METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

Transkrypt

1 POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998

2

3 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych w różych aukach, a szczególe w fzyce. Różorodość zadań, pomysłowość subtelość metod techk badawczych, powoduje, że e ma e może być jedej, uwersalej teor pomarów. Podręczk te ma za zadae zapozae Czytelka z wybraym zagadeam, które może apotkać a swej drodze eksperymetatora, e wyczerpuje jedak wszystkch zaych metod techk opracowywaa daych dośwadczalych. Autor starał sę zlustrować przykładam każde zagadee, e wszystke przykłady dotyczą bezpośredo eksperymetów fzyczych, moża w tym podręczku zaleźć przykłady z zakresu żyer techolog, a także bolog agrotechk, daje to przy okazj formację, w jak welu dzedzach stosowae są te same techk aalzy daych. Tak jak w welu ych podręczkach, tak w tym, Czytelk spotka termologę terpretację ektórych pojęć metod odbegającą od tej, występującej p. w lteraturze podaej a końcu podręczka, wyka to z welu względów, główe z powodu wprowadzaa metod termolog oddzele w każdej z dzedz opracowywaa termolog a podstawe tłumaczeń lteratury z welu języków obcych. Autor starał sę podać termy stosowae w różych dzedzach oraz agelske odpowedk aszych termów ch skróty (często stosowae w agelskojęzyczych programach matematyczych statystyczych). 3

4

5 . WPROWADZENIE - woskowae w auce: dedukcja dukcja, - projektowae orgazacja badań aukowych, - logka eksperymetu, - zdrowy rozsądek w eksperymetach... Woskowae dedukcyje dukcyje. Woskowae dedukcyje polega a rozumowau od stwerdzeń ogólych do szczególych. Tz. mamy klka ogólych praw, lub tylko jedo, a za zadae mamy określć, co wydarzy sę w przypadku wystąpea pewego specyfczego zestawu waruków. Lepej uzmysłową am to astępujące przykłady: ) Mamy wzór a pole powerzch koła S = πr, jake jest pole powerzch koła o promeu cm? ) Mamy prawa Boyle'a-Marotta Charlesa dotyczące przema gazu doskoałego, a ch podstawe powśmy określć, jak będze zmeała sę objętość gazu podczas zma cśea temperatury tego gazu? ) Mamy zestaw parametrów fzyko-chemczych charakteryzujących półprzewodk oraz klka próbek ezaych materałów, aszym zadaem jest określee, które z ch są półprzewodkam. Prawe wszystke problemy, z którym mace Państwo do czyea podczas studów, są tego typu (dobrze oparte a podstawach aukowych). Ozacza to także, że pow państwo posadać duży zapas wadomośc podstawowych łatwość woskowaa dedukcyjego o szczególych przypadkach. Drug sposób woskowaa jest przecwy do tego. Mamy zespół poszczególych przypadków a tej podstawe mamy odpowedzeć a pytae o ogóle prawo rządzące tym przypadkam (wszystkm elemetam klasy wydarzeń do których ależą rozpatrywae przypadk). Woskowae od szczegółu do ogółu azywae jest woskowaem dukcyjym. Wyjaśę to a klku przykładach: ) Mamy pola powerzch oraz promee klku kół, a tej podstawe mamy apsać ogóly wzór a pole powerzch koła o dowolym promeu. ) Mamy serę obserwacj objętośc gazu doskoałego w różych warukach temperatury cśea,. oczywśce powśmy a tej podstawe podać rówae stau gazu doskoałego. Zwróćmy przy tym uwagę a to, że wszystke te problemy operają sę a grupach obserwacj (pomarów). Choć czasem woskowae odbywa sę w oparcu o obserwację zjawska bezpośredo występującego w aturze (bez opsu loścowego). Na przykład: mamy klka próbek ezaych gatuków chwastów, a tej podstawe mamy określć cechy charakterystycze klasy chwastów ch położee w systematyce rośl. Zwykle wszystke obserwacje wykouje sę w ścśle określoych warukach, atomast badae parametry zmea sę w uporządkoway sposób, poprzez odpowede oddzaływaa. Ie parametry mogące wpływać a obserwacje są praktycze mmalzowae. Czyość tę azywamy eksperymetem. Jakkolwek eksperymet zaprojektujemy, jego celem jest przeprowadzee obserwacj (pobrae próbek losowych), które mogą być użyte do posadającego pozory prawdopodobeństwa uogólea a temat badaego zjawska. Dokoywae takch uogóleń jest typowym zadaem woskowaa dukcyjego. Ne ależy jedak odeść wrażea, że woskowae dukcyje staow zupełe ezależy od woskowaa dedukcyjego sposób myślea. Bowem, wosk wykające z dukcj muszą być zawsze weryfkowae przy pomocy precyzyjych metod dedukcyjych. Jeżel uważe przyjrzymy sę przykładom, zauważymy pomędzy m dosyć stote różce. W przypadku oblczaa pola powerzch koła e ma epewośc co do wyku. Dla każdego daego promea jest tylko jeda odpowedź (o le e weźmemy pod uwagę dokładośc wyzaczea lczby π). Iy charakter ma problem rzutu moetą. Podstawowym założeem jest, że moeta jest jedoroda, a węc prawdopodobeństwa wyrzucea orła reszk są jedakowe. Wówczas wyk pojedyczego rzutu jest emożlwy do przewdzea, oba wyk mogą być otrzymae z prawdopodobeństwem rówym 0,5. Gdy postawmy sobe pytae co sę stae jeżel rzucmy moetą 0 razy, jeszcze trudej jest dać jedozaczą odpowedź, poeważ mamy wówczas aż możlwośc o zróżcowaym prawdopodobeństwe. Oczywśce mogą wystąpć błędy próbkowaa, bowem w tym wypadku e ma jedozaczego zwązku przyczya-skutek. Term szasa (prawdopodobeństwo) jest trudy do zdefowaa, ale myślę, że jest zrozumały awet bez precyzyjej defcj. Kedy w probleme pojawa sę elemet szasy, pojawają sę wtedy dla eksperymetatora duże trudośc. Szczególe duże w przypadku woskowaa dukcyjego. Rozpatrzmy dedukcyjy problem 5

