraŝoa w tej jedostce do kwadratu. Tej edogodośc e ma odchylee stadardowe. Współczyk zmeośc wyraŝa, jak procet staow odchylee stadardowe względem wartośc średej arytmetyczej. Jest welkoścą emaowaą (bez jedostk). Nadaje sę węc do porówywaa zróŝcowaa cech populacj wyraŝoych w róŝych jedostkach. Rozstęp wyraŝa długość ajkrótszego przedzału, do którego aleŝą wszystke dae statystycze Kwatyle Kwatylem rzędu p (p-tym kwatylem) cechy X populacj azywamy lczbę (ozaczee k p ) taką, Ŝe co ajmej p procet daych statystyczych jest mejszych lub rówych tej lczbe oraz co ajmej -p procet daych statystyczych jest wększych lub rówych tej lczbe, przy czym lczba p (0; ). Kwartyle q, q, q 3 perwszy, drug oraz trzec są to kwatyle odpowedo rzędu 0,5, 0,50, 0,75. Kwartyl drug q jest oczywśce medaą cechy X. Kwtyl to kwatyl rzędu /5 (perwszy kwtyl, doly kwtyl 6 ), /5, 3/5 lub 4/5 (czwarty kwtyl, góry kwtyl). 0% obserwacj ma wartośc poŝej dolego kwtyla, a 0% powyŝej górego kwtyla. Decyle d, d,, d 9 perwszy, drug td. do dzewątego są to kwatyle odpowedo rzędów 0,, 0,,, 0,9. Cetyle c, c,, c 99 perwszy, drug td. oraz dzewęćdzesąty dzewąty są to kwatyle odpowedo rzędu 0,0, 0,0,, 0,99 cetyl jest węc welkoścą, poŝej której padają wartośc zadaego procetu próbek. UŜywa sę takŝe azwy percetyl. Kwartyle, kwtale, decyle cetyle dzelą dae statystycze a odpowedo cztery, dzesęć oraz sto rówolczych podzborów, co wykorzystuje sę, gdy daych statyczych jest duŝo. Przykład.3 Badao wydajość 0 serwsatów. Otrzymae dae, dotyczące czasu usuwaa określoej awar, uporządkowao emalejąco 48, 5, 53, 54, 56, 64, 65, 68, 68, 68, 70, 7, 7, 73, 74, 76, 83, 87, 89, 0 Oblczymy kwatyle rzędu 0,5 rzędu 0,8. Oblczamy 5% lczebośc daych statystyczych = 0, l = 0,5 0 = 3 Zatem k 0,5 = x (3) = 53 (trzec wyraz w uporządkowaym emalejąco cągu daych statystyczych) Sprawdzmy, czy otrzymay wyk jest zgody z defcją kwatyla k 0,5. 6 Przy pomocy kwtyl często redaguje sę zasadę Pareto: doly kwtyl obektów geeruje 80% zasobów. 7

18 STATYSTYKA OPISOWA Daych statystyczych co ajwyŝej rówych 53 mamy 3, czyl 5% wszystkch daych, atomast daych co ajmej rówych 53 mamy 8, czyl 90%, co jest wększe od 00% 5% wszystkch daych. Kwatyl k 0,5 został zatem wyzaczoy poprawe. Oblczamy 8% lczebośc daych statystyczych l = 0,8 0 = 5,6 6 Przyjmujemy, Ŝe k 0,8 = x (6) = 64. Rzeczywśce, daych co ajwyŝej rówych 64 mamy 6, co staow 30% wszystkch daych. Jest to węcej Ŝ 8%. Z drugej stroy daych co ajmej rówych 64 mamy 5, co staow 75% wszystkch daych. Jest to węcej Ŝ 00% - 8%. Zatem kwatyl k 0,8 został wyzaczoy poprawe. ZauwaŜmy, Ŝe w tym przypadku kaŝda lczba z przedzału (56; 64> jest kwatylem k 0,8. Oblczymy teraz trzec kwartyl q 3. PoewaŜ 75% lczby 0 wyos 5, to q 3 = x (5) =73. Kwartyle moŝa oblczyć korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co dla trzecego lustruje poŝszy rysuek. Wykorzystao fukcję statystyczą KWARTYL wpsując wcześej dae w komórk a7:t Wskaźk struktury RozwaŜmy cechę X pewe warat tej cechy. Wskaźk struktury waratu cechy X populacj jest to stosuek lczby daych statystyczych rówych waratow do lczby wszystkch daych statystyczych k w = k lczba daych statystyczych rówych daemu waratow, lczba wszystkch daych statystyczych. 8

