Eksploataca i testy eszek MAJKUT ZASTOSOWAE RADAYCH FUKCJ BAZOWYCH DO AAZY POA AKUSTYCZEGO WĘTRZ POJAZDÓW W artykule opisao możliwości zastosowaia ede z tzw. metod bezsiatkowych do aalizy pola akustyczego wętrza poazdu. Do aalizy wybrao metodę kolokacyą z bazą globalych fukci radialych. W koleych puktach pracy opisao wykorzystywaą metodę aalizy i e zastosowaie do wyzaczeia częstości drgań własych i charakterystyk amplitudowoczęstotliwościowych wętrza przykładowego poazdu. Charakterystyki wyzaczoo w dwóch układach źródła: edo źródło zlokalizowae a środku przedie części poazdu (układ siso) i dwa źródła umieszczoe po bokach poazdu (układ miso). Wartości częstości własych porówao z aalizą Metodą Elemetów Skończoych. WSTĘP Proektaci kabi samochodowych, autobusowych, iych poazdów drogowych czy szyowych muszą wziąć po uwagę wiele rożych wymagań dotyczących bezpieczeństwa i komfortu obsługi lub/i podróżych. Jedym z takich wymagań, iestety bardzo często pomiaych a etapie proektowaia, est odstroeie częstości drgań własych kabiy od częstości drgań wymuszoych, różych drgaących elemetów kostrukcyych poazdu. W praktyce iżyierskie tego rodzau problemy rozwiązue się uż a etapie eksploataci wykorzystuąc róże metody związae z adaptacą pomieszczeń zamkiętych. Brak takiego rozstroeia pomiędzy częstościami powodue, m.i. zwiększeie poziomu hałasu w kabiie, co wpływa a zmieszeie komfortu pracy obsługi lub/i pasażerów oraz zmieszeie trwałości zmęczeiowe drgaących elemetów. W przypadku autokarów przezaczoych do obsługi kursów dalekobieżych zapewieie komfortu akustyczego pasażerom est edym z bardzie istotych zagadień a akie zwraca uwagę potecaly abywca poazdu. W pracy opisao kilka metod umeryczych akustyki falowe pozwalaących a wyzaczeie poszukiwaych częstości drgań własych oraz wyzaczeie charakterystyk amplitudowo częstotliwościowych. W pracy aalizowae są zarówo charakterystyki typu siso (sigle imput sigle output) ak i typu miso (multiple imput sigle output). W przypadku układów typu miso autor chce sprawdzić w aki sposób wiele źródeł akustyczych wpływa a klimat akustyczy w pobliżu edego pasażera poazdu. W pukcie pierwszym pokrótce opisao zalety i wady Metody Elemetów Skończoych, Metody Różic Skończoych i Metody Elemetów Brzegowych oraz szczegółowo propoowaą metodę kolokacyą z wykorzystaiem Radialych Fukci Bazowych (RBF). awiększy problemem związaym z wykorzystaiem powyższych metod to koieczość zaomości waruków brzegowych w postaci impedaci akustycze. Problem te wyika z faktu, że w dotychczasowe praktyce iżyierskie do aalizy akustycze wykorzystywao przede wszystkim metody akustyki geometrycze, dla których waruki brzegowe podawae są w postaci współczyików pochłaiaia. Problem zalezieia zależości pomiędzy współczyikiem pochłaiaia, a impedacą akustyczą materiału był wielokrotie aalizoway w Katedrze Mechaiki i Wibroakustyki, Akademii Góriczo Huticze w Krakowie, a edym z efektów te pracy est rozprawa doktorska R. Olszewskiego [6], gdzie moża zaleźć zależości łączące te wielkości. W pracy pomiięto opisy i aalizę z wykorzystaiem metod akustyki geometrycze takich ak metodę źródeł pozorych czy śledzeia promieia oraz metod eergetyczych takich ak echogram czy Statystycza Aaliza Eergii.. KRÓTKA AAZA PORÓWAE METOD OBCZEOWYCH AKUSTYK FAOWEJ W praktyce iżyierskie aczęście wykorzystywaa est Metoda Elemetów Skończoych, ze względu a powszechie akceptowaą dokładość obliczeń i łatwą dostępość (implemetace MES zaleźć moża w wielu pakietach iżyierskich oraz dostępych darmowych programach komputerowych). Do zalet te metody obliczeń ależy rówież brak koieczości przeprowadzeia akichkolwiek obliczeń wstępych. Problemem z wykorzystaiem te metody do obliczeń pola akustyczego est koieczość podziału a elemety całe aalizowae przestrzei. Ze względu