6 dzesęcokrotego rzucaa eobcążoą moetą. Poprzez dedukcję możemy oblczyć dla wszystkch możlwych wyków prawdopodobeństwo ch wystąpea. Na przykład prawdopodobeństwo wystąpea 5 reszek 5 orłów wyos 0.46 czyl 4.6%. Jeśl zmodyfkujemy początkowe założea (a przykład obcążając ją lekko z jedej stroy), oblczea staą sę bardzej pracochłoe, ale dalej będą wykoale proste. Na szczęśce teora prawdopodobeństwa jest już dobrze opracowaa, steją tablce metody skrócoe (oraz bardzo rozbudowae programy komputerowe), zmejszające lość koeczej pracy do mmum. Teraz rozpatrzmy te sam problem dukcyje. Jeżel rzucmy 0 razy otrzymamy 5 razy orła 5 razy reszkę, co możemy powedzeć o jedorodośc moety? Z całkowtą pewoścą możemy jedye stwerdzć, że moeta ta e ma po obydwu stroach reszk (zarówo jak orła). Jeśl moeta e jest obcążoa, takego wyku możemy spodzewać sę z prawdopodobeństwem rówym około 5%. Z dużym prawdopodobeństwem, że jest to prawdą, możemy stwerdzć, że kostka e jest moco obcążoa. Musmy jedak pamętać, że gdy take stwerdzee e jest całkowce pewe. Nawet w przypadku sle obcążoej moety (gdy p. prawdopodobeństwo wyrzucea reszk jest rówe 90%) steje pewe, ewelke prawdopodobeństwo pojawea sę 5 reszek 5 orłów. Ne zdefowalśmy do tej pory co ozacza ewelke lub duże obcążee, jedak metody statystycze pozwalają wyzaczyć zakres obcążeń które możemy uważać za pomjale małe. Osoby przyzwyczajoe do precyzyjych odpowedz dedukcyjej matematyk mogą być rozczarowae ejasoścą odpowedz... Projektowae badań aukowych Odkryce możlwośc wyrażea każdej wartośc teresującej as własośc (merzoej welkośc fzyczej) za pomocą lczby, jest bardzo ważym osągęcem myśl ludzkej. Otrzymae a drodze dośwadczalej zwązku loścowego pomędzy określoą welkoścą fzyczą, a jej wartoścą przyjętą za jedostkę odesea, azywamy pomarem. Należy jedak pamętać, że każdemu pomarow towarzyszy występowae błędów. Poeważ merzoa welkość fzycza (wraz z błędam) może być traktowaa jako proces losowy, statystyka matematycza daje am róweż waże wskazówk co do projektowaa poprawego eksperymetu:. Powtarzalość - ozacza zastosowae oddzaływaa dwa węcej razy w celu dośwadczalego oszacowaa błędów oraz poprawy precyzj pomaru (obserwacj) skutków tego oddzaływaa. Ilość koeczych powtórzeń zależy od welkośc różc (odchyłek) które chcemy wykryć oraz zmeośc welkośc, którą chcemy zbadać. Pamętając o tych obu rzeczach a początku eksperymetu zmejszamy lość stresów towarzyszących badaom.. Przypadkowość - jest to przyporządkowae oddzaływań do przyrządów badawczych w tak sposób, że wszystke mają jedakową szasę otrzymaa oddzaływaa. 3. Lokala kotrola - ma a celu zmejszee błędów pomarowych, a przykład pomary grupujemy w blok po wykoau każdego bloku aalzujemy jego wyk. Uwersala procedura przeprowadzea badań aukowych jest truda do zdefowaa, jedak zwykle wymea sę astępujące elemety:. Sformułowae hpotezy - próbe, eobowązujące rozwązae, wyjaśee.. Zaplaowae eksperymetu obektywe testującego tę hpotezę. 3. Skrupulate wykoae obserwacj zebrae daych dośwadczalych podczas eksperymetu. 4. Iterpretacja wyków eksperymetu - rozważee otrzymaych daych w kotekśce ych zaych faktów daych mogących potwerdzć lub zaprzeczyć aszym wykom postawoej a wstępe hpoteze. 5. Zakres stosowalośc wosków - oczywśce powe być jak ajszerszy. Eksperymet powtarzaly w czase przestrze zwększa zakres stosowalośc wosków wypływających z ego. Ią drogą poszerzea zakresu jest eksperymet współczykowy, w którym efekty dzałaa jedego z czyków badae są w fukcj zmeających sę pozostałych możlwych czyków. 6. Oblczee welkośc błędów pomarowych - w każdym eksperymece steje pewe elemet epewośc co do ważośc uzyskaych wyków. Dośwadczee powo być tak zaprojektowae, aby moża było oszacować (oblczyć) welkość błędu. Moża także określć ajważejsze krok eksperymetatora:. Zdefowae problemu - perwszym krokem a drodze do rozwązaa jest prawdłowe (przejrzyste, jase) sformułowae problemu. Jeśl e możemy zdefować problemu mamy małą szasę a rozwązae tego problemu. Jeżel problem jest zrozumały, powśmy potrafć postawć pytaa, a które odpowedź przyblży as do rozwązaa.. Zestawee celów - może być w forme pytań a które ależy odpowedzeć, hpotez które ależy przetestować lub zjawsk które ależy zbadać. Cele te powy być dobrze sprecyzowae, bowem tylko take postawee celów umożlwa eksperymetatorow prawdłowe efektywe zaprojektowae dośwadczea. Jeżel mamy 6