19 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Przykład.4 Populacja: Parta towaru lcząca 000 sztuk w tym 30 wadlwych. Cecha populacj X: zmea losowa przyjmująca, gdy sztuka jest wadlwa wartość 0, gdy sztuka jest dobra. Wskaźk struktury waratu (sztuka wadlwa) jest rówy 30 w = 3% 000 = w rozwaŝaej sytuacj azywa sę wadlwoścą towaru, ozacza procet sztuk wadlwych w całej part. Przykład.5 Oblczymy częstośc występowaa wyków egzamu podaych w przykładze., korzystając z arkusza kalkulacyjego Excel co lustrują poŝsze rysuk. 9

20 STATYSTYKA OPISOWA.4. Charakterystyk asymetr Współczyk asymetr Współczyk asymetr = k 3 sx a = (x x) gdze s jest odchyleem stadardowym, zaś lczk azywa sę mometem cetralym rzędu 3, Wskaźk asymetr x d a s = sx gdze x, d, s są odpowedo średą, domatą odchyleem stadardowym cechy X. Jest to tzw. klasyczy merk asymetr stadaryzoway. Jeśl a k a s są rówe 0, to rozkład cechy X jest symetryczy, jeśl są róŝe od zera, to rozkład jest asymetryczy, przy czym, jeśl są dodate, to asymetra rozkładu jest prawostroa, jeśl są ujeme, to asymetra jest lewostroa. Wartość bezwzględa współczyka wskaźka asymetr merzy słę asymetr, m jest wększa tym asymetra jest slejsza. Współczyk wskaźk asymetr są jedostkam emaowaym, mogą węc słuŝyć do porówywaa asymetr cech populacj wyraŝoych w róŝych jedostkach. Uwaga: W pakece Excel współczyk asymetr moŝa oblczyć za pomocą fukcj statystyczej SKOŚNOŚĆ w której stosoway jest eco zmeoy wzór a współczyk asymetr a ' = K = 3 ( )( ) sx 3 (x x) po to, aby zapewć eobcąŝoość współczyka, pojęce zostae wyjaśoe w statystyce matematyczej. 3 7 UŜywaa jest azwa skośość. 0

21 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.4.. Iterpretacja symetr w przypadku rozkładu jedomodalego 8 W tym przypadku medaa jest zawarta mędzy średą domatą, czyl prawdzwa jest jeda z poŝszych erówośc podwójych x me d lub d me x Zatem: Jeśl cecha X populacj ma rozkład symetryczy, to średa arytmetycza, medaa domata tej cechy są sobe rówe x = me = d, tz. w cągu uporządkowaych mootocze daych statystyczych, a lewo a prawo od średej jest tyle samo tych daych oraz średa jest rówa ajczęścej występującej daej statystyczej (rys..). Rys... Rozkład symetryczy Jeśl cecha X populacj ma rozkład asymetryczy o asymetr prawostroej (dodatej), azyway takŝe rozkładem prawostroe skośym, to jest węcej daych statystyczych mejszych od średej Ŝ daych statystyczych wększych od tej średej oraz ajczęścej występująca daa statystycza jest Rys..3. Rozkład o asymetr prawostroej mejsza od średej (rys..3). Jeśl cecha X populacj ma rozkład asymetryczy o asymetr lewostroej (ujemej), azyway takŝe rozkładem o lewostroe skośym, to jest węcej daych statystyczych wększych od średej Ŝ daych statystyczych mejszych od tej średej, oraz ajczęścej występująca daa statystycza jest wększa od średej (rys..4). Rys..4.Rozkład o asymetr lewostroej Przykład.6 Oceć kurtozę rozkładu oce z egzamu w dwóch grupach, które podao w poŝszej tabel Grupa 3 3 Grupa Wyk oblczeń z wykorzystaem fukcj statystyczej SKOSNOŚĆ. 8 Rozkładu z tylko jedą domującą wartoścą.

