Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań
Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika Some rights reserved 3 sierpia 0 Stroa iteretowa: http://www.mat.umk.pl/ mozgu/ E-mail: mozgu@mat.umk.pl Praca złożoa w systemie L A TEX ε. Wykresy: Ikscape TikZ MathplotLib. Rysuek a stroie zaczerpięty od Paula Gaborit. Rysuki a stroach 9 oraz 93 a podstawie Alaia Matthes. Rysuek a stroie 36 a podstawie Supreme Aryal. Na stroie tytułowej mamy zbiór liczb :P
Aaliza matematycza I 00/0 Spis treści Spis treści 3 Logika i rachuek zdań 6 Teoria zbiorów 7 3 Podstawy 9 4 Idukcja matematycza 5 Własości fukcji 6 Nierówości i rówaia 6 7 Aksjomaty liczb rzeczywistych 9 8 Kresy góre i dole 9 Ciągi liczbowe 4 0 Graica góra i dola 3 Szeregi liczbowe 34 Ciągłość i graice fukcji 40 3 Pochode 48 4 Całki 65 5 Ciągi i szeregi fukcyje 76 6 Przestrzeie metrycze 79 7 Macierze 9 8 Fukcje wielu zmieych 94 9 Kolokwia i egzamiy 95 0 Zadaia specjale 4 Prace domowe 3 Bibliografia 35 3
Aaliza matematycza I 00/0 Wstęp Te zbiór zadań jest rozszerzeiem materiałów dydaktyczych które przygotowywałem podczas współprowadzeia zajęć z dr R. Skibą w semestrze zimowym 008/009 oraz jakie wykorzystywałem podczas prowadzeia w semestrze zimowym 00/0. Poiższy skrypt dedykuję studetom którzy cierpliwie zosili iedogodości pracy z iegotowymi materiałami dydaktyczymi. Mam adzieję że dołączoe obrazki choć ie zawsze ideale będą sprzyjać rozwojowi ituicji matematyczej w skutek aalogii do których prowadzą. Skrypt adal zajduje się w fazie prób poprawek oraz uzupełiaia. Toruń 3 sierpia 0 4
Aaliza matematycza I 00/0 Ozaczeia stosowae N Q R C zbiór liczb aturalych wymierych rzeczywistych i zespoloych odpowiedio. a k k= ciąg elemetów. a k } k= zbiór elemetów. k= a = a suma elemetów ze zbioru a k } k=. k= A c dopełieie zbioru A. X W} zbiór elemetów o własości W ależących do zbioru X. k symbol Newtoa ad k. X d przestrzeń metrycza. d a a 0 gdzie a a 0 A ciąg a k k= zbiega w metryce d do a 0. B 0 r kula otwarta o środku w 0 i promieiu r. D 0 r kula domkięta o środku w 0 i promieiu r. B A 0 r kula otwarta o środku w 0 i promieiu r w A kula relatywa. CX Y zbiór fukcji ciągłych z X do Y. C k X Y zbiór fukcji klasy C k z X do Y. 5
Aaliza matematycza I 00/0 Logika i rachuek zdań Yet there is the costat desire to fid some poit i the twistig kottig ravelig ets of space-time o which a metaphorical figer ca be put to idicate that here here is the poit where it all bega... Terry Pratchett Hogfather Zadaie.. Które z astępujących zdań są prawdziwe a które fałszywe: a > 3 3 > ; b > 3 3 > ; c > 3 = 3 > ; d Jeżeli luty w pewym roku ma 30 di to te rok ma ieparzystą ilość di; e Styczeń ma 3 di lub marzec ie ma 3 di? Zadaie.. Wykaż metodą zero-jedykową że każde z wyrażeń jest prawem logiczym: a p p prawo wyłączoego środka ; b p p prawo sprzeczości; c p p prawo podwójej egacji; d [ p q] [ p q] I prawo de Morgaa ; e [ p q] [ p q] II prawo de Morgaa; f [p p = q] = q prawo odrywaia; g [ p = q] [p q] prawo egacji implikacji; h p q q p prawo przemieości alteratywy; i p q q p prawo przemieości koiukcji; j p q r p q r prawo łączości alteratywy; k p q r p q r prawo łączości koiukcji; l [p q r] [p q p r] prawo rozdzielości koiukcji względem alteratywy; m [p q r] [p q p r] prawo rozdzielości alteratywy względem koiukcji; p = p = p II prawo Claviusa ; o p = q [ q = p] prawo traspozycji; p [p = q q = r] = p = r prawo przechodości implikacji; q p q [p = q q = p]. p q r Zadaie.3. Sprawdzić czy astępujące zdaia są tautologiami: a [p q p] = q; b p = [ p q]; c [p p q]. Zadaie.4. Oceń wartość logiczą zdań i zapisz je z użyciem kwatyfikatorów: a Istieje taka liczba rzeczywista że 4 = 0; b Dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi ierówość 9 < 0; c Dla każdego jeśli > to > 0; d Istieje takie < że <. Augustus De Morga 806 87 agielski matematyk i logik. Christophorus Clavius 538 6 włoski matematyk i astroom. 6
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie.5. Które z astępujących zdań są prawdziwe a które fałszywe: a R y R + y = 0; b R y R + y = + y + y ; c R y R + y = 0; d R y R + y = 0; e R y R + y = 0? Zadaie.6. Formy zdaiowe jedej i dwóch zmieych poprzedź kwatyfikatorami tak aby otrzymać zdaie prawdziwe: a + y = + y ; b y = y + y ; c 4 < 0; d y = y; e + y y; f 0. Zadaie.7. Załóżmy że ktoś stwierdza: Kocham Barbarę lub Joaę oraz Jeśli kocham Barbarę to kocham Joaę. Czy wyika z tego że kocha Joaę? Zadaie.8. Załóżmy że ktoś zapytay czy z tego że kocha Barbarę wyika że kocha Joaę odpowiada: Jeśli to prawda to kocham Barbarę. Czy wyika z tego że kocha Barbarę? Czy wyika z tego że kocha Joaę? Zadaie.9. Co moża wywioskować z astępujących zdań: a Adam za co ajmiej jede spośród języków: agielski iemiecki i rosyjski. b Jeśli za agielski lecz ie za iemieckiego to za rosyjski. c Za jedocześie iemiecki i rosyjski albo ie za żadego z ich. d Jeśli za iemiecki to za rówież agielski. Zadaie.0. Zabłądziliśmy w lesie. Przypadkowo spotkay przez as człowiek zapytay o drogę odpowiedział: Ta droga prowadzi do miasta wtedy i tylko wtedy gdy wypowiadając to zdaie mówię prawdę. Czy powiedział prawdę? Czy asza droga prowadzi do miasta? Zadaie.. Matka będąca z zawodu logikiem powiedziała swemu syowi: jeśli ie dokończysz kolacji ie będziesz mógł oglądać dłużej telewizji dziś wieczorem. Sy zjadł kolację ale wtedy został atychmiast wysłay do łóżka. Przedyskutuj tę sytuację. Zadaie.. Określić wartość logiczą zdań: a Jeśli + = 4 to + 4 = 8. b Jeśli + = 5 to + 4 = 8. c Jeśli + = 4 to + 4 = 6. d Jeśli + = 5 to + 4 = 6. Zadaie.3. Wykazać że jeśli implikacje α = α α = α... α = α α = α są prawdziwe to wszystkie zdaia α α... α mają tę samą wartość logiczą. Zadaie.4. Stoisz przed dwoma bramami z których jeda prowadzi do wyjścia atomiast druga do przepaści. Przed bramami stoi dwóch strażików z których jede kłamie a drugi mówi prawdę. Jak sformułujesz tylko jedo pytaie które zadając tylko jedemu strażikowi uzyskasz odpowiedź która prowadzi do wyjścia? Teoria zbiorów All geeralizatios are false icludig this oe. Mark Twai 7