7 węcej ż jede cel, cele powy być uporządkowae pod względem ważośc, w takej kolejośc uwzględoe w projekce. Przy określau celów e ależy być a zbyt ambtym a zbyt ostrożym. 3. Wybór oddzaływań - sukces eksperymetu zależy w dużej merze od skrupulatego doboru oddzaływań (zmeych parametrów), opracowaa metodyk postępowaa, które pozwolą odpowedzeć a postawoe pytaa. 4. Wybór badaego materału - ależy uwzględć cele eksperymetu oraz welkość populacj o której wosk chcemy wycągąć. Materał powe staowć próbę reprezetatywą tego materału. 5. Wybór układu dośwadczalego - tutaj poowe ależy rozważyć cele, ale podstawową zasadą jest wybrae ajprostszego układu spełającego wymagaa co do dokładośc pomaru. 6. Wybór obserwowaej welkośc lośc powtórzeń. 7. Kotrola wzajemego wpływu obserwowaych welkośc - zwykle stosuje sę tu wartośc gracze lub obróbkę statystyczą. 8. Wstępa, teoretycza aalza przydatośc wyków - zebrae dae powy prawdłowo opsywać skutk oddzaływaa będące celem eksperymetu. 9. Przeprowadzee aalzy statystyczej zsumowae wyków - opsae źródeł błędów określee stop swobody dla aalzy waracj. Należy zaplaować zastosowae różych testów F, zaplaować jak otrzymae wyk będą zastosowae oraz przygotować odpowede tabele lub wykresy przedstawające spodzeway efekt pomarów (które ależy porówać z założoym celam). W tym mejscu dobrze jest dać asze play do przejrzea kolegom, mogą o zauważyć błędy, których my e zauważylśmy. 0. Przeprowadzee dośwadczea - przeprowadzając eksperymet staraj sę zachować obektywzm. Zorgazuj tak zapsywae daych aby łatwo je było potem aalzować. Jeśl koecze jest kopowae (przepsywae) daych e zapj porówać ze sobą oba egzemplarze!. Aalza daych terpretacja wyków - Wszystke dae dośwadczale powy zostać zaalzowae w zaplaoway sposób a wyk zterpretowae w śwetle waruków dośwadczea, hpotezy powy zostać przetestowae.. Przygotowae kompletego, czytelego poprawego raportu badań..3. Hpotezy Hpoteza jest to próba teora dotycząca atury powązań poszczególych obserwacj. Hpotezy różą sę swą subteloścą w zwązku z tym źródłem swego powstaa. Prosta hpoteza może być a przykład tylko uogóleem obserwacj, hpoteza bardzej złożoa może postulować stee powązań mędzy zdarzeam lub skomplkowaych łańcuchów przyczyowo-skutkowych. Aaloga jest tu bardzo potężym arzędzem, ajwększe zaczee ma jedak wyobraźa. Możość budowaa hpotez opera sę a założeu, że w aturze steje pewe ład, e jest to jedak rówozacze ze stwerdzeem, że wszystke częśc atury są uporządkowae. Jeżel dwe hpotezy pasują do zaobserwowaych faktów, a jeda z ch jest prostsza od drugej, to zazwyczaj przyjmuje sę tę prostszą, do czasu, gdy dalsze fakty e spowodują jej odrzucea. Trzeba zawsze pamętać o tym, że hpoteza jest tylko próbym pomysłem, sugestą - która jeżel e została sprawdzoa e może być traktowaa jako prawo. Zdarza sę, szczególe a pograczu auk, że hpotezy przyjmuje sę bez dostateczego sprawdzea. Prawdopodobeństwo e może jedak zastąpć dowodów. W celu sprawdzea hpotezy moża dokoać dodatkowych obserwacj lub przeprowadzć dośwadczee sprawdzające. Ne ma ścsłego rozgraczea mędzy dośwadczeem a prostą obserwacją, lecz w dośwadczeu obserwator zwykle geruje w pewym stopu stwarza waruk lub wywołuje wydarzea korzyste dla swego celu. Zespół waruków wymagaych dla daego zdarzea (azywaych zmeym) może być zazwyczaj ograczoy do skończoej lczby, wystarczającej do celów praktyczych. W dealym dośwadczeu wszystkm tym zmeym moża adać wartośc żądae przez eksperymetatora. Hpoteza powa e tylko pasować do faktów, które wywołały jej stworzee owych obserwacj, ale róweż wykazywać zgodość z pozostałym częścam auk. W fzyce steją hpotezy trude do sprawdzea drogą bezpośredch dośwadczeń, zamast tego sprawdza sę astępstwa wydedukowae z tych hpotez. Trudo jest p. wymyślć dośwadczee bezpośredo sprawdzające rówae falowe Schroedgera w mechace kwatowej, a przeceż zostały potwerdzoe tysące astępstw wyprowadzoych z ego drogą dedukcj matematyczej. Waże jest rozróżae waruku koeczego dla prawdzwośc daego twerdzea, od waruku dostateczego. Jeda z reguł postępowaa eksperymetatora mów, że w przypadku, gdy wydaje am sę, ż w aparaturze występuje jakaś symetra, czyl odwrócee pewej welkośc lub przestawee dwu elemetów e powo dawać żadego efektu (lub efekt powe być przewdywaly), to taką zamaę ależy koecze wykoać. 7

8 Przykład. Podczas wyzaczaa współczyka przewodctwa ceplego przy pomocy aparatu Chrstasea, merzy sę temperaturę w trzech różych puktach, przy pomocy trzech jedakowych termometrów. Ze względu a symetrę układu zamaa mejscam dwu termometrów e powa wpłyąć a wyk pomaru. Gdy zamemy termometry, ajczęścej stwerdzamy, że wystąpła różca wskazań, bowem każdy z termometrów ma y błąd systematyczy, a każdy z pomarów obarczoy jest błędem przypadkowym. Zameając termometry oblczając średą z klku pomarów, zacze redukujemy całkowty błąd pomaru. Jeżel różce temperatur T - T T 3 - T są małe, wskazae wydaje sę tutaj zastąpee zwykłych termometrów, platyowym termometram oporowym włączoym w ramoa dwóch mostków Wheatstoe'a. Sz. Szczeowsk, Fzyka dośwadczala. II. Cepło fzyka cząsteczkowa, PWN Warszawa 976, str

