Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg 8/0) Niech X, X 2,, X, > 5 będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie jedostajym a przedziale (0, θ), gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem Wyzaczamy przedział ufości dla parametru θ postaci [2X 3,, 2X 2, ], gdzie X k, ozacza k-tą statystykę pozycyją z próby X, X 2,, X Dla jakiej ajmiejszej liczebości próby losowej zachodzi Odp: D-> P θ (θ [2X 2,, 2X 2, ]) 0, 9 Rozwiązaie Należy pamiętać, że dla ustaloej wartości t zdarzeie X k, t jest osiągięciem co ajmiej k sukcesów w doświadczeiu Beroulliego z prawdopodobieństwem sukcesu F (t) = t/θ dla 0 < t < θ, gdzie F jest dystrybuatą rozkładu jedostajego a (0, θ) Zatem z prawdopodobieństwem sukcesu F (t) = t/θ dla 0 < t < θ, gdzie F jest dystrybuatą rozkładu jedostajego a (0, θ) Zatem P θ (X 2, θ 2 X 2,) = P(2 S 2), gdzie S pochodzi z rozkładu B(, 2 ) Obliczamy ( ) P(2 S 2) = P(S 2) P(S 2) = 2( 2 +2 +2 ) = ( 2 ++2)2 2 Dla = otrzymujemy po raz pierwszy wartość ( 2 + + 2)2 miejszą od 0, 333333 2 (Eg 9/0) Niech X, X 2,, X 0 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie o gęstości f θ (x) = θx θ x (0,), gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem Wyzaczamy przedział ufości dla parametru θ postaci [cˆθ, dˆθ], gdzie θ = θ(x, X 2, X 0 ) jest estymatorem ajwiększej wiarogodości, a stałe c i d są dobrae tak, aby P θ (θ < cˆθ) = P θ (θ > dˆθ) = 0, 05 Wyzaczyć c i d Odp: A-> c = 0, 5 i d =, 57 Rozwiązaie Obliczamy wiarygodość 0 L(θ, x) = θ 0 x θ i xi (0,) Zatem dla ustaloego x fukcja f(θ) = l L(θ, x) osiąga maksimum dla θ spełiającego f (θ) = 0, czyli 0 0 θ + l x i = 0 Stąd 0 θ = 0 l x i
Pozostaje zaleźć c i d takie, że P θ (θ < c θ) = P θ (θ > d θ) = 0, 05 Nietrudo sprawdzić, że l X i ma rozkład wykładiczy z parametrem θ Stąd 0 l X i ma rozkład Gamma(0, θ) Zatem θ/ θ ma rozkład Gamma(0, 0), który dalej jest tym samym co 20 20Gamma( 2, 2 ) czyli 20 χ2 (20) To ozacza, że 20c będzie dolym a 20d górym kwatylem dla rozkładu χ 2 (20) dla wartości 0, 05 Korzystając z tablica zajdujemy c 0, 5, d, 57 3 (Eg 50/5) Niech X,, X, > będzie próbką z rozkładu jedostajego o gęstości daej wzorem: f θ (x) = θ x (0,θ), gdzie θ jest iezaym parametrem Zmiee losowe X,, X ie są w pełi obserwowale Obserwujemy zmiee losowe Y i = mi(x i, M), gdzie M jest ustaloą liczbą dodatią Oblicz estymator ajwiększej wiarogodości ˆθ parametru θ jeśli wiadomo, że w próbce Y,, Y, jest K obserwacji o wartościach miejszych iż M i K {,, } Odp: B-> M/K Rozwiązaie Z daych zadaia dostajemy, że θ > M Szasa, że dokładie K zmieych będzie miejszych iż M wyosi ( ) ( M K θ )K ( θ M ) K θ Warto zauważyć, że przy okazji jest to fukcja wiarygodości Poszukujemy wartości θ dla której fukcja f(θ) = l L(θ, x) przyjmuje maksimum czyli puktu θ takiego, że f (θ) = 0 Zachodzi θ + ( K) θ M = 0 Zatem θ = M/K (Eg 5/2) Załóżmy, że X, X 2,, X, > 2 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie wykładiczym Niech S = X i Oblicz Odp: D-> 2 p = P(X S/2,, X S/2) Rozwiązaie Kluczowe to aby zauważyć, że zdarzeiem przeciwym do X S/2,, X S/2 jest {X i > S/2} Zatem Rozkład X /S jest postaci Beta(, ) Stąd P(X S/2,, X S/2) = P(X > S/2) P(X S/2) = 2 ( )( y) 2 dy = 2 Stąd p = 2 + 5 (Eg 52/9) Załóżmy, że X, X 2,, X, jest ciągiem iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie wykładiczym o gęstości f(x) = exp( x/µ) dla x > 0 µ 2
Zmiea losowa N jest iezależa od X, X 2,, X, i ma rozkład geometryczy day wzorem: P(N = ) = p( p) dla = 0,, 2, Niech S N = N (przy tym S 0 = 0, zgodie z kowecją) Oblicz E(N S N = s), dla s > 0 Odp: D-> s( p)/µ + Rozwiązaie Stosujemy ogóly wzór Bayesa Najpierw wyzaczamy gęstość (N, S) względem µ λ, gdzie µ jest miarą liczącą a Z, a λ miarą Lebesgue a a R Przypomijmy, że S ma rozkład Gamma(, µ ) s f N,SN (, s) = p( p) s ( )!µ e µ s>0 N=0 Rozkład (N, S N ) ma też atom w (0, 0) który osiąga z prawdopodobieństwem p Obliczamy gęstość warukową dla s > 0 [( p)s] ( p)s f N,SN ( s) = e µ ( )!µ >0 Zatem E(N S = s) = = [( p)s] ( p)s e µ = + ( )!µ s( p) µ 6 (Eg 53/6) Rozważmy zmiee losowe N, X, Y Wiadomo, że rozkład warukowy zmieej losowej N, gdy X = x i Y = y jest rozkładem Poissoa o wartości oczekiwaej x Rozkład warukowy zmieej losowej X, gdy Y = y jest rozkładem Gamma(2, y), a rozkład zmieej Y jest rozkładem Gamma(, 3), gdzie rozkład Gamma(α, β) ma gęstość Wtedy wariacja VarN jest rówa Odp: B-> 7 Rozwiązaie Obliczamy p α,β = βα Γ(α) xα e βx x>0 VarN = EN 2 (EN) 2 = EE(N 2 X, Y ) (EE(N, X, Y )) 2 = E(X 2 + X) (EX) 2 = = EE(X 2 + X Y ) (EE(X Y )) 2 = E 6 Y 2 + 2 Y (E 2 Y )2 Dla zmieej Z z rozkładu Gamma(α, β) jeśli α > 2, to EZ 2 = EZ = β α Zatem EY 2 = 3 2, EY = 3 3 = Czyli VarN = 9 + 2 = 7 β 2 (α )(α 2) oraz jeśli α >, to 7 (Eg 5/8) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie o gęstości p a,b = be b(x a) xa gdzie a R i b > 0 są iezaymi parametrami Rozważmy estymator ajwiększej wiarygodości (T a, T b ) wektora parametrów (a, b) Wartości oczekiwae ET a i ET b są rówe Odp: D-> ET a = a + b, ET b = 2 b 3