22 STATYSTYKA OPISOWA Rozkłady oce przedstawają poŝsze rysuk

23 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE I w końcu wyk oblczea charakterystyk lczbowych korzystając z arzędza Statystyka opsowa paketu Aalyss ToolPak. Rekomeduje sę Czytelkow przeaalzowae powyŝszych wyków Iterpretacja asymetr za pomocą wykresu szeregu rozdzelczego Za pomocą wykresu szeregu rozdzelczego łatwo określć stee asymetr jej zak, maowce: Jeśl wykres szeregu rozdzelczego cechy populacj jest symetryczy względem pewej prostej prostopadłej do os odcętych (prostej o rówau postac x = a), to cecha ta ma rozkład symetryczy - patrz rys...5 (średa, medaa domata są rówe a). Jeśl wykres szeregu rozdzelczego cechy populacj e jest symetryczy względem Ŝadej prostej prostopadłej do os odcętych jego prawa część jest wydłuŝoa, to cecha ta ma rozkład asymetryczy o asymetr dodatej, czyl prawostroej (patrz rysuk.3,.6). Jeśl wykres szeregu rozdzelczego cechy populacj e jest symetryczy względem Ŝadej prostej prostopadłej do os odcętych jego lewa część jest wydłuŝoa, to cecha ta ma rozkład asymetryczy o asymetr ujemej, czyl lewostroej patrz (rysuk.4..7). PoŜsze trzy wykresy szeregów rozdzelczych dotyczą odpowedo cechy o rozkładze symetryczym, asymetryczym o asymetr dodatej asymetryczym o asymetr ujemej. 3

24 STATYSTYKA OPISOWA Rys..5. Rozkład symetryczy.5. Charakterystyk spłaszczea 9 Merk spłaszczea Współczyk spłaszczea (kurtoza) Rys..6. Rozkład asymetryczy o asymetr prawostroej (dodatej) m = (x x) 4 = 4 (x x) = k = 3 4 sx 4 Rys..7. Rozkład asymetryczy o asymetr lewostroej (ujemej) Kuroza jest marą skupea wokół średej arytmetyczej, m wększa jest jej wartość, tym bardzej wartośc zmeej kocetrują sę wokół średej marą odesea jest rozkład ormaly. Jeśl kuroza jest ujema, to rozkład jest bardzej spłaszczoy od ormalego 0, jeśl dodata, to rozkład jest bardzej wysmukły Ŝ ormaly. Uwaga: W pakece Excel współczyk asymetr moŝa oblczyć za pomocą fukcj statystyczej KURTOZA w której stosoway jest eco zmeoy wzór k 4 (x x) ' ( + ) = 3( ) = 4 x ( )( )( 3) s ( )( 3) po to, aby zapewć eobcąŝoość współczyka, pojęce zostae wyjaśoe w statystyce matematyczej. Przykład.7 Oceć kurtozę rozkładu oce z egzamu w dwóch grupach, które podao w poŝszej tabel Grupa 3 3 Grupa Ia azwa to charakterystyk ekscesu. 0 Patrz pukt

25 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Wyk oblczeń z wykorzystaem fukcj statystyczej KURTOZA. Rozkłady oce przedstawają poŝsze rysuk

26 STATYSTYKA OPISOWA.6. Podsumowae.6.. Wybrae charakterystyk lczbowe w postac grafczej CHARAKTERYSTYKI POŁ0śENIA Klasycze Pozycyje Średa arytmetycza Średa waŝoa Średa harmocza Medaa Domata (moda) Kwatyle Średa geometrycza Kwartyle Decyle Rysuek.8. Charakterystyk połoŝea Cetyle Rysuek.9. Charakterystyk rozproszea 6