9 . ELEMENTY STATYSTYKI - rozkłady prawdopodobeństwa; - hpotezy statystycze; - estymacja... Pojęca podstawowe Wyk każdego pomaru obarczoy jest przypadkowym błędem (jest przesuęty w stosuku do rzeczywstej wartośc o pewą wartość, której e zamy), jest zatem zmeą losową, której rozkład powśmy zać. Zagadee polegające a wydau orzeczea, czy obserwoway rozkład moża aproksymować przez pewe określoy rozkład teoretyczy, jest jedym z podstawowych zadań statystyk matematyczej. Rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej służy jako teoretyczy model rozkładu wartośc badaego parametru (cechy) w populacj geeralej, z której poberamy próbkę. Woskowae statystycze będące przedmotem statystyk matematyczej może występować w zależośc od potrzeb praktyczych w dwojakm rodzaju: a) estymacj - szacowaa parametrów rozkładu badaej cechy w populacj; b) testowaa hpotez statystyczych - dotyczących rozkładu badaej cechy w populacj. Podstawowe metody arzędza są dla tych dwóch rodzajów woskowaa odmee. Przystępując do badań statystyczych w mejszym lub wększym stopu e zamy rozkładu teresującego as parametru (cechy). Możemy jedak (a ogół) ustalć klasę rozkładów, które mogą być brae pod uwagę jako ewetuale rozkłady tego parametru. Podstawowym pytaem jest w takm przypadku pytae: Czy wskazay rozkład może być uzay, czy też e, za rozkład badaego parametru? Każdej wartośc zmeej losowej przypsujemy prawdopodobeństwo jej wystąpea. Dla zmeej losowej dyskretej defcja prawdopodobeństwa jest tucyja: ( ) P = x N gdze (x) jest lczbą przypadków wystąpea wartośc x zmeej losowej w N próbach (N ℵ). Dla zmeej losowej cągłej defcja ta wymaga określea ewelkego przedzału zmeośc x ( x 0), dla którego określae jest prawdopodobeństwo: ( < < + ) x0 x x0 x () Px ( 0 < x< x0 + x) = N Dla zmeej losowej cągłej korzystej jest stosować gęstość prawdopodobeństwa: ( ) f x 0 = ( < < + ) Px x x x 0 0 x Z puktu wdzea eksperymetatora bardzo ważym parametrem rozkładu prawdopodobeństwa jest wartość oczekwaa (wartość średa) zmeej losowej, przyjmowaa ajczęścej jako rzeczywsta wartość welkośc fzyczej, która opsuje te rozkład: ( ) = ( ) Ex k Z xpx = b Ex ( ) = xf ( xdx ) a Istotym parametrem rozkładu prawdopodobeństwa jest także dyspersja (odchylee stadardowe), staowące podstawę do wyzaczaa błędu merzoej welkośc fzyczej. () (3) (4a) (4b) 9

10 σ ( x) V( x) = (5) gdze V ozacza warację, którą w zależośc od typu rozkładu moża oblczyć karzystając z astępujących zależośc: [ ] ( ) V( x) = x E( x) P x b [ ] ( ) V( x) = x E( x) f x dx Zapozamy sę teraz z wybraym rozkładam zmeych losowych. a (6a) (6b).. Rozkład dwumaowy. Rozważmy populację, którą możemy podzelć a dwe frakcje, w jedej z frakcj występuje pewa cecha, e występująca w drugej. Jeżel z tej populacj poberzemy losowo jede elemet, to cechuje go prawdopodobeństwo p posadaa tej cechy prawdopodobeństwo -p, że cecha ta e wystąp. Jeśl po zwróceu perwszego elemetu dokoamy poowego losowaa, to prawdopodobeństwo posadaa cechy (p. posadaa barwy zeloej) będze rówe p. Zakładamy tu, że wylosoway elemet ma prawdopodobeństwo p posadaa koloru zeloego, bez względu a wyk poprzedch losowań. Po pobrau dwu elemetów są trzy możlwośc: oba elemety były zeloe (prawdopodobeństwo p ), jede zeloy drug ego koloru (prawdopodobeństwo p(-p)), brak zeloego (prawdopodobeństwo (-p) ). Prawdopodobeństwo wylosowaa k elemetów zeloych przy -krotym losowau ze zwracaem będze rówe: P k! = k! k! p p k ( ) ( ) Rozkład wartośc azyway jest rozkładem dwumaowym lub rozkładem Beroullego. Przy dużej lczbe próbek wartość przecęta: P k k ( k P ) k r = = p k = 0 Wartość ajbardzej prawdopodoba, czyl wartość k', która wystąp ajczęścej przy dużej lczbe próbek, jest ajwększa z lczb całkowtych spełająca erówość: k' (+)p (gdy (+)p jest lczbą całkowtą, wówczas wystąpą dwe ajbardzej prawdopodobe wartośc (+)p (+)p- mające to samo prawdopodobeństwo). Odchylee stadardowe σ od wartośc przecętej dla każdej populacj określa wzór: [( ) ] k σ = k k P k = 0 (7) (8) (9) zaś waracja σ wyos: σ = p (-p). Jest to użytecza mara "rozrzutu" wartośc k w różych próbkach. Część próbek, w których wartość k odchyla sę od wartośc przecętej k = p o węcej ż dwe lub trzy welokrotośc σ jest ezacza. Dla dużych p ezbyt blskch 0 lub moża zastosować przyblżee: gdze y = k p p ( p) = ( k k )/ σ. p y y P k = ( y ) exp. πσ σ σ (0) 0