Rozwiązaie Obliczamy wiarygodość L((a, b), x) = b exp( b (x i a)) mi(xi)a Szukamy puktu (a, b) maksymalizującego wiarygodość Oczywiście T a = mi(x,, x ) atomiast b wyzaczamy korzystając z fukcji f(b) = l L((T a, b), x), rozwiązując rówaie f (b) = 0 czyli Obliczamy b = ET a a = (x i T a ), zatem T b = 0 P(X i a > t) dt = (x i T a ) 0 e bx dx = b, czyli ET a = a + b Z powodu braku pamięci rozkładu wykładiczego rozkład (x i T a ) będzie rozkładem ( ) zmieych iezależych o rozkładzie wykładiczym z parametrem b czyli Gamma(, b) Obliczamy ET b = 0 b ( 2)! x 2 e bx dx = 2 b 8 (Eg 55/6) Niech N oraz X, X 2, będą iezależymi zmieymi losowymi, przy czym N ma rozkład Poissoa z wartością oczekiwaą λ =, zaś rozkład każdej ze zmieych X podaje astępująca tabelka: [ x 2 3 P(X = x) 2 Niech S = N X i dla N > 0 i S = 0 dla N = 0 Oblicz warukową wartość oczekiwaą E(N S = 3) Odp: A-> 27 9 Rozwiązaie Mamy klasyczy wzór Bayesa Nadto oraz E(N S = 3) = P(N = S = 3) = =0 =0 m=0 ] P(S = 3 N = )P(N = ) P(S = 3 N = m)p(n = m) P(S = 3 N = )P(N = ) = P(X = 3)P(N = ) + 2(P(X = 2, X 2 = )+ =0 + P(X =, X 2 = 2))P(N = 2) + 2P(X = X 2 = X 3 = )P (N = 3) = = e ( + + 6 ) P(S = 3 N = m)p(n = m) = P(X = 3)P(N = )+ m=0 + (P(X = 2, X 2 = ) + P(X =, X 2 = 2))P (N = 2) + P(X = X 2 = X 3 = ) = = e ( + 8 + 8 ) Stąd E(N S = 3) = 27 9
9 (Eg 56/9) Niech X, X 2,, X będą zmieymi losowymi o rozkładzie P areto(, a ) a Y, Y 2,, Y m będą zmieymi losowymi o rozkładzie P areto(, a 2 ), gdzie a, a 2 > 0 są iezaymi parametrami Wszystkie zmiee są iezależe Na poziomie ufości α budujemy przedział ufości [dt, ct ] dla parametru a a podstawie estymatora ajwiększej wiarogodości T tegoż parametru w te sposób, że a 2 P a,a 2 (ct < a a 2 ) = P a,a 2 (dt > a a 2 ) = α 2 Jeśli α = 0, i m = i = 5, to przedział ufości ma długość Odp: E-> 3, 02T Rozwiązaie Jeśli m = i = 5, to fukcja wiarygodości ma postać L((a, a 2 ), (x, y)) = α 5 α 2 5 (x i ) α xi (y j ) α2 yj Zatem estymatorem ENW (α, α 2 ) jest pukt miimum fukcji f(α, α 2 ) = l L((a, a 2 ), (x, y)), czyli rozwiązaie rówaia f α = f α 2 = 0 Obliczamy j= 5 α = 5 l x i, α 2 = l y i Stąd ˆα = 5 5 l Xi, ˆα 2 = l Yi Zatem T = ˆα = 5 l Y i ˆα 2 5 l X i Oczywiście 5 l X i ma rozkład Gamma(5, α ), a l Y i rozkład Gamma(, α 2 ) adto te 5 zmiee są iezależe Stąd 2α l X i ma rozkład Gamma( 0 2, 2 ) = χ2 (0), a 2α 2 l Y i ma rozkład Gamma( 8 2, 2 ) = χ2 (8) Zatem a a 2 T ma rozkład Fishera-Sedecora F (0, 8) Odczytujemy z tablic c = 3, 37, d = 0, 326 Stąd długość [dt, ct ] wyosi w przybliżeiu 3, 02T 0 (Eg 57/7) Niech X, X 2,, X 0 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie o iezaej mediaie m Budujemy przedział ufości dla parametru m postaci [X 3:0, X 7:0 ], gdzie X k:0 ozacza k-tą statystykę pozycyją z próby X, X 2,, X 0 Prawdopodobieństwo P(m [X 3:0, X 7:0 ]) jest