27 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE.6.. MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w zaleŝośc od skal RODZAJ CHARAKTERYSTYKI NAZWA CHARAKTERYSTYKI SKALA Nomala Porządkowa Przedzałowa Średa arytmetycza + Średa harmocza + Mary połoŝea Średa geometrycza + Domata (moda) Kwatyle + + Medaa + + Waracja + Mary zróŝcowaa Odchylee stadardowe + Odchylee przecęte + Rozstęp + + Mary asymetr (skośośc) Merk asymetr klasyczy + Mary spłaszczea Współczyk spłaszczea MoŜlwośc oblczaa charakterystyk lczbowych w arkuszu Excel Lp Charakterystyk lczbowe Fukcje statystycze STATYSTYKA OPISOWA. Średa arytmetycza ŚREDNIA +. Medaa MEDIANA 3. Domata WYST.NAJCZESCIEJ + 4. Średa waŝoa SUMA.ILOCZYNÓW 5. Średa ucaa ŚREDNIA.WEWN 6. Średa geometrycza ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA 7. Średa harmocza ŚREDNIA.HARMONICZNA 8. Waracja WARIANCJA + 9. Odchylee stadardowe ODCH.STANDARDOWE + 0. Kwartle KWARTYL +. Współczyk asymetr SKOŚNOŚĆ +. Współczyk spłaszczea KURTOZA + Dzałaa a ragach e maja uzasadea 7

28 STATYSTYKA OPISOWA.7. Przykłady aalzy statystyczej daych Zakładamy, Ŝe cecha X populacj jest merzala. Aby pozać strukturę tej cechy aleŝy zgromadzć opracować dae statystycze. Opracowae daych statystyczych polega a ch prezetacj (tabelaryczej grafczej) oraz oblczeu charakterystyk lczbowych. Podamy przykłady aalzy gdy cecha X jest skokowa o umarkowaej lczbe waratów (do 5). Daych statystyczych jest zacze węcej Ŝ waratów. Z powyŝszych załoŝeń wyka, Ŝe ektóre waraty cechy muszą sę powtarzać. Ozaczea X - cecha populacj, r - lczba waratów, w, w,..., w r - waraty cechy X, - lczba daych statystyczych, - lczebość waratu w ( le razy powtarza sę warat w ) Prezetacja daych statystyczych Tabelarycza - za pomocą szeregu statystyczego puktowego Warat w Lczebość w w w r Suma grafcza - wykres szeregu puktowego Charakterystyk lczbowe Wzory a średą arytmetyczą, warację współczyk asymetr przyberają teraz postać: r Średa arytmetycza Waracja Współczyk asymetr r x = w = s (w x) r x = = a = k = 3 sx r ( w - x) 3 Przykład.8 Badao lczbę błędów w kodze źródłowym 30 programstów (cecha X populacj). Otrzymao astępujące wyk: 3,,, 3, 4, 5, 3,, 0,, 6, 3, 4, 5, 3,, 5, 3, 0,,,, 4, 3, 4, 4, 3,, 6, 5. Opracujemy te dae. Prezetacja tabelarycza: Szereg statystyczy puktowy Lczba błędów w Razem Lczebość JeŜel cecha ma rozkład skokowy waratów jest duŝo lub ma rozkład cągły dae statystycze grupujemy w klasach, których lczba zaleŝy od lośc daych. Tym przypadkem e będzemy sę zajmować. 8

29 PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Prezetacja grafcza Hstogram Wykres kołowy 9 8 Lczba maszystek % 3% 7% 6% 7% 3% 7% Lczba błędów Rys..0 Prezetacje grafcze daych Charakterystyk lczbowe Lczba błędów w Lczebość w Lczebość skumulowaa 3 s (w x) Razem Charakterystyk tedecj cetralej Charakterystyk zróŝcowaa r 90 x= w = =3 s = 30 x =,6 m e= x ( 5) +x ( 6) = [ 3+3 ] =3 - patrz 4 s =,6 d = 3 r 0 = 6 0 = 6 v = 53,3 % Przedzał typowych jedostek populacj <,39 ; 4,6>. Do tego przedzału aleŝą programśc, którzy popełl, 3 lub 4 błędy. Jest ch 8. Rozkład cechy jest symetryczy, bo x = m e = d, węc wskaźk asymetr a = 0. Hstogram jest symetryczy względem prostej x = 3. 3 Suma lczebośc daych statystyczych rówych waratow w oraz lczebośc wszystkch waratów < w. 4 x (5) x (6) ozaczają pętasty szesasty wyk w cągu uporządkowaych emalejąco daych. Z czwartej kolumy tabel wyka, Ŝe x () do x (9) są rówe 3. 9