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie.5. Dae są zbiory: A = R < 5} B = R 4} C = R 5 < 7}. Zapisz za pomocą przedziałów liczbowych zbiory: a A \ B; b A B C; c A c B c C c. Zadaie.6. Niech A = } B = 3 4} C = 4 6 7}. Zajdź zbiory: a A B; b A \ B; c C B; d A B; e C \ B A; f A A \ B B. v v v 3 v 6 v 4 v 6 v 7 Zadaie.7. Dae są zbiory: A = R 3} B = R > }. Zazacz a osi liczbowej zbiór A \ B. Zadaie.8. Niech X będzie zbiorem wszystkich wielokątów i iech A będzie zbiorem trójkątów róworamieych B będzie zbiorem wszystkich trójkątów rówoboczych a C zbiorem trójkątów prostokątych. Zaleźć astępujące zbiory: a A B C; b A X \ B C; c X \ A B C; d X \ A [X \ B C]; e A B X \ C. Zadaie.9. Wykaż graficzie prawdziwość lub ie relacji między zbiorami: a A B A = A; b A B B = B; c A \ B C = A \ B A \ C; d A \ B C = B \ B A \ C; e [A B = A C = B C = ] = A B C =. Zadaie.0. Stosując prawa rachuku zdań wykaż: a A B = B A; b A B = B A; c A B C = A B C; d A B C = A B C; e A B C = A B A C; f A B C = A B A C; g B C \ A = B \ A C \ A; h A \ B C = A \ B \ C. Zadaie.. Udowodij graficzie i formalie że dla dowolych zbiorów A B zachodzi rówość: A c B c = A B c. Diagram Vea Zadaie.. Zaleźć N A N A astępujących zbiorów: 8
Aaliza matematycza I 00/0 a A = R }; c A = R + }. b A = R } + 3 ; Zadaie.3. Zaleźć N R < } c. Zadaie.4. Przedstaw graficzie iloczy kartezjański X Y jeśli: a X = [a + Y = N a > 4; b X = } Y = [a b]; c X = Z Y = }. 3 Podstawy What s i a ame? That which we call a rose by ay other ame would smell as sweet. William Shakespeare Romeo ad Juliet Zadaie 3.5. Dla ciągu arytmetyczego o początkowym wyrazie a i różicy r określoego wzorami a 0 = a a + = a + r udowodić że a a = a + r b a 0 + a +... + a = + a 0 + a Zadaie 3.6. Obliczyć a + +... + 00 b 7 + 0 + 3 +... + 03. Zadaie 3.7. Dla ciągu potęg liczby iezerowej a określoego wzorami: a 0 = a a + = a a udowodić że a a m = a +m. Zadaie 3.8. Dla ciągu geometryczego o początkowym wyrazie a i ilorazie q określoego wzorami: b 0 = a b + = b q udowodić że a b = a q dla q = 0 oraz b b 0 + b +... + b = a q+ q dla q =. 9
Aaliza matematycza I 00/0 Dla ciągu liczb a 0 a... a a +... symbol k=0 a k lub a k k=0 ozacza sumę a 0 + a +... + a i jest formalie tj. bez użycia kropek określoy wzorami 0 a = a 0 k=0 + a k = a k + a +. k=0 k=0 Dodatkowo dla m defiiujemy symbol k=m a k wzorem: m a k := a k a k. k=m k=0 k=0 Symbol k=m a k ozacza formalie sumę a m + a m+ +... + a. Zadaie 3.9. Zapisać przy pomocy zaku sumy wzory z Zadaia.00. Poadto wykazać że a m k=m a k = a m dla m 0 b m+ k=0 a k = a 0 + m k= a k + a m+ c k=0 a k + b k = k=0 a k + k=0 b k dla m 0. Zadaie 3.30. Zapisać przy pomocy zaku sumy i udowodić wzór + 3 4 +... + + =. Zadaie 3.3. Dla ciągu liczb a 0 a... a a +... aalogiczie jak dla sumy zdefiiować symbol k=0 a k lub ozaczający iloczy a 0 a... a. k=0 a k Zadaie 3.3. Przytoczyć defiicję sili oraz symbolu Newtoa. Udowodić ich potrzebe własości dla dowodu Zadaia 3.33. Zadaie 3.33. Wykazać astępujący wzór dwumiey Newtoa a + b = i=0 a i b i. i Zadaie 3.34. Dla jakiej wartości współczyiki w siódmym i dwuastym wyrazie rozwiięcia wyrażeia + są jedakowe? Zadaie 3.35. Dla jakiej wartości współczyiki drugiego trzeciego i czwartego wyrazu rozwiięcia wyrażeia a + b tworzą ciąg arytmetyczy? Sir Isaac Newto 643 77 agielski fizyk matematyk astroom filozof historyk badacz Biblii i alchemik. 0
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 3.36. Zaleźć wyraz iezależy od w wyrażeiu + /3 /3 + 0. / 4 Idukcja matematycza Dwa zwierciadła czujące swych głębi powietrzość Jedo przeciw drugiemu ustawiam z pośpiechem I widzę szereg odbić zasuiętych w wietrzość Każde dalszego zakrzepłym bliższego jest echem. Bolesław Leśmia Prolog Zadaie 4.37. Stosując metodę idukcji matematyczej pokaż że + 3 + + =. + + + 3 3 + + 4 6 + + + 5 0 0 + + + 6 5 0 + 4 + 5 + 5 + 6 Zadaie 4.38. Metodą idukcji matematyczej udowodij że a + + + = + b + + + = ++ 6 c 3 + 3 + + 3 = + + d! +! + +! = +!. Zadaie 4.39. Pokaż że dla każdego N mamy że a liczba 3 + jest podziela przez 3 b liczba 4 + 5 jest podziela przez 9 c liczba 7 jest podziela przez 3 d liczba + + 3 + dzieli się przez 7. Zadaie 4.40. Wykazać że: a dla każdego > zachodzi ierówość: > + b dla każdego N zachodzi ierówość: 4 > 3 c dla każdego > 4 zachodzi ierówość: + > + d dla każdego N zachodzi ierówość: + + + >. Zadaie 4.4. Wykazać astępujące własości symbolu Newtoa
Aaliza matematycza I 00/0 a k = k + k gdy 0 < k < b k = k gdzie k N. Zadaie 4.4. Korzystając z zasady idukcji matematyczej i Zadaia 4.4 uzasadić że a k=0 k = b k=0 k = c k=0 k k = 0 d k= k k =. Zadaie 4.43. ** Pokazać idukcyjie astępującą tożsamość Eulera a 0 + a 0 a + a 0 a a + + a 0 a a a = 5 Własości fukcji a 0 a a + a... + a... a Zadaie 5.44. Określić aturale tz. jak ajwiększe dziedziy fukcji f = + a a + a a 3 b si c 4 + f g +cos h log 3 + d si i 4 e 3 Zadaie 5.45. Wyzaczyć dziedzię itegralą astępujących fukcji: j + 3 4 3. a 5 4 3 + + 3+ 5 b log 5 3 7 arccos log 4 arcsi 3 c log si arccos +si arcsi log4 arcsi + arcsi d log si 3 + 6 arcta arc ctg log 5 0+4 3 + 5 log log 5 + 6. Zadaie 5.46. f = Zaleźć a aturalych dziedziach jak w Zadaiu 5.44 zbiory wartości fukcji a 3 b si + cos c 5 3 + 4 d 4 + 3 e + f 3e g h 4 5 si i + 3 + 5 j 6. Zadaie 5.47. Zbadać czy fukcje f = 4 + oraz g = 6 6 3 + są ograiczoe z góry. Leohard Euler 707 783 szwajcarski matematyk i fizyk.
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 5.48. Korzystając z defiicji wykazać mootoiczość fukcji a zadaych zbiorach: a f = 4 + 5 R b f = + [ c g = 4 [ d g = + [. Niech f: X Y oraz g: Y Z będą dowolymi fukcjami. Ich złożeiem azywamy fukcję h: X Z taką że: h = g f dla każdego X. Fukcję złożoą h zacza się symbolem g f i czyta: f złożoa z g. Zadaie 5.49. Określić fukcje złożoe f g g f f f g g gdzie: a f = g = b f = log g = c f = g = 4 d f = si g =. Zadaie 5.50. Zaleźć fukcje odwrote do podaych f = a 3 b 5 + 3 c 6 sg d 3 3 + e log 3 + f + 3+4. Zadaie 5.5. Naszkicować wykres fukcji arcta ta. Zadaie 5.5. Niech f: R R będzie zadaa wzorem: f = + 7. Zaleźć f 0} i f [0 ]. Zadaie 5.53. Niech f: R R + R + = R 0} będzie zadaa wzorem: f = 5 + 6. Zaleźć f 0} i f 0. Zadaie 5.54. Niech f: R R będzie zadaa wzorem: f =. Zaleźć f [0 ] i f [ 3]. Zadaie 5.55. * Niech f: [0 ] [0 ] będzie zdefiiowaa wzorem gdy wymiery f = gdy iewymiery. Pokazać że f jest bijekcją mimo że ie jest mootoicza. Zadaie 5.56. Niech f: R R będzie określoa astępująco: + 3 dla R = = 0 f = 3 dla = dla = 0. Pokazać że f jest bijekcją oraz wyzaczyć f. 3