rówe Odp: A-> 28 Rozwiązaie Należy zauważyć, że dla ustaloego t szasa, że X k:0 t jest rówe prawdopodobieństwu uzyskaia co ajmiej k sukcesów w doświadczeiu Beroulliego z prawdopodobieństwem F (t), gdzie F jest dystrybuatą wspólego rozkładu zmieych X,, X 0 Przyjmujemy, że rozkład jest ciągły (ściślej, że F (m) = 2 ), w przeciwym razie zadaie ie daje się rozwiązać Wówczas przyjmując, że zmiea S ma rozkład B(0, 2 ) zachodzi rówość P(m [X 3:0, X 7:0 ]) = P(3 S < 7) = 2( + 0 + 5) + 20 2 0 = 23 ( + 5) 2 9 = 99 28 (Eg 58/2) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Pareto o gęstości θλ θ f θ (x) = (λ + x) θ+ x>0, gdzie θ, λ > 0 są iezaymi parametrami Rozważmy estymatory ajwiększej wiarygodości θ, λ parametrów θ i λ Chcemy dobrać stałą t tak aby przy dążącym do ieskończoości 5
prawdopodobieństwo zdarzeia θ θ > t było rówe 0, Jeżeli θ = 3 i λ =, to stała t jest rówa Odp: A -> 9, 7 Rozwiązaie W tym zadaiu ajprościej skorzystać z twierdzeń o asymptotyczej zbieżości Twierdzeia te bazują a aalizie wiarygodości L((θ, λ), x) = θλ θ (λ + x i ) θ+, l L((θ, λ), x) = (l θ + θ l λ) (θ + ) l(λ + x i ) Aby zachodziła asymptotycza ormalość po pierwsze musi być spełioy waruek zgodości To zaczy, że ( θ, λ ) (θ, λ) przyajmiej według prawdopodobieństwa Okazuje się, że przy różiczkowalej fukcji wiarygodości wystarczy aby l L = 0, czyli rówaie l L((θ, λ), x) θ = 0, l L((θ, λ), x) λ miało dokładie jedo rozwiązaie dla dowolego Sprawdzamy waruek l L((θ, λ), x) θ l L((θ, λ), x) λ = 0 = ( θ + l λ) l(λ + x i ) = 0, = θ λ (θ + ) λ + x i = 0 Zatem w rozwiązaiu tego rówaia parametr θ moża wyrazić jako fukcję λ to zaczy θ = λ λ+x i λ λ+x i Natomiast powstała po podstawieiu wyliczoego θ fukcja od λ czyli ( λ λ+x i ) + λ l λ + x i jest malejąca i zmieia się od + dla λ = 0 do dla λ = zatem ma tylko jedo miejsce zerowe Jeśli teraz skończoe są rówież drugie pochode fukcji l L to rozkłady ( λ, θ ) mają asymptotyczie rozkład ormaly N ((λ, θ), C ), gdzie macierz kowariacji C = (E 2 l L) Obliczamy zatem drugie pochode 2 l L(θ, λ) = [ θ 2 λ + λ + λ+x i Pozostaje obliczyć odpowiedie parametry dla θ = 3 i λ = θ λ 2 λ+x i (θ + ) (λ+x i) 2 ] E θ 2 = 9, E λ + λ + X i = + 3 =, Eθ λ 2 (θ + ) (λ + X i ) 2 = 3 3 5 = 3 5, gdzie korzystamy z faktu E(λ + X i ) k = 3 3+k, dla k 0 Stąd wyika, że [ C = 9 3 5 ] = 6 5 6 2 [ 3 5 9 ]