a to, że obliczeia dyamicze z wykorzystaiem MES są obliczeiami przybliżoymi iezbędy est bardzo gęsty podział a elemety (w praktyce przymue się taki podział by a długość fali przypadało co amie sześć elemetów [5]). Tak gęsty podział prowadzi do zaczego zwiększeia wymiaru macierzy główe aalizowaego problemu i co za tym idzie do wydłużeia czasu i kosztów obliczeń. Przy aalizie ekoomicze obliczeń ie wolo zapomieć, że takie obliczeia ależy przeprowadzić wielokrotie tz. po każde modyfikaci strukturale układu i dla każde z częstości, dla które wyzaczaa est charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa. Wszystkie wymieioe powyże zalety i wady moża rówież wykorzystać do opisu Metody Różic Skończoych. ą, choć zaczie mie popularą metodą obliczeiową est Metoda Elemetów Brzegowych, w które rówaia różiczkowe zastępue się odpowiedio skostruowaymi rówaiami całkowymi. dea MEB est w zasadzie taka sama ak MES, z tą różicą, że w MEB podziałowi a elemety podlega edyie brzeg rozpatrywaego obszaru. Prowadzi to w sposób aturaly do obiżeia wymiaru przestrzei o ede, tz. brzeg obszaru trówymiarowego est obsza- Przy góre graicy częstotliwości słyszalych rzędu 0kHz, długość fali akustycze wyosi około.7cm, co zgodie z wymagaiami prowadzi do maksymalego wymiaru elemetu rzędu 5mm. /06 AUTOBUSY 83
Eksploataca i testy rem dwuwymiarowym, a tylko o podlega podziałowi a elemety skończoe. Obiżeie wymiaru skutkue zmieszeiem wymiaru macierzy główe problemu, a więc czasu i kosztów obliczeń. Do wad metody zaliczyć moża wymagay duży akład pracy poświęcoy a obliczeia wstępe, iezbęde w te metodzie. Obliczeia te związae są z wyzaczeiem (obliczeiem) odpowiedich całek z fukci z osobliwością (fukca zmierzaąca do ieskończoości dla ede zmiee iezależe). Te właśie obliczeia wstępe są główą przeszkodą w popularyzaci te metody. Kłopotliwe przy obliczeiach umeryczych est rówież to, że macierze główe aalizowaego problemu są pełe w odróżieiu od pasmowych macierzy w aalizie MES. Propoowaa metoda kolokacya z wykorzystaiem radialych fukci bazowych (RBF) wydae się mieć zalety obu wcześie opisaych metod tz. zbęde są akiekolwiek obliczeia czy aaliza wstępa ak w metodzie MES, edocześie ie ma koieczości podziału a elemety całego aalizowaego obszaru [,,]. Co więce zbęda est rówież dyskretyzaca brzegu obszaru [4,7,8]. iezbędy est edyie wybór odpowiedie ilości puktów kolokacyych wewątrz aalizowaego obszaru (puktów, w których ma zostać spełioy waruek przybliżoego rozwiązaia rówaia różiczkowego opisuącego aalizoway problem) i taka sama lub większa ilość puktów źródłowych (puktów, które są cetrami radialych fukci bazowych - szczegóły w koleym pukcie pracy). Cetrami RBF-ów mogą być pukty wybrae ako pukty kolokacye (te same pukty pełią dwie róże role). Macierz główa aalizowaego problemu ma wymiar: ilość puktów kolokacyych x ilość puktów źródłowych. Do rozwiązaia takiego problemu wykorzystue się metodę miimalizaci sumy kwadratu błędu lub rozkład według wartości osobliwych rozkład SVD. Jedyymi wielkościami iezbędymi przy aalizie problemu propoowaą metodą est zaomość geometrii i waruków brzegowych. W ciągu ostatich 0 lat metoda kolokacya zalazła zastosowaie do rozwiązaia wielu rożych problemów mechaiki m. i. liiowa i ieliiowa aaliza elemetów kostrukcyych [4], problemów wymiay ciepła [9,7], aalizy rówań aviera-stokesa [], aalizy pola elektromagetyczego i wielu iych. Sukces metod związaych z wykorzystaiem RFB wiąże się z ich podstawową własością polegaącą a trasformaci problemów wielowymiarowych do problemów edowymiarowych. W iiesze pracy wykorzystao metodę kolokacyą wraz z wielokwadratową (ag. multiquadric) radialą fukcą bazową. Przy wykorzystaiu fukci wielokwadratowe bardzo istotym est wyzaczeie tzw. parametru kształtu, od którego zależy kształt fukci