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 5.57. Niech f: R R będzie daa astępująco: dla < 0 f = dla [0 dla. Zbadać czy f jest bijekcją a jeśli tak to wyzaczyć f. Zadaie 5.58. Pokazać że fukcja f = + = 0 jest fukcją ieparzystą ściśle rosącą a przedziale [ oraz ściśle malejącą a przedziale 0 ]. Zadaie 5.59. Niech g: R R będzie określoa astępująco: + dla < g = 3 dla = + + dla >. a Sprawdzić czy g jest różowartościowa b wyzaczyć gr c wyzaczyć g. Zadaie 5.60. f. Niech f: R R będzie określoą wzorem f =. Wyzaczyć zbiór Zadaie 5.6. Sprawdzić czy fukcja f: R R określoa wzorem f = + jest różowartościowa. Wyzaczyć fr. Zadaie 5.6. Niech f: R R będzie daa astępująco: dla 0 f = + dla > 0. Wyzaczyć zbiór f A gdzie A = [ }. Zadaie 5.63. Niech g: R R będzie określoa astępująco: + 3 g = dla 3 + dla > 3. Wyzaczyć zbiory ga g B gdzie A = 0 ] B = 0 }. Zadaie 5.64. Pokazać że fukcja f: R R określoa wzorem f = + jest ściśle rosąca a R. Wyzaczyć fr oraz skostruować fukcję odworotą do f. Zadaie 5.65. Pokazać że fukcja f = l + + jest ieparzysta. Zadaie 5.66. * Niech f: D R gdzie D R oraz g: fr R. Pokazać że a jeśli fukcję f i g są jedocześie rosące lub jedocześie malejące to g f jest rosąca b jeśli f jest rosąca a g malejąca to g f jest malejąca c jeśli f jest malejąca a g rosąca to g f jest malejąca. 4
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 5.67. Niech f g: R R ft = t + 3 gt = t dla t R. Wyzaczyć: g f f g + g g g f + 3 f g f f 3 g[f 4 + g ] 6 g + g y fy. Zadaie 5.68. Zbadać parzystość i okresowość astępujących fukcji f: R R: a f = si b f = si + cos c f = si cos d f = si + si e f = si + cos 3 f f = si + si g f = coscos h f = si i f = [3 + ] j f = []. Zadaie 5.69. Zbadać różowartościowość i mootoiczość fukcji f: D R gdy a D = 0 0 0] R f = 3 4 3 + b D = 0 5 5 3 \ 0} R \ 0} f = + ; c D = ] 0 R \ 0} f = d D = [ 5] [ 3 f = 3 3 5 5 + ; + 4; + < 0 + 0 + + > ; e D = 3] 0 ] 0 f = + 3 3 3 + ; f D = 0 ] f = arcsi arcsi 3 arccos + arcsi + sita ta + si ; g D = 0 ] [0 R f = arcta + 7 si arcta arcta + arcta l + ; h D = 0 0 f = log 5 + 9 log 7 4 l + 6 + 5 arctalog log + log 3 log log 3 + log log5 log + + 3. 5. Własości przeciwobrazu i obrazu Zadaie 5.70. Udowodić że jeśli f: X Y A B X to a fa B = fa fb b fa B fa fb c fa \ B fa \ fb. Podać a przykładach że ikluzji ie moża zastąpić rówością. Zadaie 5.7. Udowodić że jeśli f: X Y A X oraz B B Y to a f B B = f B f B b f B \ B = f B \ f B c A f fa. Zadaie 5.7. Pokazać że f: X Y jest ijekcją wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego A X mamy że A = f fa. Zadaie 5.73. Pokazać że f: X Y jest ijekcją wtedy i tylko wtedy gdy dla każdych A B X mamy że fa \ B = fa \ fb. 5
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 5.74. Niech f: X Y i iech A t } t T będzie rodzią podzbiorów zbioru X zaś B s } s S będzie rodzią podzbiorów zbioru Y. Pokazać że f A t = fa t f A t fa t t T t T t T t T f B s = f B s f B s = f B s. s S s S s S s S Zadaie 5.75. Pokazać że jeśli f g są fukcjami różowartościowymi i moża jest złożyć to g f = f g. Zadaie 5.76. Niech f: X Y g: Y X będą takimi fukcjami że g f = id X tz. g f = dla każdego X. Pokazać że f jest różowartościowa i g jest surjekcją. Czy f i g muszą być bijekcjami? 6 Nierówości i rówaia Zadaie 6.77. Pokazać że dla y... R zachodzą astępujące ierówości: a + y + y e y + y +y b y y c + +... + +... + f si dla 0 π g si dla R d + +... + + +... + h cos cos y y. Zadaie 6.78. Udowodić że dla dowolych liczb rzeczywistych a a... a b b... b spełioe są astępujące ierówości: a i= a ib i i= a i i= b i ierówość Cauchy -Schwarza ; Wskazówka: przekształcić i wykorzystać ierówość: i= ai + b i 0; b i= a i + b i i= a i + i= b i ierówość Mikowskiego3. Zadaie 6.79. Udowodić że dla oraz dowolych ieujemych liczb rzeczywistych... zachodzą astępujące ierówości: a... = + +... + ierówość Weierstrassa A H G b + + +... c + + +.... a b Zadaie 6.80. Udowodić astępujące ierówości metodą idukcji matematyczej: a + + gdzie jest liczbą rzeczywistą oraz ierówość Beroullego 4 ; b + + + + 6 3 dla 0 i > 0; c! dla ; Augusti Louis Cauchy 789 857 fracuski matematyk. Karl Herma Amadus Schwarz 843 9 matematyk iemiecki. 3 Herma Mikowski 864 909 iemiecki matematyk i fizyk pochodzeia polskiego i żydowskiego. 4 Jakub Beroulli 654 705 szwajcarski matematyk i fizyk. 6
Aaliza matematycza I 00/0 d dla 0; e > dla 5; f k k k! g! + dla k = 0... ; dla. Zadaie 6.8. Rozwiązać rówaia: a si + 3 = ; b + 9 + 8 + 3 + + 7 + 4 + 3 = ; c 3 + 30 = 6 + ; d 5 3 7 5 + + 5 + 65 = 0; e 3 9 = 3; f log 4 + 3log 4 = 0; g 3 + = 4; h arcsi 3 = π 4 ; i + + 3 = 6; j = 4; k + 6 = ; l [ + ] = 7; m [ + ] = 3; [ + 3] = ; o [ + ] = 6; p [ 3] = [ ] ; q + = 4 r [ [ + ] 4 + ] 3 = 7. Zadaie 6.8. Rozwiązać ierówości: a + 3 4 ; b 3 + + 4 < 4 + 5; c cos + + < ; d log 3 + 9 < ; e 3 + > 9; f 9 m dla m = 0 4 9 6; g 5 4 + < 5; h log arcsi + < ; i 3 + > p dla p = 0 4 8 35 4 9; j + > 3 + ; k 3 6 ; l + 6 + 4 3 + ; m [ 3] < 5; [3 + ] 5; o 5 7; p + 3 > 9; q A + B > 5 w zależości od parametrów A B R; r 3 < 64; s 5 + 5 + 0 3 + ; t + 3 4 = m m = 3 4 5; u [ ] < 4; v [ + 3] 5; w [ 3] > 4. W celu policzeia przeciwobrazu wystarczy zauważyć że f a b a < f < b f a b] a < f b itd. Na przykład f = 3 i mamy do policzeia f +. Z powyższego jest to rówoważe rozwiązaiu ierówości < 3. Zadaie 6.83. Uzasadić że: 7
Aaliza matematycza I 00/0 a b 3 + = + ; 4 7 + 6 6 7 = ; c + y y y ; d + y y +y y > 0; e y + y y > 0; f y +y y > 0; g log +y log +log y y > 0; h log + y log + log y y ; i a b a b ; j a b c 0 a + b c p a + p b p c p = 3 4; k + l < [] ; + = ; m si si y y ; maa b} = a b +a+b ; o = ma } = mi }; p mia b} = a+b a b ; q a + b} + c} = a + b + c} = a + b + c}}; r a b c = maa b c} = a b c; s + > + dla 3 N; t + 4 6 + ; u + dla N; ab v log a a+b + log b ab a+b a b > ; w k= k < ; wielomia + + + jest podziely przez wielomia + ; y a + b < c α>a β>b a + b < α + β < c. Ozaczeia: [a] = ma k Z k } a} = a [a] a b = maa b} część całkowita liczby część ułamkowa liczby maksimum dwóch liczb 8