11 Rozkład dwumaowy ma róże zastosowaa, po perwsze moża przy jego pomocy przewdywać rozkład próbek w populacj, w której występuje dwumaowy rozkład pewej cechy, po druge możemy posłużyć sę m przy sprawdzau hpotez statystyczych, a także możemy wykorzystać do estymacj. Przykład. Załóżmy, że eerga pochodząca z jedego źródła ma być z przerwam zużywaa przez 5 przyrządów. Aby otrzymać choćby tylko z grubsza oszacowae zapotrzebowaa a eergę, musmy dodatkowo przyjąć, że w każdej chwl prawdopodobeństwo p zapotrzebowaa każdego przyrządu a eergę jest take samo, przyrządy pracują ezależe od sebe, każdy z przyrządów korzysta z eerg mut w cągu godzy. Nech X ozacza lczbę przyrządów korzystających z eerg w daym momece czasu, zadaem aszym jest oblczee prawdopodobeństwa, że lczba przyrządów korzystających z eerg w daym momece jest e wększa ż. Zmea X ma rozkład dwumaowy, w którym = 5, p = /60 = 0., czyl prawdopodobeństwa: P(X=0) = P(X=) = P(X=) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = Prawdopodobeństwo tego, że lczba przyrządów poberających eergę rówocześe jest e wększa od jest rówa sume prawdopodobeństw P(X=0) + P(X=) + P(X=) Wartość ajbardzej prawdopodoba [(+)p] = [,] =, co jest wykem logczym, jeśl popatrzymy a założea. Był to przykład przewdywaa rozkładu próbek. Przykładem testowaa hpotezy, jest sprawdzae hpotezy, że pewa klasa w szkole staow próbkę losową pod względem lczby dzec leworęczych, pobraą z populacj zawerającej 5% dzec leworęczych. Czy hpotezę tę ależy odrzucć, gdy okaże sę, że wszystke 0 dzec w klase będze leworęczych? Wyk tak może wystąpć z prawdopodobeństwem 0, czyl hpotezę ależy odrzucć. Przykład 3. Rozważmy teraz przypadek 4 dzec leworęczych w grupe 0 dzec. Łącze prawdopodobeństwo zdarzeń: w klase jest e mej ż 4 osoby leworęcze jest rówe 0.07, zatem reguła: "odrzucam za każdym razem hpotezę, gdy w grupe 0 dzec będze 4 lub węcej leworęczych" może e być prawdzwa w.7% przypadków. W takm przypadku moża woskować, że albo w grupe dzec jest coś szczególego (dzęk czemu e jest oa próbą losową), albo dzec wybrao z populacj zawerającej węcej ż 5% leworęczych albo też obe te możlwośc występują razem. Metody sprawdzaa hpotez mogą odpowedzeć a pytae: "czy ta przyczya powoduje rzeczywste skutk?". Natomast a pytae: "jak welk jest skutek tej przyczyy?" odpowada am teora estymacj, podając albo zakres w którym domyślamy sę stea rzeczywstej wartośc, albo pojedyczą lczbę jako przypuszczale trafą oceę rzeczywstej wartośc..3. Rozkład Possoa. Isteją pewe zagadea (p. przy korzystau ze zaczków promeotwórczych o długm okrese rozpadu) gdy zlczamy koleje przypadkowe zdarzea, aby w te sposób otrzymać pewe wartośc średe charakteryzujące zjawsko. Mówmy, że zmea losowa X ma rozkład Possoa gdy: exp( ) PX ( = k) = k! k λλ ()

12 gdze λ = k = 0 k k > 0, zaś k = 0,,,.... Rozkład Possoa moża stosować do aproksymacj rozkładu dwumaowego, gdy prawdopodobeństwo p jest małe, a lczba dośwadczeń duża, przyjmujemy wtedy, że λ = p. Także wele stejących w praktyce rozkładów może być w dobrym przyblżeu aproksymowaych przez rozkład Possoa. Przykład 4. Rozpatrzmy dae lczbowe uzyskae przy badau rozpadu promeotwórczego. Przeprowadzoo = 608 pomarów trwających po 7,5 sekudy każdy, polegających a zlczau przez lczk scytylacyjy lczby dochodzących do ego cząstek. Dae lczbowe przedstawa tabela. Tabela. Wyk badaa rozpadu promeotwórczego. Lczba cząstek Lczba dośwadczeń k / P(k) k k λ = Razem Prawdopodobeństwa podae w czwartej kolume tej tabel zostały polczoe a podstawe wzoru dla λ = 3,85. Z daych lczbowych wyka, że różce pomędzy zaobserwowaym częstoścam empryczym a prawdopodobeństwam teoretyczym w rozkładze Possoa są rzędu Rozkład gamma. Zmea losowa cągła ma rozkład gamma, wtedy, gdy gęstoścą prawdopodobeństwa jest astępująca fukcja: 0 dla x 0 () p f ( x) = a ( p) x p e ax dla x > 0 Γ przy czym a > 0 p > 0 są parametram tego rozkładu. Fukcja Γ występująca we wzorze jest azywaa fukcją gamma Eulera, która dla p > 0 opsaa jest zależoścą:

13 Γ( p) Wartość przecęta zmeej losowej X jest rówa: + p = λ e 0 x dx (3) zaś waracja tej zmeej losowej jest rówa: x = p/a (4) σ = p/a (5) Szczególym przypadkem rozkładu gamma, gdy p =, jest rozkład wykładczy, z którym mamy do czyea w zagadeach ruchu a lach telefoczych, problemach czasu obsług czasu oczekwaa a obsługę, czy to w przypadku sklepu, czy też w przypadku obsług maszy, w problemach czasu eksploatacj elemetów przyrządów. Szczególe zaczee ma tu wykładcze prawo ezawodośc. Pod pojęcem ezawodośc rozume sę prawdopodobeństwo bezawaryjej pracy w cągu czasu t, czyl tego, że urządzee wykoa zamerzoe czyośc w określoym przedzale czasu w określoych warukach. Stwerdzoo, że dobrą aproksymacją ezawodośc N jest fukcja: lub N( t) = exp(- λ t) dla t > 0 (6) N(t) = - F(t) (7) gdze F(t) jest dystrybuatą (prawdopodobeństwem skumulowaym) w pukce t zmeej losowej T o rozkładze wykładczym. T ozacza tutaj czas poprawej pracy, a własość tej zmeej opsaą perwszym wzorem azywamy właśe wykładczym prawem ezawodośc..5. Rozkład Webulla Zmea ma rozkład Webulla, jeżel jej gęstość prawdopodobeństwa opsaa jest wzorem: 0 dla x < 0 f ( x) = p λ px (8) λpx e dla x 0 o parametrach p λ > 0. Wartość przecęta zmeej losowej X jest rówa: p x = λ (9) Γ + p zaś waracja tej zmeej losowej opsaa jest zależoścą: σ = λ p + + Γ Γ p p a fukcja Γ jest daa wzorem (3). (0).6. Rozkład Erlaga. Dla rozkładu Erlaga fukcja gęstośc prawdopodobeństwa ma postać: 3