bazowe. W pracy zapropoowao autorską strategię wyboru optymalego parametru kształtu. Do wad te metody zaliczyć ależy ierozwiązay dotąd problem wyboru optymale (ze względu a błąd metody) ilość i położeie zarówo puktów kolokacyych, ak i puktów źródłowych. W pewych (trudych do uęcia w postaci akiekolwiek zależości matematycze) przypadkach macierze główe aalizowaego problemu staą się źle uwarukowae, w takich przypadkach do rozwiązaia autor wykorzystue dyskretą lub ciągłą regularyzacę.. METODA KOOKACYJA Aalizoway problem początkowo brzegowy opisay est rówaiem różiczkowym postaci: u = f x, x Ω () wraz z warukami brzegowymi postaci: x Bu = g, x Γ () gdzie: est liiowym operatorem różiczkowym, B est operatorem opisuącym waruki brzegowe, Ω to aalizoway obszar, to brzeg tego obszaru. dea metody kolokacye polega a aproksymaci rozwiązaia problemu początkowo-brzegowego () z warukami brzegowymi () za pomocą sumy szeregu rodziy fukci radialych t.: r uˆ = α φ (3) = Współczyiki α wyzacza się w procedurze kolokaci. W tym celu ależy wybrać zbiór o puktów kolokacyych {x, x,, xo} ależących do obszaru Ω w których żąda się by przybliżoe rozwiązaie (3) spełiało rówaie (): i = r i i u ˆ = f(x ) α φ (4) Podobie ależy wybrać zbiór b puktów {xo+, xo+,, xo+b} a brzegu aalizowaego obszaru. W tych puktach muszą zostać spełioe rówaia waruków brzegowych (): α = B φ r i i Rówaia (4) i (5) staowią liiowy układ rówań, który zapisać moża w postaci macierzowe: A α = f (6) Z układu (6) wyzaczyć moża poszukiwae współczyiki α. Po wyzaczeiu współczyików α rozwiązaie w całym aalizowaym obszarze dae est rówaiem (3). W te sposób wyzaczyć moża rozwiązaie problemu opisaego rówaiami () i () w dowolym pukcie obszaru Ω, a ie tylko w węzłach siatki, ak to ma miesce w przypadku metody elemetów skończoych. 3. RADAE FUKCJE BAZOWE Fukca radiala to każda fukca ede zmiee postaci: φ r = φ x (7) gdzie: x x x est Euklidesową odległością pomiędzy puktami x i x. Pukt x est azway cetrum fukci radiale (7). Zmieiaąc położeia cetrów otrzymue się rodzię fukci, która tworzy bazę wykorzystywaą do iterpolaci lub aproksymaci dowole fukci. Każdą z fukci bazowych postaci (7) zaliczyć moża do ede z dwóch kategorii: fukce o zwartym ośiku, t. fukce, które są róże od zera edyie w sferze o promieiu r (aczęście r = ) lub fukce o ośiku ieograiczoym (r ). aczęście wykorzystywaymi fukcami z pierwsze kategorii są zamieszczoe w tabeli, fukce Wedlada [0]. W tabeli zawarto przykłady fukci o ośiku ieograiczoym. prze- wymiar strzei (5) Tab.. Bazowe fukce radiale o zwartym ośiku d = d =,3 defiica fukci φ(r) = r + φ(r) = r + defiica fukci 3 4 = r 3r + = r 4r + φ(r) + φ(r) + 84 AUTOBUSY /06
gdzie: r = r + 0,, dla dla r 0, r > Tab.. Bazowe fukce radiale o ośiku ieograiczoym defiica fukci azwa fukci r 3 r r r lr r liiowa sześciea wielokwadratowa +c +c ciekie płyty wielokwadratowa odwrota Ze względu a dużą popularość w zastosowaiach oraz dobre własości aproksymuące w pracy wykorzystao fukcę wielokwadratową, która w aalizowaym przypadku 3D ma postać: φ r= x x + y y + z z +c (8) Jak wspomiao wcześie, kształt fukci (8) zależy od parametru kształtu c. Wraz ze wzrostem ego wartości fukca (8) stae się coraz bardzie płaska, przez to mało wrażliwa a zmiay odległości pomiędzy puktem kolokacyym x (x, y, z) i cetrum fukci radiale x (x,y,z). 3.. Wybór parametru kształtu Dobór optymale wartości parametru kształtu est, ak dotąd, ierozwiązaym problemem. Szczegółowy przegląd różych strategii pozwalaących a wyzaczeie tego parametru zaleźć moża w pracy [3]. W iiesze pracy autor propoue ią strategię opartą a astępuącym algorytmie:. ależy określić zakres zmieości parametru c. ależy zaleźć wartości dla których det A= 0 3. eżeli wartość ie ma stabile wartości (dla różych c) ależy wrócić do puktu (zmiaa zakresy zmieości c) 4. eżeli osiąga wartość stabilą dla parametru c z pewego zakresu, ako wartość c do obliczeń przyąć moża dowolą wartość c z tego zakresu. 