Aaliza matematycza I 00/0 7 Aksjomaty liczb rzeczywistych Simplicity is the ultimate sophisticatio. Leoardo da Vici a R + tworzy ciało. Iaczej mówiąc i Dla każdych y i z w R + y + z = + y + z oraz y z = y z. łączość dodawaia i możeia ii Dla każdych i y w R + y = y + oraz y = y. przemieość dodawaia i możeia iii Dla każdych y i z w R y + z = y + z. rozdzielość możeia względem dodawaia iv Dla każdych w R + 0 =. istieie elemetu eutralego dla dodawaia v 0 ie jest rówe oraz dla każdego w R =. istieie elemetu eutralego dla możeia vi Dla każdego w R istieje elemet w R taki że + = 0. istieie elemetu odwrotego dla dodawaia vii Dla każdego = 0 w R istieje elemet w R taki że =. istieie elemetu odwrotego dla możeia b R jest zbiorem liiowo uporządkowaym. Iaczej mówiąc i Dla każdego w R. zwrotość ii Dla każdych i y w R jeśli y oraz y to = y. atysymetryczość iii Dla każdych y i z w R jeśli y oraz y z to z. przechodiość iv Dla każdych i y w R y lub y. liiowość c Działaia + oraz a R są zgode z porządkiem. Iaczej mówiąc i Dla każdych y i z w R jeśli y to + z y + z. zachowaie porządku a dodawaie ii Dla każdych i y w R jeśli 0 oraz 0 y to 0 y zachowaie porządku a możeie d Porządek jest zupeły w tym sesie że: każdy iepusty pozbiór R ograiczoy z góry ma ajmiejsze ograiczeie góre. Iaczej mówiąc i Jeśli A jest iepustym podzbiorem R oraz jeśli A ma ograiczeie góre to A ma ajmiejsze ograiczeie góre u tj. takie że dla każdego ograiczeia górego v zbioru A mamy u v. Zadaie 7.84. Pokazać że w ciele liczb rzeczywistych elemety eutrale względem dodawaia i możeia są wyzaczoe jedozaczie. Iymi słowy: [ θ θ R R + θ = R + θ = ] θ = θ [ eẽ R R e = R ẽ = ] e = ẽ Zadaie 7.85. Uzasadić że dla każdej liczby rzeczywistej elemet do iej odwroty względem dodawaia jest wyzaczoy jedozaczie. Pokazać że dla dowolej iezerowej liczby rzeczywistej elemet do iej odwroty względem możeia jest wyzaczoy jedozaczie. R yỹ R + y = 0 + ỹ = 0 y = ỹ R =0 yỹ R y = ỹ = y = ỹ Zadaie 7.86. Sprawdzić że dla każdego R mamy że = oraz jeśli = 0 to =. Zadaie 7.87. Czy prawdą jest że dla każdego R: 0 = 0? 9
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 7.88. Wyprowadzić z aksjomatów liczb rzeczywistych astępujące własości: a R =0 = 0 = ; b 0 = 0 0 = 0 = ; c R 0 = = ; d rówaie a = b dla a = 0 ma w R dokładie jedo rozwiązaie rówe b a ; e rówaie a + = b w R ma dokładie jedo rozwiązaie ozaczae jako b a; f y R + y = + y ; g y R > 0 y > 0 + y > 0. Zadaie 7.89. W zbiorze R ma miejsce prawo skracaia i upraszczaia tz. dla dowolych y z R jeśli + y = z + y to = z; jeśli = 0 oraz y = z to y = z. Zadaie 7.90. Pokazać że 0 <. Zadaie 7.9. Pokazać że jeśli R oraz > 0 to < 0 oraz > 0. Zadaie 7.9. Stosując aksjomaty pokazać że gdy y R są takie że y > 0 to y > 0. Jeśli > y > 0 to y > > 0. Zadaie 7.93. Uzasadić że dla y R zachodzi: y = y = y y = y. Zadaie 7.94. Jeśli y R oraz y = 0 to = 0 lub y = 0. Zadaie 7.95. Uzasadić że dla R takiego że = 0 mamy: := > 0. Zadaie 7.96. * Wyprowadzić z aksjomatów liczb rzeczywistych astępującą multyplikatywą wersję Zasady Archimedesa : jeżeli > y > 0 to istieje Z takie że y <. Wskazówka: Zaadaptować dowód addytywej wersji Zasady Archimedesa która brzmi astępująco: y R > 0 Z y <. Zadaie 7.97. Stosując odpowiedią wersję Zasady Archimedesa wykazać: a a a 0 ε>0 N a < ε; b ε>0 N < ε. Zadaie 7.98. Eudoksos Wyprowadzić astępującą Zasadę Gęstości Zbioru Liczb Wymierych w zbiorze liczb rzeczywistych: Pomiędzy dowole dwie liczby rzeczywiste y R < y moża wpisać pewą liczbę wymierą q Q tj. < q < y. Wskazówka: Skorzystać z Zasady Archimedesa. Archimedes z Syrakuz gr. Aρχιµηδησ; ok. 87- p..e. grecki filozof przyrody i matematyk urodzoy i zmarły w Syrakuzach. Eudoksos z Kidos gr. Eνδoξoσ grecki astroom matematyk filozof i geograf żyjący w pierwszej połowie IV wieku p..e. 0
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 7.99. Własość Suslia dla prostej Pokazać że każda rodzia złożoa z przedziałów otwartych i rozłączych w R jest przeliczala. Zadaie 7.00. Wyprowadzić astępującą Zasadę Gęstości Zbioru Liczb Niewymierych w zbiorze liczb rzeczywistych: Pomiędzy dowole dwie liczby rzeczywiste y R < y moża wpisać pewą liczbę iewymierą z R \ Q. Wskazówka: Moża skorzystać z rezultatu zawartego w 7.98. Zadaie 7.0. W dowolym przedziale otwartym a b R zajduje się ieskończeie wiele liczb iewymierych. Uzasadić że jest ich tam ieprzeliczalie wiele. Zadaie 7.0. Pokazać że: a 6 + + 6 3 7 + 5 + 3 7 5 Q; b 3 6 3 7 R \ Q; c + 3 + 3 + 5 3 + 3 3 + 3 3 d 0 < R \ Q R \ Q; e Q \ 0} y R \ Q + y y R \ Q; 3 7 5 R \ Q; Dla liczb pierwszych p mamy astępujące przejście p ab p a p b. Na przykład gdy 6 = 3 to moża użyć jakiegokolwiek z dzielików 6. f log 5 log 0 R \ Q; g a b N a b > NWDa b = log a b R \ Q. Zadaie 7.03. * Pokazać że istieją dwie liczby iewymiere a i b takie że a b jest wymiera. Wskazówka: Wykorzystać liczbę. Alteratywy kostruktywy dowód w oparciu o log 5. Zadaie 7.04. Wykazać przeliczalość zbiorów: a a + b 5 a Z b Q} b a + b 7 a Q [0 b Z} c a + b 3 + c 5 a b Z c Q} d a b a b Q [0 } e Q 4 + 3 > 7}. Zbadać które z tych zbiorów są gęste w R. Zadaie 7.05. Pokazać rówoliczość astępujących zbiorów: a 3 5 3 5 b [ 3 5 3 5] c [ 3 5 3 5 d [ 3 5] [3 5 f 3 5 6 8 0 4 6 3 5 g 3 5 5 h [3 5] 5 i [5 5 e [ 3 5] 3 5 j R R \ 0}. Michaił Jakowlewicz Susli ros. Михаил Яковлевич Суслин 894 99 rosyjski matematyk.
Aaliza matematycza I 00/0 8 Kresy góre i dole Nie to bowiem jest ieskończoe co już ie ma ieczego poza sobą lecz właśie to co zawsze ma coś poza sobą. Arystoteles Fizyka Zadaie 8.06. z iterpretacją. Podać defiicję kresu górego i dolego wraz A Zadaie 8.07. Wskazać kresy podaych zbiorów: a A = [ 4 3 b B = 0 6 4 7 8} c C = R + 3 < 4} d D = R 8 + 7 < 0} e E = Q < } f F = N < 30} g G = cos Q} h H = + N} i I = 0 Q. Zadaie 8.08. a A = si 0}; b B = R > 0 si = 0} ; Zbadać ograiczoość i wyzaczyć kresy astępujących zbiorów: d D = + } N ; e E = 6 + 9 = 0 R } ; c C = N}; f F = si > 0}. Zadaie 8.09. a A = + N} ; b B = +k k N} ; c C = + π k k N} ; } d D = + N ; Wyzaczyć kresy astępujących zbiorów: Zadaie 8.0. Policz kresy zbioru B = k 3 l e E = 3+ N} ; f F = 3 N} ; g G = e N } ; h H = m + m }. m N } k l N. Zadaie 8.. Zbadać ograiczoość i wyzaczyć kresy astępujących zbiorów: a A = R } < ; b B = + }; R \ 0} c C = R + 3 + + 3 < 6}; d D = R 5 < 3}. Zadaie 8.. Niech A k := k +k+ N} gdzie k N. a Wyzaczyć kresy zbiorów A k. b Zbadać ograiczoość i wyzaczyć kresy zbioru k= A k. Zadaie 8.3. Zaleźć kresy astępujących zbiorów a A = 3 + N} b B = [0 3 c C = 3 5 Q d D = [ Q e E = 3+ N} f F = N}
Aaliza matematycza I 00/0 g G = + m m N} h H = + m + k m k N} i I = [0 ] R \ Q j J = 0 } k K = R + 3 < } } l L = R + m M = cos 0 π ]} N = cos 0 π 4 Q } o O = + 3 0 } p P = ± + N} } q Q = y 0 < y R +y } r R = y 0 < y R \ Q. +y Zadaie 8.4. Pokazać że zbiór c S = c + c c + c + } c... gdzie c 0 jest ograiczoy. Wybrać kokretą wartość c p. c = i zaleźć jego kresy. Zadaie 8.5. Niech X = ± + =...}. Dowieść że if X = 0 oraz sup X =. Zadaie 8.6. Niech C k = k k+ N} przy k N. Wyzaczyć: a kresy zbiorów C k ; b kresy zbioru k= C k. Zadaie 8.7. * Niech A R będzie ograiczoy. Utwórzmy zbiór B = y R A y = }. Pokazać że zbiór B jest ograiczoy oraz sup B = ma sup A if A }. Zadaie 8.8. * Niech D = 0 R \ Q. Uzasadić że D D =. Zadaie 8.9. Pokazać że jeśli A B R są ograiczoe A B [0 + to a sup α A = α sup A przy α > 0; b if α A = α if A przy α > 0; c if A = sup A; d sup A = if A; e supa B = masup A sup B}; f ifa B = miif A if B}; g supa + B = sup A + sup B; h ifa + B = if A + if B; i ifa B = if A if B; j supa B = sup A sup B. Wskazać gdzie ie potrzeba zakładać jedoczesej ograiczoości z gory i z dołu. Co się dzieje w a i w b gdy α < 0? Zadaie 8.0. Pokazać że ifa B = if A sup B. Zadaie 8.. Niech A R będzie ograiczoy zaś α < 0. Zapropoować wzór a ifα A a astępie go sprawdzić. 3