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna

Lekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj

Bardziej szczegółowo

Miary statystyczne. Katowice 2014

Miary statystyczne. Katowice 2014 Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym? Oblczae średej, odchylea tadardowego meday oraz kwartyl w zeregu zczegółowym rozdzelczym? Średa medaa ależą do etymatorów tzw. tedecj cetralej, atomat odchylee tadardowe to etymatorów rozprozea (dyperj)

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej

PŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny

KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA. Adrian Kapczyński Maciej Wolny KONCEPCJA WIELOKRYTERIALNEGO WSPOMAGANIA DOBORU WARTOŚCI PROGOWEJ W BIOMETRYCZNYM SYSTEMIE UWIERZYTELNIANIA Adra Kapczyńsk Macej Woly Wprowadzee Rozwój całego spektrum coraz doskoalszych środków formatyczych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Monika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu

Bardziej szczegółowo

Modele wartości pieniądza w czasie

Modele wartości pieniądza w czasie Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW U podstaw wszystkch auk przyrodczych leży zasada: sprawdzaem wszelkej wedzy jest eksperymet, tz jedyą marą prawdy aukowej jest dośwadczee Fzyka, to auka

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

Analiza danych pomiarowych

Analiza danych pomiarowych Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety

Bardziej szczegółowo

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety

Bardziej szczegółowo

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne. Katedra Podsta Systemó Techczych - Podstay metrolog - Ćczee 3. Dokładość pomaró, yzaczae błędó pomaroych Stroa:. BŁĘDY POMIAROWE, PODSTAWOWE DEFINICJE Każdy yk pomaru bez określea dokładośc pomaru jest

Bardziej szczegółowo

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki) Adrzej Kubaczyk Laboratorum Fzyk I Wydzał Fzyk Poltechka Warszawska OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradk do Laboratorum Fzyk) ROZDZIAŁ Wstęp W roku 995 z cjatywy Mędzyarodowego Komtetu Mar (CIPM) zostały

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach

Przestrzenno-czasowe zróżnicowanie stopnia wykorzystania technologii informacyjno- -telekomunikacyjnych w przedsiębiorstwach dr ż. Jolata Wojar Zakład Metod Iloścowych, Wydzał Ekoom Uwersytet Rzeszowsk Przestrzeo-czasowe zróżcowae stopa wykorzystaa techolog formacyjo- -telekomukacyjych w przedsęborstwach WPROWADZENIE W czasach,

Bardziej szczegółowo

Elementy arytmetyki komputerowej

Elementy arytmetyki komputerowej Elemety arytmetyk komputerowej cz. I Elemety systemów lczbowych /materał pomocczy do wykładu Iformatyka sem II/ Sps treśc. Wprowadzee.... Wstępe uwag o systemach lczbowych... 3. Przegląd wybraych systemów

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1 Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI

SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych

Portfel złożony z wielu papierów wartościowych Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe

Bardziej szczegółowo

1. Relacja preferencji

1. Relacja preferencji dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH I Pracowa IF UJ Luy 03 PODRĘCZNIKI Wsęp do aalzy błędu pomarowego Joh R. Taylor Wydawcwo Naukowe PWN Warszawa 999 I Pracowa

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI

Laboratorium Metod Statystycznych ĆWICZENIE 2 WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Laboatoum Metod tatystyczych ĆWICZENIE WERYFIKACJA HIPOTEZ I ANALIZA WARIANCJI Oacowała: Katazya tąo Weyfkaca hotez Hoteza statystycza to dowole zyuszczee dotyczące ozkładu oulac. Wyóżamy hotezy: aametycze

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem

Portfel. Portfel pytania. Portfel pytania. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 2. Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Katedra Ietycj Faoych Zarządzaa yzykem Aalza Zarządzae Portfelem cz. Dr Katarzya Kuzak Co to jet portfel? Portfel grupa aktyó (trumetó faoych, aktyó rzeczoych), które zotały yelekcjooae, którym ależy zarządzać