W szczególości ozacza to, że ( θ 3) 2 zbiega według rozkładu do Z z rozkładu N (0, ) Obliczamy lim P( θ θ > t) = lim P( θ 3 > t 2 2 ) = P( Z > t ) = 0, 2 Z tablic dostajemy t 2, 6 Stąd t 9, 68 2 (Eg 59/0) Niech X, X 2,, X 0 będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie Pareto o gęstości 2 θ θ f θ (x) = (2 + x) θ+ x>0, gdzie θ > 0jest iezaym parametrem W oparciu o estymator ajwiększej wiarogodości T parametru θ zbudowao przedział ufości dla θ a poziomie ufości 0, 95 postaci [ct, dt ], gdzie liczby c i d dobrao tak, aby P θ (θ < ct ) = P θ (θ > dt ) = 0, 025 Liczby c i d są rówe Odp: A-> c = 0, 8 i d =, 7 Rozwiązaie Obliczamy estymator EN W (θ), wiarygodość ma postać stąd Należy zaleźć rozwiązaie rówaia L(θ, x) = 0 2 θ θ (2 + x i ) θ+, 0 l L(θ, x) = 0θ l 2 + 0 l θ (θ + ) l(2 + x i ) l L(θ,x) θ = 0, czyli 0 l 2 + 0 0 θ l(2 + x i ) = 0 To zaczy 0 θ = 0 (l(2 + x i) l 2) Wyzaczmy rozkład l(2 + X i ) l 2 Dla t > 0 P(l(2 + X i ) l 2 > t) = P(X i > 2e t 2) = 2 θ (2e t ) θ = e θt, czyli rozkładem l(2+x i ) l 2 jest rozkład wykładiczy z parametrem θ Stąd 0 (l(2+x i) l 2) ma rozkład Gamma(0, θ) Zatem /T ma rozkład 0 Gamma(0, θ) = 20 θ Gamma( 20 2, 2 ) czyli 20 θ χ 2 (20) Niech Z będzie z rozkładu χ 2 (20), zachodzi P θ (θ < ct ) = P(Z < 20c) = 0, 025, P θ (θ > dt ) = P(Z > 20d) = 0, 025 Z tablic rozkładu χ 2 otrzymujemy 20c 9, 59, 20d 3, 70, czyli c 0, 8, d, 7 3 (Eg 60/) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu o gęstości f θ (x) = θ x θ x>, gdzie θ (0, ) jest iezaym parametrem Rozważamy ieobciążoy estymator parametru θ postaci T = ay, gdzie Y = mi(l X, l X 2, l X ) i a jest odpowiedio dobraą stałą (być może zależą od liczebości próby ) Dla θ = 3 i ε = 6 zachodzi Odp: C-> P θ ( T θ > ε) = e 2 + e 3 2 7
Rozwiązaie Jak ietrudo stwierdzić l X i ma rozkład wykładiczy Exp( θ ) Dalej rozkład Y ma postać Exp( θ ) i w końcu ay ma rozkład Exp( aθ ) Stąd a =, iech teraz Z będzie z rozkładu Exp(), zachodzi P θ ( T θ > ε) = P( θz θ > ε) = P( Z > 2 ) Czyli lim P θ( T θ > ε) = P(Z [ 2, 3 2 ]) = e 2 + e 3 2 (Eg 6/7) Zmiea losowa X ma rozkład o gęstości f θ (x) = θ x θ+ x>, gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem Nie obserwujemy zmieej X ale zmieą Y rówą X, gdy X jest większe od 2 Nie wiemy, ile było obserwacji zmieej X ie większych iż 2 ai jakie były ich wartości W wyiku tego eksperymetu otrzymujemy próbkę losową Y, Y 2,, Y 8 Na podstawie próbki budujemy przedział ufości dla parametru θ postaci [c T, c 2 T ], gdzie T jest estymatorem ajwiększej wiarogodości parametru θ, a stałe c i c 2 dobrae są tak, by Wtedy długość przedziału ufości jest rówa Odp: C->, 6T P(θ < c T ) = P(θ > c 2 T ) = 0, 05 Rozwiązaie Iteresuje as rozkład warukowy X pod warukiem, że X > 2 który ma gęstość g θ (x) = θ2θ x θ+ x>2 Dalej zadaie jest stadardowe, wyzaczamy estymator ENW (θ) z rówaia Stąd 8 l 2 + 8 8 θ l x i = 0 T = 8 8 (l X i l 