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 8.. Niech A B R będą ograiczoe. Pokazać że ie istieje wzór a ifa B. Dokładiej wskazać takie pary iepustych zbiorów ograiczoych A B R oraz à B R że ifa B = ifã B chociaż ifa = ifã i ifb = if B. Ozaczeia. Defiiujemy działaia algebraicze a podzbiorach A B R: a A = c R a A c = a} b A + B = c R a A b B c = a + b} c α A = c R a A c = α a} d A B = c R a A b B c = a b}. 9 Ciągi liczbowe Ad as soo as she had asked herself the questio she kew the aswer. Neil Gaima Coralie Zadaie 9.3. Day jest ciąg o wyrazie ogólym a = 3+ +!. Wyzaczyć: a a b a + a c a + a d a. Zadaie 9.4. Wyzaczyć wszystkie ujeme wyrazy ciągu: a = 3 4 + 4. Zadaie 9.5. Zbadać czy podae ciągi są ciągami arytmetyczymi. Jeśli tak to podać pierwszy wyraz ciągu i różicę: a a = 5 3 b a = 3 + c a = + d a = 8 3 e a = 8 + 3. Zadaie 9.6. Obliczyć siedem pierwszych wyrazów ciągu arytmetyczego a wiedząc że: a a = 7 r = 3 b a 4 = 6 r = 7 c a 3 = 0 r = 4 d a 7 = r = e a 0 = 0 r = 5 f a 3 = 5 r = 6. Zadaie 9.7. W pewym ciągu mamy dae: a a = 7 i a 9 = 35 b a 4 = 3 i a 0 = 35 c a 4 = 5 i a 6 = 3 d a 6 = 4 i a 6 = 4. Wyzaczyć wzór ogóly tego ciągu. Zadaie 9.8. Zbadać czy podae ciągi są ciągami geometryczymi. Jeśli tak to podać pierwszy wyraz ciągu i iloraz: 4
Aaliza matematycza I 00/0 a a = 3 + b a = 4 c a = 3 4 d a = 5 + e a = 3 + 8 f a = 3. Zadaie 9.9. Obliczyć cztery pierwsze wyrazy ciągu geometryczego a wiedząc że: a a = 3 q = b a = 3 q = 0. c a = 0.7 q = 0.6 d a 3 = 4 a 4 = 0.5 e a = 8 a 3 = 0 f a 6 = 5 a 8 = 5 3. Zadaie 9.30. a a = 3 + b a = + + c a = 3 Zbadać mootoiczość ciągu a jeżeli: d a = 4 + e a = 3 f a = +! g a = cosπ h a = 3 si π. Zadaie 9.3. Zbadać czy podae ciągi są mootoicze od pewego miejsca: a a = + b b = + 4 c c = 5 + 6 d d = + + e e = +! f f = cos π g g =!! 3! h h = + + + + +3 +... + 3. Zauważmy że jeśli dla prawie wszystkich mamy że a = 0 to w celu sprawdzeia mootoiczości ie trzeba badać zaku różicy a + a a zamiast tego zbadać czy iloraz a + a >. Jest to przydate p. w pukcie g. Natomiast w przykładzie f trzeba odwołać się do mootoiczości fukcji cos. W pukcie c trzeba zauważyć że 5 6 > 56 + oraz k > + k. Zadaie 9.3. Zbadać ograiczoość ciągu a jeżeli: a a = + b a = + + c a = + d a = e a = cos + 3 + f a = +! g a = arc ctg h a = si 3π i a = 3 j a =. Zadaie 9.33. W pewym ciągu arytmetyczym dae są a = r = 4. Wiedząc że suma początkowych wyrazów tego ciągu jest rówa 0 7 + 8 obliczyć liczbę wyrazów tego ciągu. Zadaie 9.34. Liczbę 476 przedstawioo w postaci sumy kilku składików. Pierwszy składik wyosił 500 a każdy astępy był pewym stałym ułamkiem poprzediego. Obliczyć ile wyosił każdy składik jeżeli ostati z ich był rówy 56. Zadaie 9.35. Day jest ciąg a w którym a = S = S + gdzie S = k= a k. Wyzaczyć wzór ogóly a -ty wyraz ciągu a i sprawdzić czy jest o ciągiem arytmetyczym. 5
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 9.36. Podaj defiicję graicy ciągu zbieżego. Zadaie 9.37. Zadaie 9.38. Udowodij że z deficji mamy astępującą rówość + + + =. Udowodij korzystając z defiicji graicy ciągu że: a +3 = 0 k N b + k + = +. Zadaie 9.39. Korzystając z defiicji graicy właściwej ciągu uzasadić podae rówości: a b + = 5 = c d log + 5 = 0 3 +3 =. Zadaie 9.40. Korzystając z defiicji graicy iewłaściwej ciągu uzasadić podae rówości: a b 3 + = 5 = c d 6 + = log =. Zadaie 9.4. Obliczyć: 4 + 3 + 4. + Zadaie 9.4. Obliczyć astępujące graice: a b c d e f g h + + 3 ++ + + + + 3 4 + 6 3 +3 + 4 3+ 0.8 + 5 + + + + i j k l m o 4 + 5 7 + 3 + 0 + 5 4 +3 ++ + + + + + +3 3 5 + ++6 + + 3 6 + +3 + 3 + p q + + 4 + 6 +...+ 4 + 3 + 9 +...+ 3 + +... + + 3 +... + r s t u v +4+ + + 3 +3 5 + + 3 + + 3 a +3b 5a +7b a b > 0. + Zadaie 9.43. Niech R będzie ciągiem liczbowym takim że = g. Udowodić że + jeśli g = 0 oraz = 0 dla każdego N to ciąg jest ograiczoy oraz dodatkowo m > 0 : m. Zadaie 9.44. Udowodić że jeżeli ciąg mootoiczy ma podciąg zbieży to jest zbieży. Zadaie 9.45. Udowodić że jeżeli a jest ciągiem zbieżym do 0 atomiast b jest ciągiem ograiczoym to a b = 0. 6
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 9.46. Niech a będzie ciągiem spełiającym waruek a + a = q. Pokazać że jeżeli q < to a jest ciągiem zbieżym do 0. Zadaie 9.47. * Udowodić że jeżeli ciąg ie posiada graicy to ie istieje bijekcja σ: N N dla której ciąg a σ miałby graicę. Zadaie 9.48. * Niech a będzie ciągiem spełiającym waruek a = q. Pokazać że jeżeli q < to a jest ciągiem zbieżym do 0. Zadaie 9.49. Wykazać że ciągi określoe rekurecyjie są zbieże i zaleźć ich graice: = a + = = 3 b +. + = = c 3. + = si. Zadaie 9.50. Zbadać zbieżość ciągu daego jako = 3 + = + 5. Wskazać jego graicę o ile istieje. Zadaie 9.5. Wykazać że określoe poiżej ciągi rekurecyje są zbieże i zaleźć ich graice: a = α a a + = c = γ f = ζ gdy + a α c gdy c + = si c e f + = 3 gdy 3f 3 } γ R ζ [0 b b = β b + = 3b gdy β 3 3 6 5} d d = δ d + = 4 0d 9 gdy δ 4} f g = η g + = 3 5g + g 5 gdy η 6 3 9 0}. Zadaie 9.5. Niech k N. Korzystając z twierdzeia Stolza policzyć graice ciągów: a b log + + k + + k k k+ c d k +3 k + ++ k + k+ k + + k. + k+ Zadaie 9.53. Udowodić że jeśli a jest ciągiem zbieżym i a = a to + a + +a + = a. Zadaie 9.54. i a = a to + Udowodić że jeśli a jest ciągiem zbieżym o wyrazach ieujemych a a = a. + Otto Stolz 84 905 austriacki matematyk. 7
Aaliza matematycza I 00/0 Twierdzeie. Toeplitza Niech a k będzie ieskończoym układem liczb rzeczywistych przy czym k. Poadto iech t będzie zbieżym ciągiem liczb rzeczywistych o graicy t. Jeśli spełioe są poiższe waruki a a k 0 dla i dowolie ustaloej liczby aturalej k b k= a k dla c k= a k M dla pewej liczby M > 0 oraz wszystkich to ciąg s określoy wzorem s = k= a k t k dla jest zbieży do t. Zadaie 9.55. Pokazać że jeśli ciąg a spełia a = 0 to maa...a } = 0. Zadaie 9.56. a a = b a = + 3 Obliczyć graice astępujących ciągów: + c a = d a = 3 3+ +4 e a = +3 + +5. Zadaie 9.57. Wyzaczyć graicę ciągu o wyrazie ogólym a : a a = + + b a = + +3 c a = +3 + d a = 3 + e a = +4 +6 3 f a = +3 + g a = log + 3 log h a = l i a = +7 ++ +. Zadaie 9.58. podae graice: a b c + 6 +3 + +4 + + 0. } 99... 9} 0 dziesiątek Korzystając z defiicji liczby e oraz z twierdzeia o graicy podciągu obliczyć d e f 4+ +. Zadaie 9.59. Dla = 0 0 policzyć cześć całkowitą liczby e. Wskazówka. Wykorzystać fakt że + < e < + dla. Zadaie 9.60. Udowodij że jeśli ciąg a jest zbieży i ciąg b jest ograiczoy oraz zachodzi waruek: b + b a + a to ciąg b jest zbieży. Wskazówka: rozważyć ciąg c = b a. Zadaie 9.6. stwierdzeia: Niech a R będzie ciągiem liczbowym zbieżym. Udowodić astępujące a a = a = a = a ; b a = 0 a = 0. + + + + Zadaie 9.6. Obliczyć graicę ciągu a : 8