4. AAZA POA AKUSTYCZEGO Aaliza pola akustyczego (w rozumieiu poszukiwaia częstości drgań własych oraz charakterystyk amplitudowo - częstotliwościowych) związae est z poszukiwaiem rozwiązaia rówaia różiczkowego postaci (rówaie Helmholtza): k f ( x) (9) spełiaącego waruki brzegowe postaci: p Z v 0 (0) gdzie: k liczba falowa, Z - impedaca akustycza brzegu, p i ciśieie akustycze, v grad prędkość, - gęstość ośrodka (powietrza), - częstość. deą propoowae metody kolokacye est założeie, że rozwiązaie problemu (9) z warukami brzegowymi (0) aproksymowae est przez liiową kombiacę radialych fukci bazowych w postaci: gdzie: = Eksploataca i testy r c k r c = f ( x ) () r r r i = to Euklidesowa odległość pomiędzy puktami kolokacyymi i cetrami fukci radialych; to współrzęde puktów kolokacyych radialych fukci bazowych i =,,, ; 5. PRZYKŁADY OBCZEŃ r r =,,, r i to współrzęde cetrów W tym pukcie pracy wykorzystao opisaą powyże metodę aalizy do poszukiwaia częstości drgań własych i charakterystyk amplitudowo - częstotliwościowych przestrzeych układów akustyczych. W pierwsze koleości wyzaczoo częstości drgań własych prostego układu akustyczego w postaci prostopadłościau, po sprawdzeiu poprawości przygotowaych algorytmów aalizie poddao uproszczoy model wętrza samochodu osobowego. 5.. Prostopadłościa W celu sprawdzeia poprawości aalizy MRF wyzaczoo częstości drgań własych przestrzei akustycze w postaci prostopadłościau o wymiarach x = 0,6m, y = 0,8m i z = m. Aalizowaą obętość pokazao a rys.. z Rys.. Prostopadłościea aalizowaa obętość x Częstości drgań własych takiego pomieszczeia wyzaczyć moża aalityczie, korzystaąc z zależości: (,, ) x y z k x y z () x y z W tab. 3 zebrao wartości włase (liczba falowa k) wyzaczoe z zależości () i z wykorzystaiem propoowae metody kolokacye. Tab.3. Wartości włase obiektu pokazaego a rys. wartości włase k z () błąd względy [%] 3,46, 3,970,3 5,090, 5,360, 6,06,4 6,83, 6,5450,5 7,599,6 y /06 AUTOBUSY 85
Eksploataca i testy Wyiki obliczeń zebrae w tab.3 edozaczie wskazuą a dużą dokładość obliczeń propoowae metody oraz prawidłowy wybór propoowae metody doboru parametru kształtu. 5.. Wętrze poazdu samochodowego Drugim aalizowaym w pracy przykładem est uproszczoy model wętrza samochodu osobowego, który pokazao a rys.. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 0 500 000 500 000 500 3000 czestotliwosc Rys.. Uproszczoa obętość kabiy poazdu W pierwsze koleości wyzaczoo częstości drgań własych obętości pokazae a rys.. Wyiki aalizy propoowaą metodą porówao z wyikami aalizy Metodą Elemetów Skończoych. W aalizie MES wykorzystao darmowe oprogramowaie Salome (http://www.salomeplatform.org) i Code Aster (http://www.code-aster.org). W celu ocey akości wyików aproksymaci częstości drgań własych uzyskaych z aalizy przybliżoe z wyikami z metody elemetów skończoych, zdefiiowao błąd, day zależością (subskrypt MES ozacza wyiki aalizy metodą elemetów skończoych, subskrypt p aalizy przybliżoe): p i i 00% (3) MES i MES Wartości błędów wyzaczoych dla 0 pierwszych częstości drgań własych tarczy prostokąte o różych warukach brzegowych pokazao a rys. 3. Rys. 3. Wartości błędów przy wyzaczaiu wartości własych Propoowaa metoda kolokacya pozwala ie tylko rówież a wyzaczeie częstości drgań własych, ale rówież charakterystyk amplitudowo częstotliwościowych. W pracy aalizowao dwa rodzae takich charakterystyk: układ typu siso (sigle imput sigle output) z edym źródłem umieszczoym w przedie części kabiy oraz typu miso (multiple imput sigle output) z dwoma źródłami umieszczoymi a bokach poazdu. W obu przypadkach odpowiedź a wymuszeie wyzaczoa została w miescu głowy pasażera poazdu. a rys. 4 pokazao przebieg charakterystyki amplitudowo częstotliwościowe układu typu siso. Rys.4. Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa a rys. 5 pokazao przebieg charakterystyki amplitudowo częstotliwościowe układu typu miso. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 500 000 500 000 500 3000 czestotliwosc Rys.5. Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa PODSUMOWAE W pracy opisao edą z metod bezsiarkowych pozwalaących a przybliżoe rozwiązaie rówań różiczkowych opisuących dowoly aalizoway problem początkowo brzegowy. W pracy wykorzystao metodę kolokacyą z radialymi fukcami bazowymi do aalizy pola akustyczego wętrza poazdu drogowego. Propoowaą metodę wybrao ze względu a to, że ideą te metody est możliwość trasformaci problemów w wielu wymiarów (D, D i 3D) do problemu edowymiarowego. Opisaą metodę kolokacyą zastosowao do wyzaczeia częstości drgań własych oraz charakterystyk amplitudowo - częstotliwościowych wętrza poazdu a przykładzie samochodu osobowego. W celu ocey poprawości i dokładości te metody aalizy porówao częstotliwości drgań własych z wartościami wyzaczoymi z symulaci Metodą Elemetów Skończoych. Wyiki aalizy wskazuą edozaczie a bardzo dużą dokładość aalizy z wykorzystaiem propoowae metody bezsiatkowe. Wyiki aalizy wskazuą rówież a poprawość zapropoowae strategii doboru parametru kształtu fukci radialych. 86 AUTOBUSY /06
BBOGRAFA. Alves C.J.S., Valtchev S.S., umerical compariso of two meshfree methods for acoustic wave scatterig, Egieerig Aalysis with Boudary Elemets 005, r 53.. Chichapatam, P.P., Dideli, K., air, P.B., Radial basis fuctio meshless method for the steady icompressible avier Stokes equatios, teratioal Joural for umerical Methods i Egieerig 007, r 84 3. Fasshauer, G.E., Zhag, J.G., O choosig,,optimal'' shape parameter for RBF approximatio. umerical Algorithms, 007 r 45. 4. Makut., Zastosowaie fukci radialych w aalizie drgań własych kostrukci poazdów, Techika Trasportu Szyowego 03, r 0 5. Marczuk R., Makut., Modellig of Gree fuctio i a rectagular room based upo the geometrical-filtratio model Archives of Acoustics 006 r 3. 6. Olszewski R. Zastosowaie metody elemetów skończoych i brzegowych do aalizy pola akustyczego. Rozprawa doktorska, Akademia Góriczo-Huticza im. Staisława Staszica Kraków 005. 7. Tiago C.M., eitao V.M.A., Applicatio of radial basis fuctios to liear ad oliear structural aalysis problems. Computers ad Mathematics with Applicatios 006, r 5. 8. Wag J.G., iu G.R., A poit iterpolatio meshless method based o radial basis fuctios, t. Joural for umerical Methods i Egieerig 00 r 54 Eksploataca i testy 9. Wawrzyek A., Detka M., Cichoń, Cz., Zastosowaie metody R- fukci do wyzaczaia współczyika przemowaia ciepła. Modelowaie żyierskie Gliwice 0 r 43 0. Wedlad, H., Piecewise polyomial, positive defiite ad compactly supported radial fuctios of miimal degree, Advaces i Computatioal Mathematics 995 r 4. Zerroukat M., Power H., Che C.S., A umerical method for heat trasfer problem usig collocatio ad radial basis fuctios. teratioal Joural for umerical Methods i Egieerig 998, r 4 Aalysis of acoustic field i vehicle iterior with Radial Based Fuctios The work cocers the i acoustics of a vehicle iterior with the Radial Based Fuctios. The collocatio method was used for determiatio eigevalues ad frequecy respose fuctios of the car iterior. All eigevalues were compared with Fiite Elemet Aalysis results. All results idicate that usig of multiquadric (MQ) RBF provide a results with very high accuracy i compariso to umerical results i acoustic aalysis of 3D close domai. Autor: dr hab. iż eszek Makut Akademia Góriczo Huticza w Krakowie, Katedra Mechaiki i Wibroakustyki Praca wykoaa w ramach badań statutowych r..30.955 /06 AUTOBUSY 87