2) l L(x,θ) θ = 0, czyli Dalej zauważamy, że l X i l 2 ma rozkład Exp(θ) Stąd 8 (l X i l 2) ma rozkład Gamma(8, θ) i wreszcie T ma rozkład 6 θ Gamma( 6 2, 2 ) = 6 θ χ 2 (6) To pozwala obliczyć stałe c i c 2 z tablic rozkładu χ 2 Istotie iech Z będzie z rozkładu χ 2 (6), zachodzi P(θ < c T ) = P(Z < 6c ) = 0, 05, P(θ > c 2 T ) = P(Z > 6c 2 ) Zatem 6c 7, 962, 6c 2 26, 296, czyli c 0, 98, c 2 =, 6 Długość przedziału ufości wyosi w przybliżeiu, 6T 5 (Eg 62/7) Niech X,, X 0,, X 30 będzie próbką losową z rozkładu ormalego N (µ, σ 2 ), z iezaymi parametrami µ i σ 2 Niech X 0 = 0 0 S 2 = S 2 0 = 9 X i, X30 = 30 0 (X i X 0 ) 2 30 X i, 8
Skostruowao przedział [ X 0 as, X 0 + as] taki, że Liczba a jest rówa Odp: E-> 0, 58 P( X 30 [ X 0 as, X 0 + as]) = 0, 95 Rozwiązaie W tym zadaiu istote jest aby umiejętie przejść do rozkładu t-studeta Mamy iezależość X 0, X20 = 30 20 X i oraz S Nadto X 30 = X 3 0 + 2 X 3 20 Stąd P( X 30 [ X 0 as, X 0 + as]) = P( X 20 X 0 < 3 2 as) Teraz X 20 X 0 ma rozkład N (0, 3σ2 20 ) Natomiast 0 (X i X 0 ma rozkład σ 2 χ 2 ( ) Stąd Z = a 9 stopiami swobody Zatem 20 3 ( X 20 X 0 ), ma rozkład t-studeta S P( X 30 [ X 0 as, X 0 + as]) = P( Z > 5a) = 0, 95 Zatem 5a = 2, 262, czyli a 0, 58 6 (Eg 63/9) Niech X, X 2,, X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie Laplace a o gęstości f θ (x) = exp( 2 x θ ) dla x R, gdzie θ jest iezaym parametrem rzeczywistym Rozważamy estymator θ parametru θ rówy mediaie z próby X, X 2,, X θ = X[0,5]: W oparciu o te estymator budujemy przedział ufości dla parametru θ postaci gdzie a dobrae jest tak, aby dla każdego θ R Wtedy a jest rówe Odp: C-> 0,98 ( θ a, θ + a), lim P θ(θ ( θ a, θ + a)) = 0, 95 Rozwiązaie Niech F θ będzie dystrybuatą rozkładu f θ, czyli { F θ (t) = 2 exp( 2 t θ ) t θ exp( 2 t θ ) t θ 2 Przypomijmy, że rozkład X [0,5]: moża wyzaczyć korzystając ze zmieej Borelowskiej S (t) z rozkładu B(, F θ (t)) to zaczy Z waruków zadaia P θ (X [0,5]: t) = P(S (t) [0, 5]) P θ (θ ( θ a, θ + a)) = P θ (θ a < θ < θ + a) = = P(S (θ a) [0, 5]) P(S (θ + a) [0, 5]), 9
gdzie korzystamy z tego, że X [0,5]: ma rozkład ciągły Będziemy tak dobierać ciąg a aby zachodziło CTG Niech Z będzie z rozkładu N (0, ), wówczas jeśli a = c wtedy a mocy CTG gdzie korzystamy z rówości Istotie zauważmy, że lim P(S (θ a) [0, 5]) = P(Z 2c), lim [0, 5] F θ (θ a) Fθ (θ a)( F θ (a θ)) ) = 2c lim Fθ (θ a)( F θ (a θ)) = 2 adto a mocy przybliżeia e x x dla małych x otrzymujemy 2([0, 5] F θ (θ a)) lim = 2c Aalogiczie lim P(S (θ + a) [0, 5]) = P(Z 2c) Dobieramy zatem 2c tak aby P(Z ( 2c, 2c)) = 0, 95 Zatem 2c =, 96, czyli c = 0, 98 0