Aaliza matematycza I 00/0 a a = +4+5 5 ++ b a = 83 +4 +3 4 9 3 +3 +4 c a = 5 5 9 d a = e a = + 3 3 8 3 f a = 3 6+ g a = + 5 h a = 4 + 5 i a = 3 + + j a = 4 + 3 4 +8 k a = +!++! +! +! l a = +3+ + m a = + a = log + log o a = + + + p a = +7 q a = 3 9 + 6 + r a = + 3 6 4 4 s a = 3 3 + 3 3 3 3 t a = 4 3 u a = + 3 +. a a Zadaie 9.63. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach obliczyć graicę ciągu a : a a = + 7 d a = + g a = + +... + b a = 4 + 5 + 9 c a = si e a = 3 + + f a = + 4 + h a = cos +. Zadaie 9.64. Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach obliczyć graice ciągów: a 3 + 4 7 + 9 5 + b + + + +... + + c + + + +... + + d + +... + e 3 + 5 6 + 5 7. Zadaie 9.65. a b c d e f + cos! 3+5 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzaczyć 8 + 8 +...+ 8 +4 a a 3} 5 + 3 5 + 4 + + + + +... + g h i j k l 3+ 4 3 + 5 + 7 5 + 3 5 m o p q r + 3 + 4 5 + 3 + cos + + 3 k= 3 k k=0 +k 9
Aaliza matematycza I 00/0 s t i k i= k p i gdzie i= u v k N p... p k k kolejych liczb pierwszych k 0 k N c! c R w } [] 3 }. Zadaie 9.66. Korzystając z twierdzeia o dwóch ciagach zaleźć graice: a b c [4 + ] [3 + ] 3 + 3 +... + 3 d e f si 3 si E 3. E + Zadaie 9.67. a b cos + 3 Zadaie 9.68. a a = Korzystając z twierdzeia o graicach iewłaściwych ciągów obliczyć podae graice: c d 7 6 5 +3 + Udowodić zbieżość do 0 astępujących ciągów: si3 + + b a = + +... + 3 + c a =! cos! e f d a = k k N C > C e a = si + si. 3 3 + 3 + +. Zadaie 9.69. Wyzaczyć astępujące graice a b c d e f + 3 9 + 4 3 + 3 3 + + 4 3 3 + 4 54 + 6 3 4 5 4 + 3 i i=0 4 i i=0 g h i j k l + 3 + log 3 + 3 + + si 5 + 3 5 + 4 3 + 7 5 4 + 3 l3 + l3 3 + + + + +3. Zadaie 9.70. Policz pola powierzchi dywaów Sierpińskiego. Wacław Fraciszek Sierpiński 88 969 polski matematyk jede z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematyczej. 30
Aaliza matematycza I 00/0 Policz długość krzywej Ko- Zadaie 9.7. ra. Zadaie 9.7. cha. Policz miarę zbioru Cato- 0 Graica góra i dola Apparetly there is o it Joe remarked Aythig ca be said i this place ad it will be true ad will have to be believed. Fla O. Brie The Third Policema Graica dola i graica góra ciągu a defiiowae są odpowiedio wzorami if sup a = a = if a k = sup k 0 sup a k = if k 0 if a k k sup a k. k a Zadaie 0.73. Niech a będzie ciągiem ograiczoym. Udowodić że a jeśli istieje takie k N że dla każdego większego iż k spełioa jest ierówość a A to a A; b jeśli dla każdego k N istieje takie k większe iż k że a k A to a A; c jeśli istieje takie k N że dla każdego większego iż k spełioa jest ierówość a a to a a; d jeśli dla każdego k N istieje takie k większe iż k że a k a to a a. Zadaie 0.74. Załóżmy że ciąg a ma skończoą graicę górą i dolą. Udowodić że a L = a wtedy i tylko wtedy gdy spełioe są astępujące dwa waruki: i dla dowolego ϵ > 0 istieje k N takie że a < L + ϵ dla wszystkich > k; ii dla dowolego ϵ > 0 oraz dowolego k N istieje takie > k że L ϵ < a. b l = a wtedy i tylko wtedy gdy spełioe są astępujące dwa waruki: i dla dowolego ϵ > 0 istieje k N takie że l ϵ < a dla wszystkich > k; ii dla dowolego ϵ > 0 oraz dowolego k N istieje takie > k że a < l + ϵ. Zadaie 0.75. Niech a będzie ciągiem ograiczoym. Niech S będzie zbiorem puktów skupieia ciągu a. Pokazać że sup S S oraz że if S S. 3
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 0.76. Niech będzie dowolym ciągiem ograiczoym. Tworzymy owe ciągi α i β przyjmując że α := if k k } β := sup k k } dla =.... Pokazać że ciągi α i β są zbieże do graic właściwych. Poadto pokazać że a = α b = β. Zadaie 0.77. 0. Udowodić że Załóżmy że ierówość a < b jest spełioa począwszy od pewego wskaźika a a b b a b. Zadaie 0.78. Niech a i b będą ciągami ograiczoymi. Udowodić że prawdziwe są astępujące ierówości: a + b a + b a + b a + b a + b. Zadaie 0.79. Niech a i b będą ciągami ograiczoymi. Udowodić że prawdziwe są astępujące ierówości: a b a b a b a b a b. Zadaie 0.80. Wykazać że warukiem koieczym i dostateczym zbieżości ciągu a jest istieie skończoych graic górej i dolej oraz rówość: a = a. Zadaie 0.8. Pokazać że jeśli a = a to dla dowolego ciągu ograiczoego b astępujące związki są prawdziwe: a a + b = a + b ; b a b = a b. Zadaie 0.8. Niech a = + +. Wskazać dwa podciągi tego ciągu zbieże do różych graic. Wyzaczyć graice górą i dolą tego ciągu. a 3 Zadaie 0.83. Niech a = + si π 4. Wskazać dwa podciągi tego ciągu zbieże do różych graic. Wyzaczyć graice górą i dolą tego ciągu. Zadaie 0.84. Wyzaczyć + π if + 3 si. 3 Zadaie 0.85. Wyzacz graice górą i dolą astępujących ciągów: a si π b + 3 c +. Zadaie 0.86. Wyzaczyć graicę górą i dolą astępujących ciągów: a cos π 3 b si π 5 c + d } 5 = 5 [ ] 5 e + cos π 3 f si π 6 + π 3 g ta π 4 + π 3. 3
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 0.87. Wyzaczyć graicę dolą i górą astępujących ciągów: a a = + b a = + + cos π c a = + + si π 4 [ d a = 3 ] [ 3 3 3 ] 3 [ ] e a = 7 7 f a = + si π g a = π + cos 3. Zadaie 0.88. Podać przykład ciągu: a który ma dokładie k puktów skupieia k liczba aturala b którego puktami skupieia są wszystkie liczby aturale c którego zbiorem puktów skupieia jest [0 ] d którego puktami skupieia są wszystkie liczby rzeczywiste. 0. Graice ciągu zbiorów Zadaie 0.89. Niech A = + =.... Wyzaczyć graicę dolą i górą ciągu zbiorów A. Czy te ciąg jest zbieży? Zadaie 0.90. Wyzaczyć graicę górą i dolą ciągu A = [ + ] i rozstrzygąć czy ma o graicę. Zadaie 0.9. Pokazać że A if A sup A A. Zadaie 0.9. Pokazać że jeśli A N jest wstępującym ciągiem zbiorów to A = A. Graicą górą ciągu zbiorów A N azywamy zbiór sup A = A +m m=0 graicą dolą tego ciągu zbiorów azywamy zaś zbiór if A = A +m m=0 Jeśli sup A = if A = A to mówimy że ciąg zbiorów A N jest zbieży do zbioru A i piszemy A = A. Zadaie 0.93. Pokazać że jeśli A N jest zstępującym ciągiem zbiorów to A = A. Zadaie 0.94. Udowodić że a sup A = N m A m } b if A = N m A m }. Zadaie 0.95. Udowodić że spełioe są astępujące rówości: a sup A B = sup A sup B b if A B = if A if B. 33