14 0 dla x 0; f ( x) = e k ( k ) lm Wartość przecęta zmeej losowej X jest rówa: xm / x k dla x > 0 () zaś waracja tej zmeej losowej jest rówa: x = km () σ = km (3).7. Rozkład ormaly. Z ym problemem mamy do czyea, gdy składk pewej populacj różą sę mędzy sobą loścowo (a e jakoścowo jak w rozkładze dwumaowym). W zależośc od populacj, wartośc te mogą rozkładać sę rozmace, steje jedak pewe typ rozkładu, azyway rozkładem ormalym, zajmujący wysoką pozycję ze względu a matematyczą prostotę, częste występowae jako gracza postać ych rozkładów teoretyczych oraz jako przyblżee rozkładów rzeczywstych. Wszędze tam, gdze welkość daej cechy kształtuje sę pod wpływem dużej lczby czyków żade z ch e góruje ad pozostałym, moża spodzewać sę występowaa rozkładu ormalego. Mówmy, że zmea losowa X ma rozkład ormaly, jeśl gęstość prawdopodobeństwa f tej zmeej opsuje zależość: { } σ f ( x) = exp ( x m) / (4) πσ Gęstość prawdopodobeństwa jest fukcją, która w przypadku zmeej losowej X o dystrybuace F typu cągłego, speła waruek: ( ) = ( ) F X + f u du Przypomjmy, że dystrybuata jest fukcją prawdopodobeństwa określoą wzorem: F(x) = P((-, x)) Wartość przecęta dla tego rozkładu jest rówa m zaś waracja σ. Do oblczaa prawdopodobeństw postac P(a < X < b) = F(a) - F(b) korzystamy ze stablcowaej dla x 0 fukcj ( ) = ( u ) Φ x π x exp / du (5) (6) zależośc: ( ) Fx ( x) ( ) Φ dla x 0 = 0.5-Φ x dla x < 0 (7) Przykład 5. Wytrzymałość l stalowych produkowaych w pewej fabryce jest zmeą losową o rozkładze ormalym N(00 MPa, 5 MPa) czyl o wartośc przecętej m = 00 MPa waracj σ = 5 MPa. Mamy oblczyć le przecęte l spośród 000 ma wytrzymałość mejszą ż 90 MPa, oraz co która przecęte la ma wytrzymałść mejszą ż 90 MPa? Przyjmjmy, że częstość przyjmowaa wartośc z przedzału (-, 90> jest rówe prawdopodobeństwu przyjmowaa wartośc z tego przedzału. Odpowedź a perwsze pytae uzyskujemy oblczając prawdopodobeństwo tego, że wytrzymałość jest mejsza od 90 MPa, czyl korzystając ze wzoru: P(X<90) = P(X- 00/5 < 90-00/5) = P(Y < -) = Φ() Natomast odpowedź a druge pytae uzyskamy oblczając 4

15 odwrotość prawdopodobeństwa P(X<90), czyl K = / , a węc co 43 la ma wytrzymałość mejszą ż 90 MPa. Przykład 6. Kolejy przykład dotyczy pomaru odległośc. Pomar te jest obarczoy błędem systematyczym b = -50 mm (polegającym a podawau odległośc mejszej od rzeczywstej) oraz błędem przypadkowym X (który jest zmeą o rozkładze ormalym N(0 mm, 00 mm) ). Błąd całkowty Y jest sumą tych błędów. Oblczyć prawdopodobeństwo tego, że Y < 00 mm oraz odczytay wyk pomaru e przekracza rzeczywstej wartośc merzoej welkośc. Zmea losowa Y = X + b ma rozkład ormaly N(b,00), zatem prawdopodobeństwo P( Y <00) = P(-00+50/00<Y+50/00<00+50/00) = P(-/<Y+50/00<3/) = Φ(3/) + Φ(/) Natomast fakt, że wyk pomaru e przekracza rzeczywstej wartośc merzoej welkośc jest rówoważy temu, że błąd Y jest e wększy od zera, czyl ależy oblczyć P(Y<0) = P(Y+50/00 < 50/00) = P(Y+50/00 < /) = Φ(/) = Rozkład ch-kwadrat. W statystyce matematyczej bardzo często występują rozkłady prawdopodobeństwa, które mówmy teraz szczegółowo. Perwszym z tych rozkładów jest rozkład ch-kwadrat o k stopach swobody, który jest rozkładem zmeej losowej cągłej o fukcj gęstośc prawdopodobeństwa określoej wzorem: f ( ) 0 = / Γ / χ / x/ ( ) x e dla x 0 dla x > 0 Wartość przecęta zmeej losowej jest rówa lczbe stop swobody, zaś waracja wyos. Rozkład ch-kwadrat jest szczególym przypadkem rozkładu gamma. Dla > 30 rozkład ch-kwadrat moża z bardzo dobrą dokładoścą aproksymować rozkładem ormalym. W tablcach (p. w ksążce [5]) podae są prawdopodobeństwa P(χ = χ α ) = α dla wybraych wartośc α 30. (8).9. Rozkład t Studeta Rozkład t Studeta o k stopach swobody jest rozkładem zmeej losowej cągłej t postac: gdze zmea losowa X ma rozkład ormaly N(0, ) a t = X χ / zmee te są od sebe ezależe. Gęstość prawdopodobeństwa zmeej losowej t określoa jest zależoścą: f ( x) = χ (9) a rozkład ch-kwadrat o stopach swobody 0 dla x 0 + Γ ( ) dla x > 0 + t / (30) π Γ + Wykres gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu Studeta jest symetryczy względem prostej t = 0 jest podoby do wykresu gęstośc prawdopodobeństwa rozkładu ormalego. Wartość przecęta steje tylko dla > jest rówa zeru, atomast waracja zmeej losowej t steje tylko dla > jest rówa: σ = / (-). Dla dużych ( > 30) rozkład Studeta moża aproksymować rozkładem ormalym. 5

