R j v tj, j=1. jest czynnikiem dyskontującym odpowiadającym efektywnej stopie oprocentowania i.

Transkrypt

1 c 27 Rafał Kucharsk Rety Wartość beżącą cągu kaptałów: {R t R 2 t 2 R t } gdze R jest kwotą omalą płacoą w chwl t = oblczamy jako sumę zdyskotowaych płatośc: przy czym = + R j tj j= jest czykem dyskotującym odpowadającym efektywej stope oprocetowaa Retą auty będzemy azywać cąg płatośc astępujących w regularych odstępach czasu Płatośc rety azywamy ratam Okres czasu pomędzy kolejym płatoścam azywamy okresem rety Wartoścą beżącą rety azywamy sumę wartośc rat zdyskotowaych a momet początkowy rety Wartoścą przyszłą rety czasowej azywamy jej wartość sumę zaktualzowaych rat a momet końcowy rety Rodzaje ret: zwykła płata z dołu ordary auty płatośc dokoywae są a końcu okresu płata z góry auty-due płatośc dokoywae a początku końcu okresu pewa auty-certa lczba płatośc jest z góry określoą lczbą aturalą lub eskończoą życowa lczba rat jest zmeą losową przykład: reta dożywota czasowa lczba rat jest skończoa weczysta beztermowa perpetuty lczba płatośc jest eskończoa prosta okresy stopy procetowej kaptalzacj rety są rówe stała wszystke raty są rówe jedostkowa reta stała o race rówej Ozaczea: Peły wykaz aktuaralych ozaczeń ret moża zaleźć w ksążce [] s R j rata płata w momece j K j wartość rety w momece j efektywa stopa procetowa czyk dyskotujący odpowadający stope m d m omala stopa procetowa kaptalzowaa z dołu m-krote w cągu roku omala stopa procetowa kaptalzowaa z góry m-krote w cągu roku lość rat N {} Zam przystąpmy do oblczaa wartośc ret zauważmy że: d m = m /m = m + m = m m + m m skąd: = mm m + m d m = m m dm = m /m d = + = + =

2 c 27 Rafał Kucharsk Rety weczyste wartośc początkowe Jedostkowe płate co rok: z góry perpetuty due: z dołu: ä = Płate m-krote w roku w wysokośc m : z góry z dołu ä m = a = a m = k = = = d k = = m k/m = m = /m d m Rety weczyste z podwyżkam q razy w roku q dzel m: z góry: z dołu: I q ä m = q äm m k/m = /m d m = m /m /q /m /mq /q /q + /m 2/q /m 2/mq 2/q 2/q + /m 3/q /m 3/mq td + q äm /q + = ä m q k/q = ä m ä q = d m d q /m 2/m /q /mq /q + /m /q + 2/m 2/q 2/mq 2/q + /m 2/q + 2/m 3/q 3/mq td I q a m = a m ä q = m d q dla q = oraz m = czyl podwyżek wypłat raz w roku: Iä = d 2 Ia = Rety czasowe wartośc początkowe Jedostkowe płate co rok przez lat: - z góry: k k = d = + 2 ä = = = = ä = ä ä d - z dołu: a = Mamy stąd rówość o cekawej terpretacj: k = = a = a + 2

3 c 27 Rafał Kucharsk Płate m-krote: kwota /m wypłacaa przez lat m razy w roku: - z dołu: - z góry: m a m = m k/m = a m a m = = m a m m ä m = m k/m = ä m ä m = = d m d a m = + a m m Rety czasowe wartośc końcowe s = + k = + ä = + d s = + k = + a = + m s m = m + k/m = + ä m = + = d m d s m = + s m m m s m = m + k/m = + a m = + = m s m Z ostatej rówośc otrzymujemy cekawą zależość: w szczególośc m = + s m + = s m = a s s m = a m s m Rety czasowe z podwyżkam stąd: Reta rosąca schemat płatośc aalogczy do przypadku weczystego opsaego wcześej Mamy: [ ] I q ä m = I q ä m + I q ä m + ä m Podobe I q ä m = I q ä m ä m = d m d q d = m d m Reta stadardowa malejąca płata z góry: I q a m d q = äq m = [ ä q d m ] /m /q /m q/mq /q /q + /m 2/q /m q /mq 2/q 2/q + /m 3/q /m q 2/mq q /q q /q + /m q/q /m = /m /mq 3