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie 0.96. Udowodić że a sup A B sup A sup B b if A B if A if B. Pokazać przykład że w powyższych zależościach ikluzji ie moża zastąpić przez rówość. Zadaie 0.97. Wykazać że a if A c = sup A c b if A = sup A c c. Zadaie 0.98. Udowodić że A = A wtedy i tylko wtedy gdy A A =. Zadaie 0.99. Wykazać że jeżeli A = A oraz B = B to a A B = A B b A B = A B c A \ B = A \ B d A B = A B. Szeregi liczbowe Zadaie.00. Legeda o podwajaiu ziare Istieje legeda opowiadająca o tym że szachy wyalazł mędrzec Sissa Nassir. Kiedy król obiecał dać mu w agrodę wszystko czego zażąda o poprosił tylko o pewą ilość zboża. Mędrzec powiedział że tę ilość wyzaczy szachowica: iech król a pierwszym polu położy jedo ziaro a drugim dwa a trzecim polu cztery i tak dalej aż do sześćdziesiątego czwartego pola za każdym razem podwajając ilość ziare wtedy o zadowoli się ziarem z ostatiego pola. Policz ile będzie wtedy wszystkich ziare a wszystkich polach. Obliczyć sumy podaych ieskończoych szeregów geome- Zadaie.0. tryczych: a 7 +. + 0.63 +... b 4 4 5 4 5... c + + +... d + 6 + 3 +... e 3 3 4 + 3 64 +.... 8 8 3 Zadaie.0. Zamieić ułamki okresowe a zwykłe: a 0. 3 b 0. 75 c. 73 d. 3. Zadaie.03. Obliczyć sumę ieskończoego szeregu geometryczego mając dae: a a = q = 3 b a = 4.3 q = 0. c a = 0.3 q = 0.05 d a = q = 0.3 e a =.75 q = 6 f a = 0.05 q = 0.0. Zadaie.04. Wyzaczyć sumę szeregu: 34
Aaliza matematycza I 00/0 a b =0 + + + c =0 +3 5 d =0 5 e =0 5 f =0 3 5. Zadaie.05. Aalizując sumy częściowe szeregów pokazać że: a + = b c!. Zadaie.06. Posługując się warukiem koieczym zbieżości szeregów pokazać że astępujące szeregi są rozbieże: a b cos c a =0 + a > 0 e d cos si +. Zadaie.07. Stosując waruek koieczy twierdzeia arytmetycze bądź defiicję zbadać zbieżość szeregów: a b c d e +3 ++ arcta + + 3 + 3 f g h i j l + + + [si ] k l m 3 3 arcta + arcta. Zadaie.08. Stosując kryterium porówawcze zbadać zbieżość astępujących szeregów: a + b si c = l d l + e +3 f g 3 + + h si. 35
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie.09. Zbadać zbieżość astępujących szeregów: a b log 3 c + d + 3 e =0! 00 f =0 g 3 5 h log 7 + 3+ i arcta j k = log l l + m 0 0 + o = si cos p ++3+...+ 3 q 0 r = + s 7 t cos u 4 + 7 v = w +7 3. Zadaie.0. Stosując kryterium porówawcze zbadać szeregi: a b c d e +! si π ta π 4 + f g h i j l+ +! 3! si π k l m 3 l 4 5 +. Zadaie.. Zbadać zbieżość astępujących szeregów posługując się kryterium porówawczym: a + e i! m si b f 4 + j si c + g k! o ta d + h l+ l l + p si ta. Zadaie.. Stosując kryterium d Alemberta zbadać zbieżość astępujących szeregów: a =0! 3 b 3! c = 0! d! =0! e! f 5 +3 g! h =0 5! i! j =0 4! k 3 5... 3! l =0!! e m a! a = e i a > 0. Jea Le Rod d Alembert 77 783 fracuski filozof fizyk i matematyk. 36
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie.3. Stosując kryterium d Alemberta zbadać szeregi: a b c d +! 3 +! e f g h! 5... 3 5... 4 3 si π + i =0 5! j k!! l +. Zadaie.4. Stosując kryterium Cauchy ego zbadać zbieżość astępujących szeregów: a [ arcta + ] b + c = + d + 3 e + f! g h 5 5 i 7 7 l + j 00 99 00 k 3 3 +5 l 3 m. Zadaie.5. Stosując kryterium Cauchy ego zbadać szeregi: a b l + arcsi c d +. Sprawdzić że szereg ie reaguje a kryterium d Alemberta. Zadaie.6. Posługując się kryteriami Cauchy ego i d Alemberta zbadać zbieżość astępujących szeregów: a... 3! e + i 3+ + b l f ta π + j si π 3 c si π g! k!! e d + h +cos +cos l l l!. Zadaie.7. Dla jakich R szereg 3 + jest zbieży? Zadaie.8. Zbadać zbieżość astępujących szeregów aprzemieych: a b 3 c +00 = 3+ d e +00. 37
Aaliza matematycza I 00/0 k= k 3 k= 3 k k= k k l 0.6 3 k 0 0 0 Szereg harmoiczy Szereg geometryczy Szereg Leibiza Zadaie.9. a b + 4 + l+ Zadaie.0. * a b. Stosując kryterium Leibiza orzec o zbieżości szeregów: c d + 3 + si. Zajdź zbieży szereg a taki że b jest rozbieży oraz Zadaie.. a b log 5 Stosując kryterium kodesacyje zbadać zbieżość szeregów: c d = l e f =3 =3 l l l l l p p R. Zadaie.. a Wyzaczyć iloczy Cauchy ego astępujących szeregów: 5 5 b 3 3 c! Zadaie.3. Pokazać że szereg + jest zbieży ale iloczy Cauchy ego przez iego samego jest już rozbieży. Zadaie.4. a b c d e f g 3 3 + 3 + + 3 l l l cos + cos Zbadać zbieżość astępujących szeregów: h i j k l m ta π 3 3 4+4 + + + 3 + 3 o p q r s 3!. + + + l + [3+ ] 5 +π Gottfried Wilhelm Leibiz 646 76 zay także pod azwiskiem Leibitz iemiecki filozof matematyk prawik iżyier-mechaik fizyk historyk i dyplomata. 38
Aaliza matematycza I 00/0 oraz przy założeiu że a > 0: t +a u a! v a l. Zadaie.5. Pokazać że szereg! jest zbieży dla = 0 i rozbieży dla = 0. Zadaie.6. Zbadać zbieżość bezwzględą i warukową szeregów: a b c d si R + + + e f g h +l [ ] si +3 i j + + + +. Zadaie.7. Pokazać że jeśli szeregi a i b są zbieże to zbieże są też szeregi a a b b a + b c a. Zadaie.8. Dowieść że jeżeli a = 0 to szereg a jest rozbieży. Zadaie.9. Dowieść że jeżeli a a > 0 jest szeregiem zbieżym takim że ciąg a maleje to a = 0. Zadaie.30. Dowieść że jeżeli szeregi a b są zbieże i jede z ich jest bezwzględie zbieży to szereg a b jest bezwględie zbieży. Zadaie.3. że: a jeżeli b jeżeli Rozważmy szeregi a jest zbieży to a i b gdzie b = a + a dla N. Pokazać b jest zbieży b jest zbieży oraz a = 0 to a jest zbieży c jeżeli a = to b jest zbieży pomimo rozbieżości a. Zadaie.3. Zbadać zbieżość astępujących szeregów aalizując ich sumy częściowe lub posługując się warukami koieczymi i dostateczymi zbieżości szeregów: a c e b d f + +. Zadaie.33. Zbadać zbieżość szeregów w zależości od parametru: 39
Aaliza matematycza I 00/0 a q q R b α α > 0. Zadaie.34. * Moża pokazać że =0 + = l. Rozważmy szereg 4 + 3 6 8 +... + k 4k 4k +... Wykazać że szereg te jest zbieży do l. Wskazówka. Niech S ozacza -sumę częściową tego aharmoiczego zaś σ 3 σ 3 σ 3 stosowe sumy częściowe owego szeregu. Grupując po trzy składiki wedle reguły 4 sprawdzić że σ 3 = S i zauważyć że σ 3 = σ 3 + 4 σ 3 = σ 3 + 4 + 4. Zadaie.35. * a gdzie jest a zbieży Korzystając z kryterium d Alemberta stwierdzić dla jakich α R szereg a = α e +! k= k! k k. b rozbieży. Wskazówka. Skorzystać ze wzoru Stirliga 3 :! π e =. Zadaie.36. * Pokazać że wtedy Fukcja zeta Riemaa 4 Określmy fukcję ζ: R wzorem ζz = z. ζz = p P gdzie P ozacza ciąg kolejych liczb pierwszych. p z gdzie z > Ciągłość i graice fukcji Nessua umaa ivestigazioe si può demadare vera scieza se essa o passa per le matematiche dimostrazioi. Leoardo da Vici Zadaie.37. Używając defiicji Heiego 5 i Cauchy ego udowodij że graicą fukcji f = 3 + w pukcie jest 7. f0 f f = 0.7e si f f XXXXXXX } } Bgϵ g 0 }} B0δ Brak ciągłości w sesie Cauchy ego Fukcja Etier Ciągła? A 3 James Stirlig 69 770 szkocki matematyk. 4 Georg Friedrich Berhard Riema 86 866 matematyk iemiecki. 5 Heirich Eduard Heie 8 88 iemiecki matematyk. 40