16 .0. Rozkład F Sedecora. Zmea losowa F jest stosukem dwóch ezależych zmeych losowych X Y o rozkładach ch-kwadrat z odpowedo m stopam swobody: Gęstość prawdopodobeństwa zmeej losowej F daa jest wzorem: m F = X Y (3) 0 dla z 0 m/ ( / ) f ( z) (( m ) ) z F = Γ + / ( m ) ( ) m ( z m ) ( m+ ) / dla z > 0 Γ / Γ / + / Wartość przecęta zmeej losowej steje dla > wyos: atomast waracja steje dla > 4 jest rówa: z = /(-), (3) σ = (m+-) / m(-) (-4) (33) Rozkład F Sedecora jest stablcoway, podawae są lczby F α/ take, że P(F>F α/ ) = α dla wybraych wartośc α. Zmea F jest stosukem pomędzy dwoma waracjam jest stosowaa do zbadaa, czy dwa ezależe estymatory waracj mogą być przyjęte do estymacj tej samej waracj. Nazwa testu pochodz od azwska Roalda A. Fshera, a wprowadzoa została przez Georga W. Sedecora. Statystyka F jest szeroko stosowaa w aalze waracj do testowaa hpotez statystyczych... Hpotezy statystycze. Hpoteza statystycza jest to jakekolwek przypuszczee co do rozkładu populacj geeralej (dotyczącą parametrów lub postac rozkładu określoego zboru). Hpotezy te mogą być dwojakego rodzaju: hpotezy parametrycze - precyzujące wartość parametru w rozkładze populacj geeralej zaego typu; hpotezy eparametrycze - precyzujące jedye typ rozkładu populacj geeralej. W statystyce przeważe e mamy absolutej pewośc co do słuszośc pewej hpotezy, a osągęce takej całkowtej pewośc często jest eopłacale lub wręcz emożlwe. Koecze jest jeszcze wprowadzee w tym mejscu dwóch pojęć: Hpoteza zerowa - podstawowa hpoteza statystycza sprawdzaa przy pomocy testu. Hpoteza alteratywa - hpoteza kokurecyja w stosuku do hpotezy zerowej w tym sese, że jeżel odrzuca sę hpotezę zerową, to do testowaa przyjmuje sę hpotezę alteratywą. Hpotez alteratywych może być węcej ż jeda. Do odrzucea hpotezy zerowej wystarczy, że którakolwek hpoteza alteratywa ma wększe od ej prawdopodobeństwo. Proces sprawdzaa postawoej hpotezy zerowej ma zwykle astępujący przebeg: stawamy pewą hpotezę odośe całej populacj, poberamy próbę, badamy ją a tej podstawe akceptujemy lub odrzucamy postawoą hpotezę. Weryfkacja hpotezy statystyczej odbywa sę poprzez zastosowae specjalego arzędza, zwaego testem statystyczym. Jest to reguła postępowaa, która każdej możlwej próbe losowej przyporządkowuje decyzję przyjęca lub odrzucea sprawdzaej hpotezy. Przyjęce odrzucee hpotezy w teśce statystyczym e jest jedak rówozacze z logczym udowodeem jej prawdzwośc lub fałszywośc. Należy bowem pamętać, że odrzucając sprawdzaą hpotezę w teśce statystyczym, kerujemy sę jedye tym, że dae lczbowe wykające z pomarów dają am małą szasę potwerdzea prawdzwośc tej hpotezy. Możlwy jest jedak przypadek, gdy hpoteza jest prawdzwa, atomast asze dae pomarowe są złe lub po prostu mało prawdopodobe przy tej hpoteze. Woskowae statystycze w metodach testowaa hpotez statystyczych opera sę główe a własoścach rozkładu ormalego. 6

17 .. Estymacja. Podstawowe pojęca z jakm spotykamy sę w teor estymacj: Estymator - dowola fukcja służąca do oszacowaa ezaej wartośc parametru populacj geeralej; Estymator eobcążoy - estymator dla którego wartość przecęta jest rówa zeru, tz. estymator szacujący parametr rozkładu bez błędu systematyczego; Estymator efektywy - estymator o możlwe małej waracj; Estymator zgody - estymator który jest stochastycze zbeży do parametru, czyl estymator podlegający dzałau prawa welkch lczb (stosowae wększych prób oprawa dokładość szacuku); Estymator wystarczający - estymator skupający w sobe wszystke formacje o badaym parametrze zawarte w próbe losowej; Estymacja puktowa - metoda szacuku ezaego parametru polegająca a tym, że jako wartość parametru przyjmuje sę wartość estymatora tego parametru otrzymaą z -elemetowej próby losowej; Estymacja przedzałowa - estymacja polegająca a budowe przedzału ufośc dla tego parametru. Przedzał ufośc jest przedzałem losowym wyzaczoym za pomocą rozkładu estymatora, a mający tę własość, że pokrywa wartość parametru z góry zadaym prawdopodobeństwem, zapsujemy go zwykle w postac P(a<X<b) = - α. 7

18 3. GENEROWANIE LICZB LOSOWYCH - Lczby losowe; - Tablce lczb losowych; - Geeratory lczb losowych; - Testy losowośc. 3.. Lczby losowe. Lcze decyzje oparte są a losowym wyborze, często dokoywaym w oparcu o lczby losowe, które zajdują sę w tablcach lub są otrzymywae przy pomocy specjalych geeratorów. Lczby losowe mogą meć róże postace welkośc. Zasadczą cechą lczb losowych jest to, że zajomość lczb występujących w przeszłośc e wpływa a skuteczość przewdywaa lczb przyszłych, czyl prawdopodobeństwo uzyskaa określoej lczby przy kolejej próbe e ulega zmaom, zdarzea są zatem ezależe. Podstawowym geeratoram lczb losowych są geeratory fzycze, take jak moeeta, ura o odpowedej zawartośc, kostka do gry lub geeratory wykorzystujące losowy przebeg zjawsk fzyczych (rozpady promeotwórcze, termczy szum w półprzewodkach). Stadardowym modelem lczb losowych jest jedostajy rozkład prawdopodobeństwa. Wygode jest geerować lczby losowe z przedzału <0, >, bowem lczby z tego przedzału moża wygode prosto przekształcć a elemety dowolego przedzału. Natomast geerowae lczb losowych o ych rozkładach sprowadza sę do wykoaa odpowedch rachuków a lczbach o rozkładze rówomerym. Rówomerość (jedostajość) rozkładu e jest wystarczającym warukem losowośc, poeważ ależy jeszcze zapewć, aby poszczególe lczby e pojawały sę w sposób okresowy. Isteje szereg stadardowych testów losowośc. Nektóre z ch sprawdzają własośc zborów poszczególych cyfr dzesętych pod względem astępujących wymagań: a) losowe cyfry dzesęte powy pojawać sę w odstępach wyoszących średo 0 cyfr - test a odstęp; b) w małych grupach cyfr losowych układy cyfr powy powtarzać sę z częstotlwoścą zgodą z rachukem prawdopodobeństwa - test pokerowy; c) każda kombacja dwóch kolejych cyfr losowych powa pojawać sę z jedakową częstotlwoścą - test seryjy. Ie testy sprawdzają zbory cągłych lczb dzesętych ze względu a astępujące wymagaa: a) test a korelację - mędzy kolejym lczbam e występuje korelacja; b) test a warację - średa odległość dwóch losowych puktów a powerzch kwadratu jedostkowego wyos /. W przypadku lczb otrzymywaych z geeratorów programowaych a komputerach z góry wadomo, że lczby te są pseudolosowe, bowem otrzymywae kolejo lczby są zdetermowae przez wybór stałych początkowych dla geeratora. 3.. Tablce lczb losowych. Przy pomocy geeratorów lczb losowych otrzymuje sę tablce lczb losowych które zajdują szeroke zostosowae w badaach reprezetacyjych (p. przy poberau próbek losowych), w projektowau dośwadczeń tp. Przykład tablcy lczb losowych staow tabela. 8

19 Tabela. Tablca lczb losowych Geeratory lczb losowych o rówomerym rozkładze prawdopodobeństwa Zazwyczaj lczby losowe są geerowae prze komputer a podstawe pewego wzoru matematyczego, realzowaego rekurecyje z wykorzystaem poprzedch wyków. Dla zadaej wartośc początkowej, geerator zawsze wytworzy te sam cąg lczb losowych. Zając te cąg, moża dokłade przewdzeć lczbę astępą. To samo odos sę róweż do opublkowaych tablc lczb losowych, bowem jeśl osoba losująca za tablce to lczby zawarte w ch przestają być losowe. Lczby losowe, których dokłady wykaz moża pozać, oszą azwę lczb pseudolosowych. Najprostszym przykładem geeratora lczb losowych jest geerator zbudoway w oparcu o odcek jedostkowy. Poszczególe segmety odcka o jedostkowej długośc określoo jako możlwe zdarzea, długośc poszczególych fragmetów zależą od ch prawdopodobeństwa (rysuek 3.). Musmy zwrócć przy tym uwagę a to, aby wykorzystać cały odcek jedostkowy by poszczególe fragmety e zachodzły a sebe. Następe ależy jedye geerować losowe pukty a tym odcku przetwarzać je a wyk w zależośc od tego, a który segmet przypadają. Do geerowaa cągu cyfr losowych o rozkładze rówomerym moża wykorzystać rozwęce dzesęte dowolej lczby ewymerej (przykład wykorzystaa lczby π do tego celu przedstawoy jest w ksążce Zelńskego ). Ia metoda geerowaa cągów lczb losowych polega a wykorzystau cągu lczb pochodzącego z geeratora fzyczego dopasowau ch do aszych potrzeb za pomocą operacj arytmetyczych R. Zelńsk, Geeratory lczb losowych. Programowae testowae a maszyach cyfrowych, WN-T, Warszawa 979, str.. 9

20 Podstawową rolę w realzacj programowaych geeratorów lczb pseudolosowych o różych rozkładach prawdopodobeństwa odgrywają algorytmy wytwarzaa lczb pseudolosowych o rówomerym rozkładze prawdopodobeństwa w przedzale <0,>. Do ajbardzej rozpowszechoych metod otrzymywaa takch rozkładów ależą metody kogruete, dzelące sę a dwe klasy: metody multplkatywe geerowaa lczb pseudolosowych metody addytywo-multplkatywe (meszae) oraz geeratory Fboaccego. W metodach meszaych geerowae lczb x mejszych ż day dodat moduł m poczyając od dowolej eujemej lczby x 0 < m polega a oblczau kolejych wartośc wyrażea: x 0 = [ a x - + c] mod m (34) gdze =,, 3,..., zaś stałe spełają waruk: 0 < a < m, 0 c < m. Stała m ajczęścej ozacza zakres lczb całkowtych, które mogą być reprezetowae w słowe maszyowym o długośc b btów (m = b ). Geerator te jest geeratorem okresowym, przy czym peły okres rówy m mamy wtedy, gdy:. c jest lczbą perwszą względem m;. a = k p + dla każdego czyka perwszego p lczby m (k jest dowolą lczbą całkowtą); 3. a = k p + 4, jeżel 4 jest dzelkem lczby m. Dla c = 0 geerator azywamy multplkatywym geeratorem kogruetym. Geerator te jest także geeratorem okresowym, maksymaly jego okres jest rówy. Geerator multplkatywy osąga te okres, gdy x 0 jest lczbą eparzystą oraz gdy c = k lub c = k dla dowolego całkowtego k. Przykład 7. Procedura geeratora addytywo-multplkatywego: Procedure Rad(v : teger; f: real; var y : teger); cost maxt=65539; radt= ; radre= e-9; BEGIN y:= v*maxt; IF y < 0 THEN y:=y+radt+; f:=y; f:=f*radre; END; Fucto Rowom(a,b,v): real; var x : real; y : teger; BEGIN Rad(v,x,y); Rowom:=a+(b-a)*x; END; Isteją też geeratory addytywe (azywae też uogóloym geeratoram Fboaccego), o ogólej postac: 0 x + = [a 0 x + a x a k x -k +b] mod m (35)