Bardziej szczegółowo

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY

WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH Mara KLONOWSKA-MATYNIA Natala CENDROWSKA WPŁYW SPÓŁEK AKCYJNYCH NA LOKALNY RYNEK PRACY Zarys treśc: Nejsze opracowae pośwęcoe zostało spółkom akcyjym, które

Bardziej szczegółowo

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW

BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI POMIARÓW INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII RODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW OLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA RACOWNIA DETEKCJI ROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Ć W I C Z E N I E N R J-6 BADANIE STATYSTYCZNEJ CZYSTOŚCI OMIARÓW

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych

Ćwiczenia nr 3 Finanse II Robert Ślepaczuk. Teoria portfela papierów wartościowych Ćczea r 3 Fae II obert Ślepaczuk Teora portfela paperó artoścoych Teora portfela paperó artoścoych jet jedym z ajażejzych dzałó ooczeych faó. Dotyczy oa etycj faoych, a przede zytkm etycj dokoyaych a ryku

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

www.bdas.pl Rozdział 3 Zastosowanie języka SQL w statystyce opisowej 1 Wprowadzenie

www.bdas.pl Rozdział 3 Zastosowanie języka SQL w statystyce opisowej 1 Wprowadzenie Rozdzał moogaf: 'Bazy Daych: Nowe Techologe', Kozelsk S., Małysak B., Kaspowsk P., Mozek D. (ed.), WKŁ 007 Rozdzał 3 Zastosowae języka SQL w statystyce opsowej Steszczee. Relacyje bazy daych staową odpowede

Bardziej szczegółowo

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura:

Wstęp do prawdopodobieństwa. Dr Krzysztof Piontek. Literatura: Studum podyplomowe altyk Fasowy Wstęp do prawdopodobeństwa Lteratura: Ostasewcz S., Rusak Z., Sedlecka U.: Statystyka elemety teor zadaa, kadema Ekoomcza we Wrocławu 998. mr czel: Statystyka w zarządzau,

Bardziej szczegółowo

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna

Analiza wyniku finansowego - analiza wstępna Aalza wyku fasowego - aalza wstępa dr Potr Ls Welkość wyku fasowego determuje: etowość przedsęborstwa Welkość podatku dochodowego Welkość kaptałów własych Welkość dywded 1 Aalza wyku fasowego ma szczególe

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE

GEODEZJA INŻYNIERYJNA SEMESTR 6 STUDIA NIESTACJONARNE GEODEZJ INŻNIERJN SEMESTR 6 STUDI NIESTCJONRNE CZNNIKI WPŁWJĄCE N GEOMETRIĘ UDNKU/OIEKTU Zmaę geometr budyku mogą powodować m.: czyk atmosferycze, erówomere osadae płyty fudametowej mogące skutkować wychyleem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje

Analiza spektralna stóp zwrotu z inwestycji w akcje Nasz rye aptałowy, 003 r3, str. 38-43 Joaa Góra, Magdalea Osńsa Katedra Eoometr Statysty Uwersytet Mołaja Kopera w Toruu Aalza spetrala stóp zwrotu z westycj w acje. Wstęp Agregacja w eoom eoometr bywa

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej

Janusz Górczyński. Moduł 1. Podstawy prognozowania. Model regresji liniowej Materały omoccze do e-leargu Progozowae symulacje Jausz Górczyńsk Moduł. Podstawy rogozowaa. Model regresj lowej Wyższa Szkoła Zarządzaa Marketgu Sochaczew Od Autora Treśc zawarte w tym materale były erwote

Bardziej szczegółowo

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE

BQR FMECA/FMEA. czujnik DI CPU DO zawór. Rys. 1. Schemat rozpatrywanego systemu zabezpieczeniowego PE BQR FMECA/FMEA Przed rozpoczęcem aalzy ależy przeprowadzć dekompozycję systemu a podsystemy elemety. W efekce dekompozycj uzyskuje sę klka pozomów: pozom systemu, pozomy podsystemów oraz pozom elemetów.