4 c 27 Rafał Kucharsk I q ä m D q ä m + D q ä m = d m Reta stadardowa malejąca płata z dołu: = ä m + = + q q + [ ä q q d m d m ] = aq d m /m 2/m /q q/mq /q + /m /q + 2/m 2/q q /mq 2/q + /m 2/q + 2/m 3/q q 2/mq q /q + /m q /q + 2/m q/q = /mq + /m D q a m = aq m Rety odroczoe Dla rety odroczoej deferred auty perwsza płatość jest przesuęta o odpowedą lość lat Wartość beżącą rety odroczoej oblczamy możąc wartość obecą rety atychmast płatej przez odpowed czyk dyskotujący lub przedstawając jako różcę dwóch ret p: k a = k a = j=k+ k+ j=k+ j = k a = k j = k a = k Metody wyzaczaa wartośc dowolych ret = a a k = a +k a k Rozważmy retę składającą sę z płatośc z dołu o perwszej race P wzrastającą w postępe arytmetyczym o Q Jej wartość to: Pomóżmy tę rówość przez + : Odejmjmy perwszą rówość od drugej: Otrzymujemy wartość rety: K = P + P + Q 2 + P + 2Q [P + Q] + K = P + P + Q + P + 2Q [P + Q] K = P P + Q Q K = P W szczególośc dla P = Q = otrzymujemy K = a + a + Q a = a + = P a + Q a = ä = Ia Rówe dobre a czasem awet lepsze rezultaty daje możee w perwszym kroku wartośc rety K przez astępe oblczee K K = K podzelee otrzymaego wyku przez Ią metoda polega a skorzystau z fukcj: które są odpowedo wartoścam beżącym: F = G = d H = d 2 4

5 c 27 Rafał Kucharsk pojedyczej płatośc w chwl weczystej rety jedostkowej płacoej od chwl weczystej rety rosącej płacoej od chwl Aby oblczyć wartość daej rety ależy dokoać jej dekompozycj a kombację lową podaych fukcj a przykład: Ia = H H + G + Da = G H 2 + H + Rozważmy retę rosącą w postępe arytmetyczym od do m pozostającą a tym pozome do roku Mamy ozaczee pochodz z [2] I m a = m m + m m+ + + m = Ia m + m m a m = H H m+ mg + Trzeca z prezetowaych metod pozwala a wyzaczae zwartych wzorów sum eskończoych typu: S = k k Sumy wyzaczamy rekurecyje zatem aby wyzaczyć wzór a S ależy zać wzory a S m dla m = Metoda polega a astępującej obserwacj: S = k k = k k = k + k+ = j= S j = S + j j= S j j Stąd borąc pod uwagę że = wylczamy S = S j j j= Wyzaczmy wzory dla = 2 3 Wemy że S = k = = + Dla = mamy wylczamy stąd S = węc S = k k = k + k+ = k k + k = S + S S = + 2 Podobe dla = 2: S 2 = k 2 k = k + 2 k+ = S 2 + 2S + S S 2 = [2S + S ] = [ ] = 3 Każdy kolejy krok wymaga eco węcej oblczeń ale dla = 3 jeszcze jest łatwo: skąd S 3 = S 3 = k 3 k = k + 3 k+ = S 3 + 3S 2 + 3S + S [3S 2 + 3S + S ] = [ ] = Na koec warto jeszcze wspomeć o metodze wykorzystującej formale różczkowae/całkowae pod sumą którą objaś eco sztuczy przykład uwaga a drugą rówość!: k k = k =! k = = 2 = + 2 5

6 c 27 Rafał Kucharsk Płatośc cągłe Cągły strumeń płatośc rt gromadz sę a rachuku którego tesywość oprocetowaa wyos t a sta początkowy K Przyrost kaptału K wyka z: oprocetowaa: proporcjoalego do welkośc dotychczas zgromadzoego kaptału Kt tesywośc oprocetowaa t wpłat/wypłat zwązaych ze strumeem rt Rówae jake speła zgromadzoy kaptał to Kt + h Kt Kthh + rth = K t = Ktt + rt Jego rozwązae to sta fuduszu w chwl t: Dla = cost mamy Kt = exp s ds [ K + = exp s ds Kt = e t [K + K + exp h ] e h rh dh = e t K + s ds rh dh exp s ds rh dh h ] e t h rh dh Wartość beżącą otrzymujemy możąc powyższe rówae przez czyk dyskotujący exp exp s ds Kt = K + exp h s ds rh dh s ds : przy czym dla = cost mamy e t Kt = K + e h rh dh Rety o cągłych płatoścach ā = lm ā = s = Īā = Īā = Lteratura m am = lm m äm = e t dt = e e t dt = e te t dt = t d e t t dt = = te t e t dt = + te t dt = Īā ā = e 2 e t dt = 2 e = + e 2 [] Bartłomej Błaszczyszy Tomasz Rolsk Podstawy matematyk ubezpeczeń a życe WNT Warszawa 24 [2] Stephe G Kellso The Theory of Iterest Bosto Irw McGraw-Hll 99 Wszelke błędy uwag kometarze proszę zgłaszać a adres: rafalkucharsk@uekatowcepl 6