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie.38. f = 0. 0 Zadaie.39. Wykazać z defiicji graicy fukcji że jeśli f: R R f dla to Korzystając z defiicji zaleźć graice o ile istieją: a 0 si Wskazówka: Skorzystać z ierówości si b si. + Zadaie.40. ciągłe: Sprawdzić z defiicji Heiego i Cauchy ego czy poiższe fukcje f: D R są a D = R f = + b D = R \ } f = 5+ c D = R f = + dla Q 0 dla Q d D = R \ 0} f = e D = R f = [] dla Q f D = R f = 0 dla Q. W przypadku gdy brak ciągłości a całej dziedziie wyzaczyć zbiór puków ciągłości. Zadaie.4. Zaleźć graice oraz pokazać bezpośredio z defiicji Heiego i Cauchy ego poprawość uzyskaych wyików: a 0 3 + 4 + b + si 0 c + 0 + + N d 3 + e 3 5 + 6 5 +. Zadaie.4. Proszę wykazać że fukcja f = E ie ma graicy w pukcie 0 = 0 wraz z iterpretacją geometryczą. Zadaie.43. Fukcja f = arcta ie jest określoa dla = 0. Naszkicuj wykres tej fukcji. Jaką wartość ależy adać tej fukcji w pukcie = 0 aby była ciągła w tym pukcie? Zadaie.44. Określić tak fukcję f w pukcie = 0 aby była ciągła: a f = + b f = si π. Zadaie.45. Proszę obliczyć astępujące graice fukcji o ile istieją a e + b 3 7 c d 0 e f +5+4 3 + g +3+ 0 h 3 + 3 + i ++ +4+3 + 0 j k 0 l 3+ m 5+6 3 8+5 3 + o 3 + p 4 4 q 8 0+6 r s 0 3 t +. 0 4
Aaliza matematycza I 00/0 Zadaie.46. Obliczyć graice fukcji o ile istieją: a + b + c + d 9 3 3 e + 3 6+5 f + 3 6+5 g h +4+3 3 +5+6 +3+ i 6+5 5 3 0 j 6+5 3 0 k l m 3 +5 4 +9+ + 5 +3 3 +5 5 50 4 6 o + p + q + r s 0 + t 3 0 + u v 3 l + w 0 l + +. Zadaie.47. Obliczyć graice: a 4 b +3+ 3 +++3 c 0 3 4 4 d +3 e + 0 f 6 6+5 + g 3 +3 0 3 + h +3 i 3 3+ 4 4+3 j 4 + 3 k 3 + 5 + l +3 + 3 9 m 0 3 +6 0 + + 0 + o 3 + 3 0 p 3 3 +3 4 4 3 +3 5 +5. Zadaie.48. Wykaż a podstawie defiicji że ie istieją graice: a 0 3 b 3 3 Zadaie.49. a 0 si 3 si b si c 0 6 ta d 0 e 0 si ta Zadaie.50. Obliczyć graice: Zajdź graice: c si cos + d 0 si e si + f 0 g h 4 3 si si π si i 0 ta 4 j 8 8 si 8 π +cos k π si f ta + [] g 0. si l 0 si 3 ta m 0 ta arcta 0 arcsi o 0 arcsi p. 0 4 4
Aaliza matematycza I 00/0 arcsi a 0 arcsi b c π 4 cos si cos arcta + 3 cos cos a d a a l cos e 0 l cos 3 f g 9 3 arcta+3 π 3 cos π 3 cos h 0 i +cos 0 si j 0 + si. Zadaie.5. Niech będzie dowolą liczbą aturalą. Liczby rzeczywiste a a... a są dobrae tak że dla każdego R spełioy jest waruek a si + a si +... + a si si. Udowodić ierówość a + a +... + a. Zadaie.5. * a 0 cos p cos q gdzie p q R cos cos 0 b Obliczyć graice o ile istieją: cos c 0 l cos d. 0 Zadaie.53. Zajdź o ile istieją astępujące graice fukcji w ieskończoości: a + 3 + 4 cos + b c d e f g h i j k l m + + 5 + 3 3 3 5 + 7 + 3 4+5 + 7 3 8+4 + 5 + +8+ 5 +3 + 3 8 + 4 3+ 3 5 + 3 + 5+7 ++ + + +3 + 3 + + o p q r s t u v w y z + + + + 3 ++ + + + ta 3 si + + si + l 5 + 3 +3 + + 3 3 3 +3+3 3 + 3 3 +3 +3. Zadaie.54. Zajdź o ile istieją astępujące graice fukcji w ieskończoości: 43
Aaliza matematycza I 00/0 a b c d e f + 3 + 5 + 5 3+5 + + +4 + 3+5 + g h i j k + + + + +4 + 3 3 ++ + + +. + + Zadaie.55. Obliczyć graicę fukcji w podaym pukcie: a b + c d 3 6+5 + e 3 3 3 + 0 f + 4 3 + g + 0 h 5 5 i j 0 3 + ta k 0 si 5 arcsi l 0 3 cos 4 cos 5 m 0 si si a 0 a o ta π p +cos 0 si q +si si 0 ta r + 0 s t + e+si u +3 + v + 3 + 4 + 5 5 w 0 log 0 0 0 3 + 3. Zadaie.56. Obliczyć graice: a + + 0 + b 3 + 0 c + + d ++ 0 ta e 0 si f si cos π si cos 4 g cos 0 h 0 cot i +3 + + l+ j 0 k 0 e l m + 4. + Zadaie.57. a 3 + 3 + 3 Obliczyć graice: e 3 3 3 4 3 i + b 5 3 4 6 c 3 3 + 5 3 3 + 4 d 3 7 f + 3+ g 0 si h si si si 3 j 0 si 4 si 5 arcta 7 k 0 arcsi 6 l 3 9 44
Aaliza matematycza I 00/0 si m si o p [ 4 ] ta cos si π cos 4 ta ta π π 4 4 q r 5 +5 + s + arcsi 3 tasi 6 0 0 t 0 3 u 0 v 0 [ ] e si 5 si l+4 log 7 +3 w cos si 0 9 + 3 4 4 + 5. 4 Zadaie.58. ** Uzasadić astępujące rówości: a 0 si = b 0 + a = l a c 0 + = e. Zadaie.59. Zbadaj ciągłość poiższych fukcji: dla Q a f = c f = 0 dla Q arcta b f = dla = 0 d f = 0 dla = 0 ep dla = 0 0 dla = 0 cos π dla = 0 0 dla = 0. Zadaie.60. Dowolą zaą Ci metodą zbadaj ciągłość poiższych fukcji oraz sporządź ich wykresy: dla = 3 dla < a f = g f = 5 dla = 3 l + dla 4 b f = dla = dla 0 3 dla = h f = 0 dla 0 < < 4 dla 6+9 c f = 3 dla = 3 + 3 dla < dla = 3 i f = + dla d f = e f = si 3 dla > 0 + 9 dla 3 dla < i = 0 dla dla < 0 f f = dla 0 < dla j f = + 5 + 6 dla < dla + dla < k f = dla < + dla e dla 0 l f = l dla < 0. Zadaie.6. Niech f: R R będzie daa wzorem 5 dla < 5 a f = a + b dla a + b dla 5 c f = a + c dla < d + dla > + a dla l + a dla > 0 b f = b + dla < 0 d f = c dla = 0 e c cos + d dla 0 < b dla 0 <. 45
Aaliza matematycza I 00/0 Dobrać tak parametry a b c d R żeby ta fukcja była ciągła. Zadaie.6. Zaleźć wszystkie możliwe wartości parametrów a b c R dla których 4 + 3 a b c =. + Zadaie.63. Zaleźć wszystkie możliwe wartości a b c R dla których a + a b = 0 b 4 + 3 a b c = 0. + + Zmodyfikować rozwiązaie Zadaia tak aby powyższe graice były rówe 5. Zadaie.64. Fukcja f przyporządkowuje liczbie rzeczywistej a liczbę pierwiastków rówaia: 4 + log a + 7 = 0. a Wyzacz dziedzię tej fukcji i aszkicuj jej wykres b Zbadaj ciągłość c Oblicz fa. a + Zadaie.65. Korzystając z tego że fukcje f = e oraz g = l są ciągłe oblicz a 0 l lsi b 0 si c e si. 0 Zadaie.66. Proszę przeaalizować ciągłość i zaleźć jeżeli istieją asymptoty krzywych: a f = + b f = 3 +4+ c f = ta d f = + e f = f f = +. Zadaie.67. * Udowodić że jeśli f g: [a b] R są ciągłe to fukcje f g f g: [a b] R dae wzorami f g = maf g} f g = mif g} rówież są ciągłe. Zadaie.68. * 0. Wykazać że rówaie cos = si ie posiada rozwiązaia w przedziale Zadaie.69. * a X = R f = Zbadać jedostają ciągłość oraz lipschitzowskość fukcji f: X R gdzie: d X = [0 ] [0 + f = 3 b X = [ ] R f = 4 c X = 0 + f = e f = l e X = 0 0 + f = f X = R f =. + Zadaie.70. ** Podać przykład fukcji f: R R której zbiorem puktów ciągłości jest: a 0} b c 0 } d Z. Zadaie.7. ** Udowodić że zbiór wszystkich wielomiaów o współczyikach wymierych jest mocy cotiuum. Udowodić że zbiór wszystkich fukcji ciągłych z R do R jest mocy cotiuum. Zadaie.7. w pukcie a? Sprawdzić ile wyoszą graice jedostroe. Czy istieją graice podaych fukcji 46