Bardziej szczegółowo

Teraz wiesz i inwestujesz ANALIZA TECHNICZNA WPROWADZENIE

Teraz wiesz i inwestujesz ANALIZA TECHNICZNA WPROWADZENIE Teraz wesz westujesz ANALIZA TECHNICZNA WPROWADZENIE Natura ryków fasowych od początków swego stea przycąga ogromą lczbę westorów, których adrzędym celem jest odesee sukcesu westycyjego przez pomaŝae zawestowaych

Bardziej szczegółowo

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży

Zależność kosztów produkcji węgla w kopalni węgla brunatnego Konin od poziomu jego sprzedaży Gawlk L., Kasztelewcz Z., 2005 Zależość kosztów produkcj węgla w kopal węgla bruatego Ko od pozomu jego sprzedaży. Prace aukowe Istytutu Górctwa Poltechk Wrocławskej r 2. Wyd. Ofcya Wydawcza Poltechk Wrocławskej,

Bardziej szczegółowo

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI

WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI WYBRANE MOŻLIWOŚCI WSPOMAGANIA INWESTYCJI GIEŁDOWYCH PRZY UŻYCIU ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH mgr ż. Marc Klmek Katedra Iformatyk Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa m. Papeża Jaa Pawła II w Bałej Podlaskej Streszczee:

Bardziej szczegółowo

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych:

Tekst oraz ilustracje do niniejszego opracowania zaczerpnięto z następujących podręczników, publikacji i wydawnictw popularno naukowych: UZUPEŁNIAJĄCE MATERIAŁY DYDAKTYCZNE DLA UCZNIÓW TECHNIKUM MECHANICZNEGO PRZYGOTOWUJĄCYCH SIĘ DO ZEWNĘTRZNEGO EGZAMINU KWALIFIKACYJNEGO METROLOGIA TECHNICZNA (materały wybrae) Materały zebrał : mgr ż. Aatol

Bardziej szczegółowo

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia

dr Michał Konopczyński Ekonomia matematyczna ćwiczenia dr Mchł Koopczńsk Ekoom mtemtcz ćwcze. Ltertur obowązkow Eml Pek red. Podstw ekoom mtemtczej. Mterł do ćwczeń MD r 5 AE Pozń.. Ltertur uzupełjąc Eml Pek Ekoom mtemtcz AE Pozń. Alph C. Chg Podstw ekoom

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych

Relacyjny model danych. Relacyjny model danych Pla rozdzału Relacyjy model daych Relacyjy model daych - pojęca podstawowe Ograczea w modelu relacyjym Algebra relacj - podstawowe operacje projekcja selekcja połączee operatory mogoścowe Algebra relacj

Bardziej szczegółowo

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej

Modelowanie niezawodności i wydajności synchronicznej elastycznej linii produkcyjnej Dr hab. ż. Ato Śwć, prof. adzw. Istytut Techologczych ystemów Iformacyych oltechka Lubelska ul. Nadbystrzycka 36, 2-68 Lubl e-mal: a.swc@pollub.pl Dr ż. Lech Mazurek aństwowa Wyższa zkoła Zawodowa w Chełme

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I stopień ZESTAW ZADAŃ

STATYSTYKA I stopień ZESTAW ZADAŃ Stattka ZADAIA STATYSTYKA I topeń ZESTAW ZADAŃ dr Adam Sojda. Aalza truktur jedowmarowego rozkładu emprczego..... Badae wpółzależośc w dwuwmarowm rozkładze emprczm. 8 3. Aalza zeregów czaowch.... 4. Aalza

Bardziej szczegółowo

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja

Szeregi czasowe, modele DL i ADL, przyczynowość, integracja Szereg czasowe, modele DL ADL, rzyczyowość, egracja Szereg czasowy, o cąg realzacj zmeej losowej, owedzmy y, w kolejych okresach czasu: { y } T, co rówoważe możemy zasać: = 1 y = { y1, y,..., y T }. Najogólej

Bardziej szczegółowo

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM

STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM STANDARYZACJA PRZEPROWADZANIA NAPRAW JAKO ETAP WDROŻENIA TOTAL PRODUCTIVE MAINTENANCE W PRZEMYŚLE WYDOBYWCZYM Edward CHLEBUS, Joaa HELMAN, Mara ROSIENKIEWICZ, Paweł STEFANIAK Streszczee: Nejszy artykuł

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 INETYCJE LINIOE - ŁUŻEBNOŚĆ PRZEYŁU I BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI 1. PROADZENIE 1.1. Nejszy stadard przedstawa reguły

Bardziej szczegółowo

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4

POLSKA FEDERACJA STOWARZYSZEŃ RZECZOZNAWCÓW MAJĄTKOWYCH POWSZECHNE KRAJOWE ZASADY WYCENY (PKZW) KRAJOWY STANDARD WYCENY SPECJALISTYCZNY NR 4 KSWS 4 POZECHNE KRAJOE ZAADY YCENY (PKZ) KRAJOY TANDARD YCENY PECJALITYCZNY NR 4 K 4 YCENA ŁUŻEBNOŚCI PRZEYŁU I OKREŚLANIE KOTY YNAGRODZENIA ZA BEZUMONE KORZYTANIE Z NIERUCHOMOŚCI PRZY INETYCJACH LINIOYCH 1.

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH

PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH INSTYTUT HODOWLI I AKLIMATYZACJI ROLIN PLANOWANIE I WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W BADANIACH ROLNICZYCH MATERIAY SZKOLENIOWE Dr hab. Zbgew Laudask, prof. adzw. Katedra Bometr Wydza Rolctwa Bolog SGGW Warszawa

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 Analiza masowa

Projekt 3 Analiza masowa Wydzał Mechaczy Eergetyk Lotctwa Poltechk Warszawskej - Zakład Saolotów Śgłowców Projekt 3 Aalza asowa Nejszy projekt składa sę z dwóch częśc. Perwsza polega projekce wstępy wętrza kaby (kadłuba). Druga

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI

PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI Adrzej POWNUK *) PRZEDZIAŁOWE METODY ROZWIĄZYWANIA ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ NIELINIOWYCH MECHANIKI KONSTRUKCJI. Wprowadzee Mechaka lowa staow jak dotąd podstawowy obszar zateresowań żyerskch. Isteje jedak

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej

Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej Podstawy matematy fasowej ubezpeczeowej oreślea, wzory, przyłady, zadaa z rozwązaam KIELCE 2 SPIS TREŚCI WSTEP... 7 STOPA ZWROTU...... 9 2 RACHUNEK CZASU W MATEMATYCE FINANSOWEJ. 0 2. DOKŁADNA LICZBA DNI

Bardziej szczegółowo

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności BOGALECKA Magda 1 Wek statku a prawdopodobeństwo wstąpea wpadku a morzu aalza współzależośc WSTĘP Obserwowa od blsko weku tesw rozwój trasportu morskego, oprócz lądowego powetrzego, jest kosekwecją wzmożoej

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

VIW20 koncepcja indeksu zmienności dla polskiego rynku akcyjnego 1

VIW20 koncepcja indeksu zmienności dla polskiego rynku akcyjnego 1 Dr Robert Ślepaczuk Katedra Bakowośc Fasów Wydzał Nauk Ekoomczych Uwersytet Warszawsk Grzegorz Zakrzewsk Po Kredytów Detalczych Departamet Ryzyka Kredytowego Polbak EFG VIW0 kocepcja deksu zmeośc dla polskego

Bardziej szczegółowo

ANALIZA INPUT - OUTPUT

ANALIZA INPUT - OUTPUT Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa z 28 SŁAWOMIR DOROSIEWICZ JUSTYNA STASIEŃKO ANALIZA INPUT - OUTPUT NOTATKI Istytut Ekoometr SGH Aalza put - output Notatk S Dorosewcz J Staseńko Stroa

Bardziej szczegółowo

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7)

ρ (6) przy czym ρ ij to współczynnik korelacji, wyznaczany na podstawie następującej formuły: (7) PROCES ZARZĄDZANIA PORTFELEM PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH WSPOMAGANY PRZEZ ŚRODOWISKO AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH Ageszka ULFIK Streszczee: W pracy przedstawoo sposób zarządzaa portfelem paperów wartoścowych wspomagay

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo